Chapitre 4 - maths.rollinat

Chapitre 4 : TRIANGLES.
I. Constructions (A faire sur votre cahier de leçon).
1) Connaissant les mesures des trois côtés.
Tracer un triangle ABC tel que AB  5 cm ; AC  4 cm et BC  6 cm.
2) Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure d’un angle.
a) Tracer un triangle RST tel que RT  6 cm ; ST  4 cm et 
  70°
On peut commencer par faire une
figure à main levée.
b) Construire un triangle IJK tel que IJ = 7 cm ; JK = 8 cm et 
 = 48°
3) Connaissant les mesures d’un côté et de deux angles adjacents à ce côté.
Tracer un triangle EFG tel que EF  7 cm ; 
  110° et    40°.
4cm
6cm
A
A
A
B
B
B
C
5cm
5cm
5cm
4cm
T
R
6cm
70°
T
R
R
6cm
6cm
70°
4cm
T
S
4cm
70°
6cm
S
R
T
E
F
E
E
7cm
F
F
7cm
110°
110°
40°
G

II- Inégalité triangulaire.
Sur Geogebra, construire trois segments [AB], [BC] et [CD] de longueurs fixées.
En déplaçant les points C et D, essayer de construire un triangle.
Compléter le tableau ci-dessous :
Longueur du
Segment [AB]
Longueur du
Segment [BC]
Longueur du
Segment [CD]
Le triangle est-il
constructible ?
(oui ou non)
1er triangle
9 cm
5 cm
3 cm
non
2ème triangle
8 cm
5 cm
3 cm
oui
3ème triangle
4 cm
5 cm
7 cm
oui
En reprenant les résultats notés dans le tableau conjecturer une propriété pour qu’un triangle soit constructible.
Propriété : Un triangle est constructible si la longueur de son plus grand coté est inférieure à la somme
des longueurs des deux autres cotés (en cas d’égalité, le triangle est aplati).
III- Droites remarquables.
1) Médianes d’un triangle.
Définition : Droite qui passe par un sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé.
Sur Geogebra, construire les médianes d’un triangle ABC. Déplacer les points A, B et C.
Que remarquez-vous ? Les 3 médianes sont concourantes.
Comment se nomme le point de concours des médianes ? Le centre de gravité noté G.
2) Hauteurs d’un triangle.
Définition : Droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Sur Geogebra, Construire les hauteurs d’un triangle ABC. Déplacer les points A, B et C.
Que remarquez-vous ? Les 3 hauteurs sont concourantes.
Comment se nomme le point de concours des hauteurs ? L’orthocentre noté H.
IV- MEDIATRICE-TRIANGLE-CERCLE CIRCONSCRIT
1) Médiatrice.
Définition : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
Sur Geogebra, tracer un segment [AB]. Placer un point M sur la médiatrice. Afficher les longueurs MA et MB.
Déplacer le point M. Quelle propriété peut-on conjecturer ?
Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de
ce segment.
On admettra la réciproque :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
2) Cercle circonscrit.
Sur Geogebra, tracer un triangle ABC. Tracer les 3 médiatrices des côtés du triangle ABC.
Construire le cercle circonscrit au triangle ABC (cercle qui passe par les 3 sommets du triangle).
Afficher les longueurs AO, BO et CO.
Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point.
On dit qu’elles sont concourantes en ce point.
Ce point de concours est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.

3) Applications (sur votre cahier).
Construction n°1 :
Tracer un triangle ABC tel que AB = 7 cm ; AC = 5 cm et BC = 6 cm
Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC.
Construction n°2 :
Tracer un triangle EFC tel que EF = 8 cm ; 
= 30° et  = 40°.
Tracer le cercle circonscrit au triangle EFC.
V- Somme des mesures des angles dans un triangle.
1) Activité.
Découper un triangle quelconque et réaliser le pliage ci-dessous de façon à ramener les sommets du triangle
pour former un rectangle.
On peut conjecturer la propriété suivante:
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
2) Dans un triangle rectangle.
B
Hypoténuse
A C
Propriété : Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles reposant sur
l’hypoténuse est égale à 90°.
3) Dans un triangle équilatéral.
A
60°
B C
Propriété : Dans un triangle équilatéral, les angles sont égaux et mesurent 60°.

4) Dans un triangle isocèle.
A
B C
Propriété : Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base ont la même mesure.
Propriété réciproque: Si dans un triangle deux angles sont de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Cette propriété permet de démontrer qu’un triangle est isocèle.
Travail supplémentaire :
Démontrons la propriété : Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
D’après l’énoncé :
O est le point d’intersection des médiatrices des côtés [AB] et [AC] du triangle ABC.
D’après le cours :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Conclusion :
OA = OB et OA = OC donc OB = OC donc O est équidistant des points B et C.
D’après le cours :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Conclusion :
Le point O appartient à la médiatrice du segment [BC].
Donc les trois médiatrices du triangle ABC se coupent en O.
De plus, OA = OB = OC donc le point O est le centre d’un cercle passant par A, B et C.