Mécanique des corps rigides - statique

Table des matières
AVANT-PROPOS III
1 INTRODUCTION 1
1.1 Définitions 1
1.2 Applications 2
1.3 Systèmes international d'unités (SI) 3
1.4 Scalaires et vecteurs 5
1.5 Lois de Newton (1642-1727) 5
1.6 Trigonométrie et cosinus directeurs 6
1.7 Étapes de la résolution d'un problème d'ingénierie 7
1.8 Exercices 9
2 CALCUL VECTORIEL 11
2.1 Cosinus directeurs et projections cartésiennes 11
2.2 Addition algébrique de vecteurs 12
2.3 Produit scalaire 15
2.4 Produit vectoriel 18
2.5 Exercices 23
3 OPÉRATIONS SUR LES FORCES 28
3.1 Introduction 28
3.2 Addition de forces : calcul de la résultante par la méthode du parallélogramme 28
3.3 Relation entre deux forces et leur résultante : règle des sinus 33
3.4 Décomposition d'une force 34
3.5 Moment d'une force et couple 38
3.6 Déplacement de la ligne d'action d'une force 43
3.7 Méthode des composantes : calcul de la résultante de plusieurs forces et du
moment de la résultante par rapport à un point 45
3.8 Moment d'une force par rapport à une droite 51
3.9 Exercices 54

Mécanique des corps rigides — Statique viii
4 DEGRÉS DE LIBERTÉ,CONDITIONS D'APPUI ET DIAGRAMMES
DE CORPS LIBRES (DCL) 60
4.1 Définitions 60
4.2 Degrés de liberté et conditions d'appui 61
4.3 Diagrammes de corps libres 63
4.4 Diagrammes de corps libres partiels 66
4.5 Exercices 70
5 ÉQUILIBRE D'UN POINT OU ÉQUILIBRE DE TRANSLATION 76
5.1 Introduction 76
5.2 Équilibre de translation : approche vectorielle 76
5.3 Équilibre de translation : approche simplifiée 77
5.4 Exemples sur l'équilibre d'un point 78
5.5 Exercices 86
6 ÉQUILIBRE D'UN CORPS 92
6.1 Introduction 92
6.2 Équilibre d'un corps : approche vectorielle 93
6.3 Équilibre d'un corps : approche simplifiée 95
6.4 Réactions aux appuis 96
6.5 Exemples sur l'équilibre d'un corps 97
6.6 Exercices 120
7 STABILITÉ ET ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES ET
EFFORTS INTERNES 126
7.1 Introduction 126
7.2 Sollicitations 126
7.3 Stabilité des systèmes mécaniques 135
7.4 Combinaison de poutres, poteaux, bielles et tirants dans un système plan 140
7.5 Efforts internes 151
7.6 Exemples de calcul des efforts internes 157
7.7 Exemples complémentaires 184
7.8 Exercices 203
8 STATIQUE DES TREILLIS ET DES CÂBLES 210
8.1 Définition et généralités sur les treillis 210
8.2 Calcul des réactions dans les treillis 213
8.3 Calcul des efforts axiaux dans les barres d'un treillis : méthode des nœuds 218
8.4 Calcul des efforts axiaux dans les barres d'un treillis : méthode des coupes 226
8.5 Câbles : définition 233

Table des matières i
x
8.6 Charges réparties et charges concentrées 233
8.7 Quelques notions théoriques 235
8.8 Exemples sur les câbles 239
8.9 Exercices 251
9 MÉTHODE DU TRAVAIL VIRTUEL APPLIQUÉE À DES SYSTÈMES
EN ÉQUILIBRE 260
9.1 Introduction 260
9.2 Travail virtuel 260
9.3 Définition du travail dû à une force ou à un couple 261
9.4 Principe du travail virtuel 262
9.5 Exemples d'utilisation de la méthode du travail virtuel : poutres et treillis 264
9.6 Exemples d'utilisation de la méthode du travail virtuel : autres systèmes mécaniques 275
9.7 Exercices 282
10 LE FROTTEMENT : UNE ÉTUDE PARTIELLE 290
10.1 Introduction 290
10.2 Théorie fondamentale du frottement sec : lois de Coulomb 291
10.3 Frottement de roulement 293
10.4 Frottement sur les surfaces planes : glissement sans renversement 295
10.5 Glissement ou renversement ? 306
10.6 Frottement dans les enroulements 316
10.7 Frottement dans les pièces mécaniques 328
10.8 Exercices 342
11 PROPRIÉTÉS DES SURFACES PLANES 353
11.1 Introduction 353
11.2 Définition des contraintes 353
11.3 Moments statiques et centre de gravité 359
11.4 Moment d'inertie ou second moment de la surface d'une section plane 369
11.5 Théorème des axes parallèles 372
11.6 Axes centraux principaux et rotation d'axes 384
11.7 Exercices 393
12 PROPRIÉTÉS DES SURFACES SPATIALES ET DES VOLUMES 403
12.1 Introduction 403
12.2 Masse d'un corps 403
12.3 Centre de gravité d'une courbe dans l'espace 405
12.4 Surface enveloppante et volume : comparaison 412
12.5 Centre de gravité d'une surface spatiale 414

Mécanique des corps rigides — Statique x
12.6 Centre de gravité d'un volume 424
12.7 Centre de masse 434
12.8 Surfaces et volumes de révolution 441
12.9 Moment d'inertie massique 449
12.10 Exercices 456
ANNEXE A RAPPELS : MATHÉMATIQUES ET GÉOMÉTRIE 468
A.1 Notions fondamentales 468
A.2 Intégrales 471
A.3 Aire, centre de gravité et moments d'inertie des surfaces planes 473
A.4 Géométrie dans l'espace 478
ANNEXE B QUESTIONNAIRE RÉCAPITULATIF 475
ANNEXE C LISTE DES EXEMPLES 482
ANNEXE D RÉPONSES AUX EXERCICES 486
BIBLIOGRAPHIE 509
INDEX 511

1
Introduction
1.1 DÉFINITIONS
La mécanique des corps rigides est cette branche des sciences physiques qui étudie l'état des
corps soumis à l'action de forces. La statique s'intéresse à l'état de repos des corps alors que
la dynamique s'intéresse à l'état de mouvement. En statique, le corps au repos est en
équilibre sous l'action des forces. En dynamique, le corps en mouvement est en équilibre
sous l'action des forces si sa vitesse est constante (accélération nulle). Si l'accélération n'est
pas nulle, le corps en mouvement n'est pas en équilibre, car l'accélération résulte du
déséquilibre des forces.
Comme le montre la figure 1.1, la mécanique classique comprend aussi l'étude des solides
déformables qui ont un comportement élastique, plastique, ou élastoplastique. En fait, il
s'agit de l'étude de la résistance des matériaux. On distingue également la mécanique des
fluides parfaits, visqueux ou compressibles.
Au début du XXe siècle (1900), les physiciens se posaient beaucoup de questions sur certains
phénomènes inexplicables dans le cadre de la mécanique classique, particulièrement dans le
monde de l'infiniment petit (atome) et de l'extrêmement grand (étoiles et galaxies). Max
Planck, physicien allemand (1858-1947), émit alors l'hypothèse selon laquelle les échanges
d'énergie s'effectuent de façon discontinue, hypothèse fondamentale de la « mécanique
quantique », aussi appelée théorie des quanta d'énergie. Un autre physicien allemand, Albert
Einstein (1879-1955), appliqua la théorie des quanta à l'énergie rayonnante et aboutit au
concept de photon. Les photons sont des quanta de lumière.
Einstein est surtout connu pour sa théorie de la relativité, qui a remis en question les
principes de la mécanique classique, en particulier les notions d'espace et de temps. Selon
cette théorie, il est possible d'exprimer les lois physiques par des équations valables dans
tous les systèmes de coordonnées, ce qui signifie l'invariance des lois naturelles par rapport
aux changements de référentiels spatiotemporels. Einstein a démontré que le temps ne
s'écoule pas de la même manière, selon que l'on reste au repos ou que l'on se déplace avec
des vitesses assez proches de celle de la lumière. La mécanique relativiste s'applique aux
particules ayant de telles vitesses. Enfin, Einstein aboutit à la fameuse équation E= mc2, qui
établit l'équivalence entre la masse et l'énergie (c = vitesse de la lumière dans le vide, soit
environ 300 000 km par seconde ; année-lumière = distance parcourue par la lumière dans le
vide pendant une année, soit environ 9,46 u 1012 km).