Glace cubique Ic
Sous de très faibles pressions et dans l’intervalle de températures de 148 à 188 K, la
glace adopte une structure cubique Icdérivée de la structure « diamant » du carbone.
Les atomes d’oxygène des molécules d’eau décrivent une maille cubique à faces
centrées avec occupation de la moitié des sites tétraédriques (de façon alternée). Le
paramètre de maille est noté acet la masse volumique vaut ρc= 934 kg.m−3à
150 K.
5. Représenter cette maille (vue perspective ou vue projetée sur une face du cube).
(Pour simplifier le schéma, seuls les atomes d’oxygène seront représentés)
Préciser le nombre de motifs H2Oprésents dans la maille.
6. Déterminer la valeur du paramètre de maille ac, puis la longueur de la liaison
hydrogène d(O − −H), sachant que la liaison (O−H) mesure 96 pm.
7. Calculer la compacité de cette structure, sachant qu’une molécule d’eau peut être
assimilée à une sphère de diamètre 276 pm.
Commenter en liaison avec l’exploitation des carottes glaciaires pour l’analyse du
climat.
Seconde partie. Écoulement d’un glacier (E3A PSI 2013)
Un glacier est une masse de glace qui se forme par le tassement de couches de neige
accumulées ; écrasée sous son propre poids, la neige expulse l’air qu’elle contient, se soude
en une masse compacte et se transforme en glace.
Du fait de sa plasticité, un glacier s’écoule lentement sous l’effet de la gravité le long
d’une pente avec une vitesse d’écoulement très variable selon la pente, la topographie
du lit rocheux ou l’épaisseur de la glace. Sa vitesse moyenne est de l’ordre de quelques
centimètres à quelques dizaines de centimètres par jour, le record revenant au glacier
Kangerdlugssuaq dans le Groenland où la vitesse moyenne atteinte est de 14 kilomètres
par an.
Étude préliminaire (écoulement d’une couche de miel)
En préambule à l’étude d’un glacier, intéressons nous à l’écoulement d’un fluide visqueux,
par exemple une couche de miel, sur une plaque plane inclinée.
Une couche d’épaisseur constante h, d’un fluide visqueux newtonien incompressible, de
viscosité dynamique ηet de masse volumique ρ, s’écoule dans le champ de pesanteur
supposé uniforme, sur un plan incliné faisant un angle αavec l’horizontale (Figure 1).
La viscosité cinématique est définie comme le rapport ν=η/ρ.
Le support plan incliné a pour équation z= 0 et la surface libre correspond à z=h. Les
forces de viscosité exercées par l’air sur la surface supérieure de la couche de miel sont
négligées. A l’interface air-miel, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphé-
rique. Les dimensions du système dans les directions Ox et Oy sont très supérieures à
l’épaisseur hde la couche de miel.
Hypothèse : l’écoulement est réalisé en régime permanent.
On cherche un champ des vitesses de la forme ~u(M) = u(x, z)~ex.
1. L’écoulement étant incompressible et homogène, montrer que le champ des vitesses
u(x, z)ne dépend en fait pas de x.
2. On admet que la pression est une simple fonction de z.
En considérant l’équilibre selon Oz d’une couche de fluide d’épaisseur dz et d’aire de
base dS, exprimer P(z)le champ des pressions dans la couche de fluide en fonction
de h,z,µ,g,αet P0, la pression imposée par l’atmosphère à l’interface.
3. En s’intéressant toujours à une couche de fluide située entre zet z+dz et d’aire
de base dS, à l’aide d’un bilan de forces selon la direction du mouvement, établir
l’équation différentielle vérifiée par le champ des vitesses u(z):
d2u(z)
dz2+ksin (α) = 0
Identifier k.
4. Quelle est la condition aux limites imposée par le plan incliné en z= 0 ?
On admettra que l’absence de viscosité pour l’air revient à ajouter la condition
aux limites : ∂u
∂z (z=h)=0
5. Résoudre l’équation différentielle et montrer que le profil de vitesse dans la couche
de miel vérifie la relation : u(z) = βz (2h−z). Identifier β.
Localiser le point où cette vitesse est maximale et préciser l’expression correspon-
dante de la vitesse vMAX . Calculer vM AX sachant que h= 3,0mm, α= 10◦,
g= 10 m.s−2et que, pour le miel, ρ= 1,4×103kg.m−3et η= 10 Pa.s.
6. Représenter le champ des vitesses de cet écoulement.
La couche de miel possède une largeur W(selon Oy) qui demeure très grande par
rapport à l’épaisseur h.
7. Exprimer le débit volumique Qvdu miel. En déduire la vitesse moyenne hvide
l’écoulement et l’exprimer en fonction de vMAX .
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