Correction du Devoir Commun de Mathématiques 5ème partie 1

Correction du Devoir Commun de Mathématiques 5ème partie 1
Exercice 1 : /5pts
Une entreprise courvilloise qui compte 60 employés est composée de quatre services : direction, comptabilité,
commercial et technique.
1) Compléter le tableau suivant. (Pour les cases contenant une *, il faut mettre le calcul effectué dans l’encadré).
Services
Direction
Comptabilité
Commercial
Technique
TOTAL
Effectif
𝟔
9
𝟏𝟐
𝟑𝟑
60
Fréquence en %
10
15
∗ 20
55
𝟏𝟎𝟎
Angle en °
36
54
∗ 72
198
𝟑𝟔𝟎
2) Compléter le diagramme circulaire ci-dessous représentant cette répartition :
Calcul d’une fréquence :
𝟏𝟐
𝟔𝟎 ×𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎
ou 𝟏𝟐 × 𝟏𝟎𝟎
𝟔𝟎 = 𝟐𝟎
Calcul d’un angle :
𝟐𝟎 × 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟐
ou 𝟏𝟐 × 𝟑𝟔𝟎
𝟔𝟎 = 𝟕𝟐
Exercice 2 : /2pts
Calculer chaque expression de deux façons différentes (en utilisant les règles de priorité ou la distributivité)
1ère façon 2ème façon 1ère façon 2ème façon
𝐴 = (26 −14)× 7 𝐴 = (26 −14) × 7 𝐵 = 8 × 5 + 8 × 15 𝐵 = 8 × 5 + 8 × 15
𝑨 = 𝟏𝟐 × 𝟕 𝑨 = 𝟕 × 𝟐𝟔 − 𝟕 × 𝟏𝟒 𝑩 = 𝟒𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 𝑩 = 𝟖 × ( 𝟓 + 𝟏𝟓 )
𝑨 = 𝟖𝟒 𝑨 = 𝟏𝟖𝟐 −𝟗𝟖 𝑩 = 𝟏𝟔𝟎 𝑩 = 𝟖 × 𝟐𝟎
𝑨 = 𝟖𝟒 𝑩 = 𝟏𝟔𝟎
Exercice 3 : /1,5pts
Deux faces latérales du prisme ci-contre sont des carrés de côté 5 𝑐𝑚.
Ses bases sont des triangles isocèles. On a mesuré 7 𝑐𝑚 pour la
longueur de la face latérale rectangulaire.
1) Nommer une base : ABC ou DEF
2) Nommer une face latérale : ABED ou BCFE ou ACFD
3) Combien mesure la hauteur du prisme ?
La hauteur AD du prisme mesure 5cm.
10%
15%
20%
55%
répartition des services
Direction
Comptabilité
Commercial
Technique

Exercice 4 : Associer chaque prisme à son patron /1,5pts
- Le prisme A a pour patron le numéro  - Le prisme C a pour patron le numéro 
- Le prisme B a pour patron le numéro  - Le prisme D a pour patron le numéro 
Exercice 5 : Ranger dans l’ordre croissant /1pt
Ranger par ordre croissant les 7 nombres relatifs suivants : 3,2 ; −1,2 ; 0 ; 3,18 ; −2 ; −0,8 ; −2,1
Le rangement croissant est − 𝟐, 𝟏 < − 𝟐 < − 𝟏, 𝟐 < − 𝟎, 𝟖 < 𝟎 < 𝟑, 𝟏𝟖 < 𝟑, 𝟐
Exercice 6 : /3pts
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle 𝐴
est vraie ou fausse en justifiant. En l’absence de
justification, aucun point ne pourra être attribué.
Affirmation 1 : Le triangle 𝐴𝐵𝐶 ci-contre est isocèle.
(La figure n’est pas en vraie grandeur).
Affirmation 2 : 𝑥 × 𝑥 s’écrit plus simplement 2𝑥. 𝐵 𝐶
Affirmation 3 : 2 × (𝑎 + 3)= 2𝑎 + 3.
Affirmation 4 : l’égalité 4𝑥 + 3 = 5𝑥 est vraie pour 𝑥 = 3.
 Affirmation 1 : Le triangle 𝐴𝐵𝐶 ci-contre est isocèle.
Dans le triangle ABC, la somme des 3 angles est égale à 180°,
Donc 𝐵𝐴𝐶
̂=180° −40° −70° =70° = 𝐵𝐶𝐴 ̂
On en déduit que le triangle ABC a deux angles de même mesure.
Par conséquent, le triangle ABC est isocèle en A.
L’affirmation 1 est vraie.
①
D
C
B
A
70°
40°
②
③
④

 Affirmation 2 : 𝑥 × 𝑥 s’écrit plus simplement 2𝑥.
𝑥 × 𝑥 s’écrit 𝒙² L’affirmation 2 est fausse.
 Affirmation 3 : 2 × (𝑎 + 3)= 2𝑎 + 3.
il faut développer l’expression littérale : 2 × (𝑎 + 3)= 2 × 𝑎 + 2 × 3 = 2𝑎 + 6 ≠ 2𝑎 + 3
L’affirmation 3 est fausse.
 Affirmation 4 : l’égalité 4𝑥 + 3 = 5𝑥 est vraie pour 𝑥 = 3.
il faut remplacer 𝑥 par 3 dans les deux membres de l’égalité et faire des calculs séparés !
 D’une part, 4𝑥 + 3 = 4 × 3 + 3 = 12 + 3 = 15
 D’autre part, 5𝑥 = 5 × 3 = 15
les deux résultats sont égaux donc, l’égalité est vraie pour 𝑥 = 3.
L’affirmation 4 est vraie.
Exercice 7 : /6pts
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. 𝐷
Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés.
60°
𝐴 𝐵 𝐶
1) a) Quelle est la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐶
̂ ? Justifier par une propriété.
Comme BC = DC (d’après le codage sur la figure), le triangle BCD a deux côtés de même
longueur donc le triangle BCD est isocèle en C.
On sait que : « Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. »
Donc, les angles 𝐶𝐵𝐷
̂ et 𝐶𝐷𝐵 ̂ sont égaux à 60°. Par conséquent, 𝐁𝐃𝐂 ̂ = 60°
b) Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷.
̂ Justifier par une propriété.
On sait que : « Dans un triangle, la somme des 3 angles est égale à 180°. »
Donc 𝐵𝐶𝐷
̂=180° − 𝐶𝐵𝐷 ̂− 𝐶𝐷𝐵 ̂ = 180° − 60° −60° =60°
Par conséquent, 𝐁𝐂𝐃
̂ = 60°

c) Que peut-on dire alors de la nature du triangle 𝐵𝐷𝐶 ? Compléter le codage de la figure.
Comme le triangle BDC a ses trois angles égaux à 60°, le triangle BDC est équilatéral.
Par définition d’un triangle équilatéral, les trois côtés de ce triangle BDC ont la même
longueur et sont alors codés de la même façon. (Voir figure ci-dessous)
2) Calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷
̂.
Comme les points A, B et C sont alignés, on a 𝐀𝐁𝐂
̂ = 180°.
𝐴𝐵𝐷
̂= 180° − 𝐷𝐵𝐶 ̂=180° −60° =120° Par conséquent, 𝐀𝐁𝐃
̂ = 120°
3) a) D’après votre codage, quelle est la nature du triangle 𝐴𝐵𝐷 ?
Comme AB = BD (d’après le codage sur la figure), le triangle ABD a deux côtés de même
longueur donc le triangle ABD est isocèle en B.
b) Calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵
̂. Les propriétés utilisées ne sont pas demandées dans cette question.
On sait que : « Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. »
Donc, les angles 𝐵𝐴𝐷
̂ et 𝐴𝐷𝐵 ̂ sont égaux c.-à-d. BAD ̂ = ADB ̂
On sait que : « Dans un triangle, la somme des 3 angles est égale à 180°. »
D’où ABD
̂+ BAD ̂ + ADB ̂ = 180° or ABD ̂ = 120° et BAD ̂ = ADB ̂
On en déduit que :
ADB
̂ = (180° - 120°)/ 2
ADB
̂ = 60° / 2
ADB
̂ = 30° Par conséquent, 𝐀𝐃𝐁
̂ = 30°
BONUS : Quelle est la nature du triangle 𝐴𝐶𝐷 ? Justifier.
ADC
̂= ADB ̂ + BDC ̂=30° +60° =90° Donc, l’angle ADC ̂ est droit.
Ainsi, le triangle ACD a un angle droit en D.
Par conséquent, le triangle ACD est rectangle en D.