Droites et Points Remarquables du Triangle

Droites et Points Remarquables du Triangle
Théorème :
(a) Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du
triangle, le point G est situé aux deux tiers de chaque médiane
(b) Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle
(c) Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point O qui est le centre
du cercle circonscrit au triangle
(d) Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point
ω
(omega) qui
est le centre du cercle inscrit dans le triangle, les côtés du triangle étant tangents au cercle.
Démonstration : Commençons par (c) et (d) qui sont les plus faciles.
(c) On désignera par Med([A,B]) la médiatrice du côté [A,B] : on sait que Med([A,B]) est
l’ensemble des points M du plan qui sont équidistants de A et B, c’est-à-dire qui vérifient
l’égalité MA=MB.
Soit O le point d’intersection des deux médiatrices Med([A,B]) et Med([B,C]) ; montrons que
O est aussi sur la troisième Med([A,C]), ce qui permettra de conclure que les trois médiatrices
sont concourantes (se coupent en un même point).
Dire que O appartient à Med([A,B]), c’est affirmer l’égalité OA=OB. De même, dire que O
appartient à Med([B,C]), c’est affirmer l’égalité OB=OC. Ces deux affirmations impliquent
évidemment OA=OB=OC, O est donc aussi équidistant de A et de C, c’est-à-dire que O
appartient bien à Med([A,C]). De plus, si on considère le cercle centré sur O de rayon
R=OA=OB=OC, il est évident que ce cercle passe par les trois points A,B,C : on dit que c’est
le cercle circonscrit au triangle.
(d) Si on effectue le même raisonnement en remplaçant Med([A,B]), Med([B ,C] et
Med([A,C]) par les bissectrices, et les distances MA, MB, MC aux sommets du triangle par
les distances d(M, [B,C]), d(M, [A,C]), d(M, [A,B]) aux côtés du triangle, on montrera de
même qu’il existe un point
ω
(omega) qui vérifie
]),[,(]),[,(]),[,( BAdCAdCBd
ω
ω
ω
=
=
et que ce point n’est autre que le point de concours
des bissectrices. De plus, le cercle ainsi défini centré sur
ω
est tangent intérieurement au
triangle (voir « Distance d’un point à une droite et Tangentes à un cercle ») : on l’appelle le
cercle inscrit dans le triangle (A,B,C)

Droites et Points Remarquables du Triangle
Venons-en maintenant aux points (a) et (b) du théorème.
(a) Pour ce qui est des médianes, supposons comme précédemment que G désigne le point
d’intersection de deux d’entre elles, mettons [B,J] et [C,K], et proposons-nous de montrer que
G appartient aussi à la troisième médiane [A,I].
Pour cela, construisons le symétrique de A par
rapport à G, que nous appellerons S.
Nommons I l’intersection de la droite (AG)
avec le côté [B,C] (pour l’instant, nous ne
savons pas que I est situé au milieu de [B,C]).
Dans le triangle (ABS), le théorème des
milieux s’applique :
G est le milieu de [A,S], K est le milieu de
[A,B], donc [G,K] est parallèle à [S,B].
De la même façon, dans le triangle (ACS), on peut montrer que [G,J] est parallèle à [S,C].
En conclusion, (BSCG) est un parallélogramme. On sait alors que ses diagonales se coupent
en leur milieu, or ce point d’intersection est I, d’où l’on déduit deux conséquences :
- I est bien le milieu de [B,C], la troisième médiane n’est autre que [A,I], autrement dit,
G est bien situé sur cette troisième médiane.
- I est aussi le milieu de [G,S], on a donc : GAGSIG
2
1
2
1== , d’où AIIGGA
3
2
2==
G est donc bien situé aux deux tiers de la médiane [A,I] ; et par un raisonnement analogue
aux deux tiers de chacune d’entre elles.
(b) Pour ce qui est des hauteurs, le principe de la démonstration est le suivant : De même que
(IJK), appelé triangle médian de (ABC), est semblable à (ABC) en étant deux fois plus petit,
le triangle (ABC) est le triangle médian d’un triangle deux fois plus grand (RST) comme sur
la Figure ci-dessous.
Les hauteurs du triangle (ABC)
apparaissent alors comme les
médiatrices du triangle (RST) ; on sait
donc qu’elles sont concourantes.
Pour construire (RST), on vérifiera
qu’il suffit de construire les
parallélogrammes suivants :
(ABCT), (ACBS), (ABRC)