Chapitre 4: Travail

Chapitre 4: Travail‐Energie
Introduction
Le travail d'une force est l‘énergie fournie par une force lorsque son point d'application se
déplace. Il est responsable de la variation de l’énergie cinétique du système qui subit cette
force.
On note W le travail (en Anglais, travail=work d’où le W).
Les forces sont dues aux interactions entre le mobile considéré et une source de forces. Pour
certaines de ces interactions, on peut définir une énergie d’interaction qui traduit l’importance
de l’interaction en fonction de la distance r séparant le mobile et la source de la force. Cette
énergie d’interaction a le potentiel de se transformer en énergie cinétique d’où le nom
d’énergie potentielle.
1
Chapitre 4: Travail‐Energie
I Travail d’une force
II Théorème de l’énergie cinétique
III Energie potentielle‐Energie mécanique
IV Equilibre d’un système mécanique
2
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
1) Force constante sur un parcours rectiligne
r
Le travail d’une force constante entre les points A (point initial) et B (point final) F
selon la ligne droite séparant A et B est :
r
F = C ste
r
F
α
r
F
α
α
B
A
WA →B
()
r r
r
F = F. AB = F AB cos α
r
Si , α=π/2 : F ⊥ AB
r
WA →B F = 0
r
Si , α=0 : F / / AB
()
WA →B
()
r
r
F = F AB 3
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque r
Que se passe‐t‐il pour une force quelconque , sur un chemin AB non rectiligne ?
F
r
F
r
F
A
r
F
r
F
WA →B
()
r
F =?
B
4
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque On découpe le chemin AB en éléments de longueur rectilignes ‘infinitésimaux’ (on
approxime la trajectoire par sa tangente. Sur cet élément de longueur, on peut aussi
considérer la force constante
δWM →M'
r
F(s(t))
r
F
()
r r
r
F = F. MM' = F. d OM
(Travail élémentaire)
MM' = OM' − OM = d OM
M M’
A
r
F
x O
B
Le travail de A à B de la force est alors la somme de tous les travaux élémentaires
5
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque r
Le travail de la force F (qui dépend de la position) sur la trajectoire (courbe) reliant les
points A et B est alors :
r
F
M M’
r
F(t)
r
F
A
WA → B
( ) ∫ δW = ∫
r
F =
AB
!
AB
r
F. d OM
B
le long du chemin reliant A à B
L’intégrale ci‐dessus n’est pas l’intégrale habituelle, c’est une intégrale curviligne6
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque WA → B
() ∫
r
F =
r
F. d OM
AB
r
L’intégrale est appelée, en mathématiques, circulation du vecteur le long du chemin
AB
F
Remarques :
r
WA → B F > 0
‐) si , le travail est moteur.
r
‐) si , le travail est résistant, c’est le cas des forces de frottement.
WA →B F < 0
‐) si la force est constamment perpendiculaire au déplacement ( tension du fil r
d’un pendule, réaction normale d’un support ) : WA →B F = 0
()
()
()
7
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque Comment calculer cette intégrale ?
WA → B
() ∫
r
F =
r
F. d OM
AB
A une dimension : mouvement rectiligne, l’intégrale correspond à l’intégrale habituelle
r
r
ste >0) et déplacement de A=Origine (x=0) à B (x=2).
Exemple : (avec k=C
F = -k x i
WA →B
2
r
r
r x =2
F = − k x i dx i = −k x dx = −2 k
( ) ∫(
x =0
)( )
∫
0
8
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque Comment calculer cette intégrale ?
WA → B
() ∫
r
F =
r
F. d OM
AB
A deux dimensions :
‐) en cartésiennes, il faut écrire les composantes de la force sur les vecteurs de r
r
r r r
r
r
r
r
base et :
i j F = Fx i + Fy j et OM = x i + y j donc d OM = dx i + dy j
r
Et δW = F.d OM = Fx dx + Fy dy . En se déplaçant de A à B, on parcourt la courbe y=f(x) donc dy = f’(x) dx que l’on met dans l’expression de δW : δW = Fx dx + Fy f' (x)dx
Il suffit de faire alors l’intégrale sur x …comme d’habitude
r
r
r
Exemple : F = − k x i + -k y j ; A=(0,0) et B=(1,1) en allant tout droit de A à B. La droite reliant A à B est la droite y=x donc dy=dx donc δW = -kxdx + -ky dy = -k (xdx + ydy) = − k(xdx + xdx) = −2kxdx
1
r x =1
WA →B F = ∫ − 2 k x dx = -2k ∫ xdx = − k
()
x =0
0
9
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
2) Force quelconque Comment calculer cette intégrale ?
WA → B
() ∫
r
F =
r
F. d OM
AB
A deux dimensions :
DIFFICILE
!
r r
r r
‐) en polaires, les vecteurs u r et u θ remplacent les vecteurs i et j :
r
r
r
r d OM r dr r
dθ r
r
r
r
F
=
F
u
+
F
u
donc
u θ ,d OM = v dt = dr u r + r dθ u θ
= v = ur + r
r r
θ θ , OM = r u r ,
dt
dt
dt
r
Et δW = F.d OM = Fr dr + Fθ r dθ . Une méthode est de considérer qu’en se
déplaçant de A à B, on parcourt la courbe r=f(θ) donc dr = f’(θ) dθ que l’on met dans
δW = Fr f ' (θ ) dθ + Fy f (θ ) dθ
l’expression de δW :
Il suffit de faire alors l’intégrale sur θ …comme d’habitude
r
r
=
k
F
u
Exemple :
r A=(0,0) et B=(1,1) (en cartésiennes!) en allant tout droit de A à B. Si θ =π /4
r= 2
on traduit ceci en polaires, le point B correspond à et . En allant de A à B, l’angle θ reste constant donc dθ=0. r= 2
W = ∫ − kdr = -k 2
10
δW = F dr + F r dθ = −kdr + 0
r
θ
r =0
Chapitre 4: Travail‐Energie
I TRAVAIL D’UNE FORCE
3) Puissance
r
AB
La puissance moyenne de la force sur le chemin (non nécessairement rectiligne) F
reliant A, atteint à l’instant tA, et B, atteint à l’instant tB, est :
PA →B, moy
()
r
r WA →B F
F =
tB − tA
()
r
La puissance instantanée de la force est :
F
()
r δW r d OM r r
PF =
= F.
= F.v
dt
dt
11
Chapitre 4: Travail‐Energie
II Théorème de l’énergie cinétique
Soit
r
F
la résultante de toutes les forces que subit un point matériel de masse m sur le
chemin AB (non nécessairement rectiligne).
Théorème de l’énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à
une force
r
r
F , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de F sur
l’arc de trajectoire AB .
E c (B) − E c (A ) = WA → B
Ec =
()
r
F
1
mv 2 est l’énergie cinétique du point matériel
2
12
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
1) Force à circulation conservative
Parmi toutes les forces, leur travail peut dépendre du chemin parcouru ou non.
Une force
r
F est dite conservative (ou bien à circulation conservative) si :
‐) elle ne dépend que de la position
‐) le travail de cette force entre deux points A et B quelconques ne dépend que
de A et B et non du chemin suivi entre A et B.
Forces nécessairement non conservatives :
r
r
‐) frottements fluides F = -k v
r
r r
‐) force magnétique F = q v ∧ B
‐) frottements solides (sur un plan incliné) 13
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
1) Force à circulation conservative
r
Comment savoir qu’une force, F, ne dépendant que de la position, est conservative ?
Il y a deux méthodes (au choix!) :
‐) on utilise la méthode des dérivées croisées
r
‐) il existe une fonction U, qui dépend de la position, telle que : F = - grad U
La méthode des dérivées croisées :
r
r
r
en cartésiennes, F = Fx i + Fy j . Pour que la force soit à circulation conservative,
il faut : ∂Fx ( x, y ) ∂Fy ( x, y )
=
∂y
∂x
∂Fx ( x, y ) ∂ (− kx)
r
=
=0
r
r
r
∂y
∂y
Exemples : F1 = − k x i − k y j
F1
Donc est conservative
∂Fy ( x, y )
∂x
r
r
r
2
F2 = − k y i − k x j
=
∂ (− ky )
=0
∂x
∂Fx ( x, y ) ∂ (− ky )
=
= −k
∂y
∂y
∂Fy ( x, y )
∂x
=
∂ (− kx 2 )
= −2kx
∂x
r
F2
Donc est non‐conservative
14
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
1) Force à circulation conservative
r
F = - grad U
?
?
r
r
r
en cartésiennes, F = Fx i + Fy j . Pour que la force soit à circulation conservative,
il faut trouver U(x,y) telle que : ⎧ ∂U (x, y )
= − Fx (x, y )
⎪⎪ ∂x
⎨ ∂U (x, y )
⎪
= − Fy ( x, y )
⎪⎩ ∂y
r
r
r
Exemples : F1 = − k x i − k y j
⎧ ∂ U (x , y
⎪⎪
∂x
⎨ ∂ U (x , y
⎪
∂y
⎩⎪
)=
kx
)=
ky
1
U(x, y ) = k x 2 + f(y)
2
∂ U (x, y )
= f ' (y) = ky
∂y
f ( y) =
1 2
ky + C ste
2
1
1
U(x, y ) = k x 2 + k y 2 + C ste
2
2
La constante est définie par les conditions initiales et souvent telle que
U soit nul à l’infini ou en O
15
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
2) Energie potentielle
r
Une force, F, ne dépendant que de la position, dérive d’une énergie potentielle Ep,
r
si on peut écrire : F = - grad E p
Avec
⎛ ∂E p (x, y, z ) ∂E p (x, y, z ) ∂E p (x, y, z ) ⎞
⎟⎟
grad E p = ⎜⎜
,
,
∂x
∂y
∂z
⎝
⎠
⎛ ∂E p (r,θ , z ) 1 ∂E p (r, θ , z ) ∂E p (r, θ , z ) ⎞
⎟⎟
grad E p = ⎜⎜
,
,
r
∂r
∂θ
∂z
⎝
⎠
⎛ ∂E p (r, θ , φ ) 1 ∂E p (r,θ , φ )
1 ∂E p (r, θ , φ ) ⎞
⎜
⎟⎟
grad E p = ⎜
,
,
∂r
∂θ
∂φ
r
r sin φ
⎝
⎠
en cartésiennes
en cylindriques
en sphériques
16
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
2) Energie potentielle
Physiquement, que représente le gradient ? Le gradient mesure l’importance de la
variation de la quantité considérée en fonction de la position
Gradient de température
Gradient de pression
Les flèches précisent le vecteur gradient de la quantité considérée. Plus les flèches sont
longues, plus la quantité varie sur une petite distance. Les vecteurs gradients sont orientés
perpendiculairement aux lignes ‘iso‐quantités’ (isobare, isotherme) et dirigées de la valeur
la plus élevée vers la valeur la plus basse
17
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
2) Energie potentielle
Physiquement, que représente le gradient ? Le gradient mesure l’importance de la
variation de la quantité considérée en fonction de la position
Chaque ligne isohypse correspond à la même altitude et donc la même distance du centre de la Terre c’est‐à‐dire à une même intensité de la force de gravitation. r
Mm r
F=-G 2 u
r
r
F = - grad E p ?
OUI : E p (r ) = - G
Mm
r
r
r
r
Au voisinage de la Terre, on écrit : F = m g = m g k
r
F = - grad E p ? OUI : E p (z ) = m g z
Lignes isohypses (même altitude)
avec ‘gradient’ de couleur
COHERENCE ????
Oui, tant que z<< rayon de la Terre
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Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
2) Energie potentielle
Force
Gravitation
Gravitation (au voisinage de la surface de la Terre)
Raideur d’un ressort
Force électrique
Force électrique Force de pression dans un fluide
r
Mm r
F=-G 2 u
r
Energie potentielle
Mm
Ep = -G
r
r
r
F=mg
Ep = m g z
r
r
F = - k xi
1
Ep = k x2
2
1 Qq
Ep =
4πε 0 r
r
1 Qq r
F=
u
2
4πε 0 r
r
r
F=qE
r
r
F = −ρ g
Ep = q V
Ep = P
(Potentiel électrique)
(Pression)
19
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
2) Energie potentielle
Comment calculer facilement le travail d’une force conservative ?
r
F = - grad E p
r
∂E p
∂E p ⎞
⎛ ∂E p
δW = F.d OM = − grad E p .d OM = −⎜⎜
dx +
dy +
dz ⎟⎟ = −dE p
∂y
∂z
⎝ ∂x
⎠
WA → B
( ) ∫ δW = ∫ - dE
r
F =
AB
AB
B
p
= − dE p = E p ( A ) − E p (B )
∫
A
20
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
3) Energie mécanique
On considère un système mécanique soumis uniquement à des forces conservatives ou à des forces ne travaillant pas. On note Ep, l’énergie potentielle totale correspondant à toutes les forces conservatives.
L’énergie mécanique totale du système est définie par :
Em = Ec + Ep
En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, dans un référentiel galiléen, pour un
système soumis uniquement à des forces conservatives et à des forces ne travaillant
pas, l’énergie mécanique totale est conservée. L’équation obtenue s’appelle
l’intégrale première du mouvement :
E c + E p = E = C ste
21
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
3) Energie mécanique
A quoi sert l ’intégrale première du mouvement ?
E c + E p = E = C ste
r
r
r
r
dv dp
=
On avait déjà la relation fondamentale de la dynamique (RFD)… F = m a = m
dt dt
Il est souvent beaucoup plus facile d’utiliser la conservation de l’énergie mécanique
que la RFD. Cependant, il est souvent difficile de déterminer la constante E.
La RFD sert à établir l’équation du mouvement. En intégrant l’équation différentielle
obtenue, on peut déterminer la position en fonction du temps. Dire que l’énergie
d Ec + E p
mécanique totale est conservée (ou constante) permet de dire que : dEm =
=0
dt
dt
Ce qui donnera la même équation du mouvement que la RFD
(
)
22
Chapitre 4: Travail‐Energie
III Energie potentielle‐Energie mécanique
3) Energie mécanique
Comment varie l’énergie mécanique si il y a des frottements?
Le système mécanique est soumis à des forces conservatives, à des forces ne travaillant r
f
pas et à des forces non‐conservatives de résultante . On note E
p, l’énergie potentielle totale correspondant à toutes les forces conservatives.
En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, on obtient que E m (B) − E m (A ) = WA →B
()
r
f <0
Où passe cette énergie qui disparait??? Dans le cas des frottements, elle se transforme en chaleur…. Cf cours thermodynamique
23
Chapitre 3: Dynamique
III Energie potentielle‐Energie mécanique
3) Energie mécanique
On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements.
r
y’
r r
t=0
R
r
A
PFD : P + R = m a
Très compliqué (cf chapitre 3)!
h
r
P
α
x’
B
La réaction du support ne travaille pas ☺
Le poids dérive de l’énergie potentielle Ep = m g z. On peut donc appliquer le théorème de l’énergie cinétique ou la conservation de l’énergie totale
En A : Ec(A)=0, Ep(A)=mgh
En B : Ec(B)=???, Ep(B)=0
1
vB
m v 2B = mgh
Donc, Ec(B)+0=0+mgh, et donc 2
= 2gh
24
Chapitre 4: Travail‐Energie
IV Equilibre d’un système mécanique
1) Equilibre et stabilité
Un système mécanique est à l’équilibre dans un référentiel R si sa vitesse est nulle dans
ce référentiel.
Par conséquent, l’accélération est aussi nulle et donc dans un référentiel galiléen, la
résultante des forces est nulle.
Un équilibre est stable si la résultante des forces auxquelles il est soumis lorsqu’il est
écarté légèrement de sa position d’équilibre, tend à la ramener vers sa position
d’équilibre.
25
Chapitre 4: Travail‐Energie
IV Equilibre d’un système mécanique
2) Equilibre d’un point soumis à une force conservative
On considère un système dont les propriétés ne dépendent que d’une seule variable x
r
dE p r
et qu’il est soumis à une force conservative. F = - grad E p = −
i
dx
r
r
dE p
A l’équilibre au point x=x0, F(x 0 ) = 0 et donc
(x 0 ) = 0, c’est‐à‐dire que x0 est un
dx
extremum de la fonction Ep(x).
Ep(x)
Puits de potentiel
Barrière de potentiel
x
0
26
Chapitre 4: Travail‐Energie
IV Equilibre d’un système mécanique
2) Equilibre d’un point soumis à une force conservative
Ep(x)
Puits de potentiel
Barrière de potentiel
x
0
Ep(x)
Ep(x)
F(x ) = −
dE p
dx
x
STABLE
d2Ep
dx
2
>0
INSTABLE
x
2
d Ep
dx
2
<0
27
Chapitre 4: Travail‐Energie
IV RESUME
Travail d’une force entre A et B :
WA → B
( ) ∫ δW = ∫
r
F =
AB
AB
r
F. d OM
le long du chemin reliant A à B
Théorème de l’énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à
r
r
une force F , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de F sur
r
l’arc de trajectoire AB : E c (B) − E c (A ) = WA → B F
r
Une force F est dite conservative (ou bien à circulation conservative) si :
()
‐) elle ne dépend que de la position
‐) le travail de cette force entre deux points A et B quelconques ne dépend que
de A et B et non du chemin suivi entre A et B.
Pour le savoir, il y a deux méthodes :
‐) on utilise la méthode des dérivées croisées
r
‐) il existe une fonction U, qui dépend de la position, telle que : F = - grad U
28
Chapitre 4: Travail‐Energie
IV RESUME
Dans un référentiel galiléen, pour un système soumis uniquement à des forces
conservatives et à des forces ne travaillant pas, l’énergie mécanique totale est conservée :
E m = E c + E p = C ste
Cette équation est l’intégrale première du mouvement.
()
Si le système
à des forces non‐conservatives de
r
r mécanique est soumis également
résultante f , E m B − E m A = WA → B f < 0
( )
( )
Un système mécanique est à l’équilibre dans un référentiel R si sa vitesse est nulle dans
ce référentiel. Il est stable si la résultante des forces auxquelles il est soumis, tend à la
ramener vers sa position d’équilibre, ceci impose
d2Ep
dx 2
>0
29