Action d`un champ magnétique (Ex)

PCSI 2 Action d’un champ magnétique
2016 – 2017 1/2
ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE
I Demi-cercle
Calculer la résultante
€
!
F
et le moment résultant en C des efforts s'exerçant sur le circuit
(C).
On donne l’expression du champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant
d’intensité I en coordonnées cylindriques :
€
!
B =
µ
0I
2 π r
!
e
θ
.
On donne :
€
d α
2 cos2
α
2
=tan
α
2
∫
.
Réponse :
€
!
F = µ
0Ii 1
2−2 π
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
OC
OC
;
€
!
M =
!
0
.
II Cadre
Un cadre rectangulaire AECD est parcouru par un courant d’intensité
I = 20 A et peut tourner autour de l’un de ses côtés, AE, horizontal.
Ce cadre est constitué d’un fil rigide de masse linéique λ = 10 g.cm-1.
Soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme, vertical, dirigé
vers le haut et d’intensité B = 3,0.10-2 T, il prend une position
d’équilibre définie par un angle de rotation θ autour de AE.
Indiquer le sens du courant.
Calculer θ.
On donne : AE = 20 cm, EC = 10 cm et g = 9,8 m.s-2.
Réponse : θ = 66°.
III Spire rectangulaire
Une spire rectangulaire rigide (AC = 10 cm, AE = 8 cm) est mobile autour d’un
axe passant par le côté AE.
Elle est parcourue par un courant d’intensité I = 10 A, dans le sens indiqué sur le
schéma, et est placée dans un champ magnétique uniforme
€
!
B =B
!
i
avec B = 0,3
T.
1) Donner, dans le repère
€
O,
!
i ,
!
j ,
!
k
( )
les composantes du moment
magnétique
€
!
M
de la spire.
2) Donner l’expression du moment du couple
€
!
Γ
des forces d’origine
électromagnétique s’exerçant sur la spire.
3) En déduire ΓAE (moment du couple électromagnétique par rapport à l’axe AE, orienté de A vers E), ΓED, ΓDC, ΓCA, ΓAD et ΓEC.
Réponse :
€
!
M =−6,9.10−2! i +4,0.10−2! j
(en A.m2) ;
€
!
Γ = −1, 2.10−2! k
(en N.m) ; ΓAE = - ΓDC = -1,2.10-2 N.m ; ΓED = ΓCA = 0 ;
ΓAD = - ΓEC = -7,5.10-3 N.m.
€
M
B
θ
A
E
C
D
B
θ = 60°
A
E
C
D
O
I
x
y
z

PCSI 2 Action d’un champ magnétique
2016 – 2017 2/2
IV Petites oscillations d’un aimant
Un aimant homogène, de moment magnétique
€
!
M
, de moment d’inertie J par rapport à son centre de gravité G, est libre de tourner
autour de G dans un plan horizontal. Il est soumis à l’action d’un champ magnétique
€
!
B
uniforme.
1) L’aimant est légèrement tourné par rapport à sa position d’équilibre stable, tout en restant dans le plan horizontal, puis lâché.
Quelle est la période T des petites oscillations ultérieures ?
2) Afin d’en déduire la valeur du champ magnétique
€
!
B
, sans connaître ni le moment d’inertie, ni le moment magnétique de
l’aimant, on ajoute au champ
€
!
B
un champ magnétique
€
!
B '
crée par une bobine.
On place d’abord la bobine telle que
€
!
B '
et le champ
€
!
B
soient parallèles et de même sens et l’on mesure la période T1 des petites
oscillations de l’aimant.
On change ensuite le sens du courant dans la bobine et on mesure la nouvelle valeur T2 de la période des petites oscillations.
En déduire B en fonction de l’intensité B’ du champ créé par la bobine et du rapport T1/T2 sachant que B < B’.
Réponse :
€
T=2 π
J
MB
;
€
B=B'
1−T1
T2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
1+T1
T2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
.
V Moteur synchrone
On considère un modèle simple pour décrire le moteur synchrone. Le rotor, caractérisé par un
moment magnétique
€
!
m
, tourne avec la même vitesse angulaire que le champ magnétique
€
!
B
qui
l’entraîne. On s’intéresse à l’angle interne du moteur
€
θ =! m ,
!
B
( )
et au couple
€
!
M
exercé par le
champ sur le moment magnétique. On prendra B = 0,2 T ; m = 8,0 A.m2 et f = 50 tours/s.
1) Donner l’expression de M en fonction de θ.
2) Que vaut θ si le moteur fonctionne « à vide » (il n’entraîne rien), dans l’hypothèses où on néglige tout frottement.
3) Le moteur doit entrainer un dispositif mécanique (charge) qui exerce un couple résistant MT = 0,65 N.m. Calculer l’angle interne
et la puissance P fournie par le moteur.
4) La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ? Quel est le couple maximal que peut fournir ce moteur ?
Réponse : M = m.B.sinθ ; θ = 0 à vide ; θ = 24° et P = 20.101 W en charge ; Mmax = 1,6 N.m.
B
m
θ
ω