Premiers pas en géométrie. Cercle.

Proposition 1.
−
Mathématiques pour la classe de Sixième
−
Chapitre 3
Par deux points distincts A et B, il ne passe qu’une seule droite.
On la note (AB) ou (BA).
Premiers pas en géométrie. Cercle.
Définition (Appartenance et points alignés).
Rémi CHEVAL
−
Quand un point C appartient à une droite (AB), on écrit C ∈ (AB).
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−
Dans le cas contraire, on écrit C ∉ (AB) et on dit que C n’appartient pas à (AB).
−
Des points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite.
Table des matières
1 Points, droites, demi-droites, segments
1.1 Qu’est-ce qu’une droite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Qu’est-ce qu’un segment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Qu’est-ce qu’une demi-droite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
2 Longueurs, cercles
2.1 Longueur et milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Centre, rayon et diamètre d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Quelques constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3 Exemples de polygones
3.1 Comment nommer un polygone ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quelques polygones à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
D ∉ (AB)
B
|
D ×
C
« D n’appartient pas
à la droite (AB) »
C ∈ (AB)
|
A
« C appartient
à la droite (AB) »
|
« Les points A, C et B sont alignés »
1.2
Qu’est-ce qu’un segment ?
Définition (Segment).
−
Un segment d’extrémités A et B est la portion de la droite (AB) délimitée par les
points A et B. On note ce segment [AB]
B
« On ne peut pas prolonger
1
|
« On ne peut pas prolonger
du côté de l’extrémité A » A
Points, droites, demi-droites, segments
|
1.1
du côté de l’extrémité B »
Qu’est-ce qu’une droite ?
1.3
Définition (Droite).
−
Une droite est illimitée : elle n’a pas de longueur.
−
On la représente par une ligne droite que l’on peut prolonger de part et d’autre.
Qu’est-ce qu’une demi-droite ?
Définition (Demi-droite).
−
Une demi-droite est une portion de droite limitée d’un seul côté par un point appelé
origine. On note [AB) la demi-droite d’origine A passant par le point B.
(d)
B
« On ne peut pas prolonger
après l’origine A »
« On peut prolonger
A
|
La droite (d)
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|
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du côté du point B »
Sixième - Maths - Chapitre 3 - Premiers pas en géométrie. Cercle.
2
Longueurs, cercles
Définition (Cercle). Connaissant un point O et une longueur r,
Longueur et milieu d’un segment
Définition (La longueur d’un segment).
−
Il s’agit de la valeur que l’on lit sur une règle graduée.
−
On note AB la longueur du segment [AB]
−
On parle aussi de la distance entre les points A et B.
A
|
−
On définit le cercle de centre O et de rayon r comme l’ensemble des points M qui sont
à une distance r du centre O : OM = r
−
Nous avons ici un point M qui appartient au cercle de centre O et de rayon 2 cm :
Cercle
B
|
4c
m
2.1
Diamètre
Centre
×
2
O
cm
×
Rayon
M
−
On obtient que :
AB = 4 cm.
Proposition 2. On considère un cercle de rayon r et de diamètre d :
d
Définition (Le milieu d’un segment).
−
Le milieu d’un segment est un point qui appartient au segment et qui est à égale
distance de ses extrémités.
−
Dans la figure ci-dessous, I est le milieu du segment [AB] :
A
|
−
Nous avons donc :
I ∈ [AB]
I
|
//
et
2.3
=
Quelques constructions
B
|
//
AI = IB
1) Cercle de centre O et de rayon r cm
2) Cercle de centre O et de diamètre d cm
Exemple.
−
Placer les points E, F et G tels que :
−
Indication :
{
3) Cercle de diamètre [AB]
EF = 6 cm
G est le milieu de [EF ]
2 × r
Écart au
compas
Centre du cercle
r cm
Le point O
d/2 cm
Le point O
AB/2 cm
Le milieu de [AB]
C
×
La longueur EG est deux fois plus petite que la longueur EF .
//
4) Tracer un triangle ABC tels que :
G
|
//
F
|
5
cm
cm
E
|
4
3 cm
AB = 6cm ; AC = 5cm ; BC = 4cm
×
A
6 cm
×
B
6 cm
2.2
Centre, rayon et diamètre d’un cercle
3
3.1
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Exemples de polygones
Comment nommer un polygone ?
Sixième - Maths - Chapitre 3 - Premiers pas en géométrie. Cercle.
Définition (Polygone). Un polygone est une figure formée de plusieurs côtés.
B
×
−
Les côtés du polygone ne doivent pas se croiser.
−
Pour nommer un polygone, on tourne toujours
dans le même sens.
un côté
Capacités
– Reporter une longueur.
une diagonale ×D
×
A
×
E
3.2
Connaissances
C
×
– *Reproduire un angle
un sommet
Cercle
Définition (Un triangle isocèle).
On dit qu’un triangle est isocèle s’il a deux côtés
de même longueur.
−
Le triangle ABC est isocèle en C.
×
∣∣
×
I
Définition (Un losange).
−
Le quadrilatère EF GH est un losange.
×
E
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Propriétés des
quadrilatères
usuels.
– Connaître les propriétés relatives
aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré
et le losange.
– *La symétrie axiale est mise en
jeu pour mettre en évidence certaines propriétés.
Propriétés
et
construction
des
triangles
usuels.
– Connaître les propriétés relatives
aux côtés et aux *angles des triangles suivantes : triangle isocèle,
triangle équilatéral, triangle rectangle.
– Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures
simples.
G
×
∣∣
Un losange est un polygone qui a quatre
côtés de même longueur.
∣∣
∣∣
−
J
H
×
– Capacité déjà travaillée au cycle
3.
B
K
×
∣∣
Le triangle IJK est équilatéral.
– Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les
longueurs de ses côtés.
×
la base
∣∣
−
– On attend des élèves qu’ils
sachent utiliser en situations propriétés.
● Tout point situé à cette distance
du centre appartient au cercle.
×
On dit qu’un triangle est équilatéral si ses
trois côtés sont de même longueur.
● Tout point qui appartient au
cercle est à une même distance
du centre ;
∣∣
∣∣
Définition (Un triangle équilatéral).
– Savoir que, pour un cercle :
le sommet
principal
C
×
A
−
– Ces capacités prennent leur sens
lorsqu’elles sont mobilisées pour
résoudre un problème : reproduire une figure, *en compléter
un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une
figure d’après une de ses descriptions.
– *Le rapporteur est, pour les élèves
de 6e , un nouvel instrument
de mesure dont l’utilisation doit
faire l’objet d’un apprentissage
spécifique.
Quelques polygones à connaître
−
Commentaires
∣∣
– Construire une figure simple à
l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique.
×
F
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– On travaillerai à la fois les
constructions sur papier par les
outils de dessin traditionnels et
les constructions sur écran à
l’aide d’un logiciel de géométrie.
Sixième - Maths - Chapitre 3 - Premiers pas en géométrie. Cercle.