Premiers pas en géométrie. Cercle.

Mathématiques pour la classe de Sixième −Chapitre 3
Premiers pas en géométrie. Cercle.
Rémi CHEVAL
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Table des matières
1 Points, droites, demi-droites, segments 1
1.1 Qu’est-ce qu’une droite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Qu’est-ce qu’un segment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Qu’est-ce qu’une demi-droite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Longueurs, cercles 2
2.1 Longueur et milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Centre, rayon et diamètre d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Quelques constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Exemples de polygones 2
3.1 Comment nommer un polygone ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Quelques polygones à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Points, droites, demi-droites, segments
1.1 Qu’est-ce qu’une droite ?
Définition (Droite).
−Une droite est illimitée : elle n’a pas de longueur.
−On la représente par une ligne droite que l’on peut prolonger de part et d’autre.
(d)
La droite (d)
Proposition 1.
−Par deux points distincts Aet B,il ne passe qu’une seule droite.
On la note (AB)ou (BA).
Définition (Appartenance et points alignés).
−Quand un point Cappartient à une droite (AB),on écrit C∈(AB).
−Dans le cas contraire, on écrit C∉(AB)et on dit que Cn’appartient pas à (AB).
−Des points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite.
|
A
|
B
|
C
×
D
C∈(AB)
« C appartient
à la droite (AB) »
D∉(AB)
« D n’appartient pas
à la droite (AB) »
« Les points A, C et Bsont alignés »
1.2 Qu’est-ce qu’un segment ?
Définition (Segment).
− Un segment d’extrémités A et B est la portion de la droite (AB) délimitée par les
points Aet B.On note ce segment [AB]
|
A
|
B
« On ne peut pas prolonger
du côté de l’extrémité A»« On ne peut pas prolonger
du côté de l’extrémité B»
1.3 Qu’est-ce qu’une demi-droite ?
Définition (Demi-droite).
− Une demi-droite est une portion de droite limitée d’un seul côté par un point appelé
origine. On note [AB) la demi-droite d’origine Apassant par le point B.
|
A
|
B
« On ne peut pas prolonger
après l’origine A» « On peut prolonger
du côté du point B»
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2 Longueurs, cercles
2.1 Longueur et milieu d’un segment
Définition (La longueur d’un segment).
−Il s’agit de la valeur que l’on lit sur une règle graduée.
−On note AB la longueur du segment [AB]
−On parle aussi de la distance entre les points Aet B.
|
A
|
B
−On obtient que : AB =4cm.
Définition (Le milieu d’un segment).
− Le milieu d’un segment est un point qui appartient au segment et qui est à égale
distance de ses extrémités.
−Dans la figure ci-dessous, Iest le milieu du segment [AB]:
|
A
|
B
|
I
// //
−Nous avons donc : I∈[AB]et AI =IB
Exemple.
−Placer les points E, F et Gtels que : {EF =6cm
Gest le milieu de [EF ]
−Indication : La longueur EG est deux fois plus petite que la longueur EF .
|
E
|
G
|
F
// //
6cm
3cm
2.2 Centre, rayon et diamètre d’un cercle
Définition (Cercle). Connaissant un point Oet une longueur r,
− On définit le cercle de centre O et de rayon r comme l’ensemble des points M qui sont
à une distance rdu centre O:OM =r
−Nous avons ici un point Mqui appartient au cercle de centre Oet de rayon 2cm :
×
O
×
M
2cm
4cm
Cercle
Diamètre Centre
Rayon
Proposition 2. On considère un cercle de rayon ret de diamètre d:
d=2×r
2.3 Quelques constructions
Écart au
compas Centre du cercle
1) Cercle de centre Oet de rayon rcm rcm Le point O
2) Cercle de centre Oet de diamètre dcm d/2cm Le point O
3) Cercle de diamètre [AB]AB/2cm Le milieu de [AB]
4) Tracer un triangle ABC tels que :
AB = 6 cm ; AC = 5 cm ; BC = 4 cm
×
A×B
×
C
6cm
5cm
4cm
3 Exemples de polygones
3.1 Comment nommer un polygone ?
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Définition (Polygone). Un polygone est une figure formée de plusieurs côtés.
− Les côtés du polygone ne doivent pas se croiser.
− Pour nommer un polygone, on tourne toujours
dans le même sens. ×
A
×
B×C
×D
×
E
un côté
une diagonale
un sommet
3.2 Quelques polygones à connaître
Définition (Un triangle isocèle).
− On dit qu’un triangle est isocèle s’il a deux côtés
de même longueur.
−Le triangle ABC est isocèle en C.×
A×B
×
C
∣∣
∣∣
le sommet
principal
la base
Définition (Un triangle équilatéral).
− On dit qu’un triangle est équilatéral si ses
trois côtés sont de même longueur.
−Le triangle IJK est équilatéral. ×
I×J
×
K
∣∣
∣∣
∣∣
Définition (Un losange).
− Un losange est un polygone qui a quatre
côtés de même longueur.
−Le quadrilatère EF GH est un losange. ×
E×F
×
G
×
H
∣∣ ∣∣
∣∣
∣∣
Connaissances Capacités Commentaires
– Reporter une longueur.
–*Reproduire un angle
– Ces capacités prennent leur sens
lorsqu’elles sont mobilisées pour
résoudre un problème : repro-
duire une figure, *en compléter
un agrandissement ou une réduc-
tion déjà amorcée, construire une
figure d’après une de ses descrip-
tions.
– *Le rapporteur est, pour les élèves
de 6
e
, un nouvel instrument
de mesure dont l’utilisation doit
faire l’objet d’un apprentissage
spécifique.
Cercle – Savoir que, pour un cercle :
● Tout point qui appartient au
cercle est à une même distance
du centre ;
● Tout point situé à cette distance
du centre appartient au cercle.
– On attend des élèves qu’ils
sachent utiliser en situations pro-
priétés.
– Construire, à la règle et au com-
pas, un triangle connaissant les
longueurs de ses côtés.
– Capacité déjà travaillée au cycle
3.
Propriétés des
quadrilatères
usuels.
– Connaître les propriétés relatives
aux côtés, aux angles, aux diago-
nales pour le rectangle, le carré
et le losange.
– *La symétrie axiale est mise en
jeu pour mettre en évidence cer-
taines propriétés.
Propriétés et
construction
des triangles
usuels.
– Connaître les propriétés relatives
aux côtés et aux *angles des tri-
angles suivantes : triangle isocèle,
triangle équilatéral, triangle rec-
tangle.
– Utiliser ces propriétés pour re-
produire ou construire des figures
simples.
– Construire une figure simple à
l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique.
– On travaillerai à la fois les
constructions sur papier par les
outils de dessin traditionnels et
les constructions sur écran à
l’aide d’un logiciel de géométrie.
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