2nde-DM avril

Devoir maison de mathématiques n°4 avril 2011 2nde
Comme d'habitude, si vous avez besoin d'aide : [e-mail].
Exercice 1 : gx=56x3–2x1
2
1°) a- Développer g b- Factoriser g
2°) Résoudre l'équation gx=14 .
3°) Résoudre l'inéquation gx0.
4°) On considère la fonction h
x = 3x
3
26 x 14
Résoudre l'inéquation gxhx. Quelle interprétation graphique peut-on avoir du résultat
de cette inéquation ? (on notera C
g
et C
h
les courbes représentatives des fonctions g et h).
Exercice 2 : Une enquête portant sur 5000 clients d'une société spécialisée en informatique a
montré que 80 % des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70 % des
clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat alors que 20 % des
clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat.
1°) Compléter le tableau suivant, en indiquant les calculs effectués à l'intérieur de chaque case
Ont effectué un achat N'ont pas effectué d'achat Total
Ont bénéficié des
conseils d'un
vendeur
N'ont pas bénéficié
des conseils d'un
vendeur
Total
2°) On interroge au hasard un des clients sur lesquels a porté l'enquête, on admet qu'il y a
équiprobabilité du choix du client. On considère les évènements suivants :
 A : « le client a bénéficié des conseils d'un vendeur »
 B : « Le client a effectué un achat »
a- Déterminer les probabilités des évènements A et B.
Ces évènements sont-ils incompatibles ? Justifier.
b- Décrire par une phrase puis calculer les probabilités (sous forme de fraction irréductible)
des évènements
A
, A∩ B, A ∪ B,
A
∩ B.
3°) On interroge au hasard un client qui a effectué un achat.
Quelle est la probabilité pour qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ?
Devoir maison de mathématiques n°4 avril 2011 2nde
Comme d'habitude, si vous avez besoin d'aide : [e-mail].
Exercice 1 : gx=56x3–2x1
2
1°) a- Développer g b- Factoriser g
2°) Résoudre l'équation gx=14 .
3°) Résoudre l'inéquation gx0.
4°) On considère la fonction h
x = 3x
3
26 x 14 .
Résoudre l'inéquation gxhx. Quelle interprétation graphique peut-on avoir du résultat
de cette inéquation ? (on notera C
g
et C
h
les courbes représentatives des fonctions g et h).
Exercice 2 : Une enquête portant sur 5000 clients d'une société spécialisée en informatique a
montré que 80 % des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus, 70 % des
clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat alors que 20 % des
clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat.
1°) Compléter le tableau suivant, en indiquant les calculs effectués à l'intérieur de chaque case
Ont effectué un achat N'ont pas effectué d'achat Total
Ont bénéficié des
conseils d'un
vendeur
N'ont pas bénéficié
des conseils d'un
vendeur
Total
2°) On interroge au hasard un des clients sur lesquels a porté l'enquête, on admet qu'il y a
équiprobabilité du choix du client. On considère les évènements suivants :
 A : « le client a bénéficié des conseils d'un vendeur »
 B : « Le client a effectué un achat »
a- Déterminer les probabilités des évènements A et B.
Ces évènements sont-ils incompatibles ? Justifier.
b- Décrire par une phrase puis calculer les probabilités (sous forme de fraction irréductible)
des évènements
A
, A∩ B, A ∪ B,
A
∩ B.
3°) On interroge au hasard un client qui a effectué un achat.
Quelle est la probabilité pour qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ?

Devoir maison de mathématiques n°4 avril 2011 2nde
Comme d'habitude, si vous avez besoin d'aide : [e-mail].
Exercice 1 : gx=56x3− 2x1
2
1°) a- gx=30 x15–4x
2
4x1=30x15–4x
2
–4x –1=–4x
2
26 x14
b-
g
x
=
5
×
3
2
x
1
–
2
x
1
2
=
2
x
1
[
5
×
3
–
2
x
1
]=
2
x
1
15
–
2
x
–
1
gx=2x1 –2x14
2°) gx=14 ⇔
–4x
2
26 x 14 = 14 ⇔ –4x
2
26x = 0
⇔
x –4x 26 = 0
⇔
x=0ou –4x26=0 ⇔ x=0ou x=–26
–4=6,5
L'équation a deux solutions : 0 et 6,5
3°) gx0 ⇔
2x 1 –2x 14 0
qui est une inéquation produit nul.
On effectue un tableau de signes :
x–∞–0,5 7 +∞
2x+1 - 0 + +
-2x+14 + + 0 -
g(x) – 0 + 0 –
Les solutions de l'inéquation sont les nombres appartenant à [-0,5;7].
4°) On considère la fonction hx=3x
3
26 x14 hx=4x
2
–1
gxhx ⇔
–4x
2
26 x 14 3x
3
26 x 14
⇔
–4x
2
3x
3
⇔ –4x
2
–3x
3
0 ⇔ x
2
–4–3x0 C'est une inéquation produit nul.
x–∞–0,75 0 +∞
x
2
+ + 0 +
-4-3x + 0 - 0 -
g(x) + 0 - 0 –
Donc l'inéquation a pour solutions les nombres appartenant à ]–0,75;0[ ∪ ]0;∞[ .
Cela signifie que sur cet intervalle, C
f.
est en dessous de C
g
.
Exercice 2 :
1°)
Ont effectué un achat N'ont pas effectué d'achat Total
Ont bénéficié des
conseils d'un
vendeur
70
100
×4000=2800 4000-2800=1200 80
100
×5000=4000
N'ont pas bénéficié
des conseils d'un
vendeur
20
100
×1000=200 1000-200=800
5000
–
4000
=
1000
Total 2800+200=3000 1200+800=2000 5000
2°) a- Il y a équiprobabilité. pA=4000
5000 =4 5 pB=3000 5000=3 5 .
Ces deux évènements ne sont pas incompatibles car A∩B n'est pas vide. (il contient 2800
personnes)
b-
A
: »le client n'a pas bénéficié des conseils d'un vendeur »
p(
A
)=1-p(A)= 1
5
A ∩ B : « le client a bénéficié des conseils d'un vendeur et effectué un achat »
pA∩B= 2800
5000
=28
50
=14
25
A ∪ B : « le client a bénéficié des conseil d'un vendeur ou a fait un achat »
p(A ∪ B)= p(A)+p(B)-p(A ∩ B)= 4
53 5–14 25== 42 50=21 25
A
∩ B : « le client n'a pas bénéficié des conseils d'un vendeur et il a effectué un achat »
p(
A
∩ B)=
200
5000
=
2
50=1 25
:
3°) On change d'univers : le nouvel univers ne contient plus que 3000 personnes.
La probabilité pour que le client qui effectue un achat ait bénéficié des conseils d'un vendeur
est de
2800
3000=14 15
¿