Groupes avec multi-opérateurs

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
A. G. K UROŠ
Groupes avec multi-opérateurs
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 15, no 2 (1961-1962), exp. no 23,
p. 1-6
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23-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et théorie des nombres)
15e année, 1961/62, n° 23
28 mai
1962
GROUPES AVEC MULTI-OPÉRATEURS
par A. G. KURO0160
d~algèbre universelle, ensemble dans lequel sont définies
algébriques, est destinée à systématiser les résultats et les
méthodes
(groupes,
anneaux,
La notion
rations
utilisées dans les différents domaines d~ études algébriques
des
opé-
demi-groupes, tre illis)o
Si
tion
G
est
une
algébrique
{a1 , a2 , ... ,
algèbre
universelle et si
n-aire
c~
associe,
an} pris
dans cet
l’entier
n
est
En raison m~me de la grande
théorie qui
découle
en
ne
à
est
n
chaque ensemble
(associatifs
on
de
généralité
de la notion
opéraG
d’algèbre universelle,
la
peut pas être très profonde. Ce degré de généralité
associatifs) possèdent
au
une
éléments de
n
questions.
remarque que la théorie des groupes et celle des
ou non
lèles : cela tient
entier % 1 ,
ordre, un élément de G désigné par
appelé le poids de l’opération w.
est cependant essentiel dans l’étude de certaines
D’autre part,
un
fait que, dans
ces
de nombreux
anneaux
développements paral-
deux cas, existe la notion de noyau
d’ homomorphisme.
Le
problème
classe
assez
se
large,
multi-opérateurs,
alors,
pose,
où cette
de
trouver, parmi les algèbres universelles, une
notion est préservée. La classe des groupes avec
introduite par P. J. HIGGINS
[1],
en
est
une
solution.
,
DEFINITION 1. - On appelle groupe
avec
multi-opérateurs,
un
1° muni d’une loi de groupe
additivement et dont
2°
ble
sur
on
(non nécessairement commutative)
désignera par 0 l’ élément neutre ;
lequel sont définies
des
ensemble
G t
que l’on notera
opérations algébriques appartenant
à
un ensem-
Q ~
3° si W
appliquée
E
au
Q
et si
n
est le
n-uple {a, 0 ,
le résultat de
poids de
... ,
0~
est
l’opération c~ 9
0 .
L’ensemble des poids des différentes opérations algébriques du système Q
n’est pas, en générale borné.
Le groupe
avec
désignera
On
G*
par
sera, dans la
G
multi-opérateurs
G e
la structure de groupe de
Lorsque l’ensemble Q
est
vide,
la notion de
suite, appelé 0-groupe.
0-groupe coïncide
avec
celle
de groupe.
d’imposer
Il est souvent naturel
des conditions à
Q-groupe
un
G~
ces con..
opérations algébriques (distributivité des
opérations algébriques pour chacun des arguments ; commutativité de chaque opération algébrique, sur chaque argument, avec les automorphismes intérieurs de
G~ ~ soit sur la structure de groupe de G (commutativité de la loi de groupe
ditions pouvant parter soit
sur
G~.
de
Cas
particuliers.
anneau (associatif
opérations algébriques étant
l ° Tout
non)
ou
les
est
un
groupe
avec
multi-opérateurs,
les
multiplications.
opérateurs : le poids de chaque opération algébrique est
opérations algébriques sont distributives par rapport à l’opé~-
2° Les groupes
1
les
avec
et toutes les
ration du groupeo
3° Les
anneaux avec
4° Les
algèbres
Il
.
se
miné par
trouve
son
opérateurs.
sur un
corps.
qu’un homomorphisme
noyau, qui est
un
de groupes
avec
idéal d’un groupe
est déter-
multi-opérateurs,
avec
multi-opérateurs.
,
A
DEFINITION 2. ~ Un sous-ensemble
G
dt un Q-groupe
G
est
appelé idéal
de
si :
a.
A
est
b. si
un
sous-groupe invariant de
et si
a2 , ... , an}
d’éléments de
G~
est le
poids de w, pour tout n-uple
d’éléments de A et pour tout roupie
{x1
n
Cette définition n’est
..
+
x)
asymétrique qu’en
opérations algébriques
la seconde condition de
simple :
, x2 , ... , xn}
on a :
(a~ + x~)
Si les
G
~
apparence.
sont distributives par rapport à
chaque argument,
la définition 2, peut ttre remplacée par la condition plus
b’. Si
et si
Dans le
G,
pour tout
on a:
donc la définition d’idéal
on a
des groupes, la notion habituelle de sous-groupe
cas
Il
opérateurs,
avec
groupes
existe,
roupie
appartient à
x.
des anneaux,
cas
poids de
d’éléments de
x2 , ... , xn}
dès que l’un des
est le
n
pour les
bila,tère ;
invariant ;
dans le
dans le
la notion habituelle de groupe invariant
cas
des
permis.
associatifs et pour les anneaux de Lie des théories parallèles à celles des groupes résolubles et des groupes nilpotents. On
peut systématiser
ces
anneaux
à l’aide des groupes
théories,
multi-opérateurs.
..
,
DEFINITION 3* - Un
G
avec
03A9-sous-groupe d’un Q-groupe
fermé par rapport
G
est
un
sous-groupe de
opérations algébriques.
aux
,
,
DEFINITION 4.-Soient
SL
et B
deux
Q-sous-groupesd’un Q-groupe
soit C
{03B1, (B) le 03A9-sous-groupe de G qu’ils engendrent. On appelle
tant réciproque de ÛL et B , et l’on désigne par
l’idéal de
[03B1 , B],
gendré par les éléments des deux types suivants :
=
1~ les
commutateurs -a-b+a+b~
2~ -
a~ ~
~
ai 03B1,
eu
Si OL
Dans le
avec
b. J
~
(B
u -
b~ b~
et 03C9 est
coïncident
(B
+
...
une
(a~
+
+
b2)
opération algébrique
G , [G , G]
avec
G
(
on a
[G ~ G]
pour tous les
éléments
un
xy== 0
anneau,
0
=
x
...
de
poids
commu-
C
en-
+
n.
[G ~ G]
si et seulement si
et
(an
est le commutant du groupe
cas
est
et
be(B.
des groupes, au sens habituel, la condition
la condition de commutativité.
Si
zéro
et
a~
o..
G
y
de
G
=
est
0
G.
coïncide
un anneau
G ).
,
DEFINITION 5. - Un
fi-groupe
G
est
soit
un
nilpotent s’il existe
une
chaîne normale
décroissante :
(c’est-à-dire
~ _
,
_
telle que
~+
idéal de
G.i )
pour
laquelle
on a :
I
DEFINITION 6. ~ Un
0-groupe
est résoluble s’il existe
G
une
chaîne normale
décroissante :
C~. ~
telle que :
On
OL.]~a. ~ .
retrouve, ainsi,
comme
cas
particuliers les
groupes (ou anneaux) nilpotents
et résolubleso
Il
se
.
trouve, d’autre part,
et celle du
produit libre s’ étcndent
type Nielsen-Schreier
les groupes
libre est
que la théorie des sous-groupes d’un groupe libre
avec
un
ne
sont pas valables dans le
opérateurs,
groupe
~~groupes~
aux
libre’~ ~
le
alors que les théorèmes du
cas
des
anneaux
théorème : "tout sous-groupe
et que, pour
(permis)
d’un groupe
n’est pas exact.
,
DEFINITION 7. - Un Q-groupe partiel
système
multi-opérateurs 03A9
nis ; mais l’on suppose que si
de
0 0
...
0 w
est défini et est
G~
est
un
dont les éléments
W
et si le
égal
à
groupe (additif)
w
ne
sont pas
poids de
03C9 est
muni d’un
partout défin ,
0 .
Tout
~.»groupe partiel G~ peut être plongé dans un ~.»groupe G 1 défini à
un isomorphisme
près, cet isomorphisme conservant chaque élément de G0 ; pour
cela on désigne
par N0 l’ensemble des symboles :
qui n’ont
et soit
sidérer
pas de valeur dans
G~
G~
a~ a~
S~ ,
=
comme un
...
a~
Soit 3~
le produit libre
G
On applique la construction précédente à
tiel G2
=
F1 .
engendré
Q-groupe partiel :
M est défini dans
Qn forme ainsi
une
le groupe libre
si
W =
par
Q
dès que les
G1
G~
et si
et
n
engendré
S.
par
con-
est le poids de
a. appartiennent
et l’on obtient
~
On peut
un
à
03A9-groupe
G.
par-
chaîne croissante de 0-groupes partiels :
Soit n
système
un
On considère F
habituel, engendré par N .
F
le groupe
libre,
au sens
Q-groupe partiel. Soit
0-groupe libre engendré par le
comme un
Alors F est le
la fermeture libre de F.
système
libres et soit 5
générateurs
de
générateurs
de
Ces définitions étant
posées,
le
théorème de Nielsen-Schreier
so
généralise
de la manière suivante :
,
,
Chaque n-sous-groupe d’ un (¿...groupe
Soit
{03B1i ,
i ~
I}
une
famille de
désigne
CL.
la
Go
par
La théorie des
transportée
G0 = 03A3*
libre.
peut être considéré comme un
que chaque opération algébrique agit seulement à
chaque composante. G0 est appelé la somme 03A9-libre des CL. et
l’ intérieur de
la
Q-groupe
un
libres et soit
0-groupes
des
libre, au sens
03A9-groupe partiel en supposant
somme
on
libre est
aux
algèbres
groupes
associatives, sur
multi-opérateurs.
non
avec
un
corps commutatif @
peut être
,
DEFINITION 6. - On
1~
G*
appelle
G~
est muni d’une structure
un
Q-groupe
d’espace vectoriel
sur
tel que :
le corps commutatif
(P ,
2°
par
chaque multi-opérateur est multi-linéaire, c’est-à-dire : est distributif
rapport à chaque argument et permute, pour chaque argument, avec les élé-
ments de
(P ~
On peut définir la notion de
la notion de
algèbre
d’une
somme
~..algèbre libre
03A9-algèbres sur
Q-libre de
03A9-algèbre
libre sur P
On remarque que dans certains
(par exemple
dans le
d’ autres
(dans
non
Existe-t-il
un
cas
est
corps commutatif
et
une
libre.
théorie des objets libres
des groupes, dans celui des algèbres de Lie) et dans
le cas des annaaux et des algèbres associatives) .
cas
langage,
par
exemple celui
des
catégories,
permettant de fonder
’
une
6~
montre que toute Q-sous-
03A9-algèbre
une
il existe
sur un
théorie des objets libres ?
23-06
BIBLIOGRAPHIE
[1] HIGGINS (P. J.). - Groups with multiple operators, Proc.
Series 3, t. 6, 1956, p. 366-416.
London. math.
Soc.,