Courants et champs magnétiques en régime - MP*1

MP*1- 2015/2016
Courants et champs magnétiques en régime
stationnaire
Les courants
1) Etude d’une diode de Flemming :
En 1904, la diode de FLEMING a été un détecteur très bien accueilli pour la détection
des ondes radio. Outre la fonction de détection, elle a permis très tôt le redressement du
courant alternatif surtout dans ses variantes à gaz ou à vapeur de mercure.
C
A
I
U
O
x
On modélise cette diode par deux électrodes de géométrie identique, distantes de 𝑎, de
surfaces parallèles 𝑆. La cathode est portée à un potentiel 𝑉𝑐 = 0 et l’anode à 𝑉𝐴 . La cathode
est chauffée et émet des électrons à une vitesse suffisamment faible pour être considérée
comme nulle par la suite. Les électrons ne sont pas relativistes. Il y a une intensité 𝐼 définie
sur le schéma.
On se place en régime stationnaire. Toutes les valeurs ne dépendent que de 𝑥.
Après avoir relié la vitesse des électrons 𝑣(𝑥) au potentiel 𝑉(𝑥) d’une part et à la densité
volumique de charge 𝜌(𝑥) d’autre part, montrer que 𝑉(𝑥) vérifie une équation du type :
1

d 2V
2


V
 0 . On cherchera des solutions de la forme 𝐾𝑥 𝑝 . En déduire 𝐼 = 𝑓(𝑈).
dx 2
2) Attention à la foudre :
Par temps d’orage, la Terre est assimilé à un plan conducteur de conductivité 𝛾 =
2. 10−2 𝑆. 𝑚−1. Quand la foudre tombe, un arbre est assimilé à une tige conductrice parcourue
par un courant 𝐼𝑜 = 10 𝑘𝐴. Près de l’arbre se trouve une personne, les jambes légèrement
écartées, ses pieds étant en 𝑀 et 𝑁 sur le sol. On prendra 𝑀𝑁 = 𝑝 = 30 𝑐𝑚. La résistance
électrique du corps de la personne entres ses pieds vaut 𝑅 = 2 𝑘Ω.
𝐼𝑜
𝑂
𝜃
𝑗
1) Donner l’expression du vecteur densité de courant en un point quelconque dans le
sol.
2) En déduire le potentiel électrique en un point quelconque dans le sol en supposant
le potentiel nul à l’infini.
3) Si le cœur est traversé par un courant supérieure à 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 50 𝑚𝐴 il y a risque de
défibrillation cardiaque pouvant entrainer la mort. A quelle distance minimale 𝑑𝑚𝑖𝑛 la
personne doit-elle être pour qu’il n’y ait pas de danger.
Champ magnétique :
3) Champ magnétique dans un tokamak :
Un tokamak est une chambre torique de confinement magnétique destinée à contrôler
un plasma pour étudier la possibilité de production d’énergie par fusion nucléaire.
Le champ magnétique principal est créé par une série de bobines supraconductrices
constituant un solénoïde en forme de tore. On note 𝑁 le nombre total de spires, chacune
parcourue par le courant 𝐼. On suppose les spires suffisamment rapprochées pour considérer
qu’elles forment une distribution continue de courant.
1) Déterminer le champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur du tokamak.
2) Le Tokamak JET peut produire au centre du tore, là où est confiné le plasma, un
champ magnétique de 4 Teslas. Le rayon intérieur du tokamak est 0,9 𝑚 et le rayon extérieur
3𝑚. Calculer le courant total 𝑁𝐼 qui doit circuler dans les bobines et conclure.
4) Sources d’un champ magnétique :
1) Proposer une distribution de courant créant le champ magnétique suivant :
⃗ = 𝐵𝑜 𝑢
⃗ = −𝐵𝑜 𝑢
−𝑎 < 𝑥 < 0: 𝐵
⃗ 𝑧 ; 0 < 𝑥 < 𝑎: 𝐵
⃗ 𝑧 . Pour |𝑥| > 𝑎 le champ magnétique est nul.
𝐵𝑜 > 0; 𝑎 > 0.
2) On place un électron en (−𝑎, 0, 0), de masse 𝑚, de charge – 𝑒 avec une vitesse
initiale 𝑣 = 𝑣𝑜 𝑢
⃗ 𝑥 . Déterminer la trajectoire de l’électron. On suppose que les charges de la
distribution de courant n’engendrent pas de frottements et on néglige le poids.
5) Milieu supraconducteur :
Un milieu supraconducteur 𝑥 > 0 peut être modélisé par la distribution de courant
𝑥
suivante : 𝑗(𝑀) = 𝑗𝑜 exp(− 𝑎)𝑢
⃗ 𝑦 pour 𝑥 > 0 ; 𝑗(𝑀) = ⃗0 pour 𝑥 < 0.
Déterminer, en tout point de l'espace, le champ magnétique créé par le
supraconducteur.
Dipôle magnétique :
6) Moment magnétique de l’électron :
Pour comprendre le moment magnétique de l’électron on considère deux phénomènes,
sa rotation autour du noyau et son spin.
1) L’électron, de masse 𝑚𝑒 et de charge – 𝑒, tourne autour du noyau de charge +e à
une distance de a. Quel est le moment magnétique du à cette rotation ? On prendra 𝑚 =
9.10−31 𝑘𝑔 ; 𝑒 = 1,6.10−19 𝐶 ; 𝑎 = 0,53.10−10 𝑚. En mécanique quantique, on introduit le
𝑒ℎ
magnéton de Bohr dont la valeur du moment magnétique est 𝜇𝐵 = 2𝜋𝑚 avec ℎ =
𝑒
6,6.10−34 𝐽.s. Commenter les ordres de grandeur.
2) Une interprétation simpliste du spin de l’électron consiste à modéliser ce dernier par
une boule, de rayon R, porte la charge totale −𝑒 uniformément répartie à sa surface. Cette
boule est animée d'un mouvement de rotation à la vitesse angulaire 𝜔
⃗ constante autour d'un de

ses diamètres. Calculer le moment magnétique M de cette distribution de courant. Cette
modélisation (complètement fausse !) est basée sur la description du mouvement de la Terre
par rapport au Soleil. On va donc supposer que la vitesse angulaire de l’électron sur lui-même
est dans le même rapport pour sa rotation autour du proton que celui de la Terre entre son
mouvement sur elle-même et son mouvement autour du Soleil. Cette interprétation vous
semble-t-elle cohérente ?
𝜋
On donne : ∫0 𝑠𝑖𝑛3 𝜃𝑑𝜃 = 4/3.
7) Oscillations couplées de deux dipôles magnétiques
⃗⃗ 1
On considère dans un plan 𝑥𝑂𝑦 deux dipôles magnétiques identiques, de moments 𝑀
⃗⃗ 2, placés en 𝑂1 et 𝑂2, distants de 𝑑. 𝑀1 et 𝑀2 sont mobiles sans frottements autour de
et 𝑀
leurs axes respectifs (𝑂1 , 𝑢
⃗ 𝑧 ) et (𝑂2 , 𝑢
⃗ 𝑧 ).
Etudier les petits mouvements du système autour de l'une de ses positions d'équilibre.
On introduira les paramètres pertinents.
Déviation de particules chargées dans des champs magnétiques.
8) Diffusion dans une chambre à bulles :
⃗
On observe, à l’aide d’une chambre à bulles placées dans un champ magnétique 𝐵
uniforme, la diffusion élastique de particules 𝛼 par des
noyaux de deutérium. Après la diffusion, les particules 𝛼
et les noyaux de deutérium ont des trajectoires circulaires,
orthogonales au champ magnétique et de même rayon R.
En déduire l’énergie des particules 𝛼 incidentes.
9) Spectromètre de masse :
Le spectromètre de masse permet de mesurer la masse des particules chargées avec
une précision telle qu’il peut servir à déterminer des compositions isotopiques d’éléments
2+
2+
chimiques. Une source émet des ions mercure 200
et 202
80𝐻𝑔
80𝐻𝑔 .
1) Les ions, de masse 𝑚𝑖 et de charge 𝑞 = +2𝑒, émis sans vitesse initiale, sont
d’abord
accélérés
entre
deux
fentes
𝐹1
et𝐹2 par un champ électrique qui
, sur une distance 𝑑 = 1,00 𝑚, crée une différence de potentielle 𝑈 = 1,00.104 𝑉.
Proposer un montage qui permet d’accélérer ces ions et calculer leurs vitesses en 𝐹2 .
2) Les ions rentrent ensuite dans une région où règne un champ magnétique uniforme
de valeur 𝐵 = 0,200 𝑇 . Proposer un montage pour séparer ces ions selon leurs masses. Deux
collecteurs 𝐶1 et 𝐶2 sont situés de telle sorte que 𝐹2 , 𝐶1 et 𝐶2 soient alignés et perpendiculaires
aux vitesses des ions en 𝐹2 . On donne 𝐹2 𝐶1 = 1,44 𝑚 et 𝐹2 𝐶2 = 1,45 𝑚. Cette installation
vous semble-t-elle correcte ?
3) Les quantités d’électricités reçues en une minute par les collecteurs 𝐶1 et 𝐶2 sont
𝑄1 = 1,20. 10−7 𝐶 et 𝑄2 = 3,50. 10−8 𝐶. Déterminer la composition du mélange d’ions et en
déduire la masse atomique du mercure.
On donne : 𝑒 = 1,6.10−19 𝐶 ; 1𝑢 = 1,67.10−27 𝑘𝑔.
10) Trois charges dans un champ magnétique uniforme :
On prend trois charges dans un plan, reliées par des fils de longueur égale 𝐿.
L’ensemble forme un triangle équilatéral. Un fil transportant un courant 𝐼 est orthogonal à ce
triangle et passe par son centre de gravité.
1) A l’instant 𝑡 = 0, on coupe les fils. Le mouvement est-il plan ? Montrer que le
système se translate suivant l’axe 𝑂𝑧, parallèle au fil conducteur.
2) Etablir une équation différentielle du premier ordre en r, composante radiale des
coordonnées cylindriques.
3) A partir d’un moment, le système arrive-t-il à un mouvement limite ?
11) Lentille magnétique.
Des électrons de vitesse initiale 𝑣𝑜 sont envoyés à travers une lentille magnétique où
𝑟 𝑑𝐵𝑧 (𝑧)
règne un champ ⃗B tel que 𝐵𝜃 = 0 et 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = − 2 𝑑𝑧
.
⃗
⃗ =0
𝐵
⃗
𝑥 𝐵
𝑣𝑜
électron
𝐴
⃗ = ⃗0
𝐵
𝑖
−𝑧𝑜
𝑂
𝑧𝑜
𝑧
1) Ecrire les trois équations scalaires traduisant la loi de la quantité de mouvement
appliquée à l’électron.
𝑑(𝑟 2 (𝑡)𝜃̇(𝑡))
𝑑(𝛼𝑟 2 (𝑡)𝐵𝑧 )
2) Montrer que
=
avec 𝛼 à déterminer. En supposant 𝜃̇ = 0 en
𝑑𝑡
𝑑𝑡
dehors de la lentille, déterminer l’évolutions de 𝜃̇(𝑡) dans la lentille en fonction de 𝛼 et de 𝐵𝑧
et une relation reliant 𝑟̈ (𝑡) et 𝑟(𝑡) dans la lentille en fonction de 𝛼, 𝑚 et de 𝐵𝑧 .
3) Montrer que le module de la vitesse est 𝑣𝑜 quel que soit la position de l’électron.
On introduit 𝑖, angle entre la tangente à la trajectoire et l’axe des 𝑧 et on rappelle que tan(𝑖) =
𝑑𝑟
et on suppose 𝑡𝑎𝑛(𝑖) << 1. Qu’en déduire sur 𝑧̇ (𝑡) ?
𝑑𝑧
4) En déduire une équation différentielle en 𝑟 = 𝑟(𝑧). A quelle condition les électrons
recoupent l’axe des 𝑧 en 𝐴’ après être sortie de la zone de champ magnétique ?
5) On suppose que les électrons entrent et ressortent de la zone de champ magnétique à
la même distance 𝑟𝑜 . Montrer que le dispositif est équivalent à une lentille dont on donnera la
distance focale sous forme d’intégrale.
Indications :
1) Etude d’une diode de Flemming :
Pour relier 𝑣(𝑥) à 𝑉(𝑥), utiliser le théorème de l’énergie cinétique et pour relier 𝑟(𝑥) à 𝑉(𝑥)
utiliser l’équation de Poisson ; relier l’intensité du courant à la densité volumique de charge
en faisant attention au signe. Résoudre l’équation différentielle, en déduire 𝑉(𝑥) puis
𝑉(𝑎) qui vaut 𝑈, puis exprimer I en fonction de 𝑈.
2) Attention à la foudre :
1) Sur le sol, on suppose que le vecteur densité de courant est 𝑗(𝑀) = 𝑗(𝑟)𝑒𝑟 ; 𝑒𝑟 étant un
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. On suppose que l’intensité du courant se conserve
vecteur de la base sphérique et 𝑟 = ‖𝑂𝑀
dans le sol sur une hémisphère ; 2) En déduire 𝐸⃗ (𝑀), puis 𝑉(𝑟) dans le sol ; 3) Calculer la
différence de potentiels : 𝑉(𝑀) − 𝑉(𝑃) en fonction de la distance 𝑑. On suppose 𝑑 >> 𝑝.
3) Champ magnétique dans un tokamak :
1) Faire une étude des symétries puis appliquer le théorème d’Ampère à un cercle centré sur
l’axe du tore et de rayon 𝑟.
4) Sources d’un champ magnétique :
1) Retrouver le champ magnétique créé par une nappe surfacique de normale 𝑥 ; les sources
du champ sont trois distributions surfaciques en 𝑥 = ±𝑎 et 𝑥 = 0 ; 2) un électron dans un
champ magnétique uniforme a une vitesse de norme constante et fait un cercle de rayon
𝑚𝑣
𝑅 = 𝑒𝐵 𝑜 ; discuter des cas 𝑅 > 𝑎 et 𝑅 < 𝑎.
𝑜
5) Milieu supraconducteur :
Décomposer le milieu en une superposition de nappes surfaciques d’épaisseur dx, parcourues
par une densité surfacique de courant 𝑑𝑗𝑠 = 𝑗(𝑥)𝑑𝑥𝑢
⃗ 𝑦 et sommer les champs magnétiques
créés par ces nappes.
6) Moment magnétique de l’électron :
1) Il faut commencer par étudier le mouvement de l’électron autour du proton et trouver sa
période ; puis on peut écrire 𝐼 = 𝑒/𝑇 ; 2) On décompose la sphère en une succession de
petites spires comprises entre 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃 , parcourues par un courant 𝑑𝐼 = 𝑑𝑄/𝑇 ; calculer le
moment magnétique pour une petites spire, puis sommer.
7) Oscillations couplées de deux dipôles magnétiques
Paramétrer les positions des dipôles par 𝜃1 et par 𝜃2 . Le plus rapide est ensuite de déterminer
l'énergie potentielle du système 𝐸𝑝 (𝜃1 , 𝜃2 ). Introduire le moment d'inertie 𝐽 et la norme du
moment magnétique 𝑀 communs aux deux dipôles. Appliquer la loi du moment cinétique:
𝜕𝐸𝑝
𝐽𝜃̈𝑖 = − 𝜕𝜃 .
𝑖
8) Diffusion dans une chambre à bulles :
L’énergie totale se conserve au cours d’une diffusion ; au cours d’une diffusion élastique, la
nature de la particule n’est pas modifiée et l’énergie cinétique totale se conserve ; exprimer la
vitesse des particules en fonction du champ magnétique, de la masse et du rayon de la
trajectoire ; de plus 𝑚𝛼 = 4𝑚𝑝 ; 𝑞𝛼 = 2𝑒; 𝑚𝐷 = 2𝑚𝑝 ; 𝑞𝐷 = 𝑒.
9) Spectromètre de masse :
1) Chercher le sens du champ électrique pouvant accélérer les ions positifs et en déduire les
valeurs des potentiels en 𝐹1 et en 𝐹2 ; appliquer la conservation de l’énergie mécanique pour
chaque ion pour en déduire les vitesses ; 2) le champ magnétique doit être perpendiculaire à la
vitesse des ions en 𝐹2 ; la trajectoire est circulaire, calculer le rayon et en déduire la distance
𝐶1 𝐶2 nécessaire ; 3) le rapport des charges est le même que le rapport des ions ; une mole de
nucléon a une masse de 1 𝑔.
10) Trois charges dans un champ magnétique uniforme :
1) Calculer le champ magnétique créé par le fil ; projeter la loi de la quantité de mouvement
pour une particule chargée sur 𝑂𝑧 ; 2) exprimer l’énergie mécanique d’une particule chargée ;
en projetant la loi de la quantité de mouvement sur la direction orthoradiale, montrer que
𝜃̇ = 0 ; en déduire une pseudo énergie potentielle dont on étudiera les variations.
11) Lentille magnétique :
2) Utiliser la projection de la loi de la quantité de mouvement sur 𝑢
⃗ 𝜃 et multiplier l’équation
par 𝑟(𝑡). Remplacer 𝐵𝑟 par l’expression donnée par l’énoncé (et démontrée en cours) pour
trouver la relation demandée. Intégrer pour trouver la relation en 𝜃̇ et se servir de la projection
de la loi de la quantité de mouvement sur 𝑢
⃗ 𝑟 pour trouver la relation entre 𝑟̈ et 𝑟 ; 3) Calculer
le travail de la force magnétique et appliquer le théorème de l’énergie cinétique ; en déduire
que 𝑧̇ ~𝑣𝑜 ; faire un changement de variable dans l’équation du 2) pour trouver la relation
demandée ; 4) Exprimer 𝑡𝑎𝑛(𝑖) et 𝑡𝑎𝑛(𝑖’) en fonction de 𝑟𝑜 , 𝑂𝐴 et 𝑂𝐴’, puis se servir de la
𝑑𝑟
𝑑𝑟
relation du 3) pour exprimer (𝑑𝑧) − (𝑑𝑧 ) .
𝐴′
𝐴
Solutions :
1) Etude d’une diode de Flemming :
2eV ( x)
d 2V
I
; I    ( x)v( x)S ;

2
m
S o
dx
v( x) 
2
m 2
 9  3 3
V  0 ; V ( x)  
 x ;
2e
 4 
1
4
4 o S 2e
9a 2 m
2) Attention à la foudre :
𝐼𝑜
𝐼𝑜
1) 𝑗(𝑀) = 2𝜋𝑟
⃗ 𝑟 ; 2) 𝑉(𝑟) = 2𝜋𝛾𝑟
; 3) 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 15 𝑚
2𝑢
I
3) Champ magnétique dans un tokamak :
⃗ = ⃗0 ; si 𝑀 ∈ 𝑖𝑛𝑡, 𝐵
⃗ = 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝑢
1) Si 𝑀 ∈ 𝑒𝑥𝑡, 𝐵
⃗ ; 2) 𝑁𝐼 = 3,9. 107 𝐴; ce résultat est
2𝜋𝑟 𝜃
gigantesque et nécessite des supraconducteurs pour éviter l’échauffement par effet Joule.
4) Sources d’un champ magnétique :
𝐵
2𝐵
1) 𝑗𝑠 (𝑥 = +𝑎) = 𝑗𝑠 (𝑥 = −𝑎) = − 𝜇𝑜 ; 𝑗𝑠 (𝑥 = 0) = 𝜇 𝑜 ; 2) si 𝑅 < 𝑎, l’électron fait un demi𝑜
𝑜
cercle et ressort du plan 𝑥 = −𝑎 avec une abscisse 𝑦 décalée de 2R; si 𝑅 > 𝑎, l’électron fait
un morceau de cercle dans la zone 𝑥 < 0, puis un autre morceau de cercle dans la zone 𝑥 > 0
𝑎2
et ressort du plan 𝑥 = +𝑎 avec une abscisse suivant 𝑦 décalée de 2𝑅(1 − √1 − 𝑅2 ).
5) Milieu supraconducteur :
  j a
 a j 
 x  
Pour x < 0, B  o o u z ; pour x > 0 B  o o 1  2 exp    u z .
2 
2
 a 
6) Moment magnétique de l’électron :
1) 𝑀 =
𝑒2
2
−14
√𝑚
𝑎
𝑒 4𝜋𝜀𝑜
= 0,9. 10−23 𝐶. 𝑚2 = 0,7𝜇𝐵 ; 2) 𝑀′ =
𝑒𝑅 2 𝜔
3
; 𝜔 = 𝑒√4𝜋𝜀
1
𝑜 𝑚𝑒 𝑎
3
∗ 365 =
4,5. 10 𝑟𝑑. 𝑠 −1 ce qui donnerait ~1021 𝑚 . Ce modèle est absurde !!! En réalité l’électron
est une onde et le spin est une grandeur intrinsèque.
7) Oscillations couplées de deux dipôles magnétiques
Il y a deux positions d'équilibre stable équivalentes pour lesquelles les deux dipôles sont
𝜇 𝑀2
𝑜
orientés tous deux suivant 𝑂1 𝑂2 (𝜃𝑖 = 0 et 𝜃𝑖 = 𝜋) . Pulsations propres: 𝜔1 = √4𝜋𝐽𝑑
3 et
𝜔2 = 𝜔1 √3.
8) Diffusion dans une chambre à bulles :
3
𝐸 = 4𝑚 (𝑒𝐵𝑅)2.
𝑝
9) Spectromètre de masse :
2𝑞𝑈
1) 𝑉(𝐹1 ) = 𝑈 et 𝑉(𝐹2 ) = 0; 𝑣𝑖 = √ 𝑚 ; 𝑣1 = 1,384. 105 𝑚. 𝑠 −1 ; 𝑣2 = 1,377. 105 𝑚. 𝑠 −1 ;
𝑖
2) 𝑅𝑖 =
𝑚𝑖 𝑣𝑖
𝑞𝐵
1
2𝑚𝑖 𝐵
= 𝐵√
𝑞
𝐹1
; 𝑅1 = 0,722 𝑚 ; 𝑅2 = 0,726 𝑚 ; le
𝐸⃗
montage est le montage ci-contre: 2(𝑅2 − 𝑅1 ) = 8 𝑚𝑚 ; les
2+
distances sont convenables ; 3) il y a 77,4% d’ions 200
et
80𝐻𝑔
202
2+
22,6% d’ions 80𝐻𝑔 ; la masse molaire du mercure est
𝑀 = 200,5 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1.
10) Trois charges dans un champ magnétique uniforme :
1) 𝑣𝑧 =
𝜇𝑜 𝑞𝐼
2𝜋𝑚
𝑟
𝐿𝑛 avec 𝑎 =
𝑎
𝐿
2√3
1
𝜇𝑜2 𝑞 2 𝐼 2
2
8𝑚𝜋 2
; 2) 𝑚𝑟̇ 2 +
𝑟 2
(𝐿𝑛 ) +
𝑎
𝐹2
𝐶1
𝐶2
⃗
𝐵
𝑞
2𝜋𝜀𝑜 𝑟
=
𝑞
2𝜋𝜀𝑜 𝑎
.
11) Lentille magnétique :
𝑒
1) 𝑚(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ) = −𝑒𝑟𝜃̇𝐵𝑧 ; 𝑚(𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇) = −𝑒(𝑧̇ 𝐵𝑟 − 𝑟̇ 𝐵𝑧 ) ; 𝑚𝑧̈ = +𝑒𝑟𝜃̇𝐵𝑟 ; 2) 𝛼 = 2𝑚 ;
⃗ ) donc 𝛿𝑊(𝐹 ) = ⃗0 ;
𝜃̇(𝑡) = 𝛼𝐵𝑧 (𝑧(𝑡)), 𝑟̈ (𝑡) + 4𝑚𝛼 2 𝐵𝑧2 (𝑧(𝑡))𝑟(𝑡) = 0 ; 3) 𝐹 = −𝑒(𝑣 ∧ 𝐵
𝑑2 𝑟
𝑧̇ = 𝑣𝑜 cos(𝑖)~𝑣𝑜 ; 𝑑𝑧 2 +
1
1
+𝑧 4𝑚𝛼2
avec 𝑓′ = 𝑟 ∫−𝑧 𝑜
𝑜
𝑜
𝑣𝑜2
4𝑚𝛼2
𝑣𝑜2
𝐵𝑧2 𝑟𝑑𝑧
1
1
1
𝐵𝑧2 (𝑧)𝑟(𝑧) = 0 ; 4) On trouve : 𝑂𝐴′ − 𝑂𝐴 = 𝑓′