Dynamique non-linéaire du pelage stick

MASTER Sciences de la matière
École Normale Supérieure de Lyon
Université Claude Bernard Lyon 1
Stage 2010-2011
DALBE, Marie-Julie
M2 Physique
Instabilité de Stick-Slip lors du pelage d’un adhésif
Résumé
L’objectif de ce stage est d’étudier une instabilité de “Stick-Slip”, qui peut apparaître lors
du pelage d’un ruban adhésif. Nous visualisons le point de pelage lors d’une expérience
sur rouleau, à vitesse imposée. Nous mesurons aussi la force appliquée sur le ruban en
fonction de la vitesse. Dans cette géométrie, une oscillation spontanée du rouleau peut
perturber le phénomène de “Stick-Slip” en faisant varier lentement l’angle de pelage. Nous
étudions donc finalement le pelage à angle constant depuis un substrat plan.
Mots clés
Ruban Adhésif, Pelage, Stick-Slip
Sous la direction de Loïc Vanel et Stéphane Santucci
[email protected]
[email protected]
En collaboration avec Pierre-Philippe Cortet, Laboratoire FAST à l’Université Paris-Sud
[email protected]
LPMCN
www-lpmcn.univ-lyon1.fr
Avril-Juillet 2011
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Loïc Vanel pour m’avoir accueillie au LPMCN, et pour
l’aide précieuse qu’il m’a fournie.
Je remercie aussi Stéphane Santucci pour le temps qu’il m’a consacré, et l’aide qu’il m’a
apportée.
Merci à Pierre-Philippe Cortet pour m’avoir accueillie au FAST, et m’avoir aidée tout au
long de mon stage.
Merci à Osvanny Ramos pour son aide et ses conseils.
Finalement, je remercie toutes les personnes du LPMCN pour leur accueil chaleureux et leur
aide.
Table des matières
1 Introduction
1
2 Visualisation du point de pelage dans la géométrie rouleau
2.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Descriptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Définition du Stick-Slip et de ses caractéristiques . . .
2.1.3 Mouvement pendulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Vitesses moyennes de SS . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Périodes de SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Amplitude de SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Vitesses de Stick et de Slip . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Influence du mouvement pendulaire sur le Stick-Slip .
3 Mesure de la force de pelage
3.1 Dispositif expérimental . . . . . . .
3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Comparaison des courbes de
3.2.2 Analyse spectrale . . . . . .
3.2.3 Evolution de la force avec la
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
force et de position du
. . . . . . . . . . . . .
vitesse . . . . . . . . .
4 Pelage à angle constant, sur un substrat
4.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . .
4.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Vitesses moyennes de SS . . . . .
4.2.2 Apparition et disparition du SS .
4.2.3 Périodes de SS . . . . . . . . . .
4.2.4 Vitesses de Stick et de Slip . . .
plan
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2
2
2
3
4
6
6
6
7
8
8
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point de pelage
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9
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5 Conclusion
20
Références
21
1
Introduction
Les exemples de pelage d’adhésifs dans la vie quotidienne sont nombreux : étiquettes, rouleaux de bande adhésive ou enveloppes. Lors du pelage de ces adhésifs, une instabilité dynamique
de rupture dite de “Stick-Slip” correspondant à une avancée saccadée du front de pelage peut
apparaître, et peut endommager l’adhésif, ou encore créer des problèmes mécaniques dans les
chaînes d’assemblage.
Le Stick-Slip (SS) a pour origine une compétition entre deux mécanismes de fracture. A basse
vitesse, l’adhésif peut être considéré comme un fluide visqueux, la fracture est alors cohésive et
se produit dans l’adhésif même. A haute vitesse, l’adhésif se comporte comme un solide vitreux,
et la fracture devient adhésive et se produit à l’interface adhésif/support [1]. Différents modèles
théoriques ont été proposés pour caractériser le SS [2–7]. On définit la force de pelage comme
la force exercée sur le ruban au niveau du point de pelage. Les deux comportements différents
de l’adhésif se retrouvent dans les parties à pente positive de la courbe de force en fonction de
la vitesse au point de pelage (figure 1). Ces deux branches sont reliées par une courbe de pente
négative. Le fait que la courbe force-vitesse soit non-monotone engendre des valeurs de forces
pour lesquelles on trouve plusieurs points de fonctionnement, qui peuvent être stables, ou instables. Cette bifurcation de stabilité explique qu’on trouve des cycles limites, à l’origine du SS.
On considère une expérience où on impose une vitesse constante Vm à l’extrémité d’une longueur
finie de ruban pelé. Du fait de l’elasticité de la bande, la vitesse au point de pelage v peut varier
autour de la vitesse imposée. Le cycle schématique dessiné sur la figure 1 peut s’expliquer ainsi :
tout d’abord, v augmente, et la force augmente continuement avec v ; lorque la force atteint la
valeur critique Fc , il y a un saut de vitesse de vC à vD . La vitesse de fracture a donc augmenté,
et la fracture va plus vite que la vitesse imposée, donc l’extension du ruban diminue, et il devient
libre ; alors la force effective au point de fracture diminue, jusqu’à F < FA , où on a un deuxième
saut de vitesse de vA vers vB , et le ruban s’étire à nouveau, etc... [4]. Expérimentalement, le
pelage est régulier lorsqu’on se situe sur les branches BC et DA, mais lorsqu’on se situe sur
la branche CA, le pelage est irrégulier, on observe alors du SS. Les branches croissantes de la
courbe ont été trouvées expérimentalement [2,3,8], mais une seule étude expérimentale présente
la mesure de la branche décroissante [9]. Cependant, cette étude a été faite dans des conditions
très particulières, où l’extrémité du ruban était reliée à un ressort.
Fig. 1: Illustration schématique de la courbe force de pelage en fonction de la vitesse au point
de pelage. On a tracé des cycles qui correspondent à l’instabilité de SS [4].
De nombreuses études expérimentales ont été effectuées. Dans la plupart des cas, le SS est
caractérisé de manière indirecte, via les émissions acoustiques [8,10,11] ou les rayons X [12] émis
par le SS. Ces mesures indirectes ont aussi pu mettre en évidence que le SS devient chaotique
quand la vitesse de pelage augmente [10]. Une observation directe est difficile car les échelles de
temps du SS sont très courtes. Ce n’est que récemment, grâce à une caméra ultra-rapide, que
Cortet et al [13] ont pu résoudre temporellement ce phénomène.
L’objectif de ce stage est de prolonger les travaux de Cortet et al [13], en utilisant leur technique
de visualisation du point de pelage. Comme l’élasticité de la bande pelée est un des paramètres
de contrôle du SS, nous avons fait varier sa longueur `, afin de contrôler sa raideur. Nous avons
étudié les propriétés du SS en fonction de la vitesse de pelage et de ` dans une géométrie
proche de l’utilisation industrielle de l’adhésif : sous forme de rouleau. Pour essayer de mieux
comprendre ses propriétés et de faire un lien avec les théories existantes, nous avons ensuite
1
mesuré la courbe de force de pelage en fonction de la vitesse de pelage. Nous avons donc mesuré
cette force en faisant varier la vitesse et la longueur de pelage, toujours dans la géométrie rouleau.
Ces études ont mis en évidence des problèmes liés à cette géométrie. En effet, le rouleau oscille
de manière spontanée lorsque qu’on impose une vitesse de pelage, ce qui perturbe le SS. Il est
donc important de supprimer cette oscillation en se plaçant dans une géométrie différente. Nous
avons réalisé des expériences en collaboration avec P.-P. Cortet au laboratoire FAST, à Orsay,
où l’adhésif était pelé depuis un substrat plan en translation, ce qui permet d’imposer un angle
de pelage constant.
2
Visualisation du point de pelage dans la géométrie rouleau
2.1
2.1.1
Dispositif expérimental
Descriptif
L’objectif de cette série d’expériences est d’extraire la cinétique du point de pelage lors du
déroulement d’un rouleau d’adhésif à vitesse constante à l’aide d’une visualisation par imagerie rapide. L’adhésif utilisé est du Scotchr 3M Crystal 600, de largeur b=19mm, d’épaisseur
e=0.058mm. Le rouleau est placé sur une poulie qui tourne librement. L’extrémité de la bande
d’adhésif est collée à une pièce cylindrique, solidaire de l’axe du moteur qui impose la vitesse
d’enroulement (figure 2). On filme l’expérience avec une caméra Photron FASTCAM SA4, avec
différentes résolutions, allant de 640x224pixels pour 20000 images/s à 320x112pixels pour 80000
images/s.
Nous analysons ensuite les images obtenues (figure 3) à l’aide de Matlab. Un premier programme
repère le point de pelage sur un profil circulaire concentrique au rouleau pelé et affleurant sa
surface en cherchant le minimum des niveaux de gris (ligne jaune et point bleu sur la figure
3) On obtient alors la position curviligne du point de pelage lp = Rα. Un second programme
permet d’extraire la vitesse de rotation instantanée du rouleau : on trace à chaque instant 5 profils circulaires d’une épaisseur de 1 pixel et concentrique au rouleau, à l’intérieur de ce dernier
(lignes rouges sur la figure 3) et on calcule pour chacun d’eux la fonction de corrélation avec
la même zone circulaire sur une autre image séparée d’un intervalle de temps dt, tournée d’un
angle dβ. Le décalage en angle dβ pour lequel le maximum de corrélation est obtenu nous donne
le déplacement angulaire. On moyenne ensuite les résultats pour les 5 profils, et on obtient la
position curviligne du rouleau : lr = Rβ, avec β la position angulaire du rouleau.
Rouleau
d'adhésif
R
v
L
O
Vm
moteur
Fig. 2: Schéma du dispositif expérimental. On représente les principaux paramètres du système :
le rayon du rouleau R, la position angulaire du point de pelage α, l’angle de pelage θ, la position
angulaire du rouleau β (angle entre l’horizontale et un point fixé sur le rouleau), la longueur de
ruban libre L (entre le point d’attache sur l’axe du moteur et le point de pelage), la distance
entre le centre du rouleau et le point d’attache `, la vitesse du point de pelage v et la vitesse de
rotation du moteur Vm .
Sur la figure 2, on définit les différents paramètres importants du système : le rayon du rouleau R, la position angulaire du point de pelage α, l’angle de pelage θ, la position angulaire du
2
rouleau β (angle entre l’horizontale et un point fixé sur le rouleau), la longueur de ruban libre
L (entre le point d’attache sur l’axe du moteur et le point de pelage), la distance entre le centre
du rouleau et le point d’attache `, la vitesse du point de pelage v et la vitesse de rotation du
moteur Vm . Lors des différentes expériences que nous avons effectuées, nous avons fait varier
deux paramètres : ` et Vm . Les limites en vitesse du système étaient une vitesse minimale de
0.0015m/s et maximale de 15m/s. Les expériences ont été réalisées avec une température de
23 ± 2◦ C et une humidité de 40 ± 4%.
Fig. 3: Photo prise par la caméra, avec une résolution de 640x112pixels pour 30000 images/s.
Profils pour l’analyse sous Matlab : en jaune, profil utilisé pour repérer le point de pelage (point
bleu) ; en rouge, 5 profils circulaires sur lesquels on moyenne les corrélations entre 2 images pour
obtenir la vitesse de rotation instantanée du rouleau.
2.1.2
Définition du Stick-Slip et de ses caractéristiques
A partir des programmes de traitement d’image développés en Matlab, on obtient donc les
abscisses curvilignes du point de pelage et du rouleau. On peut en déduire la trajectoire du point
de pelage dans le référentiel du laboratoire et dans celui du rouleau.
Sur la figure 4(a), on observe d’abord que la position du point de pelage Rα oscille de manière
importante d’une amplitude d’environ 4 mm et avec une période d’environ 0.1s. On trace ensuite
sur la figure 4(c) la position du rouleau Rβ. On observe que globalement, il s’agit d’une droite
de pente Vm . Cependant, si on soustrait cette droite aux points expérimentaux (figure 4(d)),
on voit apparaître une oscillation de période d’environ 0.1s. L’oscillation lente qu’on voit sur la
courbe de position du point de pelage est donc une des composantes du mouvement du rouleau.
Cette dynamique correspond en fait à une oscillation pendulaire du rouleau, qui sera discutée
dans la section 2.1.3. On n’observe donc plus cette oscillation sur la figure 5(a), qui représente
la position du point de pelage, à laquelle on a soustrait la position du rouleau : R(β + α). On
constate que l’oscillation pendulaire affecte peu la vitesse moyenne de pelage dans le référentiel
du substrat, qui semble presque constante (figure 5(a)).
Sur les zooms, on observe des oscillations plus faibles. Sur la figure 4(b), on a une oscillation de
période ∼ 2ms et d’amplitude ∼ 1mm. Sur la courbe 5(b), on voit qu’en soustrayant la position du rouleau, cette oscillation se transforme en marches. On a une alternance de sections à
vitesse faible, où le point de pelage avance très peu par rapport au substrat (le rouleau), et est
donc “collé” au rouleau, et de sections à vitesse importante, où le point de pelage avance très
rapidement sur le rouleau. C’est cette oscillation qu’on appelle “Stick-Slip” (SS). Pour essayer
de caractériser le Stick-Slip on calcule la vitesse du point de pelage (figures 5(c),(d)). On trace
aussi sur la même courbe la vitesse moyenne de pelage vmoy . On définit ensuite un événement
de “slip” comme une série continue de points de vitesse supérieure à vmoy et un “stick” comme
une série continue de points de vitesse inférieure à vmoy .
Grandeur
Sigle
Relation
Amplitude de SS, de Stick, de
Slip
ASS , ASt , ASl
Période de SS, de Stick, de Slip
TSS , TSt , TSl
Vitesse de Stick, de Slip
vSt , vSl
vSx = ASx /TSx
Tab. 1: Différentes grandeurs mesurées pour caractériser le SS.
3
Position du point de pelage(mm)
Position du point de pelage(mm)
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
0
0.2
0.4
Temps (s)
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0.6
(a)
0.28
0.29
0.3
0.31
Temps (s)
0.32
(b)
Position du rouleau + Vmt(mm)
Position du rouleau (mm)
2
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
Temps (s)
0.6
(c)
1
0
−1
−2
−3
−4
0
0.2
0.4
Temps t (s)
0.6
(d)
Fig. 4: (a) Position du point de pelage Rα dans le référentiel du laboratoire. (b) zoom de (a).
Sur (b), on voit apparaître le Stick-Slip sous forme d’oscillations. (c)Position du rouleau Rβ.
(d) Position du rouleau Rβ à laquelle on a soustrait la droite de pente Vm . On voit apparaître
la même oscillation lente que dans (a), qui correspond à une oscillation pendulaire du rouleau.
Expérience réalisée pour ` = 530mm, Vm =0.74m/s.
Pour caractériser le SS, on va définir plusieurs grandeurs, toujours relatives au signal de
position du point de pelage dans le référentiel du rouleau, c’est-à-dire par rapport au substrat.
Les amplitudes de SS, de Stick ou de Slip ASS , ASt , ASl sont les distances parcourues pendant
un événement de SS, de Stick ou de Slip dans le référentiel du rouleau. Les périodes de SS, de
Stick ou de Slip TSS , TSt , TSl sont les durées de ces événements. Les vitesses moyennes de Stick
ou de Slip vSt , vSl sont calculées avec :vSt = ASt /TSt et vSl = ASl /TSl .
Lors d’une même expérience, on peut observer une alternance temporelle entre du pelage régulier
et du pelage avec SS. Par la suite, on appellera cette alternance “intermittence” (figure 17). Dans
le cas des données avec intermittence, on calculera les amplitudes et les périodes uniquement
sur les portions avec SS.
2.1.3
Mouvement pendulaire
Le mouvement du rouleau est donc composé d’une rotation uniforme de vitesse Vm et d’une
oscillation de période d’environ 0.1s. Celle-ci est liée à un mouvement pendulaire du rouleau
pelé, qui est monté sur une poulie libre. Cette oscillation est due à la compétition entre l’inertie
du rouleau et le couple appliqué par la force de pelage.
q
En faisant le bilan des forces appliquées sur le rouleau, on trouve T = 2π× FIR avec I le moment
d’inertie du système rouleau-poulie, et F la force appliquée [13]. La période qu’on mesure ne
4
dépend pas de la longueur ` mais uniquement de la vitesse, et augmente quand Vm augmente.
Si on regarde les valeurs de la force appliquée au point de pelage F (on expliquera la manière
dont on la mesure dans la partie suivante), on observe qu’elle décroît quand Vm augmente, ce
qui est cohérent avec la croissance de T (tableau 2).
Vitesse (m/s)
Force (N)
Période expérimentale (s)
Période calculée (s)
0.37
1.7
0.109
0.092
0.5
1.4
0.115
0.101
0.74
1.2
0.118
0.110
1.52
0.9
0.13
0.127
Tab. 2: Valeurs des périodes du mouvement pendulaire trouvée expérimentalement, et calculée
p
avec la formule T = 2π × I/(F R).
Position du point de pelage(mm)
Position du point de pelage(mm)
240
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
Temps (s)
235
230
225
220
215
210
205
0.28
0.6
0.29
(a)
3
2.5
Vitesse relative(m/s)
Vitesse relative(m/s)
0.32
(b)
3
2
1.5
1
0.5
0
0.3
0.31
Temps (s)
0
0.2
0.4
0.6
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.175
0.8
Temps (s)
Stick
Slip
0.18
0.185
0.19
0.195
Temps (s)
(c)
(d)
Fig. 5: (a) Position du point de pelage dans le référentiel du rouleau. (b) zoom de (a). Sur (b),
on voit apparaître le Stick-Slip sous forme de marches. La droite tracée a une pente égale à
la vitesse du moteur. (c) Vitesse du point de pelage dans le référentiel du rouleau. En rouge :
vitesse moyenne du point de pelage sur toute l’expérience. (d) Zoom sur la zone encadrée de (e).
Expérience réalisée pour ` = 530mm, Vm =0.74m/s.
5
2.2
2.2.1
Résultats
Vitesses moyennes de SS
On trace sur la figure 6 les amplitudes en fonction des périodes pour tous les événements de
SS dans une expérience. On observe que les points sont tous proches de la droite de pente égale
à la vitesse imposée par le moteur. On observe que ces grandeurs dépendent de la longueur de
pelage : quand ` augmente, TSS et ASS augmentent. Par la suite, on va essayer de caractériser
cette dépendance. D’autre part, on observe une dispersion des points autour de la droite, ce qui
veut dire que la vitesse moyenne de SS varie autour de la vitesse du moteur. Cette dispersion est
certainement due au mouvement pendulaire. En effet, la vitesse du rouleau oscille, ce qui doit
induire des variations de la vitesse moyenne de pelage. Enfin, on observe aussi sur la figure 6
une dispersion des points le long de la droite pour une même expérience. La dispersion est assez
importante, puisqu’on peut avoir un écart de 75% entre les valeurs maximales et minimales
de l’amplitude dans une même expérience. Cette dispersion est liée à des fluctuations intrinsèques des événements de SS, probablement dues aux hétérogénéités de la liaison entre adhésif
et substrat.
Amplitude Stick−Slip (mm)
7
`=180mm
`=380mm
`=880mm
`=1380mm
`=1980mm
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
Période Stick−Slip(s)
8
−3
x 10
Fig. 6: Amplitude de SS en fonction de la période de SS pour différentes valeurs de ` et pour
Vm = 0.74m/s. On voit que tous les points sont autour d’une même droite, de pente 740mm/s,
qui correspond à la vitesse moyenne du moteur.
2.2.2
Périodes de SS
On trace les périodes de Stick-Slip TSS , de stick TSt et de slip TSl en fonction de L, pour
une vitesse donnée (figure 7(a)). L a été calculé en supposant θ = π/2. On observe tout d’abord
que les périodes de Stick et de Slip sont voisines. D’autre part, la dépendance de TSS avec L est
non linéaire. On trace alors cette courbe en échelle logarithmique (figure 7(b)). Un ajustement
des données expérimentales donne : log10 (T ) = γ log10 (L) − 2.45, avec γ=0.78. On observe que
pour Vm = 1.52m/s, les données expérimentales se décallent vers le haut : on garde une même
pente, mais l’ordonnée à l’origine varie. C’est peut-être dû au fait que pour cette vitesse, on a
une intermittence dans le SS pour toutes les valeurs de L. Il serait intéressant de faire les mêmes
expériences pour v>1.52m/s pour voir l’évolution des courbes TSS vs L.
Pour L < 400mm, on peut ajuster la courbe par une droite, on a donc TSS ∝ L. Ce résultat
est cohérent avec le travail de Barquins et al [2]. Cependant, ils trouvent aussi L/TSS ∝ Vm ,
ce qui n’est pas notre cas. En effet, sur la figure 7(b), les courbes pour les différentes vitesses
se superposent, il n’y a donc pas de dépendance de la période avec la vitesse. Cependant, les
adhésifs utilisés dans nos expériences et dans celles de Barquins et al ne sont pas les mêmes : en
1986, il s’agissait de Scotchr 3M Crystal 602 alors que celui que nous utilisons est le Crystal
600. Les types d’adhésifs et les supports sont différents entre ces deux Scotchr. Ainsi, pour des
vitesses de pelage du même ordre de grandeur, on peut très bien se trouver dans des régimes
différents pour ces deux systèmes.
6
−3
x 10
TSS
8
TSl
TSt
6
TSS (s)
Période Stick−Slip(s)
−2
10
4
−3
10
Vm=1.52m/s
Vm=0.74m/s
2
Vm=0.5m/s
Vm=0.37m/s
0
0
500
1000
1500
2000
−1
2500
0
10
10
L (mm)
L (m)
(a)
(b)
Fig. 7: (a) Périodes de SS, de Stick et de Slip en fonction de la longueur de ruban pelé. Expériences réalisées pour Vm =0.74 m/s. Les barres d’erreur correspondent aux écarts types entre
toutes les valeurs prises par la période lors d’une expérience. (b) Période de SS vs L en échelles
logarithmiques. Les points sont sur une droite de pente γ=0.78. Pour L<400mm, on trouve
TSS ∝ L (a).
2.2.3
Amplitude de SS
1
Vm=1.52m/s
0.6
Vm=0.74m/s
Vm=0.5m/s
S
A /A
SS
0.8
0.4
Vm=0.37m/s
0.2
0
0
1
2
L (m)
3
Fig. 8: Rapports d’amplitude de Stick ASt /ASS (pleins) et de Slip ASl /ASS (creux) pour différentes vitesses du moteur.
On peut ensuite effectuer le même travail sur les amplitudes de Stick-Slip ASS que sur les
périodes TSS . Comme les deux sont presque proportionnelles pour une vitesse donnée (figure 6),
on trouve logiquement le même genre de relation avec la longueur : ASS ∝ Lγ , avec un coefficient
de proportionnalité proportionnel à la vitesse de pelage.
On trace ensuite les rapports ASl /ASS et ASt /ASS (figure 8). On voit que les rapports de Slip
(resp Stick) passent de 0.5 à 0.8 (resp 0.2), puis se stabilisent. Pour L suffisamment grand
(L>1m), les amplitudes relatives de Stick et de Slip ne dépendent plus de L. On observe d’autre
part que les rapports ASl /ASS (resp ASt /ASS ) augmentent (resp diminuent) quand Vm augmente. Le SS est donc d’autant plus marqué que la vitesse du moteur est élevée. On observe
enfin que pour des longueurs plus petites qu’une longueur critique Lc le SS disparaît. Lc diminue
quand Vm augmente : on a Lc = 249mm pour Vm =0.37m/s, Lc = 100mm pour Vm =0.5m/s et
Lc < 84mm pour Vm =0.74m/s et Vm =1.52m/s.
7
2.2.4
Vitesses de Stick et de Slip
Vitesses Stick et Slip (m/s)
Vitesses Stick et Slip (mm/s)
Sur la figure 9(a), on a tracé les vitesses de Stick et de Slip en fonction de la longueur de
pelage, pour une vitesse du moteur Vm = 0.74m/s. On observe tout d’abord que les barres
d’erreur sont assez importantes pour les vitesses de Slip. Cela est en accord avec la figure 6, où
on voit qu’il y a une dispersion des amplitudes pour une même longueur `. On voit aussi que la
vitesse de Slip augmente rapidement de Vm à environ 2Vm entre l’apparition du SS (L=100mm)
et L=350mm, avant de se stabiliser. On voit que la vitesse de Stick est faible (vSt = 169mm/s
soit 20% de Vm ), mais non nulle. On trace ensuite la même courbe pour les différentes vitesses
du moteur (figure 9(b)). Pour Vm < 1m/s, on voit que les vitesses de Stick sont toujours du
même ordre de grandeur, et ce sont les vitesses de Slip qui s’adaptent à la vitesse du moteur,
vSl augmente quand Vm augmente.
1500
1000
v
sl
vsl
500
0
vmoy
0
500
1000
1500
2000
2500
L (mm)
(a)
5
Vm=1.52m/s
4
V =0.5m/s
V =0.74m/s
m
m
Vm=0.37m/s
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
L (m)
2
2.5
(b)
Fig. 9: (a) Vitesses de stick et de slip pour une vitesse du moteur Vm = 0.74m/s. Les barres
d’erreur correspondent aux écarts type dans une expérience. (b) Vitesses de Stick (plein) et de
Slip (creux) pour différentes vitesses du moteur.
2.2.5
Influence du mouvement pendulaire sur le Stick-Slip
Le mouvement pendulaire perturbe le pelage de l’adhésif, et donc le phénomène de SS. En
effet, le mouvement pendulaire génère des oscillations lentes de la position du point de pelage
dans le référentiel du laboratoire, l’angle de pelage θ varie donc aussi. L’amplitude du mouvement pendulaire, et donc de variation de θ varie en fonction de la vitesse de pelage, mais très peu
en fonction de la longueur `. La présence ou non de SS est dépendante de ces oscillations. On
observe notamment des intermittences dans une expérience lorsque le mouvement pendulaire
est important (figure 10). On caractérise ici le mouvement pendulaire grâce à l’amplitude de
variation de l’angle de pelage θ au cours du temps. L’analyse des films nous donne la valeur de
l’angle α, à partir de laquelle on peut remonter à θ [11] : tan(θ) = `·cos(α)−R
`·sin(α) .
On trace θ en fonction du temps (figure 10, en bleu). Sur la courbe rouge, on a retiré l’enveloppe :
on lisse la courbe expérimentale pour faire disparaître les oscillations dues au SS, et on retire
cette courbe lissée aux données expérimentales. La courbe rouge fait clairement apparaître le SS
sous forme de bouffées, et leurs présences correspondent aux minima du mouvement pendulaire.
Pour les deux conditions de pelage représentées, le SS apparaît pour θ . 81 degrés. Sur la figure
10 (b), le SS disparaît quand l’angle augmente à nouveau, mais pour une valeur plus élevée
qu’à l’apparition : il y a un retard lors de la disparition du SS, certainement dû à un régime
transitoire. A partir de ces deux figures, on ne peut pas conclure sur ce qui déclenche le SS : une
valeur limite de l’angle θ ou la décélération du rouleau due au passage à un minimum.
Le mouvement pendulaire a une influence sur l’apparition ou la disparation de SS. En effet la
présence de SS dépend de la vitesse imposée, de la longueur L et de l’angle θ. Cependant, à cause
de la variation de θ, il n’est pas possible de déterminer avec précision les vitesses d’apparition
et de disparition du SS dans la géométrie rouleau. Dans la troisième partie, nous essaierons de
8
100
110
95
100
θ (degrés)
θ (degré)
caractériser ces vitesses en nous plaçant à θ fixé.
90
85
80
70
80
75
0
90
0.2
0.4
Temps(s)
0.6
0.8
(a)
60
0
0.1
0.2
Temps (s)
0.3
(b)
Fig. 10: Angle θ vs temps. Les oscillations rapides de SS coïncident avec les minima du mouvement pendulaire. (a) Vm =1.52m/s, `=130mm. (b) Vm =2.0m/s, `=1200mm. En bleu on trace les
oscillations de θ. En rouge, la même courbe, en retirant l’enveloppe pour mieux faire apparaître
le SS.
Dans cette partie, on a donc vu que les propriétés de SS dépendent de la vitesse et de
la longueur de pelage. Les modèles qui tentent de décrire ces dépendances sont basés sur la
dépendance de la force appliquée au point de pelage avec la vitesse de pelage. Pour mieux
comprendre les mécanismes en jeu, il est donc important de connaître cette force.
3
3.1
Mesure de la force de pelage
Dispositif expérimental
Le but est de mesurer la force appliquée au point de pelage. Pour cela, on utilise un capteur
de force (modèle SML-5 de Interfacer). Ce capteur peut mesurer jusqu’à 23N, l’ordre de grandeur des forces que nous voulons mesurer est de 1N. La raideur du capteur est de 1.8 × 105 N/m,
soit une déformation de 0.1% des déplacements mesurés pour une force typique de 1N. On place
ce capteur derrière la poulie sur laquelle est placé le rouleau d’adhésif (figure 11). Pour certaines expériences les mesures du capteur de force sont synchronisées avec la prise de vidéos.
Ces expériences ont été réalisées pour 2 longueurs de ruban pelé différentes : L = 76 ± 4 mm et
L = 1176 ± 4 mm (L calculé en supposant θ = 90 degrés).
Nous avons rencontré un certain nombre de difficultés expérimentales, dues au moteur et au
capteur. A basse vitesse il y a de fortes fluctuations de vitesse autour de la vitesse moyenne, de
l’ordre de 100%. Cela engendre des fluctuations sur la valeur de la force mesurée entre deux expériences. La mesure donnée par le capteur est bruitée quelle que soit la vitesse, ce qui engendre
systématiquement un écart type de l’ordre de 0.05N pour des forces mesurées d’environ 1N. A
haute vitesse (> 10m/s), les vibrations du moteur deviennent importantes et cela crée un bruit
important dans la mesure de force. Ce bruit est à nouveau de l’ordre de grandeur de la force.
Pour les mesures présentées, les différentes barres d’erreur sur la force représentent la valeur
maximale entre l’écart type de F(t) et la dispersion entre différentes mesures dans les mêmes
conditions.
9
Capteur
de force
Rouleau
d'adhésif
L
Vitesse Vm
D
moteur
Fig. 11: Schéma du dispositif expérimental pour la mesure de force.
3.2
3.2.1
Résultats
Comparaison des courbes de force et de position du point de pelage
L(mm)
Vm (m/s)
Maximum de la fonction de
corrélation
Remarque
1176
0.1
/
pas de SS
1176
0.25
0.7
SS
1176
0.5
0.7
SS
1176
1.0
0.7
SS
1176
1.54
0.7
intermittent
1176
2.0
0.7
intermittent
1176
4.0
0.1
intermittent
76
0.35
/
pas de SS
76
0.50
0.17
intermittent
76
1.0
0.12
SS
76
1.54
0.05
intermittent
76
4.0
/
pas de SS
Tab. 3: Coefficients de corrélations entre force vs temps et position vs temps. Il n’y a des maxima
que lorsqu’il y a du SS, ce qui montre que les variations de force dans ces cas sont dues aux
variations de position.
On peut ensuite comparer les courbes de force et de position. On voit sur la figure 12 (a) que
les bouffées de fluctuation de position et de force interviennent en même temps. En effet, le SS
apparaît aux minima de la courbe de position, et cela correspond à l’apparition d’oscillations sur
la courbe F(t). Si on enlève l’enveloppe de la courbe de position, due au mouvement pendulaire,
on peut mieux comparer les deux courbes (figure 12 (b)). Pour évaluer les ressemblances entre
les deux courbes, on calcule la fonction de corrélation C, définie pour deux vecteurs x et y de
PN −|m|−1
x(n+m)y(n)
longueur N par : Cxy (m) = n=0 kxkkyk
(figure 12(d)). Les valeurs des maxima de la
fonction de corrélation sont résumées dans le tableau 3. Pour les courbes où il y a du SS, la
fonction de corrélation présente toujours un pic, plus ou moins élevé, alors qu’elle n’en présente
pas pour les cas sans SS. Cela montre que l’apparition de bouffées sur la courbe de force est bien
liées à la présence de SS. Les valeurs du maximum sont moins élevées dans le cas L=76mm car
l’amplitude de SS est très faible, le bruit du capteur est presque du même ordre de grandeur et
vient donc parasiter la mesure. Le maximum de corrélation n’a pas une abscisse nulle. La valeur
de ce décalage est différente d’une expérience à l’autre. En particulier, on voit sur la figure 12(c)
que les périodes des oscillations sont un peu différentes entre les deux courbes. Cela pourrait
10
10
1
0
0
−10
−20
−1
0
0.1
0.2
−2
0.4
0.3
10
2
5
1
0
0
−5
−1
−10
0
0.1
2
2
1
0
0
−2
−1
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Force(N)
4
−4
0.04
0.3
−2
0.4
(b)
−2
0.16
(c)
Fonction de corrélation C
(a)
0.2
0.5
0
−0.5
−0.4
−0.2
0
Temps (s)
0.2
(d)
Fig. 12: (a) Force vs temps et position vs temps. Les deux mesures sont déclenchées en même
temps. On voit que l’apparition du SS sur la courbe en position correspond à l’apparition de la
bouffée sur la courbe en force. (b) Idem, en retirant l’enveloppe de la courbe position vs temps
et en mettant la moyenne de la courbe force à 0. (c) Zoom sur le rectangle de (b). (d) Fonction
de corrélation entre les courbes position vs temps et force vs temps. On voit l’apparition d’un
maximum d’une valeur de 0.7. Courbes réalisées pour L=1176mm et Vm =2.0m/s.
3.2.2
Analyse spectrale
On détermine les spectres fréquentiels des courbes de force et de position (figure 13). On voit
apparaître différents pics selon les courbes, qui correspondent à différents processus physiques.
Sur la courbe de force, on trouve des fréquences caractéristiques du capteur, qui sont présentes
lorsqu’on enregistre le signal du capteur sans le toucher. On trouve aussi des fréquences caractéristiques de la vibration du capteur, entraînée par les vibrations du moteur (il s’agit du premier
pic présent sur la figure 13 (a)). Finalement, on identifie les fréquences de SS. Sur la courbe de
position, on enregistre en général deux pics de fréquences : le mouvement pendulaire et le SS.
Pour L=1176mm, sur la courbe de force, on n’observe pas de pic dû à la vibration du capteur.
En réalité, en regardant les valeurs de ce pic, on voit qu’il est confondu avec le pic dû au SS. Cela
montre que les pics pouvant interférer, la valeur de fréquence de SS estimée peut être inexacte.
Par exemple, sur les courbes de la figure 13, on a une différence de 9% entre les fréquences mesurées sur les spectres de position et de force pour L=76mm, et de 18% pour L=1176mm. A cause
de ces intérférences, le signal de force ne présente pas exactement les mêmes oscillations que
celui de position. En effet, on voit sur la figure 12(c) que si l’apparition et la disparition du SS
sont presque synchronisées, les périodes sont cependant différentes pour les deux courbes. C’est
certainement la raison pour laquelle on trouve un décalage pour le maximum de corrélation.
La mesure de la force seule ne nous permet donc pas d’identifier les périodes de SS. Pour faire
une mesure plus précise, on pourrait utiliser un capteur de force plus rigide pour limiter ses
oscillations, et essayer de séparer les fréquences dues au SS et celles causées par le capteur grâce
à une analyse du signal plus poussée. La difficulté est alors qu’un capteur raide est moins adapté
11
0.4
Force(N)
2
Force(N)
Position (mm)
20
Position (mm)
Position (mm)
être la raison du décalage du maximum de corrélation. Les fréquences seront analysées en détail
dans la partie suivante.
pour des mesures faibles.
1
Mouvement pendulaire
0
Mouvement pendulaire
Stick−Slip
0
Stick−Slip
−1
−2
log10(FFT)
log10(FFT)
−1
−3
−4
−5
Capteur
−6
−7
1
−2
−3
−4
−5
Position
Stick−Slip
Force
Capteur
2
3
log10(fréquence) (Hz)
Stick−Slip
Position
Force
−6
−7
4
(a)
1
Capteur
2
3
log10(fréquence) (Hz)
4
(b)
Fig. 13: Spectres fréquentiels de la courbe de force (bleu) et de position (rouge), pour L=76mm
et Vm =1.0m/s (a) et L=1176mm et Vm =2.0m/s (b). On observe un pic de fréquence dû au SS
présent sur toutes les courbes. Sur les courbes de force, on observe des pics dus au capteur, et
sur celle de position un pic correspondant au mouvement pendulaire.
3.2.3
Evolution de la force avec la vitesse
Finalement, on peut tracer les différentes courbes de force moyenne en fonction de la vitesse.
La force a aussi été mesurée pour une autre longueur : L = 478 ± 2mm, sans toutefois caractériser l’apparition et la disparition du SS à l’aide de films. Tout d’abord, on trace séparément les
courbes correspondant aux différentes longueurs (figure 14(a),(b) et (c)). On observe 2 régimes,
un croissant puis un décroissant. Pour des vitesses faibles, on a F ∝ Vmn , ce qui correspond
aux résultats reportés dans des études précédentes [3]. Ensuite, on a une zone où F ∝ Vm−m .
La présence de SS se situe dans cette zone, mais ses vitesses d’apparition et de disparition dépendent de la longueur de pelage. On voit en particulier sur la figure 14(b) que l’apparition de
SS s’accompagne d’une forte augmentation de la barre d’erreur. Dans la zone de SS cette barre
d’erreur correspond aux fluctuations de force générées par le SS. Cette courbe rappelle alors
celle de l’article de Yamazaki et al [9], où les auteurs avaient mesuré la force en fonction de la
raideur d’un ressort attaché sur la bande pelée.
On superpose ensuite les résultats obtenus aux différentes longueurs (figure 14(d)). On voit que
dans le premier régime, l’exposant reste le même, mais le préfacteur change. On a en moyenne
F ∝ Vmn , avec n = 0.1 ± 0.01, ce qui est assez différent de la valeur n=0.35 trouvée par Barquins
et al [2].
,
Dans ses travaux [7], Kendall définit le taux de restitution de l’energie mécanique G = F (1−cosθ)
b
avec b la largeur du ruban. Barquins et al [2] définissent aussi G en fonction de L pour le pelage
régulier, avec θ = π/2 : G = F/b = Eeδ/L, avec e l’épaisseur du ruban, E son module d’Young
et δ son allongement quand on lui applique une force F. Leur modèle ne prend pas en compte la
courbure du substrat, qui pourrait éventuellement entraîner la dépendance en L qu’on observe.
Pour le second régime, les courbes moyennes se superposent, on a alors F = Vm−β , avec β =
0.46 ± 0.08. D’après [3], la courbe devrait finir par redevenir croissante pour Vm > 30m/s, mais
nous ne sommes pas capables d’atteindre de telles vitesses.
12
0
0
10
Force (N)
Force (N)
10
L=478mm
L=76mm
−1
−1
10
−2
10
0
10
−2
0
10
10
10
Vm (m/s)
Vm (m/s)
(a)
(b)
0
Force (N)
Force (N)
10
L=1176mm
−1
10
−2
0
10
0
10
L=76mm
L=478mm
L=1176mm
−2
10
0
10
Vm (m/s)
10
Vm (m/s)
(c)
(d)
Fig. 14: Force en fonction de la vitesse de pelage, en échelles logarithmiques. (a) L=76mm (b)
L=478mm (c) L=1176mm (d) Différentes longueurs de pelage. Les traits verticaux représentent
les limites des zones où il y a du SS. Les droites sont des ajustements des différentes courbes.
La droite de pente négative est toujours la même : F = Vm−0.46 . La droite de pente positive
a une ordonnée à l’origine qui change avec L. Ses différentes équations : (a) F = 2.28Vm0.1 (b)
F = 2.26Vm0.1 (c) F = 2.07Vm0.1 .
Le fait que F diminue avec L dans la première partie des courbes pourrait expliquer la forme
de la courbe TSS fonction de L (figure 7(a)) vue dans la partie précédente. Le modèle de Barquins
et al [2] prévoit une dépendance TSS ∝ L. Leur modèle se base sur la courbe de G en fonction de
v. En supposant θ = π/2, on a G = F/b, et la courbe G en fonction de L a donc la même forme
que celle de F (figure 1). Un événement de SS est un cycle dans cette courbe, comme dessiné sur
la figure 1. Le point C de coordonnées (vC ,GC ) est le maximum de la courbe, qui correspond
à la transition entre les deux premiers régimes. Le point A est le minimum, où se produit la
transition entre le régime décroissant et le deuxième régime croissant (figure 1). On ne voit pas
ce point sur notre courbe, on va donc supposer que GA est le minimum qu’on atteint. le point
B est le point d’ordonnée GA sur la première branche de la courbe. Comme vu précédemment
(figure 14), sur la première partie de la courbe, on a F ∝ Vmn , on écrit donc G = av n , avec a et
n trouvé expérimentalement. On a Vm = v + dδ
dt . En intégrant dt sur un cycle de SS, on obtient
donc :
Z vC
anv n−1 dv
L
(1)
TSS,Barquins =
Ee vB Vm − v
TSS n’est donc proportionnel à L que si l’intégrale ne varie pas avec L. Or pour nos données
13
expérimentales, a décroît avec L. On mesure la période expérimentale TSS,exp sur la figure
7(a) (Vm =0.74m/s). Pour calculer TSS,Barquins , on a mesuré le module d’Young E = 1.15 ±
0.20GPa. On reporte les valeurs TSS,exp /L et TSS,Barquins /L dans le tableau 4. On observe que
pour les valeurs expérimentales et théoriques, TSS /L diminue quand L augmente. Cependant,
la diminution est beaucoup plus importante pour les valeurs expérimentales que pour celles
calculées. D’autre part, les valeurs sont assez différentes. Le modèle prend en compte un certain
nombres d’hypothèses. On suppose déjà que θ = π/2. On néglige aussi le temps passé sur les
branches CD et DA (figure 1). Ces différentes hypothèses ne sont pas vérifiées expérimentalement,
ce qui pourrait expliquer ces différences.
On observe lors des expériences que pour L fixée, le pelage est régulier pour Vm < vinf . A partir
de vinf , on a du SS, jusqu’à Vm = vsup . Pour Vm > vsup , le pelage est à nouveau régulier. On a
représenté sur la figure 14 ces vitesses d’apparition et de disparition du SS (traits verticaux sur
(a), (b) et (c)). On voit que la zone de SS grandit quand L augmente. Ces vitesses correspondent
à des vitesses du moteur Vm , mais les vitesses instantanées de pelage varient au cours du temps
lors d’une expérience. En effet, on a Vm = v + dδ
dt . Les valeurs des forces sont aussi des valeurs
moyennes. On peut donc imaginer qu’en présence de SS, la force et la vitesse instantanée varient
sur la courbe F vs Vm représentée, afin de suivre les cycles décrits par Barquins et al [2]. Pour le
vérifier, il faudrait tracer les courbes de force en fonction de la vitesse de pelage v à tout instant.
L(mm)
TSS,exp /L (s/m)
TSS,Barquins /L (s/m)
76
6.6 × 10−3
1.95 × 10−3
478
4.4 ×
10−3
1.92 × 10−3
1176
3.4 × 10−3
1.79 × 10−3
Tab. 4: Périodes de SS expérimentales, mesurées sur la courbe 7(a). Périodes de SS théoriques,
calculées avec l’équation 1.
Finalement, on voit que la présence de SS change avec L. Cela peut être dû au changement
de raideur du ruban (c’est ce qui est suggéré dans [9]), ou au mouvement pendulaire et donc
aux variations de l’angle de pelage pendant l’expérience. Il serait donc intéressant de faire des
expériences à angle de pelage fixé pour mieux comprendre la dynamique d’apparition et de
disparition du SS.
4
4.1
Pelage à angle constant, sur un substrat plan
Dispositif expérimental
On a vu que dans le cas de la géométrie rouleau il peut y avoir un mouvement pendulaire
important, ce qui fait varier l’angle de pelage θ. Pour mieux comprendre la dynamique du SS,
il était important de pouvoir faire des expériences à angle contrôlé. Les expériences présentées
dans cette partie ont été réalisées au laboratoire FAST, à Orsay, en collaboration avec P.-P.
Cortet.
Nous avons utilisé un dispositif avec deux moteurs asservis en vitesse, qui ont une vitesse identique sur toute la durée de l’expérience, phases d’accélération et de décélération comprises (figure
15). L’un des moteurs permet la translation d’une barre métallique, sur laquelle on a collé une
première épaisseur d’adhésif. On colle ensuite dessus l’adhésif à peler, ce qui permet d’avoir la
même situation que dans le cas du rouleau : le substrat est le dos de l’adhésif étudié. L’extrémité
de l’adhésif est collé sur un cylindre solidaire de l’axe du deuxième moteur. Le ruban s’enroule
donc sur le cylindre à la même vitesse que la barre se translate, ce qui permet de garder un
angle θ constant. La vitesse maximale possible est de 4,0m/s. L’adhésif utilisé est le même que
précédemment : Scotchr 3M Crystal 600. La caméra utilisée est une PHOTRON FASTCAMAPX RS, avec des fréquences d’acquisition dépendant de la vitesse de pelage, de 500 à 20000
images/s.
Les films obtenus sont ensuite analysés avec Matlab, de la même manière que dans la géométrie
rouleau. On repère le point de pelage en cherchant le maximum des niveaux de gris sur une ligne
située à quelques pixels de la surface du substrat. On repère la vitesse de la barre en translation
14
en calculant le maximum de la fonction de corrélation entre deux images séparées d’un intervalle de temps dt. Pour améliorer la fonction de corrélation, on a collé un réglet sur la barre en
translation, ce qui crée des pics dans les niveaux de gris au niveau des graduations.
On a fait plusieurs séries d’expériences aux angles de pelage 60, 90, 120 et 150 degrés. Pour
chaque angle, on a fait varier la vitesse et la longueur de pelage L. La température était de
22.3 ± 0.9◦ C, l’humidité de 43 ± 9%.
moteur
Première couche d'adhésif
Vm
L
Adhésif pelé
Vm
Support du montage
Fig. 15: Schéma du dispositif expérimental. L’adhésif est pelé depuis une première couche
d’adhésif. La barre et le moteur cylindrique ont la même vitesse Vm à tout instant. L’angle
de pelage θ et la longueur de pelage L sont constants durant une expérience.
4.2
4.2.1
Résultats
Vitesses moyennes de SS
−3
7
x 10
0.9m/s
0.4 m/s
1.2 m/s
1.9 m/s
0.25 m/s
6
A
ss
(m)
5
4
3
2
1
0
0
0.002
0.004
0.006
Tss (s)
0.008
0.01
Fig. 16: Amplitude de SS en fonction de la période de SS. Les droites sont de pente égale à la
vitesse moyenne de pelage. Chaque série de points correspond à une expérience.
A partir des films, on obtient donc la position du point de pelage, comme expliqué dans le
cas de la géométrie rouleau. On peut tout d’abord tracer les différentes valeurs des amplitudes et
des périodes de SS lors d’une expérience (figure 16). On observe que les points expérimentaux se
situent proche de la droite de pente égale à la vitesse moyenne de pelage, comme dans le cas de la
géométrie rouleau. La dispersion autour de la droite vient des fluctuations de vitesse de pelage.
La vitesse de translation est contrôlée à moins de ±1%près. En revanche, celle de l’enroulement
fluctue avec une déviation standard de 5% autour de la consigne, ce qui est l’ordre de grandeur
des fluctuations des points expérimentaux autour de la droite. D’autre part, on observe que lors
d’une expérience, l’amplitude et la période fluctuent le long de la droite de vitesse imposée.
15
4.2.2
Apparition et disparition du SS
On va tout d’abord essayer de déterminer les vitesses vinf et vsup (tableau 5). On remarque
qu’elles ne dépendent pas de la longueur de pelage, mais plutôt de l’angle. Nous avons été
confrontés à certaines difficultés expérimentales qui ont gêné les mesures. Tout d’abord, on voit
dans le tableau 5 que la plupart des vitesses de disparition de SS sont supérieures à 4m/s qui
est la vitesse maximale qu’on peut atteindre avec ce montage. Ainsi, on ne peut pas connaître
les valeurs exactes de ces vitesses. D’autre part, nous avons changé de lot de scotch au cours
de la série d’expériences. Les deux lots ont les même références et ont été commandés au même
endroit à un mois d’intervalle. On observe que vinf et vsup changent entre les deux lots, mais
les autres propriétés de SS restent identiques. Cette différence pourrait s’expliquer par différents
stockages, avec en particulier différentes histoires en température. Une autre explication serait
les hétérogénéités de l’adhésif : un lot de ruban pourrait comporter plus de défauts qu’un autre,
et ces défauts peuvent déclencher le SS.
1
Vitesse (m/s)
Vitesse (m/s)
6
4
2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
Temps (s)
0
0
0.15
(a)
1
2
3
Temps (s)
4
(b)
Fig. 17: Vitesse de pelage en fonction du temps, dans des cas avec de l’intermittence. (a)
θ = 90degrés, L=4.5cm et Vm =3.0m/s. On est proche de la disparition du SS. (b) θ = 60degrés,
L=26.7cm et Vm =0.20m/s. On est proche de l’apparition du SS.
θ(degrés)
vinf (m/s)
vsup (m/s)
Lot de Scotch
60
0.09 ± 0.03
>4
1
90
0.18 ± 0.02
3.35 ± 0.25
1
120
0.17 ± 0.01
2.75 ± 0.1
1
90
0.5 ± 0.4
>4
2
120
0.35 ± 0.17
>4
2
150
0.7 ± 0.35
3.4 ± 0.15
2
Tab. 5: Valeur des vitesses d’apparition vinf et de disparition vsup de SS. On a exploré 4 angles
différents. Les rouleaux proviennent de deux lots différents, d’où les différentes valeurs reportées.
Lors des expériences, nous avons remarqué un phénomène intéressant : le SS peut être intermittent. Contrairement au cas de la géométrie rouleau, où l’intermittence était majoritairement
due au mouvement pendulaire et donc à l’oscillation de l’angle de pelage, ici l’intermittence
apparaît pour des vitesses proches de l’apparition et de la disparition du SS, et l’alternance
de zones avec et sans SS semble aléatoire. Il s’agirait d’un phénomène de transition entre les
différents régimes avec et sans SS. En particulier, on observe une évolution dans l’intermittence :
proche de l’apparition du SS on a une augmentation des zones avec SS quand on augmente la
vitesse. Sur la figure 17(a) on voit une alternance entre une zone sans SS (vitesse de pelage égale
à la vitesse du moteur) et une augmentation progressive vers un SS (avec une vitesse de pelage
oscillant entre 0 et une valeur élevée). En revanche, sur la figure 17(b), on a une alternance entre
16
du SS très marqué et des zones sans SS, sans transition entre les deux. Pour déterminer les vitesses seuils d’apparition et de disparition, on a choisi les vitesses d’apparition de l’intermittence
pour vinf et de disparition totale de SS, c’est à dire quand on n’observe plus d’intermittence,
pour vsup .
Dans le tableau 5, on observe que pour les rouleaux provenant du lot 1, la vitesse d’apparition
augmente peu quand θ augmente. La vitesse de disparition diminue de manière plus significative
pour θ croissant. En conséquence, la plage de présence de SS est plus grande quand θ est plus
faible. Les données du lot 2 sont moins précises. Elles montrent une même tendance que celles
du lot 1, mais les valeurs sont très différentes entre les deux lots.
4.2.3
Périodes de SS
On trace la période de SS en fonction de la vitesse du moteur (figure 18). Tout d’abord,
on voit que la période de Stick est plus élevée que celle de Slip, ce qui est en général le cas.
On observe deux régimes différents : pour des vitesses faibles, la période décroît avec la vitesse
(TSS ∝ 1/Vm ), puis se stabilise pour des vitesses plus élevées. A partir de cette courbe, on
peut déduire la vitesse de transition entre ces deux régimes vt pour les différentes conditions.
On constate que vt ne dépend pas de L, mais uniquement de θ (tableau 6). Dans l’expérience
faite sur le rouleau, la période était constante pour des vitesses allant de 0.37 à 0.74m/s. Dans
le cas présent, pour cette gamme de vitesse, on se situe dans le régime où T est décroissant,
ce qui montre que la dynamique est différente, peut-être en raison de l’oscillation de l’angle
et/ou à cause de l’inertie du substrat ou encore à cause de la courbure du substrat. En effet, on
remarque dans le tableau 6 que la valeur de la vitesse de transition entre les deux régimes varie
avec θ. D’autre part, Barquins et al trouvaient une relation du type L/TSS ∝ Vm [2], donc leurs
expériences se situaient dans le premier régime. Lors de travaux précédents, Cortet et al avaient
trouvé que L/TSS ne dépend pas de Vm . Le fait qu’on observe deux régimes pour TSS lors d’une
seule série de nos expériences réconcilie en partie ces résultats expérimentaux.
T
st
Tsl
Tss (ms)
1
10
TSS
θ (degrés)
60
90
120
150
0
10
vt (m/s)
2.4 ± 0.4
1.3 ± 0.3
0.75 ± 0.2
0.5 ± 0.2
0
10
Vm (m/s)
Tab. 6: Vitesse de transition entre les deux régimes
Fig. 18: Périodes de SS, de Stick et de Slip en échelles lo- de T=f(Vm ) (figure 18).
garithmiques. On observe 2 régimes différents : l’un où
T dépend de Vm , avec TSS ∝ 1/Vm , l’autre où T est
constant. Expériences réalisées avec L=54.4cm et θ=90
degrés.
On essaie de trouver des relations entre la période, la longueur de pelage et l’angle θ. Pour
commencer, on se place à θ fixé. Lorsqu’on trace les courbes TSS en fonction de Vm pour les
différentes longueurs (figure 19(a)), on voit qu’elles suivent une même tendance, mais ont des
valeurs différentes. A l’aide des valeurs de la pente et du plateau fp de la courbe 1/TSS = f (Vm ),
on trouve une loi de puissance en L. On a fp ∝ L−γ avec γ=0.78, on retrouve le même coefficient
γ que dans la géométrie rouleau. On peut ensuite superposer les différentes courbes en fonction
de Vm (figure 19(b)).
17
θ=60degrés
θ=60degrés
0.3
1/Tss (s−1)
0.4
0.3
L=26.7cm
L=37.6cm
L=49.7cm
L=61cm
L=78.3cm
0.2
0.1
0
0
1
2
Vm (m/s)
3
1/Tss. L0.78 (s−1.m0.78)
0.5
0.25
0.2
0.15
L=26.7cm
L=37.6cm
L=49.7cm
L=61cm
L=78.3cm
0.1
0.05
0
0
4
(a)
1
2
Vm (m/s)
3
4
(b)
Fig. 19: (a) 1/TSS fonction de Vm . (b) L0.78 /TSS fonction de Vm . On voit que cette loi de
puissance fait collapser les données. Expériences réalisées avec θ=60 degrés.
On essaie ensuite de caractériser la dépendance en θ. Si on trace la courbe pour une valeur de
L donnée (figure 20(a)), on voit apparaître deux régimes : un premier où on a une dépendance de
la pente en θ, et le second où le palier est indépendant de θ. On trace Lγ /TSS = f (Vm (1−cosθ)).
On voit que cette loi permet de faire collapser l’ensemble des données (figure 20(b)). Cette loi
rappelle la formule de Kendall [7] (partie 3.2.3). Cependant, nous ne savons pas comment se
ferait le lien avec cette loi. D’autre part, une loi en Lγ /TSS = f (Vm θ2 ) permet aussi de collapser
les données.
L=50cm
L0.78/T (m0.78/s)
1/Tss (s−1)
0.5
0.4
0.3
θ=60deg
θ=90deg
θ=120deg
θ=150deg
0.2
0.1
0
0
1
2
V (m/s)
3
0.3
0.2
0
0
4
m
(a)
θ=60 deg
θ=90 deg
θ=120 deg
θ=150 deg
0.1
2
4
Vm (1−cosθ) (m/s)
6
(b)
Fig. 20: (a) 1/TSS fonction de la vitesse de pelage. On voit que dans la partie croissante de la
courbe, la pente dépend de θ, alors que pour la partie constante, la période ne dépend plus de θ.
Expériences réalisées avec L = 50±4cm. (b) On réprésente Lγ /TSS en fonction de (Vm (1−cosθ))
pour toutes les longueurs explorées et pour les 4 angles. On voit que cette loi fait collapser
l’ensemble des données.
4.2.4
Vitesses de Stick et de Slip
On trace les vitesses de Stick et de Slip en fonction de la vitesse du moteur (figure 21(a)).
De manière générale, ces courbes ont la même forme pour les différents angles et longueurs. La
droite noire représente la vitesse moyenne de pelage. Au départ, on n’a pas de SS, donc les points
sont proches de la droite. Quand le SS apparaît, les points s’en éloignent progressivement. Finalement, pour la disparition du SS, ils reviennent brutalement vers la droite. Près de l’apparition
et de la disparition du SS, on observe que pour une même vitesse, il peut y avoir des vitesses de
Stick ou de Slip différentes. Ces points correspondent à des expériences avec de l’intermittence.
On a entouré en rouge les points correspondant à la vitesse de transition vt (tableau 6). On
voit que pour ces vitesses, les vitesses de Stick et de Slip se rapprochent de la droite de vitesse
18
6
Vitesses de Stick et de Slip (m/s)
Vitesses de Stick et de Slip (m/s)
moyenne. Cela montre que le SS tend à disparaître, il y aurait donc une dynamique particulière
autour de cette transition.
vst
vsl
4
2
0
0
1
2
3
Vitesse du moteur (m/s)
6
vst
4
vsl
2
0
0
(a)
1
2
3
Vitesse du moteur(m/s)
4
(b)
Fig. 21: Vitesses de Stick et de Slip en fonction de la vitesse du moteur. Expériences réalisées
avec θ = 90 degrés et L=54.4cm. (a) La droite noire représente la vitesse moyenne de pelage.
Les barres d’erreur représentent les déviations standard dans une expérience. Lorsqu’il y a deux
points à la même abscisse, il s’agit d’une seule expérience avec de l’intermittence. La zone
entourée en rouge correspond à la zone de transition entre les 2 régimes de TSS = f (Vm ) (figure
18). On observe que les vitesses de Stick et de Slip se rapprochent de la droite dans cette zone.
(b) On calcule la surface coloriée.
12
8
10
Stronquée (m2s−2)
Stronquée (m2s−2)
10
12
θ=60 deg
θ=90 deg
θ=120 deg
θ=150 deg
6
4
6
4
2
2
0
0
8
θ=60 deg
θ=90 deg
θ=120 deg
θ=150 deg
0.2
0.4
0.6
L1/3 (m1/3)
0.8
1
(a)
0
0
0.5
1
1.5
1/3
1/3
L /(1−cosθ) (m )
2
(b)
Fig. 22: (a) Surface tronquée en fonction de L1/3 . (b) Surface tronquée en fonction de L1/3 (1 −
cosθ).
On va ensuite essayer de caractériser la surface entre les deux courbes, colorée en bleu sur
la figure 21(b). Il est intéressant de calculer cette surface car elle caractérise la zone de SS :
sa largeur est caractéristique de l’étalement en vitesse de cette zone. Sa hauteur est caractéristique de l’importance du SS : si cette hauteur est importante, le SS est très marqué puisque
ses vitesses de Stick et de Slip sont éloignées de la vitesse moyenne. On calcule cette aire en ne
prenant que les points correspondant à des zones avec SS dans les cas intermittents. On a vu
précédemment que la vitesse de disparition du SS changeait lorsqu’on changeait de lot d’adhésif
(tableau 5). Pour pouvoir comparer les différentes séries d’expériences, on va donc tronquer la
surface mesurée à Vm =2.5m/s.
19
On essaie d’abord de trouver une loi pour la surface calculée S en fonction de L. De manière empirique, on trouve S ∝ L1/3 (figure 22(a)). On voit qu’il y a encore une dépendance en θ. En s’inspirant à nouveau de l’équation établie par Kendall [7] (partie 3.2.3), on trace S = f (L1/3 (1−cosθ)).
On voit que les données se regroupent alors sur une même droite (figure 22(b)).
Pouvoir contrôler θ nous permet donc de faire varier les différents paramètres Vm , L et θ
indépendamment. Il serait intéressant de balayer d’autres valeurs de L et de θ afin de confirmer
les lois empiriques déterminées. Finalement, il serait important de pouvoir expliquer la transition
entre les différents régimes de la courbe TSS = f (Vm ) de manière théorique.
5
Conclusion
Grâce à une visualisation directe lors d’une expérience de pelage à vitesse d’enroulement
constante, nous avons donc pu caractériser certaines propriétés de l’instabilité de Stick-Slip.
Nous avons effectué des expériences dans deux géométries différentes, en faisant varier différents
paramètres : la longueur de ruban libre L, l’angle de pelage θ et la vitesse d’enroulement Vm .
Dans la géométrie rouleau, la courbe de la période de SS en fonction de la longueur de pelage L
peut être ajustée par une droite pour les petites valeurs de L. Cette dépendance linéaire avait
été prédite par le modèle de Barquins et al [2]. Cependant, quand L devient grand, on trouve
une relation non linéaire entre L et TSS , en loi de puissance, qui n’est prédite par aucune théorie.
D’autre part, les vitesses de Slip et de Stick semblent aussi dépendre de la vitesse imposée par
le moteur. Il serait intéressant d’étudier les caractéristiques de SS pour des vitesses plus élevées
dans cette géométrie, afin de mieux comprendre l’évolution de ces grandeurs.
Nous avons pu mesurer la force appliquée au point de pelage en fonction de la vitesse, en particulier en présence de SS. Dans cette géométrie, cette mesure n’avait pas été effectuée jusqu’alors
à notre connaissance. La courbe obtenue correspond qualitativement aux modèles théoriques, en
particulier on retrouve la branche de pente négative à l’origine de l’instabilité de SS. Nous avons
aussi remarqué une dépendance de cette courbe avec L pour de faibles vitesses de pelage. Cette
dépendance n’est décrite dans aucun modèle théorique. Il serait important de tracer la force pour
des vitesses plus élevées, pour pouvoir observer la troisième branche, croissante, décrite dans les
études précédentes. Pour cela il faudra modifier notre système expérimental afin d’atteindre des
vitesses supérieures à 15m/s.
Dans la géométrie rouleau, le mouvement pendulaire influence la présence de SS. C’est pourquoi
nous avons essayé de le supprimer, en nous plaçant dans des conditions différentes. Dans la
géométrie plan, la motorisation du substrat permet de conserver un angle de pelage constant
sur toute l’expérience. Cependant, d’autres paramètres comme la courbure du subtrat et son
inertie sont modifiés, ce qui rend la comparaison difficile entre les deux systèmes. Pour étudier la
géométrie rouleau plus en détail, il serait donc important de connaître l’influence du mouvement
pendulaire, en particulier en changeant l’inertie de la poulie. Nous essaierons aussi de l’éliminer,
en contrôlant la vitesse de rotation du rouleau à l’aide d’un autre moteur.
Dans la géométrie plan, nous avons pu observer que la période de SS dépendait aussi de L de
manière non linéaire. Nous avons déterminé une loi de puissance, qui est identique à celle trouvée avec le rouleau. Il y a aussi une dépendance en θ, qu’il faudrait pouvoir caractériser plus en
détail, en particulier en faisant des expériences pour une gamme plus large de valeurs de θ. On
observe deux régimes différents dans les courbes de TSS en fonction de la vitesse du moteur :
pour de faibles valeurs de la vitesses, TSS décroît quand Vm augmente ; pour des valeurs de Vm
plus élevée, TSS ne dépend plus de la vitesse. Ces deux régimes ne sont pas caractérisés par les
différentes théories existantes. On observe aussi que le SS tend à disparaître au moment de la
transition entre ces deux régimes, puisque les vitesses de Stick et de Slip de rapprochent de la
vitesse moyenne.
Finalement, on ne comprend pas complètement ce qui peut déclencher le SS, puisque pour deux
lots différents d’un même type d’adhésif, les vitesses de disparition du SS varient notablement.
Ces variations pourraient être dues au fait que le SS peut être déclenché par des défauts dans
l’adhésif. Pour comprendre ce phénomène, nous essaierons de visualiser le front de pelage. Des
études récentes [14] ont mis en évidence la présence de sous-structures particulières sur la bande
adhésive à l’intérieur d’un évènement de slip. Nous étudierons cette sous-structure en observant
le front de pelage à très grande vitesse d’acquisition lors d’expérience de pelage sur un substrat homogène, puis en ajoutant des défauts contrôlés sur le substrat. Cela permettra de mieux
comprendre ce qui déclenche le SS au niveau microscopique.
20
Références
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rapid tape peeling. Physical Review E, 82(046107), 2010.
21