Chapitre 6. Dans le vide.

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6. Ondes électromagnétiques dans le vide et
les conducteurs
Ondes dans le vide
Introduction
Sans démontrer les équations de Maxwell, ni les traiter en utilisant le formalisme des
opérateurs, nous allons essayer de décrire le comportement des ondes électromagnétiques
dans le vide et d’en tirer les conséquences pour l’énergie qu’elles véhiculent.
Quelques approches simples
Nous avons déjà eu un très bon aperçu des ondes électromagnétiques dans le vide dans les
chapitres précédents, que les ondes se propagent entre 2 plaques parallèles, ou dans un guide
d’onde.
Dans ces deux derniers cas, le métal était considéré comme parfait, il assurait simplement la
condition de champ nul à l’intérieur du conducteur (mais pas entre les conducteurs bien sûr !).
Rappelons deux résultats :
Chapitre 4, ondes progressives entre 2 plaques
E perpendiculaire à B
E
x
= c . B
y
x perpendiculaire aux plaques, y selon leur largeur
Cette relation est particulière à ce cas, mais nous en déduisons tout de même que E et B sont
liés.
Nous avons aussi montré que :
S
z
= 1/µ
0
. E
x
. B
y
flux d’énergie (W/m
2
)
Chapitre 5, ondes à 3 dimensions :
équation de propagation :
∂
2
Ψ
ΨΨ
Ψ/∂t
2
= c
2
. ∆(Ψ
ΨΨ
Ψ) Ψ
ΨΨ
Ψ pouvant être E ou B
Nous en déduisons cette fois que les variations d’une grandeur par rapport au temps sont liées
à ses variations dans l’espace.
Les différentes relations qui gèrent le comportement de E et B se nomment les relations de
Maxwell : elles sont données en annexe 1.
Les ondes sont non dispersives
Nous connaissons déjà l’équation de propagation à 1 dimension (z) :
∂
2
E
z
/∂t
2
= c
2
. ∂
2
E
z
/∂z
2
L’équation de propagation à 3 dimensions est démontrée en annexe 2 :
∂
2
E/∂t
2
= c
2
. ∆E soit :

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∂
2
E
x
/∂t
2
= c
2
. (∂
2
E
x
/∂x
2
+ ∂
2
E
x
/∂y
2
+ ∂
2
E
x
/∂z
2
)
∂
2
E
y
/∂t
2
= c
2
. (∂
2
E
y
/∂x
2
+ ∂
2
E
y
/∂y
2
+ ∂
2
E
y
/∂z
2
)
∂
2
E
z
/∂t
2
= c
2
. (∂
2
E
z
/∂x
2
+ ∂
2
E
z
/∂y
2
+ ∂
2
E
z
/∂z
2
) et idem pour B
Cette équation prouve que chacune des composantes de E (E
x
, E
y
, E
z
) répond à une équation
d’onde non dispersive (vitesse constante c). Ceci implique que : ω
2
= c
2
.k
2
NB : nous avions "extrapolé" cette relation au chapitre 5, la démonstration reposant sur
l’hypothèse d’une onde progressive. Ici en annexe 2, la démonstration est rigoureuse et ne
suppose pas un type particulier d’onde.
Propriétés des ondes électromagnétiques planes
Plane veut dire que l’on a une source très
lointaine par exemple et que l’on peut considérer
que dans un plan Oxy, perpendiculaire à la
direction source/observateur Oz, ses
caractéristiques (E, B) ne dépendent ni de x ni de
y.
E(x,y,z,t) devient donc E(z,t) et
B(x,y,z,t) s’écrit B(z,t)
Toute l’étude qui suit concerne les ondes planes
Les ondes électromagnétiques planes sont transversales.
A priori, le champ électrique s'écrit:
E = E
x
i + E
y
j + E
z
k
Intéressons nous à la composante E
z
de E.
Nous allons montrer que E
z
ne dépend :
- ni de z
- ni du temps.
Nous savons déjà que
E
z
(x,y,z,t) = E
z
(z,t) et B
z
(x,y,z,t) = B
z
(z,t)
E
z
ne dépend pas de z :
d’après Maxwell
div (E) = 0 soit ∂E
x
/∂x + ∂E
y
/∂y + ∂E
z
/∂z = 0
et de plus (ondes planes) ∂E
x
/∂x = 0 et ∂E
y
/∂y = 0
(aucune composante n’est fonction de x ou y) =>
∂E
z
/∂z = 0 => E
z
ne dépend pas de z
E
z
ne dépend pas du temps :
x
y
z
k
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PLANE
E
Bπ

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selon Maxwell
∂E
z
/∂t = c
2
. (∂B
y
/∂x - ∂B
x
/∂y) et
∂B
y
/∂x = 0 et ∂B
x
/∂y = 0 car B
y
et B
x
ne dépendent ni de x ni de y. =>
∂E
z
/∂t = 0 => E
z
ne dépend pas du temps
E
z
ne dépend donc d’aucune variable d’espace ou de temps, il est donc constant : dans le
cadre de l’étude des ondes qui sont des oscillations, il est donc nul.
Le raisonnement est le même pour B
E
z
= 0 B
z
= 0 LES ONDES SONT TRANSVERSALES
Rappel :
le plan d’onde est déterminé par E et B et le vecteur k, perpendiculaire à E et B, est donc
suivant z: k
x
=0 et k
y
=0
Couplage E, B (ondes planes)
Les équations de Maxwell se simplifient considérablement car en tenant compte de
E
z
= 0, B
z
= 0 et du fait que
E
x
, E
y
, B
x
, B
y
ne dépendent ni de x, ni de y, on peut écrire :
E
z
= 0
∂E
x
/∂x = 0 ∂E
x
/∂y = 0
∂E
y
/∂x = 0 ∂E
y
/∂y = 0
B
z
= 0
∂B
x
/∂x = 0 ∂B
x
/∂y = 0
∂B
y
/∂x = 0 ∂B
y
/∂y = 0
C’est à se demander s’il reste quelque chose …
En reportant ces zéros dans les équations de Maxwell, il reste tout de même :
- deux couplages entre E
x
et B
y
c
2
. ∂B
y
/∂z = − ∂E
x
/∂t et ∂B
y
/∂t = - ∂E
x
/∂z couplages B
y
E
x
=> (math) E
x
< = > B
y
( si E
x
est connu, B
y
s’en déduit, et réciproquement, voir exemple plus loin))
- et de manière symétrique (attention au signe tout de même) deux couplages entre E
y
et B
x
c
2
. ∂B
x
/∂z = ∂E
y
/∂t et ∂B
x
/∂t = ∂E
y
/∂z couplages B
x
E
y
=> (math) E
x
< = > B
y
(si E
y
est connu, B
x
s’en déduit, et réciproquement)
Simplification : ondes polarisées
Les équations précédentes ne couplent pas E
x
et E
y
(ou B
x
et B
y
)
Ces deux grandeurs sont donc indépendantes (elles sont déterminées par la source).
Nous pouvons donc les traiter indépendamment.
Si E
y
= 0 l’onde est dite polarisée suivant x.
Nous nous placerons dans ce cas pour la suite : E = E
x
i

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A l’aide des 2 équations de couplage entre E
y
et B
x
, il est facile de montrer que B
x
=0.
Nous allons maintenant, dans deux cas typiques calculer B
y
en nous donnant E
x
.
Ondes planes polarisées harmoniques progressives
Supposons une onde plane, progressive, polarisée suivant Ox.
E
x
= E
0
. cos (ω.t – k.z)
Nous savons déjà (cf. ondes polarisées) que B
x
= 0.
Evaluons le comportement de B
y
en utilisant l’expression de E
x
ci-dessus et les 2 relations de
couplage entre E
x
et B
y
(cf. couplage E, B, ondes planes).
La première relation de couplage c
2
. ∂B
y
/∂z = − ∂E
x
/∂t conduit immédiatement à:
∂B
y
/∂z = (1/c
2
) . ω . E
0
. sin (ω.t – k.z)
qui en intégrant sur z devient:
B
y
= (1/c
2
) . ω / k . E
0
. cos (ω.t – k.z) + f(t) soit avec ω = c.k :
B
y
= (1/c) . E
0
. cos (ω.t – k.z) + f(t)
En prenant maintenant cette dernière expression de B
y
et celle de E
x
et en les reportant dans
∂B
y
/∂t = - ∂E
x
/∂z :
− ω/c . E
0
. sin (ω.t – k.z) + ∂f(t)/ ∂t = - k. E
0
. sin (ω.t – k.z)
qui compte tenu encore de ω = c.k, implique :
∂f(t)/ ∂t = 0 soit f(t) =Cte ou f(t) = 0 (car vibrations de moyenne nulle). Donc :
B
y
= (1/c) . E
0
. cos (ω.t – k.z)
Par conséquent, B
y
et E
x
sont en phase :
E
x
= c . B
y
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PLANE PROGRESSIVE
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PROGRESSIVE
z
y
x
B
E
Propagation
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PROGRESSIVE
z
y
x
B
E
Propagation

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NB :
Une solution un peu plus élégante consiste à montrer que :
∂ B
y
/ ∂ z = 1/c . ∂ E
x
/ ∂ z => ∂( c.B
y
)/ ∂ z = ∂ E
x
/ ∂ z
∂ B
y
/ ∂ t = 1/c . ∂ E
x
/ ∂ t => ∂( c.B
y
)/ ∂ t = ∂ E
x
/∂ t
La solution qui vérifie les 2 équations est : c . B
y
= E
x
, plus une constante sans importance.
Ondes planes polarisées harmoniques stationnaires
Supposons un onde plane, toujours polarisée suivant Ox, mais stationnaire et non pas
progressive :
E
x
= E
0
. cos (ω.t) . cos (k.z)
Avec une démarche tout à fait similaire à celle des ondes progressives, on obtient:
B
y
= E
0
/c . sin (ω.t) . sin (k.z)
L’amplitude est donc encore une fois égale à celle du champ divisée par c,
mais avec un déphasage de π/2 aussi bien dans l’espace que dans le temps.
Modules : |E
xmax
| = c . |B
ymax
| déphasage : espace π/2 et temps π/2
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PLANE STATIONNAIRE
NB :
vérifier (au minimum) que cette solution s’accorde avec les couplages
∂ B
y
/ ∂ z = -1/c
2
. ∂ E
x
/ ∂ t
∂ B
y
/ ∂ t = - ∂ E
x
/ ∂ z
ONDE ELECTROMAGNETIQUE STATIONNAIRE
z
BE
y
x