Chapitre 6. Dans le vide.

6. Ondes électromagnétiques dans le vide et
les conducteurs
Ondes dans le vide
Introduction
Sans démontrer les équations de Maxwell, ni les traiter en utilisant le formalisme des
opérateurs, nous allons essayer de décrire le comportement des ondes électromagnétiques
dans le vide et d’en tirer les conséquences pour l’énergie qu’elles véhiculent.
Quelques approches simples
Nous avons déjà eu un très bon aperçu des ondes électromagnétiques dans le vide dans les
chapitres précédents, que les ondes se propagent entre 2 plaques parallèles, ou dans un guide
d’onde.
Dans ces deux derniers cas, le métal était considéré comme parfait, il assurait simplement la
condition de champ nul à l’intérieur du conducteur (mais pas entre les conducteurs bien sûr !).
Rappelons deux résultats :
Chapitre 4, ondes progressives entre 2 plaques
E perpendiculaire à B
Ex = c . By
x perpendiculaire aux plaques, y selon leur largeur
Cette relation est particulière à ce cas, mais nous en déduisons tout de même que E et B sont
liés.
Nous avons aussi montré que :
Sz = 1/µ0 . Ex . By
flux d’énergie (W/m2)
Chapitre 5, ondes à 3 dimensions :
équation de propagation :
∂2Ψ/∂t2 = c2 . ∆(Ψ
Ψ)
Ψ pouvant être E ou B
Nous en déduisons cette fois que les variations d’une grandeur par rapport au temps sont liées
à ses variations dans l’espace.
Les différentes relations qui gèrent le comportement de E et B se nomment les relations de
Maxwell : elles sont données en annexe 1.
Les ondes sont non dispersives
Nous connaissons déjà l’équation de propagation à 1 dimension (z) :
∂2Ez/∂t2 = c2. ∂2Ez/∂z2
L’équation de propagation à 3 dimensions est démontrée en annexe 2 :
soit :
∂2E/∂t2 = c2 . ∆E
73
∂2Ex/∂t2 = c2 . (∂2Ex/∂x2 + ∂2Ex/∂y2 + ∂2Ex/∂z2)
∂2Ey/∂t2 = c2 . (∂2Ey/∂x2 + ∂2Ey/∂y2 + ∂2Ey/∂z2)
∂2Ez/∂t2 = c2 . (∂2Ez/∂x2 + ∂2Ez/∂y2 + ∂2Ez/∂z2)
et idem pour B
Cette équation prouve que chacune des composantes de E (Ex, Ey, Ez) répond à une équation
d’onde non dispersive (vitesse constante c). Ceci implique que : ω2 = c2.k2
NB : nous avions "extrapolé" cette relation au chapitre 5, la démonstration reposant sur
l’hypothèse d’une onde progressive. Ici en annexe 2, la démonstration est rigoureuse et ne
suppose pas un type particulier d’onde.
Propriétés des ondes électromagnétiques planes
Plane veut dire que l’on a une source très
lointaine par exemple et que l’on peut considérer
que dans un plan Oxy, perpendiculaire à la
direction
source/observateur
Oz,
ses
caractéristiques (E, B) ne dépendent ni de x ni de
y.
ONDE ELECTROMAGNETIQUE PLANE
z
E
B
E(x,y,z,t) devient donc E(z,t) et
B(x,y,z,t) s’écrit B(z,t)
x
y
Toute l’étude qui suit concerne les ondes planes
Les ondes électromagnétiques planes sont transversales.
A priori, le champ électrique s'écrit:
E = Ex i + Ey j + Ez k
Intéressons nous à la composante Ez de E.
Nous allons montrer que Ez ne dépend :
- ni de z
- ni du temps.
Nous savons déjà que
Ez(x,y,z,t) = Ez(z,t)
et
Bz(x,y,z,t) = Bz(z,t)
Ez ne dépend pas de z :
d’après Maxwell
div (E) = 0 soit
∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = 0
et de plus (ondes planes)
∂Ex/∂x = 0 et ∂Ey/∂y = 0
(aucune composante n’est fonction de x ou y)
=>
∂Ez/∂z = 0
=> Ez ne dépend pas de z
Ez ne dépend pas du temps :
74
k
π
selon Maxwell
∂Ez/∂t = c2 . (∂By/∂x - ∂Bx/∂y)
et
∂By/∂x = 0 et ∂Bx/∂y = 0
car By et Bx ne dépendent ni de x ni de y.
=> Ez ne dépend pas du temps
∂Ez/∂t = 0
=>
Ez ne dépend donc d’aucune variable d’espace ou de temps, il est donc constant : dans le
cadre de l’étude des ondes qui sont des oscillations, il est donc nul.
Le raisonnement est le même pour B
Ez = 0
Bz = 0
LES ONDES SONT TRANSVERSALES
Rappel :
le plan d’onde est déterminé par E et B et le vecteur k, perpendiculaire à E et B, est donc
suivant z: kx=0 et ky=0
Couplage E, B (ondes planes)
Les équations de Maxwell se simplifient considérablement car en tenant compte de
Ez = 0, Bz = 0
et du fait que
Ex, Ey, Bx, By
ne dépendent ni de x, ni de y, on peut écrire :
Ez = 0
∂Ex/∂x = 0
∂Ey/∂x = 0
∂Ex/∂y = 0
∂Ey/∂y = 0
Bz = 0
∂Bx/∂x = 0
∂By/∂x = 0
∂Bx/∂y = 0
∂By/∂y = 0
C’est à se demander s’il reste quelque chose …
En reportant ces zéros dans les équations de Maxwell, il reste tout de même :
- deux couplages entre Ex et By
c2. ∂By/∂z = − ∂Ex/∂t
et
∂By/∂t = - ∂Ex/∂z
couplages By
=> (math)
Ex < = > By
( si Ex est connu, By s’en déduit, et réciproquement, voir exemple plus loin))
Ex
- et de manière symétrique (attention au signe tout de même) deux couplages entre Ey et Bx
c2. ∂Bx/∂z = ∂Ey/∂t
et
∂Bx/∂t = ∂Ey/∂z
couplages Bx Ey
=> (math)
Ex < = > By (si Ey est connu, Bx s’en déduit, et réciproquement)
Simplification : ondes polarisées
Les équations précédentes ne couplent pas Ex et Ey (ou Bx et By)
Ces deux grandeurs sont donc indépendantes (elles sont déterminées par la source).
Nous pouvons donc les traiter indépendamment.
Si Ey = 0 l’onde est dite polarisée suivant x.
Nous nous placerons dans ce cas pour la suite : E = Ex i
75
A l’aide des 2 équations de couplage entre Ey et Bx, il est facile de montrer que Bx=0.
Nous allons maintenant, dans deux cas typiques calculer By en nous donnant Ex.
Ondes planes polarisées harmoniques progressives
Supposons une onde plane, progressive, polarisée suivant Ox.
Ex = E0 . cos (ω.t – k.z)
Nous savons déjà (cf. ondes polarisées) que Bx = 0.
Evaluons le comportement de By en utilisant l’expression de Ex ci-dessus et les 2 relations de
couplage entre Ex et By (cf. couplage E, B, ondes planes).
La première relation de couplage c2. ∂By/∂z = − ∂Ex/∂t conduit immédiatement à:
∂By/∂z = (1/c2) . ω . E0 . sin (ω.t – k.z)
qui en intégrant sur z devient:
soit avec ω = c.k :
By = (1/c2) . ω / k . E0 . cos (ω.t – k.z) + f(t)
By = (1/c) . E0 . cos (ω.t – k.z) + f(t)
En prenant maintenant cette dernière expression de By et celle de Ex et en les reportant dans
∂By/∂t = - ∂Ex/∂z :
− ω/c . E0 . sin (ω.t – k.z) + ∂f(t)/ ∂t = - k. E0 . sin (ω.t – k.z)
qui compte tenu encore de ω = c.k, implique :
∂f(t)/ ∂t = 0 soit f(t) =Cte ou f(t) = 0 (car vibrations de moyenne nulle). Donc :
By = (1/c) . E0 . cos (ω.t – k.z)
Par conséquent, By et Ex sont en phase :
Ex = c . By
ONDE
ELECTROMAGNETIQUE
ONDE
ELECTROMAGNETIQUE
y
B
z
E
x
76
PLANE
Propagation
PROGRESSIVE
PROGRESSIVE
NB :
Une solution un peu plus élégante consiste à montrer que :
∂By/∂z = 1/c . ∂Ex/∂z
=>
∂(c.By)/∂z = ∂Ex/∂z
∂By/∂t = 1/c . ∂Ex/∂t
=>
∂(c.By)/∂t = ∂Ex/∂t
La solution qui vérifie les 2 équations est : c . By = Ex , plus une constante sans importance.
Ondes planes polarisées harmoniques stationnaires
Supposons un onde plane, toujours polarisée suivant Ox, mais stationnaire et non pas
progressive :
Ex = E0 . cos (ω.t) . cos (k.z)
Avec une démarche tout à fait similaire à celle des ondes progressives, on obtient:
By = E0/c . sin (ω.t) . sin (k.z)
L’amplitude est donc encore une fois égale à celle du champ divisée par c,
mais avec un déphasage de π/2 aussi bien dans l’espace que dans le temps.
|Exmax| = c . |Bymax|
déphasage : espace π/2 et temps π/2
ELECTROMAGNETIQUE
PLANE
STATIONNAIRE
Modules :
ONDE
ONDE ELECTROMAGNETIQUE STATIONNAIRE
y
B
E
z
x
NB :
vérifier (au minimum) que cette solution s’accorde avec les couplages
∂By/∂z = -1/c2 . ∂Ex/∂t
∂By/∂t = - ∂Ex/∂z
77
Flux d’énergie :
Pour un condensateur, il est facile de prouver que l’énergie électrostatique ½ CV2 est égale à :
½.ε0.E2
par unité de volume (prendre un condensateur plan).
Pour les champs électromagnétiques il faut ajouter
(encore un coup du facteur c)
½.B2/µ0
Nous admettrons que ce résultat est général : à toute zone où règne un champ
électromagnétique on peut associer une énergie par unité de volume
½ . (ε0.Ex2 + 1/µ0 .By2)
Energie électromagnétique/volume
Watt/m3
Calculons l’énergie δW contenue dans un élément de volume A.δz
δW = A . δz . (ε0.Ex2 + 1/µ0 .By2) /2
En dérivant δW par rapport au temps on obtient δP, la puissance qui est la dérivée par rapport
au temps de la puissance localisée dans A.δz :
δP = ∂(δW)/∂t
δP = A . δz . (ε0.Ex. ∂Ex/∂t + 1/µ0 .By. ∂By/∂t)
et en utilisant les relations de couplage entre Ex et By (cf. Couplages E, B , ondes planes):
δP = - A . δz . (ε0.c2.Ex. ∂By/∂z + 1/µ0 .By. ∂Ex/∂z)
δP = - A . δz . 1/µ0 . ∂ (Ex. ∂By + By. ∂Ex)/∂z
δP = - A . 1/µ0 . δz . ∂ (Ex.By)/∂z
Or :
δz . ∂ (Ex.By)/∂z = δ(Ex.By)
Donc :
δP = - A . 1/µ0 . δ(Ex.By))
ou
δP = A . 1/µ0 . ((Ex.By)z − (Ex.By)z+dz)
Il est donc commode de définir une
grandeur
S = 1/µ0 . Ex.By
où S est un flux d’énergie (W/m2).
La puissance localisée dans un volume fait
alors simplement appel à la différence des
flux entrants et sortants
δP = A . (S(z) –S(z+dz))
Compte tenu du fait que Ex et By sont
perpendiculaires (ainsi que Ey et Bx), et que
la propagation est perpendiculaire à E et B,
S est alors défini comme un vecteur, le
vecteur de Poynting S que l’on avait déjà
défini dans le chapitre 4.
VECTEUR DE POYNTING
E
S
B
S = 1/µ0 . E
B
Vecteur de Poynting
(Flux : W/m2)
S = 1/µ0 . E ∧ B
Vous pouvez vérifier que le vecteur est orienté dans le sens de la propagation de l’onde.
78
En tenant compte des expressions de Ex et By du paragraphe précédent , nous pouvons
facilement montrer que, si E0 est l’amplitude du champ électrique :
pour une onde stationnaire :
Sz = E02/(µ0.c) . ¼ sin (2.ω.t) . sin (2.k.z)
En moyennant ce flux dans le temps :
(Sz)eff. = 0
Il n’y a pas propagation d’énergie, mais un échange d’énergie entre E et B.
pour une onde progressive :
Sz = E02/(µ0.c) . cos2 (ω.t – k.z)
En moyennant ce flux dans le temps :
(Sz)eff. = ½ E02/(µ0.c) = ½ ε0.c.E02
Il y a propagation d’énergie.
NB1 :
A l’heure où l’on envisage des (très grands) voiliers solaires donnons aussi l’expression de
la pression de radiation d’une onde électromagnétique qui se réfléchit sur un conducteur :
Pr = 2 . Sef f /c qui s’écrit aussi Pr = ε0 . E02
et qui est encore égale à l’énergie totale(E+B) par unité de volume (facile à montrer à partir
de la première expression de ∆W en utilisant B=E/c)
Démonstration : soit à l’aide des forces électromagnétiques ( ), soit de manière sommaire à
l’aide des résultats des propriétés des photons(☺), ce que nous allons faire.
Si N photons d’énergie E chacun, dont la quantité de mouvement est p (=E/c, relation
relativiste), sont réfléchis (donc variation 2.p de leur quantité de mouvement) sur une surface
A, pendant un temps t, cette surface est soumise à une force F telle que:
F=N.(2.p)/t (c’est F=dp/dt) => F=2.N.E/t/c
or N.E/t est la puissance P qui arrive sur S donc :
F=2.P/c
d’où la pression
Pr =F/A=2.(P/A)/c=2.Seff/c
Pr = 2. Seff/c
Pascal ou N/m2
en fait cette force est électromagnétique : F=qE => v // E et Fmag = q.v^B
NB2 :
Electromagnétisme et mécanique.
L’analogie mécanique conduit à la conclusion suivante :
E est l’équivalent de la force de rappel (exemple - k.z, –T0. ∂Ψ/∂z)
B l’équivalent de la vitesse (exemple ∂Ψ/∂t)
Les échanges d’énergie entre E et B sont analogue à l’échange entre l’énergie potentielle et
l’énergie cinétique dans un pendule.
Ondes dans les conducteurs résistifs
Introduction
Les conducteurs ont été considérés jusqu’ici comme des zones de champ électrique nul.
Ceci serait vrai si leur conductivité était infinie.
79
Une valeur de la conductivité finie entraîne un comportement spécifique que nous
expliciterons dans quelques cas particuliers :
- la liaison champ / densité de courant / puissance dissipée
- l’effet de peau
- les courants de Foucault
D’autre part, les conclusions obtenues pour E et B dans la matière seront valables ici, à
condition de remplacer ε0 et µ0 par ε et µ.
Excepté pour les conducteurs ferromagnétiques, µ est sensiblement égal à µ0.
Liaison champ / densité de courant / puissance
Les champs électriques existent dans les
conducteurs réels. Ils induisent un courant et
une dissipation d’énergie que nous allons
maintenant préciser.
DENSITE DE COURANT
J
Tout d’abord, une relation toujours valable,
quel que soit le mode de transport des
charges :
J=q.n.v
J : densité de courant (A/m2)
q, n, v : charge (C), concentration (m-3) et
vitesse des porteurs (m/s)
Remarques :
Le produit
n . v représente le flux (m-2 s-1)
l’équivalent de J en mécanique des fluides est
J = q.n.v
v
n
S
v . dt
J=ρ.v
(kg/m2/s)
Dans les conducteurs, pour des champs électriques E pas trop élevés, la vitesse est
proportionnelle au champ électrique
v = µp. E
µp. s’appelle la mobilité des porteurs (rien à voir avec la perméabilité magnétique µ)
D’où
J = q . n . µp . E
qui permet de définir la conductivité
σ = q . n . µp
La conductivité σ est l’inverse de la résistivité ρ bien connue : σ = 1 / ρ
Dans les conducteurs et en dessous des fréquences optiques, σ est réel
J=σ.E
E=ρ.J
σ = q . n . µp
Une autre expression intéressante concerne la puissance, cf. annexe 3
80
ρ=1/σ
dP/dτ = σ . E2 = ρ . J2
Puissance dissipée par unité de volume (W/m3)
PS : une démonstration rapide, dans le cas particulier d’un fil de longueur L et de surface A
donc de volume A.L, consiste à écrire
d’où P/(A.L) = σ.E2
P = V.I = (E.L).(J.A) = E.L.σ.E.A = σ.E2.A.L
Effet de peau
Nous allons maintenant quantifier la pénétration des ondes dans les conducteurs.
Hypothèses :
Le conducteur occupe tout le ½
espace z > 0.
L’onde électromagnétique :
- arrive perpendiculairement à la
surface
- B est polarisé suivant uy.
EFFET DE PEAU
x
E
vide
z
B
=>B = B0 . exp (j.ω.t) uy
=>By = B0 . exp (j.ω.t) (z<0) (1)
amplitude
Ex
(et By)
lex = [2/(ω.µ0.σ)]1/2=1/k
E0 . exp (-kz).cos(kz)
On ne se préoccupe pas de la
réflexion: elle est déjà prise en
compte dans B0.
z
Relations E, B, J
Nos études précédentes sur E et B,
donnent plusieurs informations :
1/ E doit être perpendiculaire à B
2/ E est harmonique =>
=>
E = Ex . ux
Ex = A(z) . exp(j.ω.t) => ∂Ex/∂t = j . ω . Ex
3/ ∂Ex/∂z = - ∂By/∂t (Maxwell)
∂Ex/∂z = - j.ω.By
(2)
=> avec (1)
(3)
4/ La relation champ magnétique courant (annexe 1) s’écrit ici :
(4)
∂By/∂z = - µ . Jx
où nous avons admis ε. ∂Ex/∂t<<Jx,
c’est à dire un courant de déplacement faible devant le courant de conduction
5/ La relation densité de courant / champ s’applique dans le conducteur
J=σ.E
=>
Jx = σ . Ex
(5)
81
Equation d’onde du champ électrique Ex
En dérivant (3) par rapport à z et en utilisant ensuite (4) puis (5):
∂2Ex/∂z2 = - j . ω . ∂By/∂z = j . ω . µ . Jx = j . ω . µ . σ . Ex
∂2Ex/∂z2 - j . ω . µ . σ . Ex = 0
équation différentielle qui décrit le comportement de Ex suivant z.
Elle est de type connu … depuis le premier paragraphe de ce cours.
Réécrite en utilisant Ex = A(z) . exp(j.ω.t), elle devient :
∂2A(z) /∂z2 - j . ω . µ . σ . A(z) = 0
Champ électrique Ex
La solution A(z) de l’équation différentielle est telle que :
A(z) = C . exp (β.z) + D . exp(-β.z)
avec
β2 = j . ω . µ . σ
β?
(j)1/2 s’écrit : (1+j)/21/2
Nous pouvons donc définir une grandeur k telle que :
k = [(ω.µ.σ)/2]1/2 qui permet d’écrire
β = +/- (1 + j).k
La solution générale de Ex s’écrit donc :
Ex = {C . exp [(1+j).k.z] + D . exp [- (1+j).k.z]} . exp (j.ω.t)
Comme z peut tendre vers + l’infini, la première exponentielle est à exclure.
Finalement en regroupant les arguments réels et exponentiels et en désignant D par E0 :
Ex = E0 . exp (- k.z) . exp [j (ω.t – k.z)]
Ex est donc une onde progressive atténuée par le terme
exp (- k.z)
Nous définirons lex (longueur d’extinction) par :
lex = 1/k
soit
lex2 = 2/(ω.µ.σ )
Le champ électrique ne pénètre que sur quelques lex, en exp(-z/lex)
Il n’est donc pas nécessaire d’employer des métaux épais pour certaines applications
électromagnétiques :
Exemples :
Cuivre σ = 5,76 107 (Ω.m)-1
f = 50 Hz
=>
lex = 1cm
f = 50 MHz =>
lex = 10µm
On ne l'a pas vraiment démontré ici, mais à haute fréquence, un signal électromagnétique
n'utilise que la partie extérieure (~ une longueur d'extinction) du conducteur.
82
Champ Magnétique By
Donnons pour terminer l’expression du champ magnétique :
D’après (4)
∂By/∂z = - µ . Jx = - µ . σ . Ex
En reprenant l’expression de Ex ci dessus et en l’intégrant par rapport à z (excellent exercice
d’imaginaire ...) :
By = 21/2. k/ω . E0 . exp (- k.z) . exp [j . (ω.t – k.z – π/4)]
On notera :
l’atténuation identique à celle de Ex (ce n’est pas surprenant)
le déphasage de π/4
la grandeur ω/k/21/2 qui est une vitesse et qui vaut : (ω /µ /σ)1/2
(pour le cuivre 2 m/s à 50Hz, et 2 km/s à 50Mhz)
Et à ce propos … combien vaut la vitesse de phase ω/k ? C'est bien loin de c! Mais dessinez E
ou B en fonction de z (pour ωt=0 par exemple) et vous comprendrez vite ce qui se passe.
Courants de Foucault
Si un conducteur est soumis à un champ variable B(t), le champ électrique associé E(t) va
induire des courants qui vont provoquer un échauffement donc une dissipation d’énergie.
Ces courants se nomment les courants de Foucault et trouvent leur application dans les freins
sans contact.
COURANTS DE FOUCAULT
Le calcul est effectué ici pour une
géométrie simple :
B = B0 . exp (j.ω.t) . uz
=>
Bz = B0 . exp (j.ω.t)
=>
d Bz /dt = j. ω . Bz
r+dr
r
B
H
Les signes sont ignorés … de toute
façon le résultat est un échauffement.
Le long d’une boucle :
ξ = dΦ/dt
(Loi de Lenz , cf annexe 4)
E . 2π . r = dΦ/dt
=> E = dΦ/dt / (2π . r)
2
Φ=π.r .B
=> dΦ/dt = π . r2 . j . ω . B
E=½.j.ω.r.B
donc :
Compte tenu de dP/dτ = σ . E2, la puissance dissipée dans l’élément de volume considéré est
donc :
dP = σ . ( ½ .ω.r.B)2 . 2π.r.dr . dz
P = 1/8 . π . σ . ω2 . B2 . R4 . H
qui intégré sur un rayon R et une hauteur H donne :
Moyenné dans le temps, B2 donne B02/2
83
La puissance dissipée est donc :
P = 1/16 . π .σ . ω2 . B02 . R4 . H
Exemple :
σ = 6.107 (Ωm)-1,
=> P = 1 kW
ω = 2π.5 rad/s ,
B = 0.3 T,
R = 5cm,
H =15cm
Attention, ce calcul est approché car il ne tient pas compte de la modification de B engendrée
par les courants eux mêmes induits par B etc …. Le calcul exact nécessiterait de respecter
simultanément toutes les équations … de Maxwell bien sûr.
On montre que ce calcul est correct si
µ.σ.ω.R2<<4
soit
R<<lex
Dans le cas numérique qui nous concerne, la correction est loin d’être négligeable !
Conclusion :
voir conclusion du cours oral
84
Annexe 1 : Equations de Maxwell
Equations de Maxwell dans la matière avec charges et courants
Nous donnons ci-dessous les équations locales et les équivalents pour les relations intégrales,
des plus simples aux plus compliquées.
Les surfaces et les circuits (ou courbes) évoqués sont fermés. Mais à part cela tout à fait
quelconques.
div (B) = 0
flux B surface = 0
div (E) = ρ / ε
flux E surface = charge intérieure / ε .
(Théorème de Gauss)
rot E = - ∂B/∂t
circulation E courbe = - d/dt (flux B à travers courbe)
(Loi de Lenz)
rot B = µ . ( ε ∂E/∂t + J )
circulation B = µ . [ε . d/dt (flux E à travers courbe) + courant à travers la courbe]
En statique ∂E/∂t=0 et donc rot B = µ . J
(Théorème d’Ampère)
NB : Le terme ε . ∂E/∂t est le plus compliqué à justifier. Il est l’équivalent d’une densité de
courant et se nomme courant de déplacement. (cf annexe 5). Noter tout de même que si ce
terme n’existait pas, on perdrait la belle symétrie des couplages E B dans le vide où les
courants sont nul (J=0).
En explicitant les composantes des grandeurs et des opérateurs, ces équations s’écrivent :
div (B) = 0
(1)
∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0
div (E) = ρ / ε
(2)
∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = ρ / ε
rot E = - ∂B/∂t
(3x)
(3y)
(3z)
∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z = - ∂Bx/∂t
∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x = - ∂By/∂t
∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y = - ∂Bz/∂t
rot B = µ. (ε ∂E/∂t + J)
(4x)
(4y)
(4z)
∂Bz/∂y - ∂By/∂z = µ . (ε ∂Ex/∂t + Jx)
∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x = µ . (ε ∂Ey/∂t + Jy)
∂By/∂x - ∂Bx/∂y = µ . (ε ∂Ez/∂t + Jz)
Approches des lois de Maxwell
div (B) = 0 => flux de B=0 est facile à illustrer par des exemples : essayer d’évaluer le
flux avec le champ produit par un fil rectiligne infini puis généraliser (cf. Berkeley).
div (E) = ρ/ε (ou Gauss) fait partie des bases de l’électrostatique.
85
On note une dissymétrie des équations en B et E : elle est simplement liée au fait que des
charges fixes ρ ne produisent qu’un champ électrique, alors que des charges mobiles induisent
un champ électrique et un champ magnétique.
Nous allons maintenant simplement donner une approche des relations (3) et (4) en partant
des relations intégrales bien connues (Lenz puis Ampère)
NB : Pour une compréhension physique des opérateurs vectoriels et des théorèmes de Stokes
et d’Ostrogradski, voir la remarquable présentation de Berkeley 2 Electricité et Magnétisme
p 53 à 75.
Loi de Lenz et rot E = - ∂B/∂t
Nous allons démontrer partiellement la relation :
∂B/∂t = rot (E)
soit pour la composante z :
∂Bz/∂t = - ∂Ey/∂x + ∂Ex/∂y
En partant de la loi de Lenz (cf. annexe 4) :
ξ = - dΦ/dt
Choisissons un circuit de hauteur h (suivant y)
et de largeur faible δx.
La force électromotrice qui génère le courant
est égale à la différence entre les forces
électromotrices ξx+δx et ξx soit : Ey(x+δx) . h –
Ey(x) . h
CHAMP E / CHAMP
B
Bz
y
Ey(x)
D’autre part, le flux φ qui traverse le circuit est
égal à : h . δx . Bz
x
Ey(x+δx) h
x+δx
x
D’où l’équation :
Ey(x+δx) . h – Ey(x) . h = - d (h . δx . Bz) / dt = - h . δx . dBz/dt
Ey(x+δx) – Ey(x) = - δx . dBz/dt
=> δEy = - δx . dBz/dt
qui se résume sous la forme :
∂Ey/∂x = - ∂Bz/∂t
Notre résultat est donc correct (nous avons en fait ignoré le terme ∂Ex/∂y en particularisant
notre circuit)
Les variations spatiales du champ E sont donc bien liées aux variations temporelles de B
Théorème d’Ampère et rot B = µ0 . J
soit suivant x :
∂Bz/∂y - ∂By/∂z = µ0 . Jx
Nous allons établir la relation partielle :
− ∂By/∂z = µ0 . Jx
à partir du théorème d’Ampère qui raconte que :
la circulation du vecteur B le long d’un circuit fermé = µ0 . I
86
I étant le courant qui traverse le circuit
CHAMP MAGNETIQUE / COURANT
Pour simplifier, le courant est choisi
perpendiculaire au circuit : J = Jx ux.
Imaginons le conducteur comme une plaque
très haute (infinie) dans la direction y,
verticale pour fixer les idées.
Le plan horizontal xOz (z vers notre droite) est
un plan de symétrie pour la distribution de
courant, donc B est perpendiculaire à ce plan
(loi connue de symétrie)
=> B = By . uy
J
y
By(z)
By(z+δz) h
x
z
z+δz
z
Nous allons appliquer le théorème d’Ampère à un rectangle situé dans la plaque, de largeur
faible δz et de hauteur h (suivant y).
La circulation est :
nulle sur le haut et le bas du rectangle (dl et B perpendiculaires)
= By(z) . h
sur le côté gauche (sur une verticale z)
= By(z+δz) . h
sur le côté droit (sur une verticale z + δz).
Quand on parcourt le rectangle (sens trigonométrique, voir tire-bouchon avec Jx), la
circulation est la différence de ces 2 termes.
By(z) . h - By(z+δz) . h
Le courant qui traverse le circuit est égal à :
Jx . h . δz
L’application du théorème d’Ampère conduit donc à :
=>
- δBy = µ0 . Jx . δz
By(z) . h - By(z+δz) . h = µ0 . Jx . h . δz
D’où la relation cherchée :
dBy/dz = - µ0 . Jx
Le résultat est correct car ici ∂Bz/∂y est nul ( système invariant suivant y).
NB :
Pour imaginer le champ créé par une distribution quelconque de courant, essayer de
remplacer cette distribution par une somme de fils rectilignes infinis.
Annexe 2 : Equation de propagation dans le vide
La démonstration peut se faire de manière très générale mais il faut parfaitement savoir
manipuler les opérateurs vectoriels (Berkeley 3 p. 355)
Elle est faite ici sans avoir besoin de connaître les règles sur les opérateurs. Il suffit de savoir
dériver… et d’être patient.
Du fait que nous nous plaçons dans le vide et donc que les charges et courants sont nuls, les
équations générales se simplifient un peu avec :
87
ε = ε0
µ = µ0
ε0 . µ0 . c2 = 1
ρ=0
Jx=0
Jy=0
Jz=0
Nous allons démontrer l’équation d’onde suivante :
Ψ)
soit, suivant z, avec Ψ = E
∂2Ψ/∂t2 = c2 . ∆(Ψ
∂2Ez/∂t2 = c2. ( ∂2Ez/∂x2 + ∂2Ez/∂y2 + ∂2Ez/∂z2)
La recette est la suivante (cf annexe 1 pour les équations) :
Dériver (4z) par rapport au temps
∂2Ez/∂t2 = c2 . ∂/∂t (∂By/∂x - ∂Bx/∂y)
Inverser l’ordre des dérivées :
∂2Ez/∂t2 = c2 . (∂/∂x(∂By/∂t) - ∂/∂y (∂Bx/∂t))
Chercher ∂By/∂t et ∂Bx/∂t dans 3y et 3x
∂By/∂t = - (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x)
=>
∂Bx/∂t = - (∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z)
=>
+∂/∂x(∂By/∂t) = - ∂2Ex/∂z∂x + ∂2Ez/∂x2
- ∂/∂y (∂Bx/∂t) = + ∂2Ez/∂y2 - ∂2Ey/∂z∂y
(nous avons donc déjà trouvé deux des termes recherchés: ∂2Ez/∂x2 et ∂2Ez/∂y2)
∂2Ez/∂t2 = c2 . (∂2Ez/∂x2 + ∂2Ez/∂y2 - ∂2Ey/∂z∂y - ∂2Ex/∂z∂x)
∂2Ez/∂t2 = c2 . (∂2Ez/∂x2 + ∂2Ez/∂y2 - ∂/∂z(∂Ey/∂y + ∂Ex/∂x))
qui compte tenu de (2), donne bien :
∂2Ez/∂t2 = c2.( ∂2Ez/∂x2 + ∂2Ez/∂y2 + ∂2Ez/∂z2)
∂2Ez/∂t2 = c2 . ∆Ez
idem pour Ex et Ey
ou
(∆=Laplacien)
Le résultat peut se condenser en notation vectorielle par :
∂2E/∂t2 = c2.∆E
Ouf, on respire …
La démonstration pourrait être faite pour B :
commencer par dériver l’équation (3) de Maxwell par rapport au temps
Le résultat est exactement le même.
Annexe 3 : Puissance dissipée par unité de volume
Faisons le raisonnement à 1 dimension dans une tranche (un cylindre) de surface A comprise
entre z et z + a. La concentration des charges est n, leur vitesse est v.
Elles mettent donc un temps t = a/v pour franchir a.
Pour ne pas employer d’expression toute cuite (effet Joule !) il suffit de se rappeler que, par
définition du potentiel, la variation d’énergie d’une charge q lorsqu’elle est passe d’une zone
de potentiel V0 à V0+ V est égal à :
(W)1 charge = q . V
avec V = E . a
(signe ignoré) donc (W)1 charge = q . E . a
88
W = (n.A .a).q .E .a =>
W/(A.a) = q.n.E .a
Ceci représente le travail dissipé par unité de volume. Il se déroule en un temps t = a/v.
Donc la puissance dissipée par unité de volume est égale à :
Pvol = q .n . E .a / (a/v) = q.n.v .E
or q.n.v = J donc
2
2
Pvol = J . E = σ . E = ρ . J
Si on note dP/dτ la puissance dissipée par unité de volume :
dP/dτ = J . E = σ . E2 = ρ . J2
(Watt/m3)
C’est une relation locale très intéressante pour calculer les puissances lorsqu’on sort des cas
classiques.
Annexe 4 : Loi de Lenz
LOI DE LENZ
Elle se démontre facilement en partant
de la force qui agit sur une charge
mobile.
Si une tige conductrice de longueur l se
déplace dans un champ magnétique,
chaque charge est soumise à une force
F=q.v∧B
soit
suivant x et B suivant z :
Fy = q . v x . Bz
si
v
y
z
t
t+dt
l
est
x
x+δx
B
x
Les porteurs libres sont soumis à cette force mais ne peuvent pas se déplacer car le circuit
n’est pas fermé. Il faut donc supposer une force égale et opposée qui s’applique à cette force :
il n’y a pas trop le choix, c’est un champ électrique E le long de la tige, avec (nous ignorons
ici les signes) :
q.E=q.v.B
=>
E = v .B
(remarque : E = vitesse . B)
Si on somme (intègre) ce champ (Volt/mètre) sur la longueur l de la tige (mètre), on obtient la
tension ξ (Volt) entre les 2 extrémités de la tige :
ξ=v.B.l
avec
v = dx/dt
=>
ξ = B . l . dx /dt
l . dx est une surface ds
et B.ds représente le flux Φ qui traverse cette surface (dite surface balayée par le conducteur)
Finalement
ξ = dΦ/dt
pour le signe …un peu de réflexion =>
ξ = - dΦ/dt
Nous admettrons que cette relation se généralise c’est à dire :
variation de flux => champ électrique => courant (dans un circuit fermé) que cette variation
soit due :
89
- à un déplacement du circuit de zones à fort B vers des B plus faibles (on s’écarte d’un
aimant …)
- ou à une variation du champ magnétique avec le temps pour un circuit fixe (transformateur
par exemple)
Annexe 5 : courant de déplacement
Lorsqu’on calcule le champ magnétique à partir de l’intégration des forces élémentaires, on
arrive assez directement au théorème (intégral) d’Ampère, dont la propriété locale
correspondante est :
rot B = µ . J
Il est facile de montrer à partir de la définitions mathématiques des opérateurs div et rot que
div (rot (B)) = 0
(Ceci est vrai quel que soit le vecteur considéré, essayez, les termes se détruisent 2 à 2)
Ceci implique donc que
soit encore
div (µ . J) = 0
div (J) = 0
Or ceci est faux car une équation connue (mais pas de Maxwell) de conservation de la charge
stipule que :
div (J) + ∂ρ/∂t = 0
où ρ est la charge d’espace
Cette équation raconte simplement (se placer à une dimension pour comprendre) que s’il y a
une différence entre le courant entrant et le courant sortant, c’est que la zone considérée se
charge.
Comment concilier tout cela ?
Reprenons l’équation de conservation de la charge dans laquelle nous remplaçons ρ par
ε.div (E)
qui est une relation de Maxwell. Elle devient :
div (J) + ε.∂ div (Ε
Ε)/∂t = 0 soit en permutant les dérivées temps/espace :
div (J) + ε.div (∂Ε
Ε/∂t) = 0 ou encore
div (J + ε.∂Ε
Ε/∂t) = 0
On est donc fortement tenté de remplacer dans le théorème d’Ampère J par
J + ε.∂Ε/∂t ce qui le transforme en
rot B = µ . (J + ε.∂Ε/∂t)
la divergence de rot (B) est alors nulle en respectant bien l’équation de continuité. CQFD
La quantité ε.∂E/∂t est l’équivalent d’une densité de courant. Elle existe, même dans le vide,
dès que les grandeurs E,B dépendent du temps.
NB :
Les forces magnétiques se calculent à partir des forces électrostatiques en faisant intervenir
la relativité car les champs magnétique exigent des charges en mouvement (cf Berkeley,
pages 184-188.
90
Annexe 4: Simplifications successives des équations de
Maxwell.
Maxwell
Maxwell dans le vide
(1)
∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0
(1)
∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0
(2)
∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = ρ / ε
(2)
∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = 0
(3x)
(3y)
(3z)
∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z = - ∂Bx/∂t
∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x = - ∂By/∂t
∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y = - ∂Bz/∂t
(3x)
(3y)
(3z)
∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z = - ∂Bx/∂t
∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x = - ∂By/∂t
∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y = - ∂Bz/∂t
(4x)
(4y)
(4z)
∂Bz/∂y - ∂By/∂z = µ . (ε ∂Ex/∂t + Jx)
∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x = µ . (ε ∂Ey/∂t + Jy)
∂By/∂x - ∂Bx/∂y = µ . (ε ∂Ez/∂t + Jz)
(4x)
(4y)
(4z)
∂Bz/∂y - ∂By/∂z = µ . ε . ∂Ex/∂t
∂Bx/∂z - ∂Bz/∂x = µ . ε . ∂Ey/∂t
∂By/∂x - ∂Bx/∂y = µ . ε . ∂Ez/∂t
Maxwell vide onde plane propagation z
Maxwell vide, onde plane (z), E=Ex (polarisée)
(1)
∂Bz/∂z = 0
(1)
∂Bz/∂z = 0
(2)
∂Ez/∂z = 0
(2)
∂Ez/∂z = 0
(3x)
(3y)
(3z)
- ∂Ey/∂z = - ∂Bx/∂t
∂Ex/∂z = - ∂By/∂t
0
= - ∂Bz/∂t
(3x)
(3y)
(3z)
0
= - ∂Bx/∂t
∂Ex/∂z = - ∂By/∂t
0
= - ∂Bz/∂t
(4x)
(4y)
(4z)
- ∂By/∂z = µ . ε . ∂Ex/∂t
∂Bx/∂z = µ . ε . ∂Ey/∂t
0
= µ . ε . ∂Ez/∂t
(4x)
(4y)
(4z)
- ∂By/∂z = µ . ε . ∂Ex/∂t
∂Bx/∂z = 0
0
= µ . ε . ∂Ez/∂t
91
92