Optique géométrique

Licence IOVIS
2013/2014
Optique géométrique
Table des matières
1
Systèmes centrés
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
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Loi de Snell-Descartes . . .
Vergence . . . . . . . . . . .
Eléments cardinaux . . . . .
Relation de conjugaison . .
Constructions géométriques
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Lentilles épaisses . . . . . . . . . .
Lentilles minces . . . . . . . . . . .
3.2.1 Vergence . . . . . . . . . .
3.2.2 Eléments cardinaux . . . .
3.2.3 Relations de conjugaison . .
3.2.4 Constructions géométriques
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4.4
Vergence . . . . . . . . . . . .
Eléments cardinaux . . . . . .
Relation de conjugaison . . .
4.3.1 Formule de Descartes
4.3.2 Formule de Newton .
Constructions géométriques .
7
7
8
8
8
9
Miroirs
4.1
4.2
4.3
2
2
2
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
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Lentilles
3.1
3.2
4
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Dioptres
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
2
Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Plans focaux et foyers . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Plans principaux et points principaux . . . . . . .
1.2.3 Points nodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Formules de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Constructions à l'aide des trois rayons particuliers
1.4.2 Construction àl'aide des foyers secondaires . . . . .
Association de systèmes centrés . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Formules de Gullstrand . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Positions des foyers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Positions des points principaux . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
10
10
11
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1
11
11
12
12
12
12
1
Systèmes centrés
Un système centré est formé de plusieurs surfaces réfringentes ou rééchissantes (dioptres ou miroirs),
telles que l'ensemble présente une symétrie autour d'un axe de révolution Oz , l'axe optique (cela signie
que leurs axes sont confondus).
Dans l'ensemble de ce cours, on se place bien sûr dans l'approximation de Gauss, ce qui signie qu'on
considère que les angles d'incidence des rayons sont faibles et que leurs points d'incidence sont proches
de l'axe optique.
Figure 1 Système centré placé entre un milieu d'indice n et un milieu d'indice n0 .
1.1
Vergence
La vergence est un paramètre qui caractérise les propriétés de focalisation d'un système centré. Il
s'agit d'une grandeur algébrique, homogène à l'inverse d'une longueur, et elle s'exprime en dioptries (δ ).
Si V > 0, le système est convergent. Un rayon arrivant parallèlement à l'axe optique émerge en se
rapprochant de l'axe, pourvu qu'il émerge du même côté de l'axe optique que le rayon incident.
Si V < 0, le système est divergent. Un rayon arrivant parallèlement à l'axe optique émerge en s'éloignant de l'axe, pourvu qu'il émerge du même côté de l'axe optique que le rayon incident.
Enn si V = 0, le système est afocal. Un rayon arrivant parallèlement à l'axe optique émerge toujours
parallèle à l'axe.
Figure 2 Système centré (a) convergent, (b) divergent, (c) afocal.
1.2
1.2.1
Eléments cardinaux
Plans focaux et foyers
Le foyer principal objet F est déni comme étant le point tel que tout le rayon incident, issu de
F , émerge parallèlement à l'axe optique. De manière symétrique tout rayon incident, parallèle à l'axe
optique, émerge en convergent vers le foyer principal image F 0 .
On dénit les distances focales image et objet comme étant les quantités algébriques suivantes :
f0 =
n0
V
(1a)
n
(1b)
V
où n et n0 sont les indices des milieux situés avant et après le système. Si les deux milieux sont
identiques, les distances focales sont opposées.
f =−
2
Figure 3 Foyers objet et image.
Si V > 0, on a f 0 > 0 et f < 0, alors que si V < 0, on a f 0 < 0 et f > 0. En pratique, on utilise
surtout la distance focale image f 0 pour caractériser le système. Les plans focaux sont deux plans situés
dans les espaces objet et image, dont les intersections avec l'axe optique sont les foyers principaux objet
F et image F 0 . Les plans focaux sont également l'ensemble des foyers secondaires objets et images, FS et
FS0 (aussi parfois notés Φ et Φ0 ). Ces foyers secondaires sont associés à des faisceaux de rayons lumineux
parallèles entre eux mais non parallèles avec l'axe optique.
Figure 4 Exemple d'un foyer secondaire image.
1.2.2
Plans principaux et points principaux
Le plan principal objet est déni comme l'ensemble des points où se croisent les rayons émergents
parallèles à l'axe avec les rayons incidents correspondants. Les plans principaux ou unitaires sont des
plans conjugués tels que le grandissement transversal γ est égal à l'unité. Ce qui signie que chaque point
sur le plan principal objet correspondant à un certain rayon incident est conjugué à un point sur le plan
principal image qui se trouve à la même distance de l'axe optique. Il est donc possible de tracer le rayon
émergent à partir de ce dernier.
Les intersections de ces plans avec l'axe optique sont notées H et H 0 et obéissent aux relations
suivantes :
HF = f
(2a)
H 0F 0 = f 0
(2b)
Figure 5 Points principaux objet et image.
1.2.3
Points nodaux
Il s'agit de deux points conjugués sur l'axe optique, N et N 0 , tel qu'un rayon incident passant par N
émerge de N 0 parallèlement à sa direction initiale.
On a la relation suivantes :
3
Figure 6 Points nodaux.
HN = H 0 N 0 = f + f 0
(3)
Ainsi, si les deux milieux extrêmes sont de même indice, les points nodaux sont confondus avec les
points principaux.
1.3
1.3.1
Formules de conjugaison
Formules de Descartes
On considère un système centré transformant un objet AB situé au point A en une image A0 B 0 située
au point A0 . La relation de Descartes, qui relie la position de l'objet p = HA à la position de l'image
associée p0 = H 0 A0 , est une relation de conjugaison avec origine aux sommets. Elle s'écrit :
n0
n
− =V
p0
p
(4)
Si les milieux extrêmes sont identiques, la relation se simplie :
1
1
1
− = 0
0
p
p
f
Le grandissement transverse, déni comme γ =
A0 B 0
,
AB
γ=
n p0
n0 p
1.3.2
s'exprime :
(5)
Formules de Newton
La formule de Newton est une relation de conjugaison avec origine aux foyers. Elle relie les quantités
σ = F A et σ 0 = F 0 A0 de la façon suivante :
σσ 0 = f f 0
(6)
Si les milieux extrêmes sont identiques, elle se réduit à :
σσ 0 = −f 02
Le grandissement s'écrit quand à lui :
γ=−
1.4
σ0
f0
(7)
Constructions géométriques
La construction géométrique est indispensable pour visualiser et vérier les résultats obtenus par le
calcul.
4
1.4.1
Constructions à l'aide des trois rayons particuliers
On considère toujours un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée sera
A0 B 0 . Pour diminuer les risques d'erreur, il est préférable de tracer les trois rayons particuliers suivants :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge à partir du plan principal image à la
même hauteur, en passant par le foyer image F 0 .
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe optique, à partir du
point du plan principal image situé à la même hauteur que l'intersection du rayon incident avec le
plan principal objet.
3. Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement à lui-même à partir du point
nodal N 0 .
Figure
7 Construction géométrique de l'image A0 B 0 associée à l'objet AB grâce aux trois rayons
particuliers décrits ci-dessus.
1.4.2
Construction àl'aide des foyers secondaires
Lorsqu'on veut tracer l'évolution d'un rayon quelconque à travers un système optique, ou retrouver le
rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, les foyers secondaires images ou objets sont très
utiles.
Dans le cas où on cherche le rayon émergent associé à un rayon incident quelconque, on trace alors le
rayon parallèle au rayon incident, mais passant par le point nodal objet N . Celui-ci émerge avec le même
angle par rapport à l'axe optique à partir du point nodal image N 0 , et croise le plan focal image au foyer
secondaire image FS0 . Il est alors possible de tracer le rayon émergent à partir du plan principal image,
à la même hauteur que le croisement entre le rayon incident et le plan principal objet, et passant par le
foyer secondaire image FS0 .
Figure 8 Construction du rayon émergent associé à un rayon incident quelconque (en bleu), à l'aide
du foyer secondaire image. On s'est placé dans le cas particulier où les milieux extrêmes sont de mêmes
indices et où donc les points nodaux objet et image sont confondus avec les points principaux objet et
image respectivement.
Si on cherche le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, il s'agit de la même opération
en sens inverse. On trace alors le rayon parallèle au rayon émergent, mais passant par le point nodal
image N 0 . Celui-ci arrive sur le système avec le même angle par rapport à l'axe optique jusqu'au point
nodal objet N , et croise le plan focal objet au foyer secondaire objet FS . Il est alors possible de tracer le
rayon incident recherché arrivant sur le plan principal objet, à la même hauteur que le croisement entre
le rayon émergent et le plan principal image, et passant par le foyer secondaire objet FS .
1.5
Association de systèmes centrés
On considère l'association de deux systèmes centrés séparés par un millieu d'indice n, et qui ont
comme points pricipaux objet et image, et comme foyers objet et image respectivement : H1 , H10 , F1 ,
5
F10 , H2 , H20 , F2 , F20 . Les points pricipaux et focaux du système total sont : H , H 0 , F , F 0 . On introduit la
distance optique (ou interstice) e = H10 H2 et l'intervalle optique ∆ = F10 F2 .
1.5.1
Formules de Gullstrand
La vergence du système total s'exprime grâce à la formule de Gullstrand :
V = V1 + V2 − ne V1 V2
(8)
Dans le cas où les deux systèmes sont séparés par un milieu d'indice n = 1, la formule de Gullstrand
devient :
f1 + f2 − e
1
=−
f0
f1 f2
(9)
avec : e = H10 F10 + F10 F2 + F2 H2 = f10 + ∆ + f20
Il en découle ainsi l'expression suivante pour la distance focale du système total :
f 0 = − f1∆f2
1.5.2
(10)
Positions des foyers
Pour déterminer la position des foyers du système total, il faut considérer les conjugaisons suivantes :
F → F10 → ∞ pour placer F et ∞ → F2 → F 0 pour placer F 0 .
En écrivant la formule de Newton pour ces conjugaisons on obtient :
F1 F =
f1 f10
∆
F20 F 0 = −
(11a)
f2 f20
∆
(11b)
f102
∆
(12a)
f202
∆
(12b)
Et dans le cas de lentilles :
F1 F = −
F20 F 0 =
1.5.3
Positions des points principaux
En utilisant les formules précédentes, on peut retrouver les expressions des positions des points principaux H et H 0 (formules de Gullstrand 2 et 3) :
H1 H =
en1 V2
n V
(13a)
en2 V1
(13b)
n V
Dans le cas où les deux systèmes 1 et 2 sont des lentilles et où n = 1, les expressions se simplient et
on trouve :
H20 H 0 = −
ef10
ef 0
= 0
∆
f2
(14a)
ef20
ef 0
=− 0
∆
f1
(14b)
O1 H = −
O2 H 0 =
6
2
Dioptres
Un dioptre est une surface séparant deux milieux homogènes d'indices diérents.
Pour rappel, l'indice de réfraction d'un milieu est déni par n = vc où c est la vitesse de la lumière dans
le vide, et v celle de la lumière dans le milieu en question. Par exemple, l'indice de l'air vaut pratiquement
1, l'indice de l'eau est de 1.33 et celui du verre est de 1.5.
Figure 9 Dioptre sphérique de sommet S et de centre C .
2.1
Loi de Snell-Descartes
Au niveau du dioptre, on assiste à un phénomène de réfraction, ou bien dans certains cas, à un
phénomène de réexion totale interne. Ceci peut être calculé grâce à la loi de Snell-Descartes.
Figure 10 Réfraction au niveau d'un dioptre.
On considère un dioptre séparant un milieu d'indice n1 d'un milieu d'indice n2 (voir gure 10). Un
rayon incident formant un angle i1 avec la normale au dioptre, ressort avec un angle i2 par rapport à la
normale, selon la relation :
n1 sin i1 = n2 sin i2
(15)
On remarque que si n2 > n1 , alors i2 < i1 .
Pour trouver l'expression de l'angle limite de réexion totale, on pose i2 = 90◦ et n1 > n2 (d'après la
remarque précédente, il ne peut y avoir réexion totale que dans cette condition). On obtient alors :
n2
ilim
=
arcsin
(16)
1
n1
2.2
Vergence
On considère un dioptre sphérique séparant un milieu d'un indice n d'un second milieu d'indice n0 .
Ce dioptre a pour sommet S et pour centre C , et on dénit le rayon de courbure du dioptre comme étant
la grandeur alébrique : R = SC . La vergence est donnée par la formule suivante :
n0 − n
(17)
R
On peut parler de dioptre convexe ou concave en considérant toujours le côté sur lequel arrivent
les faisceaux lumineux. Un dioptre convexe est arrondi vers l'extérieur, alors qu'un dioptre concave est
arrondi vers l'intérieur. Par exemple, sur la gure 11, le dioptre de gauche est convexe alors que le dioptre
de gauche est concave. Cependant, un dioptre convexe n'est pas forcément convergent. En eet, si un
dioptre convexe air/verre est convergent, un dioptre verre/air convexe est divergent.
Les distances focales objet et image sont dénies comme étant :
V =
f =−
7
n
V
(18a)
Figure 11 A gauche, schéma d'un dioptre convergent (V
(V < 0).
> 0), à droite celui d'un dioptre divergent
n0
(18b)
V
Ces expressions peuvent être retrouvées en appliquant la relation de conjugaison à une image à l'inni
dont l'objet associé est F , et à un objet à l'inni dont l'image associée sera F 0 .
On remarque que les distances f et f 0 ne seront jamais égales car n et n0 sont diérents par dénition
même du dioptre.
f0 =
Dans le cas du dioptre plan, le rayon de courbure est inni. Ainsi la vergence est nulle,
et les foyers sont rejetés à l'inni. Le système est donc afocal.
Dioptre plan
2.3
Eléments cardinaux
Les points principaux, H et H 0 , sont confondus au sommet S du dioptre. Ainsi, les distances focales
objet et image correspondent aux distances SF et SF 0 respectivement.
On remarque également que les points nodaux, N et N 0 , sont confondus avec le centre C du dioptre,
ce qui signie qu'un rayon passant par C gardera la même inclinaison par rapport à l'axe optique en
tranversant le dioptre.
2.4
Relation de conjugaison
La relation de conjugaison de Descartes (voir 1.3.1) appliquée au dioptre sphérique s'écrit :
n0
n0 − n
n
=
−
p0
p
R
(19)
où ici p = SA et p0 = SA0 .
Le grandissement s'exprime toujours :
γ=
Cas du dioptre plan
n p0
n0 p
(20)
La relation de conjugaison devient :
n0
n
= 0
p
p
et le grandissement vaut : γ = 1.
2.5
Constructions géométriques
On considère un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée sera A0 B 0 . Les
trois rayons particuliers à tracer dans le cas du dioptre sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F 0 .
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre C du dioptre ressort parallèlement à lui-même.
8
3
Lentilles
Une lentille est formée de deux dioptres sphériques qui délimitent un milieu d'indice n. Dans ce cours,
nous considèrerons le cas de lentilles plongées dans l'air.
Figure 12 Schéma d'une lentille d'indice n composée de deux dioptres de sommets S1 et S2 .
Il existe 6 types de lentilles, diérenciées par les formes des deux faces.
Figure 13 Les diérents types de lentilles. 1 : lentille biconvexe, 2 : lentille convexe-plan, 3 : ménisque
convergent, 4 : lentille biconcave, 5 : lentille plan-concave, 6 : ménisque divergent.
3.1
Lentilles épaisses
Lors de l'étude d'une lentille épaisse, on la considère comme l'association de deux dioptres, air/verre,
puis verre/air, de rayons de courbures R1 et R2 . On utilise donc la relation de conjugaison de Descartes
pour le dioptre deux fois, en faisant attention à la distance séparant les deux sommets des dioptres,
notée généralement e = S1 S2 . On peut également calculer la vergence de la lentille grâce à la formule de
Gullstrand et trouver la position des éléments cardinaux de celle-ci.
3.2
Lentilles minces
Une lentille est considérée mince lorsque son épaisseur est petite devant les rayons de courbures de ses
faces, ainsi que devant la diérence des rayons de courbures, soit : e R1 , R2 , |R2 − R1 |. Les sommets
des deux diotpres sont alors confondus au point O appelé le centre de la lentille.
3.2.1
Vergence
La vergence d'une lentille mince est donnée par :
V = (n − 1)(
1
1
−
)
R1
R2
(21)
On peut retrouver cette formule grâce à la formule de Gullstrand, en négligeant le dernier terme
contenant l'épaisseur e.
Lorsque V > 0, la lentille est convergente, c'est-à-dire qu'elle transforme un objet réel situé à l'inni
en une image réelle située en aval de la lentille. Lorsque V < 0, la lentille est divergente, elle tranforme
un objet réel situé à l'inni en une image virtuelle située en amont de la lentille.
Contrairement aux dioptres, les propriétés de convergence ou de divergence des lentilles
sont intrinsèques, elles ne changent pas en fonction du sens de propagation de la lumière.
Remarque
9
Figure 14 A gauche, schéma d'une lentille mince convergente (V
(V < 0).
3.2.2
> 0), à droite celui d'une divergente
Eléments cardinaux
Comme on considère des lentilles minces plongées dans l'air, les distances objet et image focales sont
dénies par :
f =−
1
V
(22a)
1
(22b)
V
Dans le cas de la lentille mince, les points principaux et nodaux sont confondus avec le centre O (ce
qui n'est pas le cas pour une lentille épaisse). On a donc les relations : f = OF et f 0 = OF 0 .
f0 =
3.2.3
Relations de conjugaison
Pour une lentille mince, la relation de conjugaison de Descartes est la suivante :
Formule de Descartes
1
1
1
− = 0
p0
p
f
(23)
avec p = OA et p0 = OA0 . Le grandissement vaut simplement :
γ=
Formule de Newton
p0
p
(24)
La formule de Newton s'écrit sous la forme :
σσ 0 = −f 02
(25)
car f = −f 0 .
Le grandissement est :
γ=−
3.2.4
f
σ0
=− 0
σ
f
(26)
Constructions géométriques
On considère un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée sera A0 B 0 . Les
trois rayons particuliers à tracer dans le cas du dioptre sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F 0 .
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre O de la lentille ressort parallèlement à lui-même.
10
4
Miroirs
Un miroir est formé d'une surface rééchissante imposant à la lumière un changement de sens de
propagation.
Ainsi, un rayon arrivant sur la surface d'un miroir, qu'il soit plan ou sphérique, avec un angle i1 par
rapport à la normale repartira dans le sens opposé avec un angle i2 = −i1 . On peut retrouver cette
égalité à partir la loi de Snell-Descartes et en posant n2 = −n1 , le changement de signe provenant du
changement de sens de parcours de la lumière.
Figure 15 Réexions sur un miroir plan et sur un miroir sphérique.
4.1
Vergence
On considère un miroir de sommet S et de centre C , plongé dans un milieu d'indice n. Comme pour
le dioptre on dénit le rayon de courbure du miroir comme étant R = SC .
La vergence est dénit pour un miroir de la façon suivante :
2n
(27)
R
Pour la suite on se place dans le cas particulier mais très fréquent où le miroir est plongé dans l'air.
On a alors :
2
V =−
(28)
R
Dans le cas V > 0, le miroir est convergent, dans le cas V < 0, le miroir est divergent.
V =−
Figure
(V < 0).
16 A gauche, schéma d'un miroir mince convergent (V > 0), à droite celui d'un divergent
Le miroir possède une seule face rééchissante, qui est donc orientée vers les rayons incidents. Cette
asymétrie a pour conséquence qu'un miroir concave (R < 0) sera forcément convergent (et vice-versa), et
qu'un miroir convexe (R > 0) sera forcément divergent. Ceci n'était pas le cas pour le dioptre.
Dans le cas d'un miroir plan, le rayon de courbure R est inni, on a donc une vergence
nulle. Le système est alors afocal.
Miroir plan
4.2
Eléments cardinaux
Les expressions des distances focales objet et images sont :
f=
R
2
(29a)
f0 =
R
2
(29b)
11
De façon similaire au cas du dioptre, les points principaux d'un miroir sont confondus avec le sommet
S et les points nodaux avec le centre C .
Alors les distances focales valent f = SF et f 0 = SF 0 . On remarque qu'elles sont égales, on en déduit
que les foyers objet et image sont confondus au centre de [SC].
Miroir plan
4.3
Bien évidemment, pour un miroir plan le centre C ainsi que les foyers sont rejetés à l'inni.
Relation de conjugaison
On considère un miroir plongé dans l'air, de sommet S et de centre C .
4.3.1
Formule de Descartes
La relation de conjugaison de Descartes a la forme suivante :
1
2
1
+ =
p0
p
R
avec p = SA et p0 = SA0 .
Le grandissement s'écrit quand à lui :
γ=−
4.3.2
p0
p
(30)
(31)
Formule de Newton
La formule de Newton s'écrit sous la forme :
σσ 0 = f 02
(32)
σ0
f0
(33)
car f = f 0 .
Le grandissement vaut :
γ=−
Miroir plan
Pour un miroir plan, la relation de conjugaison devient :
p = −p0
donc l'image est à la même distance du miroir que l'objet, mais de l'autre côté.
Le grandissement γ vaut toujours 1.
4.4
Constructions géométriques
On considère un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée sera A0 B 0 . Les
trois rayons particuliers à tracer pour trouver l'image formée par le miroir sont :
1. Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F 0 .
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe optique.
3. Le rayon issu de B passant par le centre C du miroir est non dévié.
12