Étude des moments de la loi normale tronquée

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE
G. ROUZET
Étude des moments de la loi normale tronquée
Revue de statistique appliquée, tome 10, no 2 (1962), p. 49-61
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ÉTUDE DES MOMENTS
TRONQUÉE
DE LA LOI NORMALE
G. ROUZET
Ingénieur
à la
Compagnie des Compteurs
1 - GENERALITES -
raisons sont bien connues pour lesquelles certains phénomènes
tendent à obéir à une distribution normale. Or, dans la plupart
de ces phénomènes, la variable mise en cause possède un intervalle de variation pratiquement borné. C’est dire qu’on admet implicitement que le modèle
mathématique utilisé est une loi normale bornée.
Les
concrets
Mais comme d’ordinaire les bornes affectent une proportion assez
de la distribution, et comme en général on se contente des premiers
moments de la loi et de sa fonction de répartition, l’usage de caractéristiques calculées dans la loi normale non tronquée donne une approximation
excellente, et la substitution est passée sous silence.
faible
est plus de même dans le cas où il est nécessaire de faire
moments d’ordres élevés, et l’on doit alors utiliser en tant que
Il n’en
appel
aux
telle la loi normale
A
titre
tronquée.
d’exemple,
trouvera
on
ci-après
application
une
probabilité de l’inverse
tronquée ; (le calcul des
Il - 1
remarque à l’étude de la loi de
x
suivant une loi normale
dans le cas d’une loi non
sens
Dans
ce
qui suit,
- tronquée symétriquement
nous
par
de cette
d’une variable
moments
n’a pas de
tronquée).
étudierons les moments
rapport à la moyenne.
de la loi normale
2 - NOTATIONS -
Soi ent :
et
la densité de
Revue de
probabilité et
Statistique Appliquée. 1962 - Vol. X -
N’ 2
la fonction de
49
répartition de
la loi normale.
L’expression de la densité Vde probabilité cp(t) de
la loi
tronquée
est :
3 - ETUDE DU MOMENT D’ORDRE k -
La fonction
nuls.
Etudions 03BCk
On
a
(p(t)
étant symétrique, les
pour k pair.
d’ordre
impair
sont
donc la formule de récurrence :
Comme 03BCo = 1,
Cette
moments 4h
on
a :
expression peut
encore
s’écrire :
50
Revue de Statistique
Appliquée. 1962 - Vol.
X - N’ 2
c’est-à-dire :
La série limitée exprimée dans la
série illimitée convergente, obtenue pour
comme
il est montré
en
parenthèse,
est
une
k~~, dont la valeur
partie de
la
est :
annexe.
L’expression (3) peut
donc s’écrire :
c’est-à-dire :
c’est-à-dire finalement :
(k pair).
4 - ETUDE DE LA SERIE DES MOMENTS D’ORDRE PAIR -
Les moments d’ordre pair forment
série soit convergente, il faut aue
Nous
Revue de
avons :
Statistique Appliquée. 1962 - Vol.
X - N’ 2
51
une
série illimitée ; pour que cette
d’où
La série est donc
Dans
ces
convergente pour T2
conditions,
la
série
est
1, c’est-à-dire pour T
composée
1 .
de termes décroissants,
car :
Ces derniers résultats n’ont que la valeur d’une remarque. Toutefois,
la méthode employée pourra servir de base à l’étude de séries dans lesquelles interviennent les moments 4. successifs ; c’est là son principal
intérêt.
5 - VALEURS NUMERIQUES DES PREMIERS MOMENTS DE LA LOI NORMALE TRONQUEE POUR QUELQUES VALEURS DE T -
On
3, 50 et
a
on
T les valeurs : 1, 00 - 1,50 - 2, 00 - 2, 50 - 3, 00 intercalé les valeurs usuelles 1, 96 et 3, 09.
pris pour
a
52
Revue de
Statistique Appliquée. 1962 - Vol. X - N’ 2
ANNEXE
DEMONSTRATION DE L’EXPRESSION
Développons
en
En
intégrant,
La
quantité -
série
on
f(t) :
obtient
F(T).
La constante
d’où
Revue de Statistique
Appliquée. 1962 - Vol.
s’écrit alors :
X - N. 2
(4)
53
d’intégration
est telle que
La division des deux séries est telle que :
etc.
Le mécanisme montre que l’on obtient bien :
54
Revue de Statistique
Appliquée.
1962 - Vol. X - N’ 2
EXEMPLE
D’APPLICATION DE L’ÉTUDE DES MOMENTS DE LA LOI NORMALE
TRONQUÉE
LOI DE L’INVERSE
D’UNE VARIABLE
où
m
et o sont
les
SUIVANT UNE LOI NORMALE
x
paramètres
de la loi normale
dans
suit la notation :
TRONQUEE
d’origine,
non
tronquée
1 - NOTATION -
On
conservera
relative à la loi normale,
ce
en
qui
variable centrée réduite.
Par ailleurs, la notation Ilk sera réservée
loi normale centrée réduite tronquée, avec - T
2 - EXPRESSION DE
h(z) -
La loi de x s’écrit :
Revue de
Statistique Appliquée. 1962 - Vol. X - N’ 2
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au
t
moment d’ordre k de la
+
T.
On notera que
h(z) peut
s’écrire :
3 - CALCUL DES MOMENTS DE LA LOI DE
La variable
suit
une
T
t T. On peut donc calculer
cessifs de la loi normale tronquée.
-
On
z -
loi normale réduite,
E ( zk )
en
tronquée,
fonction des moments
avec
suc-
a :
d’où :
d’où,
d’où
en
en
fonction des
puissances
croissantès de t :
encore :
le terme
ou
développant
général
en
ti
étant :
encore :
On
a
donc :
On note alors
il faut que :
que,
pour que la série donnant
56
Revue de
E(zk)
soit
convergente
Statistique Appliquée. 1962 - Vol. X -
N’ 2
Or :
d’où :
On sait,
par ailleurs
(étude des
moments de la loi normale
tronquée) ,
que :
La condition
(6) s’écrit donc :
Le calcul des moments de la loi de
Nous
supposerons
conséquence :
positifs.
en
Dans
Revue de
ces
m
-
z
que si :
sens
dans la suite qu’il en est ainsi ; nous aurons alors
> 0,
c’est-à-dire que x, d’où z, sont toujours
Ta
conditions, les deux premiers
Statistique Appliquée. 1962 - Vol.
n’a donc de
X - N’ 2
57
moments sont,
en
particulier :
d’où la moyenne et la variance de la loi de
4 - FONCTION DE REPARTITION
Toujours
la fonction de
soit,
sous
H(z) -
la condition :
répartition s’écrit,
à
partir
de
l’expression (1) :
comme
Numériquement,
on
aura
donc, à partir des tables de la loi normale :
5 - FORME LIMITE DE LA LOI DE
le
Lorsque
L’expression
l’expression de la
Les
en
z :
limites
z
LORSQUE
développement (3)
de la loi de z converge
loi normale de :
de
variation de
z
fournit :
donc,
deviennent
entre ses
limites,
simultanément,
vers
exprimées
variable centrée réduite
58
Revue de Statistique
Appliquée.
1962 - Vol. X - N’ 2
soit :
valeurs
qui convergent
vers :
En conclusion, la loi
définie par les expressions
Les
de
(13)
z
converge
et
vers
une
loi normale
tronquée,
(14).
expressions (9) fournissent, dans
les mêmes conditions :
soit :
ce
qui coïncide
6 -
avec
le résultat
précédent.
REMARQUE SUR LES VALEURS NUMERIQUES
DE T ET
DE
Rappelons que sont indiquées dans l’étude des moments de la
tronquée les valeurs des premiers moments 03BCk correspondant
loi normale à quelques
valeurs de T.
Notons
on
T =
pourra,
par ailleurs
lorsque m
>
que, la condition
3, 09,
choisir
3,09.
Revue de Statistique
Appliquée.
1962 - Vol. X - N’ 2
59
(7) exigeant simplement
arbitrairement
dans
T
certains
2013
cas
7 - EXEMPLE Une fabrication de résistances électriques en constantan, à partir de
tôles de faible épaisseur, est telle que la dispersion des valeurs des résistances répond à une loi sensiblement normale pratiquement bornée à T = 3, 09,
de :
On désire profiter de cette fabrication pour réaliser des ensembles
5 résistances en parallèle. Chaque ensemble doit satisfaire à
la condition suivante : branché sur une source dont la tension de 1 volt est
maintenue constante (c’est-à-dire que ses variations sont négligeables en
regard du phénomène étudié) le courant total i doit être de 500 A à 5 % près.
composés de
envisage de ne prélever dans la fabrication courante que des résisrépondant à certaines tolérances afin de créer des lots à partir des-
On
tances
quels
seront montés les ensembles.
mesure où ce tri est nécessaire, quelles doivent être les tolépour qu’un ensemble constitué de 5 résistances prises au hasard dans
lots ait la probabilité 0, 998 d’être bon ?
Dans la
rances
ces
Soit
x
la traverse,
la valeur d’une résistance
prise dans
un
lot et
z
le courant
qui
avec . - 1.
x
Les moments de la loi de
le cas.
Sans tri,
z
peuvent être étudiés pour T
donc pour T = 3, 09 dans la loi de x,
on
20
ce
qui
est
a :
Soit :
On assimilera à une loi normale la loi du courant i,
z dans 5 résistances prises au hasard, avec :
somme
des 5
courants
mi = mz. 5 = 500
03C3i
= 03C3z 5 =
60
11, 2
Revue de Statistique
Appliquée.
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d’où :
d’où l’erreur :
Il est donc nécessaire de
Effectuons le même
procéder
calcul pour
On peut alors établir le
graphique
à
un
tri.
quelques
suivant :
d’où la solution :
Les tolérances de
prélèvement
sont donc :
soit :
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valeurs de T ;
on
obtient :