Sciences Physiques/TD/Ph TD13 Forces centrales

Lycée G. Monod, MPSI, Physique-Chimie
27 avril 2017
TD φ13 : Mouvements à forces centrales
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Mouvement orbital de la Terre
On suppose que la Terre n’est soumise qu’a la seule attraction solaire et
qu’elle décrit, dans son mouvement, une ellipse dont le foyer se trouve au
centre du Soleil. Quand la Terre est a son aphélie, sa distance au Soleil vaut
rmax = 1,52 × 1011 m et sa vitesse orbitale vmin = 2,93 × 104 m · s−1 .
Sachant qu’à son périhélie la Terre se trouve à la distance rmin =
1,47 × 1011 m, trouver sa vitesse orbitale au périhélie.
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Chute d’un point sur une planète
F IGURE 1 – Trajectoire de l’astéroïde. La distance b est appelée paramètre
d’impact. Pour les besoins du schéma, le point A est placé proche de la Terre.
Il est en réalité très loin.
Un point matériel P de masse m tombe sur une planète de masse M. On
suppose qu’il est abandonné sans vitesse initiale dans l’espace à une distance
d.
On fait l’hypothèse que d est très grand devant le rayon de la planète. On
suppose aussi que M m.
Calculer le temps de chute si on considère la planète comme ponctuelle.
(c) En exprimant Lz pour r = rmin , donner une relation impliquant rmin , b,
v0 et la vitesse en r = rmin .
(d) Donner l’expression de l’énergie de l’astéroïde en exprimant l’énergie
potentielle effective Eeff
p .
Indice : il s’agit d’utiliser la 3ème loi de Kepler, en regardant la trajectoire du point
matériel comme un cas limite d’une classe de trajectoires particulières...
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(e) Exprimer la distance minimale rmin à laquelle l’astéroïde passe du centre
de la Terre en fonction de G , v0 , MT et b.
(f) En déduire une condition de non-collision.
Collision avec un astéroïde
Dans tout l’exercice on ne considère que l’influence gravitationnelle de la
Terre, assimilée à une sphère de masse MT et de rayon R T .
Un astéroïde de masse m et de taille négligeable par rapport à celle de la
Terre est repéré en A, à une distance très grande de la Terre où on supposera que son influence gravitationnelle est négligeable. Dans cette position,
le vecteur vitesse de l’astéroïde est #„
v 0 = −v0 #„
u x , porté par la droite (A, #„
u x)
telle que la distance minimale du centre de la Terre à cette droite est b, que
l’on appelle paramètre d’impact.
(a) Exprimer le moment cinétique scalaire de l’astéroïde par rapport à (Oz),
Lz , lorsqu’il est très loin de la Terre.
(b) Le moment cinétique se conserve-t-il au cours du mouvement ?
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