Chapitre 8 Action du champ magnétique

Chapitre 8
Actions du champ magnétique
8.0 Introduction
Actions (Force) du champ magnétique :
a) sur des fils parcourus par un courant ( translation) ;
balance de courant
b) sur des bobines de fils parcourus par un courant ( rotation);
moteur (applications)
c) sur des particules chargées en mouvement;
cyclotron (magnetic field)
d) applications technologiques.
spectromètre (magnetic field)
Rappel le chapitre 9 a été vu avant le chapitre 8
1
Chapitre 8
Actions du champ magnétique
a) 8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant Loi de Simon Laplace
Rappel: Revenons sur la formule de la force
magnétique entre deux fils établie par Ampère.
I1
µII L
F12 = 0 1 2
N
2πd
I2
Nous avons vu que le champ autour du fil parcouru par le
courant I1 est donné par
B1 =
µ 0 I1
2πd
T
2
a)
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
En combinant des deux équations, Simon Laplace, qui
travaillait avec Biot et Savart, a obtenu l’expression
suivante:
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
N
2πd
µ 0 I1
B1 =
2πd
T
F21 = I 2 LB1 N
Pour la force magnétique exercée sur le fil 2 dans un
champ magnétique B1
3
Loi de Laplace
F
F
F
F
F
2
2
2
2
2
I2
B1
X
B1 X
B1 X
X
B1
Selon la loi de Laplace : F2 = I2 L B1
Règle de la main droite
Hyperphysics
( Magnetic field concepts,
Interactions)
F
 

F = Il × B
B1 X
où B1 = µ0 I/2πd
B
I
4
a) 8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par
un courant
Étant donné que la force est toujours perpendiculaire au plan
formé par les vecteurs
L et B
L’expression vectorielle générale de la loi de Laplace s’écrit à
l’aide d’un produit de vecteurs.
 

F = Il × B
F
La grandeur de F est donnée par :
F = IlB sin θ
B
θ
Il
Où θ est le plus petit angle entre I et B
L’orientation des trois vecteurs s’obtient avec la règle de la
main droite.
5
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Pourquoi sin θ ?
L’expérience montre que la force magnétique est nulle si L et B sont
parallèles.
z
x
y
N
S
N
S
F = IlB sin 0
F = IlB sin 90o
F =0
F = IlB
6
a)
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
L’expression vectorielle générale de la loi de Laplace s’écrit à
l’aide d’un produit de vecteurs.
 

F = Il × B
y
B
Produit vectoriel avec les vecteurs
unitaires



l = lxi + l y j



B = Bx i + B y j
l
j
k
i
z
x
F
Comment écrire la force avec les vecteurs unitaires ?
 

F = Il × B
Pas nécessaire pour les intéressés seulement. Voir Benson
7
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Produit vectoriel avec les vecteurs unitaires
y
Selon la règle de la main
droite nous avons
 
i ×i = 0
  
i× j =k
 

i ×k = −j
j
  
i
k ×i = j
k
 
 z
k × j = −i
 
k ×k = 0
 




l × B = (l x i + l y j ) × ( B x i + B y j )

 
j × i = −k
 
j× j =0
  
j ×k = i
 

F = Il × B
x
 
 
 
 
 
l × B = (l x B x i × i + l x B y i × j + l y B x j × i + l y B y j × j )
8
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
y
courant
Produit vectoriel avec les vecteurs unitaires
 

F = Il × B
j
k
 




l × B = (l x i + l y j ) × ( B x i + B y j )
i
x
z
 
 
 
 
 
l × B = (l x B x i × i + l x B y i × j + l y B x j × i + l y B y j × j )


Fz k = I (l x B y − l y Bx )k
Ou bien
F = IlB sin θ


F = Fk
N
9
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
L’expression vectorielle générale de la force magnétique
 

F = Il × B
y
B
j
Grandeur
F = IlB sin θ
On obtient la même chose
avec la règle de la main droite


F = Fk N
k
l
θ
x
i
z
F
Bout des
doigts
Paume
Pouce
10
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
 

F = Il × B
F = Ilb sin θ
paume
F
B
θ
Il
doigts
θ
pouce
Où θ est le plus petit angle entre I et B
11
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Considérons les situations suivantes avec des bobines de
Helmholtz
B
z
z
I
θ
x
y
I
B
x y
F
F =?
F = IlB sin θ = 0
Le fil rouge est parallèle au
champ
F = IlB sin θ ≠ 0
Le fil rouge forme un angle
θ avec le champ
12
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Exemple : Détermination du champ magnétique dans
l’entrefer d’un aimant.
z
x
Comment pouvons-nous
déterminer le champ B ?
y
En plaçant un cadre
parcouru par un
courant
???
N
S
N
S
13
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Exemple : Il faut placer le cadre perpendiculaire au ligne de
champ.
Fdyn
z
Situation vue de face
x
y
B sort
N
S
FB
Supposons que le cadre mesure 5,0 cm de largeur et que le
courant est de 1,0 A et que la force indiquée par le
dynamomètre soit de 5, 00 mN
14
8.2 La force magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Fdyn
Problème : Trouvez B
Solution possible:
À l’équilibre , Σ F = 0
Fdyn − FB = 0
Fdyn. = FB
B sort
Selon la loi de Laplace
FB
B=
Fdyn
Il
5,0 x10 −3
=
= 0,1 T
1,0 x0,05
F = IlB sin 90 o = IlB
B
Fdyn = IlB
Résultat probable : Le champ magnétique
B dans l’entrefer sera de 0,1 T
Cette expérience constitue une façon simple de déterminer la valeur de B
15
Exemple
Moteur linéaire
Première partie
i
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F = ILB
F
X
X
X
X
X
X
B
entre
N
16
Moteur linéaire
X
Première partie
X
X
X
X
X
F
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F = ILB
B
entre
N
17
Exemple Moteur linéaire
Première partie
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F = ILB
N
F = ma
B
entre
F
N
18
b)
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Qu’est ce qui fait tourner un moteur électrique?
Est-ce des forces électrique ou magnétique?
Moteur
Hyperphysics : Applications
Un moteur électrique tourne essentiellement sous l’action
d’un moment de force exercé par un champ magnétique.
Moteur
Robert Foy
Qu’est ce qui fait tourner l’aiguille d’un ampèremètre ?
L’aiguille d’un instrument de mesure ( ampèremètre,
voltmètre, etc.) tourne également sous l’action d’un
moment de force exercé par un champ magnétique.
Galvanomètre
Instruments
Les moments de force magnétique sont donc présents
dans plusieurs situations.
19
b)
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Les forces suivantes exercent des moments de force
τ est sur l’axe
Comment sont orientés les moments de forces?
F
de rotation
I
F
I
τ
Cadre en rotation
antihoraire soumis
à un moment de
force
Comment est orienté le champ B?
20
b)
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
F
τ est sur l’axe
de rotation
B
I
B
F
B
I
τ
Cadre en rotation
soumis à un
moment de force
Comment est orienté le champ B?
Le champ B est horizontal et vers la gauche.
21
b)
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de
courant
Où
µ = NIA
Moment
F
µ
B
I
magnétique
dipolaire
F
B
I
τ
À partir de l’étude d’une de ces situations, nous déterminerons
l’expression du moment de force τ
Il s’écrira de la
façon suivante :
Grandeur
Vecteur
τ = µB sinθ
 
τ = µ×B
22
b)
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Rappel : Mécanique

 
τ = r×F
Il faut un moment de force pour faire tourner une
porte
Vue d’en haut
F
axe
τ
Taux sur l’axe et est
sortant . Il est
perpendiculaire au
plan formé par r et
F
F
θ
r
Grandeur
r
Sens antihoraire
τ = rF sin θ = rF⊥ mN
23
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
z
Détermination du moment de force sur un cadre de largeur (a) et
de longueur ( c )
B
B
x
B
y
c
τ
µ
i
Position initiale

τ = µ×B


a
Position finale
Où µ est le vecteur moment dipolaire magnétique

τ =0
Le cadre dans lequel circule un courant i est placé dans un champ
magnétique uniforme et vertical
Sous l’action des forces, le cadre tournera dans le sens antihoraire jusqu’à sa position finale d’équilibre.
24
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force sur un cadre de largeur a
et de longueur c
B
B
B
z
x
y
B
F
F
i
Position initiale
F
c
F
a
Position finale
Le cadre dans lequel circule un courant i est placé dans un
champ magnétique uniforme et vertical
Sous l’action des forces le cadre tournera dans le sens
anti-horaire jusqu’à sa position finale d’équilibre.
25
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
Sens du
courant
B
B
B
F
F
c
F
a/2
F
Position initiale
∑τ = ?
Position finale
Équilibre
Comment écrire le moment de force en fonction des
paramètres de la boucle ?
26
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
B
F
F
Position initiale
Deux moments de force
a/2
a/2
Position finale
Équilibre
Un moment de force exercé par la force du haut et
l’autre par la force en bas.
27
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
B
F
Τ vers
l’avant
a/2
F
Position finale
Position initiale
∑τ = τ H + τ B
∑
a/2
Équilibre
∑τ = τ H + τ B = 0
a
o a
τ = F sin 90 + F sin 90 o
2
2
Rappel
τ = rF sin θ
28
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
B
F
F
Position initiale
∑τ = τ H + τ B
a
a
∑τ = F + F
2
2
a/2
a/2
Position finale
Équilibre
∑τ = τ H + τ B = 0
29
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
B
c
F
a/2
F
i
Position initiale
Position finale
a
a
∑τ = F + F
2
2
Rappel
F = IcBsin90
F = IlBsin90
Équilibre
On obtient
∑ τ = aF
Puisque
a/2
o
o
∑ τ = aIcB sin 90
∑ τ = aIcB
Si θ = 90o
30
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
∑ τ = aIcB
B
B
B
F
c
i
a/2
F
Position finale
Position initiale
∑ τ = acIB = AIB
a/2
puisque
∑ τ = N IAB
Avec N tours de fil dans la boucle
Équilibre
A = ac
31
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
B
F
i
F
On écrira alors
Position initiale

τ = µ×B

∑ τ = acIB = AIB
τ = NIAB
De façon générale,
un moment de force
est donné par un
produit de deux
vecteurs
A = ac
Avec N tours de fil dans la boucle

32
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
B
B
Le vecteur µ désigne le
B
F
le moment magnétique
dipolaire du cadre
µ
i
F
µ = NIA
Am
2
Position initiale
τ = µB sin 90
o
Il représente les caractéristiques
du cadre
33
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment magnétique dipolaire
µ = NIA
Am
2
µ
C’est un vecteur, dont
l’orientation est donnée par la
règle de la main droite
i
Position initiale
µ
τ = µB sin 90 o
Pouce droit
avant
Bout des doigts de la main droite
Sens du courant
34
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
B
B
B
B
µ
i
Position initiale
τ = µB sin 90 o
µ et B
perpendiculaires
τ maximal
Position finale
µ et B
parallèles
τ =0
35
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
θ
B
µ
Expression vectorielle
du moment de force

τ = µ×B
B

τ
i
τ
τ = µB sin θ
mN
est sur l’axe de
rotation, il cherche à
amener µ parallèle
à B
y
Position intermédiaire

x
z
Règle de la main droite
36
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Détermination du moment de force
µ
B
B
B
µ
i
Position initiale
τ

τ = µ×B


Position finale
mN
Équilibre
Exemples : Moteur électrique et galvanomètre
(Magnetic field concepts, applications)
Moteur
Robert Foy
Explication

τ = µ×B


37
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
Exemple :
On place une boucle de courant rectangulaire
de 10 cm2 de surface dans un solénoïde de
30 cm de longueur comportant 200 spires
comme l’indique la figure ci-dessous.
Déterminez les sens de rotation du cadre et la grandeur du moment
de force exercé sur le cadre si les deux courants sont de 5,0 A
Le champ B est vers la droite, le courant descend dans la partie
avant du solénoïde.
B
y
x
z
i1
i2
38
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
µ
Situation :
Problème :
Sens
B1
Solution :
Règle
de la
main
droite
i1
i2

τ = µ×B


Rotation horaire
39
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
µ
Problème
: Je
cherche la
grandeur
τ = ???
B1
Solution
Possible : i
1
τ = µB1 sin θ
τ = NI 2 AB1 sin 90
i2
Selon le théorème d’Ampère , le
champ magnétique à l’intérieur du
solénoïde est donné par :
B1 = µ 0 nI 1 T
40
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
µ
τ = NI 2 AB sin 90
B1 = µ 0 nI 1 T
En combinant
ces équations,
on obtient
B
i1
i2
τ = NI 2 Aµ 0 nI 1 mN
200
τ = 1x5 x10 x10 x 4πx10 x
x5 = 20,9 µmN
0,30
−4
−7
41
8.3 Le moment de force exercé sur une boucle de courant
µ
B
i1
i2
Résultat probable :
Le cadre tournera dans le sens horaire
D’après mes calculs, le moment de force
aura la valeur suivante:
τ = 20,9 µmN
42