Sur l`indéterminisme de la mécanique quantique

Sur l’ind´eterminisme de la m´ecanique quantique
J. Solomon
To cite this version:
J. Solomon. Sur l’ind´eterminisme de la m´ecanique quantique. J. Phys. Radium, 1933, 4 (1),
pp.34-37. <10.1051/jphysrad:019330040103400>.<jpa-00233130>
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SUR
L’INDÉTERMINISME
DE
LA
MÉCANIQUE QUANTIQUE
Par J.
SOLOMON.
Sommaire. 2014
On
discute
dans ce travail la
façon
dont une
théorie
déterministe à
para-
mètres
cachés
peut
rendre
compte
de
l’indéterminisme
de
la
mécanique quantique.
On
montre
l’impossibilité
mathématique
de
l’équivalence
des deux théories.
Le but de cette courte note
est
de
préciser
et de réfuter une idée
qui
a
été mise en
avant
pour
«
sauver
»
le déterminisme cléfaillant
dans le
domaine
subatomique.
Certes,
la
mécanique
quantique
(1)
forme actuellement une
doctrine
particulièrement
remarquable
par
son
développement logique
et libre
de toute contradiction.
Mais,
de même
que
la
nouvelle
notion
relativiste de
simultanéité,
liée
au fait
que
la
vitesse
de la lumière a une
grandeur finie,
a rencontré de nombreuses résistances avant de
s’imposer,
(le même
la théorie
quantique,
avec
sa nouvelle
conception
de la
causalité,
liée
à
la valeur finie du
quantum
élémentaire
d’action,
se
heurte
de
façon
autrement
profonde à
nos formes d’intuition
basées sur
l’expérimentation
macroscopique.
Ce
renoncement
peut
paraître
si douloureux
qu’on
s’est demandé s’il n’était
pas
possible par
une
généralisation
convenable
(mais
res-
tant
toujours
sur le
terrain
déterministe)
de la théorie
classique
de
l’éviter. C’est de cette
hypothèse,
qui
semble ,la
seule
possible
et
que
nous
appellerons
théorze des
paramètre
cachés,
que
nous
allons
nous
occuper
(2 J.
~
Par théorie des
paramètres
cachés nous
entendrons l’ordre
d’idées
suivant.
En
méca-
nique
classique
il
est
possible
de
suivre
le
développement
causal d’un
système
tout en
conservant
sa
description
par
les
concepts spatio-temporels
usuels. En
d’autres
termes, à
chaque
instant t nous
poovons
mesurer la
position
et
la
vitesse
du mobile
considéré.
Par-
ticularisons
le
problème.
Considérons le
point
matériel
de
la
mécanique
rationnelle,
défini
par
sa
coordonnée
(1) x
et sa
vitesse
v, A
l’instant t on
a
~ et v
ne
dépendent que
de t : à
vrai
dire,
d’autres
paramètres
entrent
en
jeu,
ce
sont
la
vitesse et
la
position
du
point
à un instant
quelconque t,,,
mais ces données
initiales sont
fixées
une fois
pour
toutes
et n’entrent
pas
à
nouveau en
jeu
à
l’occasion de
chaque-
mesure.
Donc une fois ce choix
fait,
à
une valeur
de t
correspondent
des
valeurs
parfaite-
ment
déterminées
de
.x
et
de
v.
Comme il
est bien
connu,
l’existence
du
quantum
élémentaire
d’action
crée
dans
le
(!)
Par
mécanique quantique,
nous
entendrons
dans ce
qui
suit exclusivement
la
mécanique quantique~
non
relativiste.
Seule
celle-ci en effet
forme un
ensemble libre de
contradictions.
La
mécanique
quantique
relativiste
-
qui
n’existe
pas
encore - semble devoir nécessiter des renoncements encore
plus
profonds
à
nos
concepts
les
plus
habituels
(tels
que
la
conservation
de
l’énergie
par
exemple) :
Cf.
L.
Landau
et
R.
Peierts,
Z.
(1931),56; adaption
française
dans les Actualités de
physique
théorique
(Hermann) ;
-- ’.
Bohr,
Faraday
Lecture,
Journal
of
the cheniical
Society
(1932);
convegno
di
Fisica
1r’ucleare
(1931).
e)
Dans
un
livre
dont
j’ai pris
connaissance
lorsque
ce
travail
était
déjà
terminé,
J.
von Neumann
(Qlatliematische Grundlagen
der
Quantenmechanik)
donne une démonstration de
l’impossibilité
de
cette
théorie
qui
me
semble
distincte
de
celle
indiquée
ci-dessous. Comme celle-ci n’utilise
pas,
à
ce
qu’il
me
semble,
le formalisme
de
l’espace
de
Hilbert
qui
peut paraître
à
certains assez
éloigné
du réel
physique,
il nous a
paru qu’il
y
avait
peut
être intérêt à
publier
notre
démonstration.
(»
Dans ce
qui
suit,
pour
ne
pas compliquer
les
notations,
nous
n’envisagerons qu’un
continum
linidimensionnel.
Mais les
résultats
se
laissent
immédiatement
généraliser
à un
nombre
quelconque
de
dimensions.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019330040103400

35
dom@tint
atomique
une
situation
bien
différente.
L’interréaction
de
l’appareil
de
mesure
et
de :
r
particule
étudiée
entraine
l’impossibilité
d’une mesure
simultanée
de v
et de
z. Si
iiou,
nous
permettons
une erreur
possible à x
sur la
position
de
la
particule,
on sait
que,
d’après
Ileisenberg,
o a
pYllT possible
Ll v
sur
sa
vitesse,
lorsque v
est
faible devant la vitesse de la
lumière;
dans la
formule
IJrécédente, h désigne
la
constante
de Planck.
Au
contraire,
x
et v
sont
mesurables
avec toute la
précision
désirée
quand
ils ne
se
rapportent pas
au instant t.
De
ce
qui
précède
il
suit
que
le
groupe
de
relations
(1)
n’est
plus
valable
dans
le
domaine de
la
mécanique
quantique.
Tout ce
que
nous
pouvons
nous
donner,
ce
sont des
probabilités
de trouver
pour x
ou v des valeurs déterminées. La
probabilité
pour
que x
ait
une valeur
comprise
entre
x
et
x
+ d
x
à l’instant
t
sera
(où
l’astérisque
marque
que
l’on
passe
à
la
quantité conjuguée
complexe)
et de
même la
probabilité pour
que r
ait
une valeur
comprise
entre v
est
v
+
dv
à
sera
La
ielation
iiiiplicite
filtre x et v
comprise
dans
(1)
(par
élimination
de
1)
est
remplacée
par
selon
la théorie des
transformations de
Dirac et
Jordan.
Dans
ces
conditions,
il
est
peut-être permis
de
se
poser
la
question
suivante :
en
mécanique quantique,
1
étant
connu,
x
peut
être
déterminé,
mais v alors
est
complètement
indéterminé,
et
réciproquement.
Est-il
possible
que
cet état de choses
provienne
de
ce
que
notre
représentation
de la marehe causale
des
phénomènes
est
incomplète ;
en
d’autres
termes
qu’un
(ou
plusieurs)
paramètre supplémentaire
soit
nécessaire
pour
qu’une
lescrip-
tion causale
complète
d’un
phénomène
ssoit
possible
C’est à
ces
paramètres (de
nature
inconnue
pour
le
moment) que
nous donnerons
le
nom de
pararnètres
cachés
(verborgene
Parameter).
On
pourra
alors se
représenter
les
choses
de la
façon
suivante :
(1)
sera
remplacé par
où ii,
représente
le
paramètre
caché.
Nous avons
supposé, pour
simplifier
les
notations,
qu’il
suffise d’un
paramètre
caché,
mais
les choses
se
passent
de
façon
identique
avec
plusieurs paramètres.
A
une valeur
déterminée
de t
correspond,
suivant la
valeur de
u,
une infinité
de
valeurs
de x et
l’on
comprend
que,
du
moment
que
ignorons
tout
de
u,
tout
ce
que
nous
pouvons
connaître est
la
statistique
des
valeurs
possibles
de x,
corres
pondant à
la donnée d’une certaine fonction
de
répartition
(3).
D’autre
part,
lorsque
nous
faisons
une mesure
de x,
nous
prenons
consciemment
un
certain
instant t,
et
inconsciem-
ment
une
certaine valeur du
paramètre
caché
iii ;
si
d’autre
part
nous voulons
mesurer v
au
même instant
t,,
rien ne
peut
nous
certifier,
par
définition,
puisque
c’est
un
paramètre
qui
nous
échappe
actuellement,
que
nous
faisons
la
mesure
de v avec
la
même valeur
du
paramètre
Mi
que
pour
a. ;
à
une valeur déterminée
de x
sera donc associée
une suite infinie
de valeurs
de v,
rendant
compte
ainsi
du
principe
d’indétermination.
Remarquons
que
par
inversion des
relations
(3)
et
(4),
on
peut
écrire et v sous une
forme
très
voisine
de
(6) :

36
Les deux
paramètres ?u
et
~1
ne sont
pas
indépendants,
mais liés
implicitement
par
les
relations
(5).
Il
n’est
pas
très difficile
(1)
de montrer
que
cette
interdépendance
n’est
autre
chose
que
le
principe
d’inclétermination
(2).
Ainsi
donc
la
conception
des
paramètres
cachés
nous
permet
de nous rendre assez aisé-
ment
compte
de
façon
qualitative
de l’inléterminisme de la
mécanique quantiqae.
Sans
doute,
à
ce
stade,
elle est
d’un
intérêt assez mince
puisqu’elle
ne
prétend
que
donner un
ensemble de
concepts
entièrement
équivalent
à
celui
de
la
mécanique quantique.
En
somme,
nous
remplaçons
le
système parfaitement logique
de
la
mécanique quantique,
mais d’où
la
causalité au sens
classique
est
exclue,
par
un
autre
système
parfaitement
déterministe
mais
comportant
l’hypothèse
d’éléments
naturels
inconnus.
Irrationnel
pour
irrationnel,
l’avan-
tage
est assez médiocre.
En
réalité,
tout
l’intérêt
de cette théorie des
paramètres
cachés est
qu’elle permet
de
formuler
l’espoir cluc
ces
paramètresne
seront
pas toujours
cachés
et
que
la
découverte des éléments de la nature
auxquels
ils
correspondent
permettra
de
restituer
la
physique
dans son cadre
déterministe
d’antan.
La
démonstration
qui
suit a
justement
pour
but de montrer
que
cette
espérance
est
vaine.
Il
est en effet
impossible
d’édifier
une théorie à
paramètres
cachés
qui
soit
équiva-
lente du
point
de
vue
logique
à la
mécanique
quantique.
Remarquons
tout d’abord
que
le fait
que co
et
mj
ne
présentent
pas
de relation
simple
rend
déjà
improbable
l’existence
de relations
telles
que
(6).
On
peut
préciser
ceci de
la
façon
suivante.
Si
d’après
(2)
nous
pouvons
nous
attendre
à trouver
pour x
toutes les
valeurs
possibles,
il
n’en est
pas
moins vrai
que
certaines valeurs sont
plus
fréquemment
rencontrées
que
d’autres.
C’est
ainsi
que
si nous mesurons
la
position
de
l’électron
dans un
atome
d’hydro-
gène
situé dans un certain état
quantique,
nous
trouverons
une
prédominance
très
sensible-
pour
le
voisinage
de
l’ancienne orbite
de
Bohr
correspondant
à
cet état
quantique.
Les
préceptes
généraux
de
la
mécanique quantique
nous
indiquent que
la valeur
moyenne
de
-
n
x,
x est donnée
par
de
même
pour
v
le 3x et le àv
qui
figurent
dans
(2)
étant définis
par
De
façon
plus
générale
(2)
la
valeur
moyenne
de xn est donnée
par
,
Passons
maintenant
à
la théorie des
paramètres
cachés.
Soit une
grandeur F (t,
Il
va sans dire
que
là aussi nous devons retrouver la notion de
valeur
moyenne,
qui
résultera
évidemment
d’une
moyenne prise
sur
toutes
les
valeurs
possibles
de
u. En
d’autres
termes,
la valeur
moyenne F
(t)
de
/11
sera donnée
par
où
U
représente
un
opérateur.
Il est
d’autre
part
évident
que
la
moyenne
de
F
~-
G doit
être
égale
à
F +
(T
L’opérateur U
est
donc
linéaire et
il est
possible,
sous
des
conditions
(1)
W.
HEISEXBERG,
Physikalische
Prinzipien
der
Quantentheorie,
p.
12.
(2)
On sait
que
la
donnée des valseurs
moyennes
successives
x,
x2,
...,
...
est
équivalente
à
la
donnée
de la fonction ~
(x,
t).
C’est
là
le
célèbre
problème
des
moments
auquel
reste
attaché
le
nom
de
Slieltjes.

37
très
générales
de
continuité
(toujours
vérifiées
dans les
problèmes physiques)
de
mettre
l’opération (~~~
sous forme
intégrale :
où G
(u)
désigne
le
noyau
de
l’opérateur
U.
Par un
simple
changement
de
variable,
on
obtient .
Appliquons
cette relation
à la
grandeur x,t
-
f n
(t,
ir) :
Comparons
maintenant avec
le résultat
de
la
mécanique
quantique
(1 i)
que
nous écri-
rons,
en
changeant
simplement
le nom des
lettres
Les deux valeurs de xn données
par
(15)
et
( 16)
devant
être
identiques
quel que
soit t,
on
doit avoir
identiquement
Or cette
relation
ne
peut
être vérifiée
quel
que
soit &#x3E;1
que
lorsque
ce
qui
n’a évidemment
lieu
que
dans des
conditions
très
spéciales.
Il est donc
impossible
d’obtenir une
équivalence
générale
entre la théorie
quantique
et la théorie des
paramètres
cachés.
Si l’on
remarque que
la
donnée
des valeurs
moyennes
sucçessives
x,
xl...,
est
équi-
valente
à celle de
la
probabilité m
(x,
t),
le sens de la démonstratiou
précédente
est
que,
quelle que
soit
l’analogie
qualitative
qui
existe entre
(6)
et
(3)
(et
sur
laquelle
nous avons
déjà insisté)
une identité
quantitative
est
impossible,
on ne retrouve
pas
la loi de
proba-
bilité
(3). ,
Comme les
hypothèses
dont nous sommes
partis pour
définir la théorie des
para-
mètres
cachés
nous
semblent
bien être
les
plus
larges possibles, compatibles
avec
la théorie
quantique,
la
démonstration
qui précède
nous semble être de
nature
à
éliminer définitive-
ment ce dernier
espoir
d’une
théorie
déterministe
des
phénomènes
atomiques.
Manuscrit
reçu
le 13 novembre 1932.