Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de

Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers
Saisir un entier positif A
Affecter à X la valeur de A
Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X − 26
Fin du tant que
Afficher X
1) Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
2) Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3) Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
• Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A
0
N
13
B
1
O
14
C
2
P
15
D
3
Q
16
On obtient une matrice colonne
!
E
4
R
17
"
x1
x2
F
5
S
18
G
6
T
19
H
7
U
20
I
8
V
21
J
9
W
22
K
10
X
23
L
11
Y
24
M
12
Z
25
où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond
à la deuxième lettre du mot.
"
!
"
!
x1
y1
tel que
• Étape 2 :
est transformé en
x2
y2
"
!
" !
"!
3 1
x1
y1
.
=
y2
5 2
x2
!
"
3 1
La matrice C =
est appelée la matrice de codage.
5 2
!
"
!
"
y1
z1
• Étape 3 :
est transformé en
tel que
y2
z2
!
z1 ≡ y1 (26) avec 0 ! z1 ! 25
z2 ≡ y2 (26) avec 0 ! z2 ! 25
"
!
z1
est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné
• Étape 4 :
z2
dans l’étape 1.
Exemple
! : "
!
"
!
"
17
55
3
RE →
→
→
→ DP
4
93
15
Le bloc RE est donc codé en DP
!
" !
"
!
"
17
55
3
Justifier le passage de
à
puis à
.
4
93
15
" ! ′ "
!
x1
x1
et
sont transformés
1) Soient x1 , x2 , x1′ , x2′ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que
x2′
x2
"
!
z1
.
lors du procédé de codage en
z2
!
3x1 + x2 ≡ 3x1′ + x2′ (26)
a) Montrer que
.
5x1 + 2x2 ≡ 5x1′ + 2x2′ (26)
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b) En déduire que x1 ≡ x1′
(26) et x2 ≡ x2′
(26) puis que x1 = x1′ et x2 = x2′ .
2) On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
!
"
2 −1
′
a) Vérifier que la matrice C =
est la matrice inverse de C.
−5 3
" !
"!
!
"
!
"
2 −1
y1
3
y1
=
b) Calculer
tels que
.
y2
−5 3
y2
15
"
!
!
x1 ≡ y1 (26) avec 0 ! x1 ! 25
x1
tels que
.
c) Calculer
x2
x2 ≡ y2 (26) avec 0 ! x2 ! 25
d) Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
3) Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces
lettres à !l’étape
" 3. On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice
z1
colonne
par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
z2
! ′ "
!
"
!
"
z1
2 −1
y1
′
′
′
′
Soient y1 et y2 tels que
=C
où C =
.
−5 3
y2′
z2 !
′
x1 ≡ y1 (26) avec 0 ! x1 ! 25
Soient x1 et x2 , les nombres entiers tels que
.
x2 ≡ y2′ (26) avec 0 ! x2 ! 25
!
3x1 + x2 ≡ z1 (26)
Montrer que
.
5x1 + 2x2 ≡ z2 (26)
Conclure.
4) Décoder QC.
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Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
1) Le nombre 3 est strictement inférieur à 26 et donc l’algorithme s’arrête immédiatement et affiche 3.
Quand on saisit le nombre 3, l’algorithme affiche le nombre 3.
2) La variable X prend successivement les valeurs 55 puis 55 − 26 = 29 puis 29 − 26 = 3 puis l’algorithme s’arrête et
affiche 3.
Quand on saisit le nombre 55, l’algorithme affiche le nombre 3.
3) L’algorithme retranche un certain nombre de fois 26 à A. Si on note q ce nombre, A − 26q est un entier r compris
au sens large entre 0 et 25 ou encore r est le reste de la division euclidienne de A par 26 et l’algorithme affiche r.
Pour un nombre entier A saisi quelconque, le résultat affiché par l’algorithme est le reste de la division euclidienne de
A par 26.
Partie B
Justifions le passage de
!
17
4
"
à
!
!
"
!
"
3
puis à
.
15
"!
" !
" !
"
1
17
3 × 17 + 1 × 4
55
=
=
.
2
4
5 × 17 + 2 × 4
93
55
93
3
5
Ensuite, 55 = 2 × 26 + 3 et donc 55 ≡ 3 (26) avec 0 ! 3 ! 25. De même, 93 = 3 × 26 + 15 et donc 93 ≡ 15 (26) avec
0 ! 15 ! 25. Donc
!
"
!
"
!
"
17
55
3
→
→
.
4
93
15
1) a) x1 et x2 sont respectivement transformés en y1 = 3x1 + x2 et y2 = 5x1 + 2x2 . De même, x1′ et x2′ sont
respectivement transformés en y1′ = 3x1′ + x2′ et y2 = 5x1′ + 2x2′ .
Puisque y1 ≡ z1 (26) et y1′ ≡ z1 (26), on en déduit que y1 ≡ y1′ (26) ou encore que 3x1 + x2 ≡ 3x1′ + x2′ (26). De
même, 5x1 + 2x2 ≡ 5x1′ + 2x2′ (26).
"
3x1 + x2 ≡ 3x1′ + x2′ (26)
On a montré que
.
5x1 + 2x2 ≡ 5x1′ + 2x2′ (26)
b) On en déduit que 2 (3x1 + x2 ) − (5x1 + 2x2 ) ≡ 2 (3x1′ + x2′ ) − (5x1′ + 2x2′ ) (26) ou encore que x1 ≡ x1′ (26).
De même, −5 (3x1 + x2 ) + 3 (5x1 + 2x2 ) ≡ −5 (3x1′ + x2′ ) + 3 (5x1′ + 2x2′ ) (26) et donc x2 ≡ x2′ (26).
Ainsi, x1 ≡ x1′ (26) avec de plus 0 ! x1 ! 25 et 0 ! x1′ ! 25. On sait alors que x1 = x1′ . De même, x2 = x2′ .
2) a)
CC ′ =
!
3
5
1
2
"!
−1
3
2
−5
"
=
!
3 × 2 + 1 × (−5)
5 × 2 + 2 × (−5)
"
3 × (−1) + 1 × 3
5 × (−1) + 2 × 3
=
!
1
0
0
1
"
= I.
Puisque CC ′ = I, on sait que C ′ C = I et donc la matrice C est inversible, d’inverse la matrice C ′ .
b)
!
y1
y2
"
=
!
2 −1
−5 3
"!
3
15
"
=
!
2 × 3 + (−1) × 15
(−5) × 3 + 3 × 15
"
=
!
−9
30
"
.
c) −9 ≡ −9 + 26 (26) ou encore −9 ≡ 17 (26) avec 0 ! 17 ! 25. De même, 30 ≡ 30 − 26 (26) ou encore 30 ≡ 4 (26)
avec 0 ! 4 ! 25. Donc
!
" !
"
17
x1
=
.
4
x2
d) L’exemple précédent suggère que le décodage d’un message se fait comme son codage, en remplaçant la matrice C
par la matrice C ′ inverse de la matrice C.
3)
!
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y1′
y2′
"
=
!
2
−5
−1
3
"!
1
z1
z2
"
=
!
2z1 − z2
−5z1 + 3z2
"
.
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Ensuite, modulo 26,
3x1 + x2 ≡ 3y1′ + y2′ ≡ 3(2z1 − z2 ) + (−5z1 + 3z2 ) ≡ z1 ,
et
5x1 + 2x2 ≡ 5y1′ + 2y2′ ≡ 5(2z1 − z2 ) + 2(−5z1 + 3z2 ) ≡ z2 .
"
3x1 + x2 ≡ z1 (26)
.
5x1 + 2x2 ≡ z2 (26)
"
!
"
!
x1
z1
se code en le mot représenté par
. La question 1)b) montre que c’est le
Ainsi, le mot représenté par
x2 !
z2 !
"
"
z1
x1
seul et donc le mot représenté par
se décode en le mot représenté par
.
z2
x2
"
!
z1
où z1 = 16 et z2 = 2.
4) Le mot QC est représenté par
z2
!
" !
"!
" !
"
z1
2 −1
16
30
C′
=
=
.
−5 3
2
−74
z2
On a montré que
Ensuite, 30 ≡ 30 − 26 (26) ou encore 30 ≡ 4 (26) avec 0 ! 4 ! 25. Donc x1 = 4.
De même, −74 ≡ −74 + 3 × 26 (26) ou encore −74 ≡ 4 (26). Donc, x2 = 4. Puisque le nombre 4 correspond à la lettre
E,
le mot QP se décode en le mot EE.
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