Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de

Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Aet Xsont des nombres entiers
Saisir un entier positif A
Affecter à Xla valeur de A
Tant que Xsupérieur ou égal à 26
Affecter à Xla valeur X−26
Fin du tant que
Afficher X
1) Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3?
2) Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3) Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
•Étape 1 :chaquelettredublocestremplacéeparunentierenutilisant le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
012345678910 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient une matrice colonne !x1
x2"où x1correspond à la première lettre du mot et x2correspond
àladeuxièmelettredumot.
•Étape 2 :!x1
x2"est transformé en !y1 y2"tel que
!y1
y2"=!31 52
"! x1
x2".
La matrice C=!31
52
"est appelée la matrice de codage.
•Étape 3 :!y1
y2"est transformé en !z1 z2"tel que
!z1≡y1(26)avec 0!z1!25
z2≡y2(26)avec 0!z2!25
•Étape 4 :!z1
z2"est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné
dans l’étape 1.
Exemple :
RE →!17
4"→!55 93 "→!3
15 "→DP
Le bloc RE est donc codé en DP
Justifier le passage de !17
4"à!55
93 "puis à !3 15 ".
1) Soient x1,x2,x′
1,x′ 2quatre nombres entiers compris entre 0et 25 tels que !x1
x2"et !x′
1
x′
2"sont transformés
lors du procédé de codage en !z1
z2".
a) Montrer que !3x1+x2≡3x ′
1+x′ 2(26)
5x1+2x2≡5x ′
1+2x′ 2(26).
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

b) En déduire que x1≡x′
1(26)et x2≡x′ 2(26)puis que x1=x′ 1et x2=x′ 2.
2) On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
a) Vérifier que la matrice C′=!2−1
−53
"est la matrice inverse de C.
b) Calculer !y1
y2"tels que !y1
y2"=!2−1 −53
"! 3
15 ".
c) Calculer !x1
x2"tels que !x1≡y1(26)avec 0!x1!25 x2≡y2(26)avec 0!x2!25 .
d) Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
3) Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1et z2les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces
lettres à l’étape 3. On cherche à trouver deux entiers x1et x2compris entre 0et 25 qui donnent la matrice
colonne !z1
z2"par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
Soient y′
1et y′ 2tels que !y′
1
y′
2"=C′!z1
z2"où C′=!2−1
−53
".
Soient x1et x2,lesnombresentierstelsque!x1≡y′
1(26)avec 0!x1!25
x2≡y′
2(26)avec 0!x2!25 .
Montrer que !3x1+x2≡z1(26)
5x1+2x2≡z2(26).
Conclure.
4) Décoder QC.
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EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
1) Le nombre 3est strictement inférieur à 26 et donc l’algorithme s’arrête immédiatement et affiche 3.
Quand on saisit le nombre 3,l’algorithmeaffichelenombre3.
2) La variable Xprend successivement les valeurs 55 puis 55 −26 =29 puis 29 −26 =3puis l’algorithme s’arrête et
affiche 3.
Quand on saisit le nombre 55,l’algorithmeaffichelenombre3.
3) L’algorithme retranche un certain nombre de fois 26 àA.Sionnoteqce nombre, A−26q est un entier rcompris
au sens large entre 0et 25 ou encore rest le reste de la division euclidienne de Apar 26 et l’algorithme affiche r.
Pour un nombre entier Asaisi quelconque, le résultat affiché par l’algorithme est le reste de la division euclidienne de
Apar 26.
Partie B
Justifions le passage de !17
4"à!55 93 "puis à !3
15 ".
!31
52
"! 17
4"=!3×17 +1×4
5×17 +2×4"=!55 93 ".
Ensuite, 55 =2×26 +3et donc 55 ≡3(26)avec 0!3!25.Demême,93 =3×26 +15 et donc 93 ≡15 (26)avec
0!15 !25.Donc
!17
4"→!55 93 "→!3 15 ".
1) a) x1et x2sont respectivement transformés en y1=3x1+x2et y2=5x1+2x2.Demême,x′
1et x′ 2sont
respectivement transformés en y′
1=3x′ 1+x′ 2et y2=5x′ 1+2x′ 2.
Puisque y1≡z1(26)et y′
1≡z1(26),onendéduitquey1≡y′ 1(26)ou encore que 3x1+x2≡3x ′ 1+x′ 2(26).De
même, 5x1+2x2≡5x ′
1+2x′ 2(26).
On a montré que "3x1+x2≡3x ′
1+x′ 2(26)
5x1+2x2≡5x ′
1+2x′ 2(26).
b) On en déduit que 2(3x1+x2)−(5x1+2x2)≡2(3x′
1+x′ 2)−(5x′ 1+2x′ 2)(26)ou encore que x1≡x′ 1(26).
De même, −5(3x1+x2)+3(5x1+2x2)≡−5(3x′
1+x′ 2)+3(5x′ 1+2x′ 2)(26)et donc x2≡x′ 2(26).
Ainsi, x1≡x′
1(26)avec de plus 0!x1!25 et 0!x′ 1!25.Onsaitalorsquex1=x′ 1.Demême,x2=x′ 2.
2) a)
CC′=!31
52
"! 2−1
−53
"=!3×2+1×(−5)3×(−1)+1×3
5×2+2×(−5)5×(−1)+2×3"=!10 01
"=I.
Puisque CC′=I,onsaitqueC′C=Iet donc la matrice Cest inversible, d’inverse la matrice C′.
b)
!y1
y2"=!2−1
−53
"! 3
15 "=!2×3+(−1)×15 (−5)×3+3×15 "=!−9 30 ".
c) −9≡−9+26 (26)ou encore −9≡17 (26)avec 0!17 !25.Demême,30 ≡30 −26 (26)ou encore 30 ≡4(26)
avec 0!4!25.Donc
!x1
x2"=!17
4".
d) L’exemple précédent suggère que le décodage d’un message se fait comme son codage, en remplaçant la matrice C
par la matrice C′inverse de la matrice C.
3)
!y′
1
y′
2"=!2−1
−53
"! z1
z2"=!2z1−z2
−5z1+3z2".
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Ensuite, modulo 26,
3x1+x2≡3y′
1+y′ 2≡3(2z1−z2)+(−5z1+3z2)≡z1,
et
5x1+2x2≡5y′
1+2y′ 2≡5(2z1−z2)+2(−5z1+3z2)≡z2.
On a montré que "3x1+x2≡z1(26)
5x1+2x2≡z2(26).
Ainsi, le mot représenté par !x1
x2"se code en le mot représenté par !z1 z2".Laquestion1)b)montrequec’estle
seul et donc le mot représenté par !z1
z2"se décode en le mot représenté par !x1 x2".
4) Le mot QC est représenté par !z1
z2"où z1=16 et z2=2.
C′!z1
z2"=!2−1
−53
"! 16
2"=!30 −74 ".
Ensuite, 30 ≡30 −26 (26)ou encore 30 ≡4(26)avec 0!4!25.Doncx1=4.
De même, −74 ≡−74 +3×26 (26)ou encore −74 ≡4(26).Donc,x2=4.Puisquelenombre4correspondàlalettre
E,
le mot QP se décode en le mot EE.
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