Notions sur le champ proche

Notions sur le champ
proche
Olivier MAURICE1 , Alain REINEIX2
1: GERAC 3 rue Jean d'Alembert ZAC de Pissaloup 78190 Trappes olivier.m[email protected]
2: Xlim 123 Avenue Albert Thomas 87060 Limoges Cedex [e-mail]
conférence RFHyper'09
1. Introduction
L'objet de cet article est de préciser théoriquement les notions dévelopées lors de
la présentation aux conférences organisées lors du congrès RFHyper'09. Le
thème est « le champ proche ». Voilà un thème très général, qui peut sembler bien
anodin et sur lequel on pourrait croire que tout a été dit, et pourtant, la lecture
ou la relecture des écrits fondamentaux montrent que de nombreuses notions
apparemment évidentes ne le sont pas forcément en deuxième lecture. Nous
essayons dans cet article libre de donner quelques pistes de réflexions et
quelques références pour ceux qui désireraient aller au-delà des concepts de
surface que l'on apprend à l'école ou en université.
2. Signification de la notion de champ
électromagnétique selon Feynman
Un champ est une collection de nombres que l'on peut définir dans
l'environnement d'un objet ou sur un domaine limité défini, et qui permettent de
calculer l'influence de choses qui se passent loin de ce domaine, sans s'en
préoccuper. Cette définition dûe à Richard Philippe Feynman peut dérouter, et
pourtant elle semble sur bien des points la plus pertinente. Elle permet de
comprendre par exemple, que derrière une plaque, le champ résulte de tous les
mouvements des particules présentent dans tout le domaine extérieur au point
d'observation, incluant la plaque et la source du champ « incident » située loin
de la plaque. De fait, c'est le champ total qui s'annule, et non la plaque qui
« arrête » le champ.
Gardons donc en tête cette définition pour continuer dans nos réflexions.
3. Les représentations du champ utilisées dans cet
article
On peut représenter le champ électromagnétique de diverses façons. Dire qu'un
modèle est plus exact qu'un autre n'a pas beaucoup de sens. Et là aussi, nous
pouvons nous référer à la définition de Feynman: finalement, si nous trouvons
une collection de nombres qui répond à notre besoin, cette collection constitue
une définition du champ qui est suffisante pour ce que l'on veut calculer. Dans

cet article nous allons utiliser les potentiels scalaire et vectoriel, définis dans la
jauge de Coulomb, ainsi que le champ magnétostatique. Pourquoi un tel choix?
Les champs électrique et magnétique « classique » s'écrivent en fonction des
potentiels suivant les relations canoniques1 :
E=−∂ 
A
∂t−
Grad V B= ∇ ∧ A
Dans la suite de l'article, on omettra les flêches sur les vecteurs, leur
identification ne posant pas de difficulté. On s'aperçoit que les champs ne
changent pas si l'on modifie les potentiels en leur ajoutant une fonction
quelconque de l'espace et du temps, par exemple X :
V ' =V∂X
∂tA '=A−∇ X
Les transformations de ce type sont appelées transformations de jauge. Deux
jauges sont remarquables : la jauge de Coulomb et la jauge de Lorentz2. La
jauge de Coulomb est défini par
∇⋅A=0
. en remplaçant dans les équations
de Maxwell les champs E et B par leurs expressions, sous cette condition on
obtient :
{
∇2V=− 
0
1
c2
∂2A
∂t2−∇2A=0J−1 c2
∂ ∇ V
∂t
On voit déjà que le potentiel scalaire dans cette jauge, s'écrit comme le potentiel
électrostatique de Coulomb, d'où le nom de la jauge d'ailleurs. Sa propagation
est instantantée, ce qui ne contredit pas la théorie de la relativité, d'une part
parce que son caractère évanescent en distance l'empêche d'agir entre
référentiels en mouvement séparés, et parce qu'il constitue une composante
continue du développement en série de Fourier du champ, composante qui ne
prend de sens en lointain que lorsque les composantes du potentiel vecteur
s'additionnent, composantes qui elles, sont retardées.
On peut décomposer n'importe quel champ en parties transverses et
longitudinales :
a=aLat
. La partie transverse est à divergence nulle
puisqu'elle est tangente à la sphère de Gauss en tout point où le champ est
incident à cette surface. La partie longitudinale par contre est de rotationnel
nul, puisque par définition, son intégration sur un contour fermé est nulle. Or le
second membre de l'équation du potentiel vecteur est à divergence nulle puisque
qu'il s'agit de la différence entre le courant de conduction et le courant de
déplacement, qui sont deux termes de divergence nulle. Le potentiel vecteur est
1Martin : Problèmes à N-corps et champs quantiques. Presses polytechniques et universitaires
romandes.
2 Maurice a pu démontrer dans un article à ICONIC – Barcelone 2005, que la jauge de Lorentz
pouvait être obtenue à partir de la jauge de Coulomb par transformation de Lorentz.

donc de fait transverse, d'où le deuxième nom de cette jauge aussi appelée jauge
transverse.
Enfin, l'usage du champ magnétostatique B (ou induction magnétique comme
certains aiment à l'appeler, mais peu importe les terminologies) est bien
pratique. Suivant Dirac3, un monopôle magnétique – un solénoïde – qui
engendre un champ non nul à l'intérieur et nul à l'extérieur (on considère un
solénoïde de longueur infinie, c'est l'expérience d'Aharonov – Bohm4) peut être
considéré pour modéliser les lignes de flux magnétostatique, que l'on peut aussi
représenter par un enroulement continu et infini (une « corde ») de potentiel
vecteur. Mais l'usage de B et le schéma des réluctances sont bien pratiques pour
considérer ces effets et les émissions des charges magnétiques – aimants – qui
sont la deuxième source de champ proche.
Finalement, le trio ,B,At, permet de modéliser à peu près toutes les situations
qui nous intéressent.
4. Le champ scalaire du dipôle
Le champ scalaire est le champ longitudinal, parallèle à la ligne de visée. Ce
champ est égal au gradient de potentiel. On écrit à deux distances R et R' des
deux charges q et q' :
EL=−  ∇ =−∂
∂r
q
40Rq ' 40R'
ur
Si l'on regarde sur la médiane aux deux charges, les distances R et R' sont
égales et que par ailleurs, les deux charges q et q' sont opposées, le champ
longitudinal est nul. Plaçons nous maintenant sur la ligne de visée alignée avec
une seule des deux charges que l'on prend opposées, par exemple q. Si r est la
distance à cette charge et h la distance entre charges, on obtient :
EL=−∂
∂r
{
q
40r−q
40 r2h2
}
En réduisant au même dénominateur et en normalisant par rapport à r on
trouve :
EL=−q
40
∂
∂r
1
r
1h2
r2−1
1h2
r2
En remplaçant la racine par son développement limité quand r est grand devant
3De l'électromagnétisme à l'électrofaible de Edgard Elbaz, chez Ellipses.
4Cours de physique de Feynman, tome II, électromagnétisme.

h suivant :
1x2≈1x2
2
, on trouve un champ évoluant en inverse de r4 après
dérivation. Dès que l'on se trouve à grande distance, ce champ n'est plus
perceptible. Maintenant plaçons nous dans le cas où r est petit devant h. On
reprenant le même développement mais en normalisant par rapport à h on
trouve cette fois :
EL≈−q
40
∂r
{
1−r
hr2
2h2
r−r3
2h2
}
En réduisant encore par approximation on trouve :
EL=−q
40
[
−1
r21 2h2
]
≈q
40r2
qui n'est rien d'autre que la loi de Coulomb! Ce qui est bien sûr l'attendu. Dès
que l'on se trouve assez proche de l'une des deux charges pour que l'influence de
la deuxième devienne négligeable, on retrouve la loi de Coulomb qui définit le
champ électrique d'une charge isolée.
5. Le champ vectoriel du dipôle
Pour connaître le champ rayonné lointain, nous avons vu qu'il fallait calculer le
potentiel vecteur dans la jauge de Coulomb. Si les charges se déplacent à la
vitesse v sur l'axe y et dy est la distance entre charges, nous avons :
At=2qv
4r '
r
r2dy2
2
r
c
Dans cette expression, r' est la distance
r2dy2
. Comme dy(t) est égal à vt,
on obtient finalement :
At=q
2
v
r 1v2t2
r2
3
2
r
c
Quand r tend vers 0, la projection du champ en cosinus va tendre à annuler ce
dernier. En fait il décroît suivant une fonction trigonométrique alors que le
champ proche lui augmente. Au contact, le champ transverse est nul, respectant
par là la condition limite sur le dipôle conducteur. Par contre quand r devient
grand, égal à ct, le champ s'exprime par :

At=q
2
v
ct 1v2
c2
3
2
r
c
Dès lors, si la vitesse de déplacement des charges v est très inférieure à c on
trouve :
At=qv
2rr
c
=i dy
4rr
c
avec idy=q'v et q' = 2q. Cette expression n'est rien d'autre que celle de la
définition classique du potentiel vecteur, dans l'axe de la ligne de visée pour un
courant suivant une hauteur de déplacement dy.
6. Le champ magnétostatique
Le champ magnétique d'une spire parcourue par un courant i, suivant l'axe z
normal au plan de la spire et à la hauteur h du plan de la spire, est donné,
pour un élément de courant rd de la spire, par :
d Bz=i r d 
4 r2h2
2Cos
uz
En intégrant sur le périmètre de la spire et en faisant apparaître le moment de
la spire m=r², on trouve :
Bz=m
2
1
r2h2
3
2
uz
Ce champ varie en inverse cube de la hauteur. Donc avec une vitesse de
décroissance plus rapide que le champ électrostatique du dipôle électrique. Par
ailleurs il est situé suivant l'axe de la normale à la spire. Donc à quatre vingt
dix degrés de l'axe de la ligne de visée en champ lointain, contrairement là aussi
au dipôle électrique où le champ proche est homogène quasiment sur une demi-
sphère autour de chaque charge.
7. Le champ lointain d'une boucle de courant
Le champ lointain d'une spire est maximum dans le plan de la spire. Son
expression est très simple dès lors que, comme les antennistes, on assimile la
spire à une circulation carrée de courant. A ce moment là, suivant un axe
perpendiculaire à l'un des côtés de la spire carrée et dans son plan, on trouve :
At=i dx
4
{
e−jk r−a
r−a−e−jk ra ra
}