Le théorème de Pythagore et les triplets pythagoréciens

Club de mathématiques 2
Le théorème de Pythagore et les triplets
Pythagoriciens.
Et comment tracer des triangles si on connait les
trois côtés.
Ce club de mathématique peut être adapté à différent niveaux
scolaires, les préalables pour le début sont :
1. Savoir ce qu’est un triangle rectangle
2. Savoir ce que signifie le carré d’un nombre.
Pour les plus petits, on peut se contenter de :
1. faire certains calculs sur des rectangles donnés (pas tous
rectangle) pour voir que la relation de Pythagore ne
s’applique qu’aux triangles rectangles
2. Énoncer le théorème de Pythagore (en expliquant ce
qu’est un théorème)
3. Introduire la notion de triplets pythagoriciens et donner
quelques exemples.
4. Lorsqu’un triplet est pythagoricien, on peut leur demander
de tracer le triangle correspondant sur du papier quadrillé.
5. On peut ensuite leur montrer à tracer des triangles avec
un compas
Pour les plus vieux, on peut par ordre de difficulté croissante
1. Faire une preuve du théorème de Pythagore
2. Donner une formule qui donne les triplets pythagoriciens
3. Parler de la formule de la distance dans le plan et de
l’équation du cercle
4. Parler de la formule de distance dans l’espace et parler de
quadruplets pythagoriciens.
5. Présenter une généralisation du théorème de Pythagore

Tous ces sujets sont présentés dans ce qui suit. Dans tous les
cas, on peut faire travailler les participants pour leur faire
découvrir les choses par eux-mêmes.
Le théorème de Pythagore : Introduction
Voici quelques triangles dont on a indiqué la longueur des
côtés (pas à l’échelle)
On calcule d’abord la somme des carrés des deux côtés les plus
petits d’un triangle et on compare avec le carré du grand côté.

Triangle a : 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25) Égalité : OUI
Triangle b : 32 + 32  32 (9 + 9  9) Égalité : NON
Triangle c : 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) Égalité : OUI
Triangle d : 32 + 42  62 (9 + 16  36) Égalité : NON
Triangle e : 42 + 52  62 (16 + 25  36) Égalité : NON
On observe qu’il y a égalité pour les triangles a et c. Et ce sont
des triangles rectangles.
On observe qu’on n’a pas égalité pour les triangles b, d et e. Et
ce ne sont pas des triangles rectangles.
Ainsi, si on considère des triangles de côtés a, b et c.
On a ceci :
Si a2 + b2 = c2 (Égalité)
Le triangle est rectangle
Si a2 + b2  c2 (Pas
égalité)
Le triangle n’est pas
rectangle

Un théorème est un énoncé mathématique qui est toujours
vrai. Un théorème très simple serait par exemple : 1 + 1 = 2.
C’est une vérité mathématique. Les mathématiciens s’intéressent
beaucoup aux théorèmes qui généralement ne sont pas aussi
simples que 1 + 1 = 2.
Un triangle rectangle est un rectangle ayant un angle droit. Le
plus long côté s’appelle l’hypoténuse et les autres côtés sont les
côtés de l’angle droit.
Le théorème de Pythagore dit ceci : dans un triangle
rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est
égale au carré de l’hypoténuse.
Le triangle ABC est rectangle puisque l’angle C est un angle droit.
Les côtés de l’angle droit sont AC (de longueur b) et BC (de
longueur a).
L’hypoténuse est AB (de longueur c).
Le théorème de Pythagore nous dit que
222
a b c

Un triplet pythagoriciens est un triplet de trois nombres entiers
(a, b, c) tels que
222
a b c
Vérifiez que (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25) sont des
triplets pythagoriciens.
Essayez de tracer des triangles dont les longueurs des côtés sont
les trois nombres d’un des triplets pythagoriciens ci-dessus.
Le plus simple est d’utiliser un papier quadrillé et d’utiliser les
mesures déjà sur le papier pour tracer les côtés de l’angle droit.
L’autre côté aura forcément la bonne mesure. Par exemple :
Essayez de tracer des triangles dont les côtés sont les nombres
des triplets suivants. Vous pouvez utiliser du papier quadrillé,
mais pour les triangles qui ne sont pas rectangles vous aurez
besoin d’utiliser un compas. Vous savez d’avance ceux qui
donneront des triangles rectangles, ils forment un triplet
pythagoricien (
222
a b c
). Les autres ne donneront pas
des triangles rectangles.
(3, 4, 6), (4, 5, 6), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (6, 7, 8).