Topologie de Zariski Décomposition primaire, idéaux associés

Alg`ebre 2 – TD8 2010-2011
Topologie de Zariski
Exercice no1Soit kun corps. La topologie de Zariski sur knest la topologie
induite par la topologie de Zariski de Spec(k[X1, . . . , Xn]) via l’inclusion canonique
kn⊂Spec(k[X1, . . . , Xn]). Montrer que si kest infini, la topologie de Zariski sur k2
n’est pas la topologie produit sur k×ko`u kest muni de la topologie de Zariski.
Exercice no2Parmi les sous-vari´et´es suivantes de C2, d´eterminer lesquelles sont
irr´eductibles, et pr´eciser leurs composantes irr´eductibles :
V(Y2−X), V (XY ), V (X2+Y2), V (Y2−X3−X).
Exercice no3
1. Soit u:A→Bun morphisme d’anneaux. Montrer que l’image inverse par u
induit une application continue
u♯:Spec(B)→Spec(A).
2. Soit Iun id´eal de l’anneau Aet soit p:A→A/I la projection canonique.
Montrer que p♯:Spec(A/I)→Spec(A) induit un isomorphisme de Spec(A/I)
sur le ferm´e V(I) de Spec(A).
3. Montrer que Spec(Ared) est canoniquement hom´eomorphe `a Spec(A).
D´ecomposition primaire, id´eaux associ´es
Exercice no4Soit Aun anneau noeth´erien et Iun id´eal irr´eductible de A. Soient
a, b ∈Atels que ab ∈Imais a /∈Iet b /∈√I. Montrer que pour nsuffisamment
grand, on a
I= (I+ (bn)) ∩(I:bn).
Exercice no5
1. Quels sont les id´eaux primaires de Z?
2. Soit Kun corps et soit Al’anneau K[X, Y, Z]/(XY −Z2). Montrer que l’id´eal
de Aengendr´e par les classes de Xet Zest premier, mais que son carr´e n’est
pas primaire.
3. Dans l’anneau Z[X], montrer que l’id´eal engendr´e par 4 et Xest primaire
mais n’est pas une puissance d’un id´eal premier. Quel est son radical ?
Exercice no6
1. Soit Aun anneau. Montrer que les id´eaux premiers minimaux de Asont des
id´eaux premiers associ´es (`a l’id´eal nul). Montrer qu’il peut y en avoir d’autres.
On pourra penser `a la d´ecomposition primaire de (XY, X2).
2. Si Aest r´eduit, montrer que les id´eaux premiers associ´es (`a l’id´eal nul) sont
exactement les id´eaux premiers minimaux de A.

Alg`ebre 2 – TD8 2010-2011
Exercice no7Soit Kun corps. Dans l’anneau K[X, Y, Z], trouver une d´ecomposition
primaire de l’id´eal (XY, Y Z, ZX).
Exercice no8 (D´ecomposition primaire des id´eaux monomiaux) Soit K
un corps, et soit Rl’anneau de polynˆomes k[X1, . . . , Xn]. On dit qu’un id´eal de R
est monomial s’il est engendr´e par des monˆomes en les Xi. Soit Iun id´eal monomial
de R.
1. Si x∈I, montrer que les monˆomes apparaissant dans xsont dans I.
2. Montrer qu’il existe un unique ensemble minimal Sde monˆomes qui engendre
I.
3. Montrer que le radical de Iest monomial, qu’un monˆome Xi1. . . Xirest dans
√Isi et seulement si il existe des entiers strictement positifs a1, . . . , artels
que Xa1
i1. . . Xar ir∈S, et que les tels monˆomes engendrent le radical de I.
4. Soit iun entier entre 1 et n. Montrer que l’on a l’´egalit´e
Xi=∑
m∈S
((m) : (Xi))
et calculer ((m) : (Xi)) quand mest un monˆome quelconque.
5. Montrer que tout id´eal premier associ´e `a Iest monomial.
6. Montrer que Iest primaire si et seulement si pour tout Xi, si Xidivise un
´el´ement de S, alors Xi∈√I. On pourra d’abord montrer que le radical de I
est premier.
7. D´ecrire un algorithme qui donne la d´ecomposition primaire d’un id´eal mo-
nomial et l’appliquer `a (X2, XY ) dans K[X, Y ]. On pourra utiliser l’exercice
4.