Topologie de Zariski Décomposition primaire, idéaux associés

Algèbre 2 – TD8
2010-2011
Topologie de Zariski
Exercice no 1 Soit k un corps. La topologie de Zariski sur k n est la topologie
induite par la topologie de Zariski de Spec(k[X1 , . . . , Xn ]) via l’inclusion canonique
k n ⊂ Spec(k[X1 , . . . , Xn ]). Montrer que si k est infini, la topologie de Zariski sur k 2
n’est pas la topologie produit sur k × k où k est muni de la topologie de Zariski.
Exercice no 2 Parmi les sous-variétés suivantes de C2 , déterminer lesquelles sont
irréductibles, et préciser leurs composantes irréductibles :
V (Y 2 − X), V (XY ), V (X 2 + Y 2 ), V (Y 2 − X 3 − X).
Exercice no 3
1. Soit u : A → B un morphisme d’anneaux. Montrer que l’image inverse par u
induit une application continue
u♯ : Spec(B) → Spec(A).
2. Soit I un idéal de l’anneau A et soit p : A → A/I la projection canonique.
Montrer que p♯ : Spec(A/I) → Spec(A) induit un isomorphisme de Spec(A/I)
sur le fermé V (I) de Spec(A).
3. Montrer que Spec(Ared ) est canoniquement homéomorphe à Spec(A).
Décomposition primaire, idéaux associés
Exercice no 4 Soit A un anneau noethérien
√et I un idéal irréductible de A. Soient
a, b ∈ A tels que ab ∈ I mais a ∈
/ I et b ∈
/ I. Montrer que pour n suffisamment
grand, on a
I = (I + (bn )) ∩ (I : bn ).
Exercice no 5
1. Quels sont les idéaux primaires de Z ?
2. Soit K un corps et soit A l’anneau K[X, Y, Z]/(XY − Z 2 ). Montrer que l’idéal
de A engendré par les classes de X et Z est premier, mais que son carré n’est
pas primaire.
3. Dans l’anneau Z[X], montrer que l’idéal engendré par 4 et X est primaire
mais n’est pas une puissance d’un idéal premier. Quel est son radical ?
Exercice no 6
1. Soit A un anneau. Montrer que les idéaux premiers minimaux de A sont des
idéaux premiers associés (à l’idéal nul). Montrer qu’il peut y en avoir d’autres.
On pourra penser à la décomposition primaire de (XY, X 2 ).
2. Si A est réduit, montrer que les idéaux premiers associés (à l’idéal nul) sont
exactement les idéaux premiers minimaux de A.
Algèbre 2 – TD8
2010-2011
Exercice no 7 Soit K un corps. Dans l’anneau K[X, Y, Z], trouver une décomposition
primaire de l’idéal (XY, Y Z, ZX).
Exercice no 8 (Décomposition primaire des idéaux monomiaux) Soit K
un corps, et soit R l’anneau de polynômes k[X1 , . . . , Xn ]. On dit qu’un idéal de R
est monomial s’il est engendré par des monômes en les Xi . Soit I un idéal monomial
de R.
1. Si x ∈ I, montrer que les monômes apparaissant dans x sont dans I.
2. Montrer qu’il existe un unique ensemble minimal S de monômes qui engendre
I.
3. √
Montrer que le radical de I est monomial, qu’un monôme Xi1 . . . Xir est dans
I si et seulement si il existe des entiers strictement positifs a1 , . . . , ar tels
que Xia11 . . . Xiarr ∈ S, et que les tels monômes engendrent le radical de I.
4. Soit i un entier entre 1 et n. Montrer que l’on a l’égalité
∑
Xi =
((m) : (Xi ))
m∈S
et calculer ((m) : (Xi )) quand m est un monôme quelconque.
5. Montrer que tout idéal premier associé à I est monomial.
6. Montrer que I est primaire
√ si et seulement si pour tout Xi , si Xi divise un
élément de S, alors Xi ∈ I. On pourra d’abord montrer que le radical de I
est premier.
7. Décrire un algorithme qui donne la décomposition primaire d’un idéal monomial et l’appliquer à (X 2 , XY ) dans K[X, Y ]. On pourra utiliser l’exercice
4.