Algèbre 2 – TD8 2010-2011 Topologie de Zariski Exercice no 1 Soit k un corps. La topologie de Zariski sur k n est la topologie induite par la topologie de Zariski de Spec(k[X1 , . . . , Xn ]) via l’inclusion canonique k n ⊂ Spec(k[X1 , . . . , Xn ]). Montrer que si k est infini, la topologie de Zariski sur k 2 n’est pas la topologie produit sur k × k où k est muni de la topologie de Zariski. Exercice no 2 Parmi les sous-variétés suivantes de C2 , déterminer lesquelles sont irréductibles, et préciser leurs composantes irréductibles : V (Y 2 − X), V (XY ), V (X 2 + Y 2 ), V (Y 2 − X 3 − X). Exercice no 3 1. Soit u : A → B un morphisme d’anneaux. Montrer que l’image inverse par u induit une application continue u♯ : Spec(B) → Spec(A). 2. Soit I un idéal de l’anneau A et soit p : A → A/I la projection canonique. Montrer que p♯ : Spec(A/I) → Spec(A) induit un isomorphisme de Spec(A/I) sur le fermé V (I) de Spec(A). 3. Montrer que Spec(Ared ) est canoniquement homéomorphe à Spec(A). Décomposition primaire, idéaux associés Exercice no 4 Soit A un anneau noethérien √et I un idéal irréductible de A. Soient a, b ∈ A tels que ab ∈ I mais a ∈ / I et b ∈ / I. Montrer que pour n suffisamment grand, on a I = (I + (bn )) ∩ (I : bn ). Exercice no 5 1. Quels sont les idéaux primaires de Z ? 2. Soit K un corps et soit A l’anneau K[X, Y, Z]/(XY − Z 2 ). Montrer que l’idéal de A engendré par les classes de X et Z est premier, mais que son carré n’est pas primaire. 3. Dans l’anneau Z[X], montrer que l’idéal engendré par 4 et X est primaire mais n’est pas une puissance d’un idéal premier. Quel est son radical ? Exercice no 6 1. Soit A un anneau. Montrer que les idéaux premiers minimaux de A sont des idéaux premiers associés (à l’idéal nul). Montrer qu’il peut y en avoir d’autres. On pourra penser à la décomposition primaire de (XY, X 2 ). 2. Si A est réduit, montrer que les idéaux premiers associés (à l’idéal nul) sont exactement les idéaux premiers minimaux de A. Algèbre 2 – TD8 2010-2011 Exercice no 7 Soit K un corps. Dans l’anneau K[X, Y, Z], trouver une décomposition primaire de l’idéal (XY, Y Z, ZX). Exercice no 8 (Décomposition primaire des idéaux monomiaux) Soit K un corps, et soit R l’anneau de polynômes k[X1 , . . . , Xn ]. On dit qu’un idéal de R est monomial s’il est engendré par des monômes en les Xi . Soit I un idéal monomial de R. 1. Si x ∈ I, montrer que les monômes apparaissant dans x sont dans I. 2. Montrer qu’il existe un unique ensemble minimal S de monômes qui engendre I. 3. √ Montrer que le radical de I est monomial, qu’un monôme Xi1 . . . Xir est dans I si et seulement si il existe des entiers strictement positifs a1 , . . . , ar tels que Xia11 . . . Xiarr ∈ S, et que les tels monômes engendrent le radical de I. 4. Soit i un entier entre 1 et n. Montrer que l’on a l’égalité ∑ Xi = ((m) : (Xi )) m∈S et calculer ((m) : (Xi )) quand m est un monôme quelconque. 5. Montrer que tout idéal premier associé à I est monomial. 6. Montrer que I est primaire √ si et seulement si pour tout Xi , si Xi divise un élément de S, alors Xi ∈ I. On pourra d’abord montrer que le radical de I est premier. 7. Décrire un algorithme qui donne la décomposition primaire d’un idéal monomial et l’appliquer à (X 2 , XY ) dans K[X, Y ]. On pourra utiliser l’exercice 4.