COURS 24 Version du 13 décembre 2016. La derni`ere fois, nous

COURS 24
Version du 13 d´ecembre 2016.
La derni`ere fois, nous avons vu la proposition suivante :
Proposition 4.5.2. Soit AĎkn. La fermeture de Apar rapport `a la
topologie de Zariski, c’est VpIpAqq.
Par exemple, dans R2, la fermeture du demi-cercle y“?9´x2est
le cercle complet. ´ Evidemment, IpAqcontient x2`y2´9. Parce que
x2`y2´9 ne se factorise pas, le cercle est irr´eductible. S’il y avait
un ensemble ferm´e qui contenait le demi-cercle, lui et son image apr`es
r´eflexion dans l’axe horizontale nous donnerait une expression pour le
cercle comme r´eunion de deux ensembles ferm´es strictement contenus
dans le cercle, ce qui va `a l’encontre du fait que le cercle est irr´eductible.
La fermeture du disque x2`y2ď9 est R2, parce qu’il n’y a aucun
polynˆome qui est z´ero sur ce disque `a part le polynˆome z´ero.
5. Spectre d’un anneau, topologie de Zariski, dimension
de Krull
5.1. Spectre d’un anneau. Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons
vu qu’il y a un espace g´eom´etrique associ´e `a un anneau de polynˆomes.
Est-ce qu’il en va de mˆeme pour n’importe quelle anneau ?
La r´eponse est : “oui”. Effectivement, il y a deux espaces topologiques
associ´es `a un anneau. Un est plus proche du topologie de Zariski sur
kn, mais nous allons commencer avec l’autre.
Soit Aun anneau. Le spectre de A, Spec A, est l’ensemble des id´eaux
premiers de A. Nous allons mettre une topologie sur cet ensemble.
Pour EĂA, d´efinissons
VpEq“tP|EĎPu
Remarquons que VpEq “ VpxEyq. C’est une notation standard.
Vp0q “ Spec A,Vp1q “ H
Vpď
iPX
Eiq “ č
iPX
VpEiq
(Les deux membres expriment de diff´erentes fa¸cons les id´eaux premiers
qui contiennent tout les Ei.)
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Proposition 5.1.1.
VpIXJq “ VpIJq “ VpIq Y VpJq
PPVpIq Y VpJq ñ PPVpIXJq. Clair parce que PPVpIq ñ PP
VpIXJq.
PPVpIXJq ñ PPVpIJq. Clair parce que IJ ĎIXJ.
PPVpIJq ñ PPVpIq Y VpJq: si PRVpJq, alors il y a un fPJ,
fRP. Pour gPJ,fg PP, alors gPP, donc PPVpJq.
Donc, nous avons d´emontr´e
Theor`eme 5.1.1. les ensembles VpEqforment les ensembles ferm´es
pour un espace topologique sur Spec A.
Exemple : SpecpZq: Les ´el´ements de l’espace sont xpy,pun en-
tier premier, et x0y. Les ensembles ferm´es sont tout l’espace et les en-
sembles d’un nombre fini d’id´eaux premiers xpy. La fermeture de tx0yu
est SpecpZq.
Exemple : Specpkrxsq,kalg´ebriquement clos : il y a les id´eaux qui cor-
respondent aux points de k, et aussi l’id´eal z´ero. Les ensembles ferm´es
sont : les ensembles d’un nombre fini de points de k, et Spec krxs.
Exemple : Specpkrx, ysq,kalg´ebriquement clos : il y a des id´eaux qui
correspondent aux points de k, l’id´eal z´ero, et un id´eal pour chaque
courbe irr´eductible.
Il est utile de mieux comprendre les ensembles ouverts. ´ Ecrivons
Spec Afpour l’ensemble Vpfqc. Oups, nous avons une risque de confu-
sion : est-ce que Spec Afveut dire SpecpAfqou SpecpAqf? C’est la
mˆeme chose ! Proposition 2.9.2 (la derni`ere proposition du chapitre 2)
nous dit que les id´eaux premiers de S´1Asont les id´eaux premiers de
Squi n’intersectent pas S. Par d´efinition Afest Aavec les puissances
de finvers´ees, et donc SpecpAfqcomprend les id´eaux premiers qui ne
contiennent aucune puissance de f, ce qui revient `a la mˆeme chose que
dire qu’ils ne contiennent pas f.
Nous disons qu’une collection d’ensembles ouverts forment une base
pour la topologie si chaque ensemble ouvert peut ˆetre ´ecrit comme une
r´eunion de tels ensembels.
Proposition 5.1.2. Les ensembles Spec Afforment une base pour les
ensembles ouverts.
D´emonstration. VpEqc“ŤfPESpec Af.
C’est pas tout `a fait facile de trouver un ensemble ouvert qui n’est
pas de la forme Spec Af. Exercise : SpecCrx, yszxx, yyn’est pas de la
forme Spec Crx, ysf.

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D´efinissons SpecmpAq“tM|Mmaximalu. Comme sous-ensemble
de Spec, il h´erite une topologie de Spec. Si kest alg´ebriquement clos,
Specmpkrx1, . . . , xnsq “ kn, avec la topologie de Zariski que nous avons
vu dans le chapitre pr´ec´edent.
Donc, pourquoi prendre Spec ? On obtient facilement l’impression
que les id´eaux maximaux sont pr´ef´erables, et que l’on a plutˆot ajout´e
des trucs bizarres et difficile `a comprendre `a quelque chose de relative-
ment simple. La proposition suivante est une raison pour notre choix.
Proposition 5.1.3. Soit h:AÑBun morphisme d’anneaux. h
induit une application h˚: Spec BÑSpec A, et h˚est continue pour
la topologie Zariski.
(Je rappelle qu’une application g:XÑYest continue ssi g´1pAq
est ouvert pour tout ensemble ouvert Adans Y.)
D´emonstration. Nous d´efinissons h˚pQq “ h´1pQq. Puisque hinduit
une inclusion de A{h´1pQqvers B{Q, le fait que B{Qn’a pas de diviseur
de z´ero (Q´etant premier) nous dit qui en va de mˆeme pour A{h´1pQq.
(Nous avons d´ej`a vu cette argument dans section 1.3.)
Exemples : h:ZÑQ.
Maintenant, nous devons consid´erer ph˚q´1d’un ensemble ouvert.
Il suffit de consid´erer ph˚q´1pSpec Afq: si ces ensembles sont ouvert,
chaque ensemble ouvert Udans Spec Apeut ˆetre recouvert par des
ensembles Spec Af, et donc ph˚q´1pUqsera la r´eunion des ensembles
ouverts correspondants.
Mais
ph˚q´1pSpec Afq “ Spec Bhpfq.
(QP ph˚q´1pSpec Afqssi h˚pQq P Spec Afssi fRh´1pQqssi hpfq R Q
ssi QPSpec Bhpfq.
Si on remplace les Spec par Specm dans la proposition, elle ne fonc-
tionne plus. L’application n’est pas mˆeme forc´ement bien-d´efini.
L’application AÑS´1Acorrespond `a l’inclusion de Spec S´1Adans
Spec A(Proposition 2.8.2).