COURS 24 Version du 13 décembre 2016. La derni`ere fois, nous

COURS 24
Version du 13 décembre 2016.
La dernière fois, nous avons vu la proposition suivante :
Proposition 4.5.2. Soit A Ď k n . La fermeture de A par rapport à la
topologie de Zariski, c’est V pIpAqq.
?
Par exemple, dans R2 , la fermeture du demi-cercle y “ 9 ´ x2 est
le cercle complet. Évidemment, IpAq contient x2 ` y 2 ´ 9. Parce que
x2 ` y 2 ´ 9 ne se factorise pas, le cercle est irréductible. S’il y avait
un ensemble fermé qui contenait le demi-cercle, lui et son image après
réflexion dans l’axe horizontale nous donnerait une expression pour le
cercle comme réunion de deux ensembles fermés strictement contenus
dans le cercle, ce qui va à l’encontre du fait que le cercle est irréductible.
La fermeture du disque x2 ` y 2 ď 9 est R2 , parce qu’il n’y a aucun
polynôme qui est zéro sur ce disque à part le polynôme zéro.
5. Spectre d’un anneau, topologie de Zariski, dimension
de Krull
5.1. Spectre d’un anneau. Dans le chapitre précédent, nous avons
vu qu’il y a un espace géométrique associé à un anneau de polynômes.
Est-ce qu’il en va de même pour n’importe quelle anneau ?
La réponse est : “oui”. Effectivement, il y a deux espaces topologiques
associés à un anneau. Un est plus proche du topologie de Zariski sur
k n , mais nous allons commencer avec l’autre.
Soit A un anneau. Le spectre de A, Spec A, est l’ensemble des idéaux
premiers de A. Nous allons mettre une topologie sur cet ensemble.
Pour E Ă A, définissons
V pEq “ tP | E Ď P u
Remarquons que V pEq “ V pxEyq. C’est une notation standard.
V p0q “ Spec A, V p1q “ H
Vp
ď
Ei q “
iPX
č
V pEi q
iPX
(Les deux membres expriment de différentes façons les idéaux premiers
qui contiennent tout les Ei .)
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Proposition 5.1.1.
V pI X Jq “ V pIJq “ V pIq Y V pJq
P P V pIq Y V pJq ñ P P V pI X Jq. Clair parce que P P V pIq ñ P P
V pI X Jq.
P P V pI X Jq ñ P P V pIJq. Clair parce que IJ Ď I X J.
P P V pIJq ñ P P V pIq Y V pJq : si P R V pJq, alors il y a un f P J,
f R P . Pour g P J, f g P P , alors g P P , donc P P V pJq.
Donc, nous avons démontré
Theorème 5.1.1. les ensembles V pEq forment les ensembles fermés
pour un espace topologique sur Spec A.
Exemple : SpecpZq : Les éléments de l’espace sont xpy, p un entier premier, et x0y. Les ensembles fermés sont tout l’espace et les ensembles d’un nombre fini d’idéaux premiers xpy. La fermeture de tx0yu
est SpecpZq.
Exemple : Specpkrxsq, k algébriquement clos : il y a les idéaux qui correspondent aux points de k, et aussi l’idéal zéro. Les ensembles fermés
sont : les ensembles d’un nombre fini de points de k, et Spec krxs.
Exemple : Specpkrx, ysq, k algébriquement clos : il y a des idéaux qui
correspondent aux points de k, l’idéal zéro, et un idéal pour chaque
courbe irréductible.
Il est utile de mieux comprendre les ensembles ouverts. Écrivons
Spec Af pour l’ensemble V pf qc . Oups, nous avons une risque de confusion : est-ce que Spec Af veut dire SpecpAf q ou SpecpAqf ? C’est la
même chose ! Proposition 2.9.2 (la dernière proposition du chapitre 2)
nous dit que les idéaux premiers de S ´1 A sont les idéaux premiers de
S qui n’intersectent pas S. Par définition Af est A avec les puissances
de f inversées, et donc SpecpAf q comprend les idéaux premiers qui ne
contiennent aucune puissance de f , ce qui revient à la même chose que
dire qu’ils ne contiennent pas f .
Nous disons qu’une collection d’ensembles ouverts forment une base
pour la topologie si chaque ensemble ouvert peut être écrit comme une
réunion de tels ensembels.
Proposition 5.1.2. Les ensembles Spec Af forment une base pour les
ensembles ouverts.
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Démonstration. V pEqc “ f PE Spec Af .
C’est pas tout à fait facile de trouver un ensemble ouvert qui n’est
pas de la forme Spec Af . Exercise : SpecCrx, yszxx, yy n’est pas de la
forme Spec Crx, ysf .
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Définissons SpecmpAq “ tM | M maximalu. Comme sous-ensemble
de Spec, il hérite une topologie de Spec. Si k est algébriquement clos,
Specmpkrx1 , . . . , xn sq “ k n , avec la topologie de Zariski que nous avons
vu dans le chapitre précédent.
Donc, pourquoi prendre Spec ? On obtient facilement l’impression
que les idéaux maximaux sont préférables, et que l’on a plutôt ajouté
des trucs bizarres et difficile à comprendre à quelque chose de relativement simple. La proposition suivante est une raison pour notre choix.
Proposition 5.1.3. Soit h : A Ñ B un morphisme d’anneaux. h
induit une application h˚ : Spec B Ñ Spec A, et h˚ est continue pour
la topologie Zariski.
(Je rappelle qu’une application g : X Ñ Y est continue ssi g ´1 pAq
est ouvert pour tout ensemble ouvert A dans Y .)
Démonstration. Nous définissons h˚ pQq “ h´1 pQq. Puisque h induit
une inclusion de A{h´1 pQq vers B{Q, le fait que B{Q n’a pas de diviseur
de zéro (Q étant premier) nous dit qui en va de même pour A{h´1 pQq.
(Nous avons déjà vu cette argument dans section 1.3.)
Exemples : h : Z Ñ Q.
Maintenant, nous devons considérer ph˚ q´1 d’un ensemble ouvert.
Il suffit de considérer ph˚ q´1 pSpec Af q : si ces ensembles sont ouvert,
chaque ensemble ouvert U dans Spec A peut être recouvert par des
ensembles Spec Af , et donc ph˚ q´1 pU q sera la réunion des ensembles
ouverts correspondants.
Mais
ph˚ q´1 pSpec Af q “ Spec Bhpf q .
(Q P ph˚ q´1 pSpec Af q ssi h˚ pQq P Spec Af ssi f R h´1 pQq ssi hpf q R Q
ssi Q P Spec Bhpf q .
Si on remplace les Spec par Specm dans la proposition, elle ne fonctionne plus. L’application n’est pas même forcément bien-défini.
L’application A Ñ S ´1 A correspond à l’inclusion de Spec S ´1 A dans
Spec A (Proposition 2.8.2).