Les moments de rotation et le magnétisme dans la mécanique

Les moments de rotation et le magn´etisme dans la
m´ecanique ondulatoire
L. Brillouin
To cite this version:
L. Brillouin. Les moments de rotation et le magn´etisme dans la m´ecanique ondulatoire. J. Phys.
Radium, 1927, 8 (2), pp.74-84. <10.1051/jphysrad:019270080207400>.<jpa-00205282>
HAL Id: jpa-00205282
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205282
Submitted on 1 Jan 1927
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destin´ee au d´epˆot et `a la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publi´es ou non,
´emanant des ´etablissements d’enseignement et de
recherche fran¸cais ou ´etrangers, des laboratoires
publics ou priv´es.

LES
MOMENTS
DE ROTATION
ET LE
MAGNÉTISME
DANS
LA
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE
par
M. L.
BRILLOUIN.
Sommaire. 2014
L’auteur
calcule, d’après
les données
de
la
mécanique
ondulatoire,
les
moments
de
rotation
pour
le
mouvement d’un
corpuscule chargé
dans
un
champ
de force
central
quelconque.
Il
retrouve les formules
que
Born,
Heisenberg
et
Jordan
avaient
déduises
de
la
mécanique
des
matrices,
mais avec cette
précision
supplémentaire, que
les
nombres
de
quanta
l
et m doivent
nécessairement
être entiers
et non
pas
demi-entiers.
Dans un
champ
magnétique,
on
obtient
ainsi
un
effet Zeeman
normal
et une formule
de
paramagnétisme
semblable à
celle
que
fournit
l’ancienne
mécanique
quantifiée : pour
l’effet
Zeeman
anomal,
il
faudra introduire
la
notion
de rotation de l’électron sur
lui-même.
Les
définitions
de
Gordon
[Zts. f.
Phy.,
t. 40
(1926),
p. 117]
ne
modifient
rien aux
conclu-
sions
de cette
étude,
mais
permettent
de retrouver
très correctement
l’inertie de
l’énergie
cinétique
et la
rotation
de Larmor.
i.
Introduction. -
La
mécanique
ondulatoire ne suffit
pas
à
expliquer
les
formules
expérimentales
relatives à
l’effet
Zeeman ;
ainsi
que Schrôdinger
l’a
déjà
noté,
il
faudra,
pour
arriver
à une théorie
satisfaisante,
introduire
réquivqlent
de
l’électron
tournant.
Je
veux
préciser
ici
ces
difficultés,
et montrer
que
la
théorie
sous sa
forme
actuelle,
se
rapproche
déjà
autant
que possible
des
faits
observés.
considérons
le
mouvement
d’une
particule
chargée,
dans
un
champ
de
force
central,
et
prenons
des
coordonnées.
sphériques
1B
0, -:,.
L’équation
fondamentale de
Scbrodinger
admet des
solutions de
la forme
Schrôdinger
et
Fues
prennent
pour u
une
expression
réelle;
les
conditions
de
normalité
sont alors
-
la valeur 1 est obtenue
pour n =
n’;
1
==
1’ ;
m =
rla’;
pour
tout
autre
jeu
de
nombres,
l’inté-
grale
est nulle.
Ces
conditions
se
traduisent
par
,
et
conduisent
aux
expressions
e)
(1)
E.
FuEs,
Ann. der
Phys.,
t.
8i
ç1926) p.
28 î;
éq.
19
à 22.
Cet
auteur
appelle,
l, n,
m
les trois nombres
entiers
de
quanta; j’ai
préféré
reprendre
les
notations
n,
1, ni,
qui
correspondent
à
l’usage
ordinaire, n
étant
le
nombre total de
quanta; 1,
le
nombre
total
de
quanta
de
rotation,
et
m,
le
nombre
de
quanta
de rotation
autour
de
l’axe
0 z.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019270080207400

75
Dans ces
formules, ?n
est
un entier
positif
inférieur ou
égal
à l et
Plm
représente
un
polynôme
de
Legendre.
Dans
le
cas
particulier
de
l’atome
d’hydrogène,
le
nombre entier
1
péut
prendre
les valeurs
0,
1,
2,
3,
etc. ;
l’état
normal
correspond
à 1
=
0,
donc rn
-
0,
ce
qui signifiera
un
état sans
moment
magnétique
ni
moment
de
rotation résultant.
Il nous sera
plus
commode de
prendre
des
expressions
un
peu
différentes,
en
choisis-
sant
pour
a~
une
fonction
imaginaire,
de
manière
à
remplacer
les
cos
1?i p
ou
sin
111-9
par
une
exponentielle
c’est ce
qu’a
déjà
fait
Manneback(B)
pour
un
problème
différent.
Les
conditions
de
normalité
et
d’orthogonalité
doivent alors
être écrites
ce
qui
donne
u et
représentant
les
imaginaires
conjuguées
de
u
et
4S.
Il
s’agit
là
d’une
modification
évidente,
analogue
à celle
que
l’on
emploie
couramment
en
optique ;
si l’on
a
une
amplitude imaginaire
l~,
l’intensité
est
donnée
par
le
produit
~4 ~.
,
On
obtient
alors,
très
simplement
quelle
que
soit la valeur
de
m ;
il
faut,
en
outre,
admettre
que
rra
peut
prendre
des
valeurs
négatives
ou
positives
avec la convention
supplémentaire,
On
aura
donc,
pour m
positif,
la formule
(6) ;
pour
un
indice
négatif
m’
= 2013 ~
cec
donne
l’expression
,
2.
Les
moments
de
quantité
de
mouvement. -
En
mécanique
ondulatoire
(2),
le
moment
p~
correspondant
à
une
coordonnée
x,
dans
l’état
n, 1,
m,
s’obtient
en
prenant
l’ex
re5eion
et en
o
érant
ensuite
la
âécom
osition ar
ra ort
aux
fonc
l’expression
: 20132013.201320132013 ;
et en
opérant
ensuite
la
décomposition par rapport
aux
fonc-
p
P P pp
.
tions
propres u (n’,
l’,
m’)
les
coefficients
de
décomposition
yx
(n,
1, ni ;
n‘, 1’,
donnent
les
composantes
de la matrice
9:x :
(n,
1,
;
n
1
)
donnent
En
tenant
compte
des
relations
(3 bis),
ceci s’écrit
Je
veux
étudier les moments de
quantité
de
mouvement
(1)
MAlIIHACH,
Physik.
Zts.,
t.
27
(1926),
p.
563 ;
et aussi
HxisuxBxar.,
Zts.
f.
Phys.,
t.
39
(1926),
p. 499.
(2)
L.
DE
BR06LIB,
J.
Phys.,
t.
7
(1926),
p.
321.
L.
BBILLOUIl’f,
J.
Phys.,
t. 7
(192î),
p.
353. Ces articles
contiennent
la
bibliographie
antérieure à octobres
1926.

76
Je
suis
donc
conduit à
former
les
expressions
le
calcul est
tout à
fait
élémentaire;
il
suffit
de se
servir de formules
telles
que
la
suivante :
en
notant les
valeurs :
Les
résultats
peuvent
être
présentés
sous une
forme
simples :
Le
moment de
quantité
de mouvement
autour de l’axe
0~
a donc
une
expression
très
simple;
la formule
(14)
nous
montre
qu’il
se
compose
d’un
seul
terme,
de
mêmes indices
n,
1,
ni
que
la
fonction
u
considérée;
la
matrice
OIL,
sera
diagonale,
les seuls
termes non
nuls
étant :
Pour
les
moments
et
Dity,
les
résultats
sont
un
peu
moins
simples,
au
premier
abord;
on les
transforme
pourtant
aisément,
en
utilisant
les
formules
qui
relient
entre
eux
les
polynômes
de
Legendre
(1)
de divers ordres
Passons des
polynômes
de
Legendre
aux
fonctions
propres
Or, ~,~ (éq.
6),
et
nous
obte-
nons, pour
m
&#x3E; 0,
(1)
La formule
(16)
est
classique;
la formule
(i i~
s’obtient en
dérivant
m
fois
les
formules de
récurrence
entre
polynômes
d’ordre
m
=
0,
et combinant
convenablement ces
expressions.

77
Lorsque
l’on
prend
un nombre
m
négatif,
ces
deux
relations
s’intervertissent
et
four-
nissent
des
relations
semblables,
mais
avec
le
signe
-
devant le
radical.
La
convention faite
dans
l’équation (6)
assure
la
continuité
des formules
pour m =
0.
Les
équations
15
étant
valables,
quel
que
soit
le
signe
de
m,
nous
pouvons
les
trans-
crire sous la forme suivante :
Le
signe
-
devant le
radical
correspond
au cas n1
&#x3E;
0,
et le
signe
+
est
valable
pour
ni
0.
Dans ces deux
expressions,
le
développement
par
rapport
aux fonctions
propres
u
se
réduit donc à un seul
terme,
où
figure
une
fonction
immédiatement
voisine
de
celle
d’où
l’on est
parti.
Il en résulte
que
les matrices ont
tous leurs
termes
nuls,
sauf
les
suivants,
qui
forment une
ligne
parallèle
à
la
diagonale principale :
car
Pour
m = 1,
ces
expressions
s’annulent,
puisque
l’état
m
+
i
est alors
interdit
par
les
conditions
(7) (’).
Le
signe
-
correspond
au
cas
est
~
0;
le
signe
-~-, au
cas
où
ni
est 0.
’
3.
La
signification
des
nombres
l et
ili
de
quanta
de
rotation.
-
La formule
14
bis,
obtenue au
paragraphe précédent,
est
identique
à celle
que
fournissait
l’ancienne
mécanique
quantifiée;
nous sommes
donc
fol2déS à
dire
que
l’entier
’in
représente
le
nombre
de
quanta
de rotation
autour
de l’axe des z.
Pour
le
nombre
1,
sa
signification
est
’
moins
évidente;
elle
nous
apparaîtra
si
nous
procédons
au
calcul
du carré
J112
du
moment
total
de
quantité
de mouvement.
Ce calcul
peut
se faire
directement,
mais il
est.assez
pénible (~);
il
est
préférable
de
partir
des
expressions (14
bis)
et
(20),
et
d’opérer
suivant les
règles
du calcul des
matrices.
,
Dans
le
produit
(Jllx
+ 1
- 1
.J11y)’
par exemple,
nous n’obtiendrons un
terme différent
de
zéro
que
si
nous
prenons
les indices
m,
ln
+
i
dans la
première
matrice,
(1)
Il
résulte
immédiatement,
de
ces
équations, que
l’on a :
(1)
Il est
indispensable
de
se
rappeler,
dans
ce
cas,
que yx
correspond
à
l’opéraleur
sorte
que
y2
est
donné
par
Tous calculs
faits,
on
obtient :
et
d’après
l’équation
fondamentale des
polynômes
de
Legendre,
la
parenthèse ’