Les moments de rotation et le magnétisme dans la mécanique

Les moments de rotation et le magnétisme dans la
mécanique ondulatoire
L. Brillouin
To cite this version:
L. Brillouin. Les moments de rotation et le magnétisme dans la mécanique ondulatoire. J. Phys.
Radium, 1927, 8 (2), pp.74-84. <10.1051/jphysrad:019270080207400>. <jpa-00205282>
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Submitted on 1 Jan 1927
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LES MOMENTS DE ROTATION ET LE MAGNÉTISME
DANS LA MÉCANIQUE ONDULATOIRE
par M. L. BRILLOUIN.
Sommaire. 2014 L’auteur calcule, d’après les données de la mécanique ondulatoire, les
moments de rotation pour le mouvement d’un corpuscule chargé dans un champ de force
central quelconque. Il retrouve les formules que Born, Heisenberg et Jordan avaient
déduises de la mécanique des matrices, mais avec cette précision supplémentaire, que les
nombres de quanta l et m doivent nécessairement être entiers et non pas demi-entiers.
Dans un champ magnétique, on obtient ainsi un effet Zeeman normal et une formule
de paramagnétisme semblable à celle que fournit l’ancienne mécanique quantifiée : pour
l’effet Zeeman anomal, il faudra introduire la notion de rotation de l’électron sur lui-même.
Les définitions de Gordon [Zts. f. Phy., t. 40 (1926), p. 117] ne modifient rien aux conclusions de cette étude, mais permettent de retrouver très correctement l’inertie de l’énergie
cinétique et la rotation de Larmor.
i. Introduction. - La mécanique ondulatoire ne suffit pas à expliquer les formules
relatives à l’effet Zeeman ; ainsi que Schrôdinger l’a déjà noté, il faudra,
pour arriver à une théorie satisfaisante, introduire réquivqlent de l’électron tournant. Je
veux préciser ici ces difficultés, et montrer que la théorie sous sa forme actuelle, se
rapproche déjà autant que possible des faits observés.
considérons le mouvement d’une particule chargée, dans un champ de force central,
et prenons des coordonnées. sphériques 1B 0, -:,.
expérimentales
L’équation
Schrôdinger
fondamentale de
Scbrodinger
et Fues prennent pour u
une
admet des solutions de la forme
expression réelle;
les conditions de normalité
sont alors
-
la valeur 1 est obtenue pour n = n’; 1 ==
grale est nulle.
Ces conditions se traduisent par
et conduisent
aux
1’ ;
m
=
rla’;
pour tout autre
jeu de nombres,
l’inté-
,
expressions e)
(1) E. FuEs, Ann. der Phys., t. 8i ç1926) p. 28 î; éq. 19 à 22. Cet auteur appelle, l, n, m les trois nombres
entiers de quanta; j’ai préféré reprendre les notations n, 1, ni, qui correspondent à l’usage ordinaire, n étant
le nombre total de quanta; 1, le nombre total de quanta de rotation, et m, le nombre de quanta de rotation
autour de l’axe 0 z.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019270080207400
75
Dans ces formules, ?n est un entier positif inférieur ou égal à l et Plm représente un
polynôme de Legendre. Dans le cas particulier de l’atome d’hydrogène, le nombre entier
1 péut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, etc. ; l’état normal correspond à 1
0, donc rn
0, ce
qui signifiera un état sans moment magnétique ni moment de rotation résultant.
Il nous sera plus commode de prendre des expressions un peu différentes, en choisissant pour a~ une fonction imaginaire, de manière à remplacer les cos 1?i p ou sin 111-9 par une
c’est ce qu’a déjà fait Manneback(B) pour un problème différent. Les
exponentielle
conditions de normalité et d’orthogonalité doivent alors être écrites
=
ce
qui
donne
u et représentant les imaginaires conjuguées de
u
et 4S.
s’agit là d’une modification évidente, analogue à celle
optique ; si l’on a une amplitude imaginaire l~, l’intensité
On obtient alors, très simplement
Il
en
quelle que soit la valeur de
négatives ou positives
avec
la convention
On
donne
-
aura
m ; il
faut,
en
outre, admettre
que l’on emploie couramment
est donnée par le produit ~4 ~.
que
rra
peut prendre
,
des valeurs
supplémentaire,
donc, pour m positif, la formule (6) ; pour un indice négatif m’
= 2013 ~
cec
l’expression
,
2. Les moments de quantité de mouvement. - En mécanique ondulatoire (2), le
moment p~ correspondant à une coordonnée x, dans l’état n, 1, m, s’obtient en prenant
re5eion
l’ex
l’expression
o p érant ensuite la âécom
fonc
ar ra
décomposition
P osition P
par
rapport
pp ort aux fonc: 20132013.201320132013 ; et en opérant
tions propres u (n’, l’, m’) les coefficients de
les composantes de la matrice 9:x :
décomposition yx (n,
En tenant compte des relations
(3 bis),
Je
quantité
veux
étudier les moments de
1,
1, ni ;; nn‘, 11’,
) donnent
ceci s’écrit
de mouvement
(1) MAlIIHACH, Physik. Zts., t. 27 (1926), p. 563 ; et aussi HxisuxBxar., Zts. f. Phys., t. 39 (1926), p. 499.
(2) L. DE BR06LIB, J. Phys., t. 7 (1926), p. 321. L. BBILLOUIl’f, J. Phys., t. 7 (192î), p. 353. Ces articles
contiennent la bibliographie antérieure à octobres1926.
.
76
Je suis donc conduit à former les
le calcul est tout à fait
en
élémentaire;
expressions
il suffit de
se
servir de formules telles que la suivante :
notant les valeurs :
Les résultats
peuvent
être
présentés
sous une
forme
simples :
Le moment de quantité de mouvement autour de l’axe 0~ a donc une expression très
simple; la formule (14) nous montre qu’il se compose d’un seul terme, de mêmes indices
n, 1, ni que la fonction u considérée; la matrice OIL, sera diagonale, les seuls termes non
nuls étant :
Pour les moments
et
Dity,
les résultats sont un peu moins
utilisant les formules
abord; on les transforme pourtant aisément, en
les polynômes de Legendre (1) de divers ordres
Passons des polynômes de
nons, pour m > 0,
Legendre
aux
fonctions propres
Or, ~,~ (éq. 6),
(1) La formule (16) est classique; la formule (i i~ s’obtient en dérivant m fois
polynômes d’ordre m
0, et combinant convenablement ces expressions.
entre
=
simples, au premier
qui relient entre eux
etnous obte-
les formules de récurrence
77
Lorsque l’on prend un nombre m négatif, ces deux relations s’intervertissent et fournissent des relations semblables, mais avec le signe
devant le radical.
La convention faite dans l’équation (6) assure la continuité des formules pour m = 0.
-
Les équations 15 étant valables,
crire sous la forme suivante :
quel
que soit le
signe
de m,
nous
pouvons les trans-
Le signe
devant le radical correspond au cas n1 > 0, et le signe + est valable pour
0. Dans ces deux expressions, le développement par rapport aux fonctions propres u
se réduit donc à un seul terme, où figure une fonction immédiatement voisine de celle
d’où l’on est parti. Il en résulte que les matrices ont tous leurs termes nuls, sauf les
suivants, qui forment une ligne parallèle à la diagonale principale :
-
ni
car
Pour m = 1, ces
conditions (7) (’). Le
est
0.
expressions s’annulent, puisque l’état m + i
est ~ 0;
signe
correspond au cas
-
est alors interdit par les
le signe -~-, au cas où ni
’
3. La signification des nombres l et ili de quanta de rotation.
La formule
bis, obtenue au paragraphe précédent, est identique à celle que fournissait l’ancienne
mécanique quantifiée; nous sommes donc fol2déS à dire que l’entier ’in représente le
nombre de quanta de rotation autour de l’axe des z. Pour le nombre 1, sa signification est
moins évidente; elle nous apparaîtra si nous procédons au calcul du carré J112 du moment
total de quantité de mouvement. Ce calcul peut se faire directement, mais il est.assez
pénible (~); il est préférable de partir des expressions (14 bis) et (20), et d’opérer suivant les
règles du calcul des matrices.
-
14
’
,
Dans le produit (Jllx +
terme différent de zéro que si
(1)
Il résulte
(1)
Il est
sorte que
y2
immédiatement,
indispensable
se
de
- 1
par
prenons les indices m,
.J11y)’
nous
ces
équations,
que l’on
exemple, nous n’obtiendrons un
ln + i dans la première matrice,
a :
correspond
à
dans
ce
cas, que yx
polynômes
de
Legendre, la parenthèse ’
rappeler,
est donné par
Tous calculs faits,
et
de
1
on
d’après l’équation
obtient :
fondamentale des
l’opéraleur
78
et m + 1, m âans la seconde;
les termes ont les valseurs :
nous
voyons ainsi que OIL2 est
une
matrice
diagonale, dont
1 et + lj ; le nombre entier 1 caracCette formule est valable quel que soit m (entre
térise donc le nombre total de quanta de rotation.
Les formules (14 bis), (20) et (2 i) auxquelles j’aboutis ainsi sont identiques à celles que
Born, Heisenberg et Jordan (1) avaient calculées d’après la théorie des matrices. Il y a pourtant un point essentiel à signaler : ces auteurs trouvaient que les nombres 1 et m pouvaient
être entiers ou demi-entiers; la Inécanz’que ondulatoire précise que seilles les valeurs entières
de 1 et m sont adntissibles.
Nous pouvons préciser les conditions de quantification dans l’espace ainsi obtenues ;
formons le rapport
que l’on appelle ordinairement cos2 0,- 6 est, dans l’ancienne
Nous
mécanique
l’angle de la normale au plan de l’orbite avec l’axe
obtenons :
-
quantifiée,
au
lieu de la valeur ancienne
-.
l
Le nombre nt ne figure pas dans l’expression du niveau d’énergie E, qui ne dépend que
des nombres n et 1; admettons que les 21 + 1 valeurs de ni (de
1 à + 1) sont également
probables à priori, et prenons la moyenne de cos26 :
-
on
sait l’importance de cette valeur moyenne dans la théorie du magnétisme.
Nous retrouvons la valeur classique i/3, tandis que l’ancienne mécanique
aboutissait
au
résultat p
orientant le mouvement
On
on
3
n’a,
notre formule
pour le moment total,
b
signifie
q
qu’en
aucune
direction
quantifiée
l’absence d’action
privilégiée
sur ce fait que la mécanique ondulatoire justifie
introduits
rempli
demi-quanta,
empiriquement dans les formules anciennes. Îl faut
bien préciser en quoi consiste cette justification.
Les nombres de quanta de rotation 1 et ln sont toujours entiers; mais le carré du
nombre total de quanta de rotation est représenté pair 1 (1 + i) au lieu de li; c’est ce carré
qui figure dans la valeur du niveau d’énergie, et en vertu de la relation
a
insisté, à plusieurs reprises,
des
la modification des niveaux d’énergie est très voisine de celle que donne l’introduction de
deini-quanta. Il s’agit donc seulement de de111i-quanta apjlapt!nts.
4. Effet d’un champ magnétique. - Louis de Broglie, Klein et Schrôdinger (’) ont
donné, indépendamment les uns des autres, l’équation fondamentale de la mécanique ondu-
(1) BoRx, HEISENBERG et JORDAN, Zis, f. Phys., t. 35 (f9?), p. 6(3, formules 24 et 25.
r., t. 9.83 (1926), p. 2 îL); .T. Phys., t. 7 (192, p. 332; ScffRoiDi.NrigR, Ann. der Phys.,
(2) L. DR
t. 8i (1926), p. 133, éq. 36; KUD-IR, Physik. Zls., t. 27 (19~6), p. "724; 0.
Zrs. f. Phys., t. 37 (1926),
et LANDAU, Z1é. f. Phys., t. 40
p. 895; FocK,
f. Phys., t. 38 (1926), p. 242; t. 39 (1926), p. 226 ;
(1926), p. 169 ; GORDOY, ’l,ts. e Pltys., t. 40 (192b), p. 1. t 1; DE
1’. R., t. 182 (1926), p. ~. 512; t. 183 (99Z6),
p. 594; DE Do;DER et YAN DEN DIDfGBJf, C. R., t. 18 (1926), p. 2L).
Les formules données par ces divers auteurs ne diffèrent que par des conventions de signes sur les
potentiels vecteurs ou la charge.
°
79
latoire, pour le cas où le champ électromagnétique ne se réduit pas à un champ électrostatique pur, mais exige l’introduction du potentiel vecteur .4,,
¿4;:, en plus du potentiel
électrique V. Voici cette équation, pour un électron de charge e, et de masse
Supposons un champ magnétique
Le
problème
étant
étant
statique, je pourrai
l’énergie relativiste,
Je trouverai
par E -~ rno c2
et
constant
chercher pour ~’
de sorte que
suivant
H dirigé
une
l’équation (24)
se
0~ ; je
dois poser :
expression
de la forme
réduit à :
l’équation approchée relative à la mécanique ordinaire, en remplaçant &
négligeant les termes qui contiennent c2 au dénominateur; j’obtiens ainsi :
La résolution de cette équation estextrêmement
des coordonnées qui donne la solution pour le cas H ==
niveau d’énergie E; j’ai, en effet
d’après les calculs explicités
tion 28, je trouve
au
second
paragraphe ;
simple; je prends pour ~c la fonction
0; il suffit de modifier la valeur du
en
portant
cette valeur dans
l’équa-
La fonction u (n, l, in) donnait, en l’absence de champ magnétique, un niveau
d’énergie Eo (n, 1); en présence du champ H, la même fonction est encore une solution, à
la condition de prendre pour le niveau d’énergie la valeur :
.
Je retrouve ainsi un résultat identique à celui de l’électromagnétisme
moment de quantité de mouvement
correspond un moment magnétique
la
classique. Au
’
En présence d’un champ magnétique, nous voyons que l’énergie est diminuée de .111:; H,
quantification dans l’espace restant inchangée.
Au point de vue optique, la formule (30) nous donne un effet Zeeman normal, en vertu
80
(Schrodinger). Pour retrouver les multiplets et les effets Zeeman
rotation de l’électron sur lui-même,
ainsi que l’ont montré les travaux récents; mais cette rotation de l’électron n’a pu, jusqu’à
.présent, être formulée correctement dans le langage de la mécanique ondulatoire.
.des
règles
de sélection
sur III
anormaux, il faudra de toute nécessité introduire la
5.
Paramagnétisme. -
En l’absence de
champ magnétique,
tous les états où n, 1
fixes, et m variable (de - t à -j- 1) sont également probables ; il n’en est plus de même
lorsque le champ II est établi; la probabilité de l’état m, à une température T, est proporsont
,tionnelle à : e5-
avec
représentant le magnéton de Bohr; j’ai changé de signe devant e, pour tenir compte de
que la charge de l’électron est négative.
La composante suivant 0J du moment magnétique moyen, pour toutes les valeurs
de m, prend la valeur :
ce
-
’
Or,
nous avons :
Nous
en
tirons :
Cette formule nous donne
tangente à l’origine (i)
une
saturation
aux
champs
très forts
(~ grand)
et
une
Par rapport à la formule classique de Langevin, la tangente à l’origine est relevée dans
rapport (1 + 1)/I: la seule vérification expérimentale complète, relative au sulfate de
gadolinium, s’accorde aussi bien avec la formule ci-dessus qu’avec la formule classique, si
Ton prend 1 de l’ordre de 7, ainsi qu’il semble admis.
A la limite, pour les grands nombres de quanta 1, on retrouve la formule de Langevin,
si l’on admet que a’est assez petit (température assez
pour que l’on puisse confondre
le
’
e8
-
i
avec
~.
La formule 32 bis
se
réduit alors à :
,
J’avais noté (formule 9f) la différence entre les valeurs de cos26 dans’l’ancienne mécaet la mécanique ondulatoire. Il n’est donc pas sans intérêt de remarquer
nique quantifiée
(1)
Cette valeur s’obtient le
plus aisément
+11
tielles
en
série et
obtient ;i (2l +
loppements jusqu’en ~.3.
-l
en
partant ’de
g
nl2 = ’1 l (l +
,
9 ) : si
l’équatioa (32) ;
l’on
on
part de (32 bis);
développe
les exponen-
il faut pousser les déve·
81
"
que nous retrouvons, au point de vue des propriétés magnétiques, des résultats identiques
à ceux de l’ancienne théorie.
En résumé, nous voyons que la mécanique ondulatoire redonne, pour les moments de
rotation, les formules de la mécanique des matrices, mais avec cette précision supplémentaire que les nombres l et w sont nécessairement entiers, et jamais demi-entiers. Pour
l’effet Zeeman, on l’obtient ainsi normal. Les effets Zeeman anormaux et les nombres de
quanta demi-entiers sont dus à la rotation de l’électron, comme le montrent les calculs de
Heisenberg et Jordan en mécanique des matrices (1). L’introduction de cette donnée supplémentaire dans la mécanique ondulatoire serait donc extrêmement intéressante.
:Manu8crit reçu le il décembre 1926.
,
,
Note annexe (25 janvier 1927). - Depuis la rédaction de cet article, un travail de
Gordon (’) est venu apporter quelques retouches aux équations fondamentales; je veux en
faire l’application au problème du magnétisme, et montrer que les nouvelles définitions ne
rien aux résultats que j’ai précédemment établis, mais permettent, en outre, de
retrouver correctement la rotation de Larmor.
Gordon admet franchement que, dans l’atome, l’électron perd toute personnalité et se
répand dans l’espace qui entoure le noyau; en un endroit où la fonction d’onde est
IF (x, y, ~, t), nous pourrons définir un vecteur donnant la densité de flux matériel
changent
Dans cette forinule,
yj
est le
potentiel vecteur
à 4 dimensions
(Ax
et
V); Test une
fonction propre correspondant à une série ii des indices ; W n’ représente l’imaginaire conjuguée, pour une autre série n’ des indices. Chacune des composantes s,. est une matrice
dépendant des deux séries n et n’. La quatrième composante représente la densité de
matière p multipliée par c; nous allons vérifier, tout d’abord, que l’intégrale de s nous
fois l’énergie cinétique du mouvement,.
redonne la masse matérielle m(p augmentée de
En effet :
car on a :
(1)
(2)
Zts. /. Phys., L. 37
W. GORDON. L’effet
(1926), p. 263.
Compton d’après
imaginaires (x~ =
Schrodinger, Zts. f. Phys., t. 40 (1926), p. ii7-i33.
ict et
’V), ce qui prêle à confusion avec les lu et ~ imaginaires, et peut, en outre, conduire à des erreurs dans le passage des composantes covariantes aux contrevariantes. Je préfère utiliser ces grandeurs réelles, quitte à introduire les g,J, là où ce serait utile. Dans la
Gordon
formule
emploie
les
(35), ci-dessous. Gordon
la théorie de
omet le facteur
=
numérique 2013 .
ln
.
,
82
Pour n
=
Tenons
et
nous
n’,
nous
de la relation entre
compte
trouvons,
obtenons :
en
l’énfrgie
utilisant la relation
relativiste 5 et
l’énergie courante
E :
(3
Cette intégrale est bien égale à la masse au repos Jno, augmentée de 1/c2 fois l’énergie
cinétique, si nous convenons de définir celle-ci comme égale à l’énergie totale En diminuée
de l’intégrale en V, représentant l’énergie potentielle.
Si nous négligeons, dans (36) ou (37), les termes où cl’ figure au dénominateur, nous
voyons que la densité matérielle
se
réduit à :
comme représentant la probabilité pour que
prendre IF,,
endroit de coordonnées x, y, z ; cette remarque justifie le sens
donné à la dernière intégrale de (37).
Il faut noter qu’à côté des termes diagonaux (37), nous trouverons des termes très
petits, mais non nuls
de sorte que
l’électron
se
nous
pouvons
trouve
en un
,
’
Revenons aux équations (35) et au problème du magnétisme. Les fonctions
ne
diffèrent de zéro que dans un petit volume entourant le noyau et dont les dimensions sont
de l’ordre de grandeur de la trajectoire classique. La fonction W satisfait à l’équation fondamentale (24), et l’on vérifie alors que les composantes s« ont une divergence nulle, ainsi
qu’il est nécessaire logiquement :
A
un
flux matériel Set.
correspond une
densité de
courant e
mo
Adoptons la formule (35) et intégrons pour tout l’espace, nous obtiendrons la quantité
de mouvement résultante; lorsque l’atome n’est soumis à aucun champ magnétique, lez
composantes
3 sont nulles, et l’on a :
83
Entre
ces
deux
expressions,
nous avons
la relation évidente :-.
car, dans le second terme de l’intégrale (41), i est remplacé par - i, à la fois en facteur et
dans les fonctions u ; on y a, en outre, interverti les deux séries d’indices.
Au lieu de calculer la quantité de mouvement résultante SI.., je puis former les combinaisons qui donnent les moments de quantité de mouvement. Soit F (rz, 1, rra, n’, l’,
l’une de ces grandeurs, calculée dans mes hypothèses, et F’ la même grandeur, d’après
Gordon; j’aurai toujours :
Or j’ai
identique.
calculé les
expressions F,
et
je puis facilement
constater que les F’ leur sont
°
-
Pour le moment de quantité de mouvement suivant 0Z (formule 14), ce résultat est
=
évident, car les seuls termes non nuls sont diagonaux (n = n’ ; 1 ==
m’) et réels.
Voyons maintenant les combinaisons J1lx + 1 3R (éq. 20) ; nous devons former :
des deux termes du second membre nous montre aussitôt que ceci n’introduit
modification.
Ces résultats s’appliquent au cas où le champ magnétique est nul; je veux maintenant
en présence d’un champ magnétique ;
calculer le moment de quantité de mouvement
étaient les mêmes
l’absence de
j’ai montré, au § 6, que les foncüons propres 1F
la
combinaison
:
Je
formerai
champ.
l’égalité
’
aucune
(ou u)
en
de Gordon (35). J’obtiendrai tout d’abord, par les
résultat qu’en l’absence de champ; mais les termes
résultat. Ils s’écrivent, si l’on tient compte des valeurs (25) :
prenant pour les s les expressions
premiers termes des s, le même
deux
~en
-
’
9(.( viendront
modifier
ce
Nous trouvons donc, finalement :
devons-nous attribuer à ces formules? Le produit
de le voir (formule 38), avec la densité de matière
introduisons celle-ci dans nos intégrales, elles s’écrivent :
Quel
sens
nous venons
IZ est en relation directe,
en
chaque point. Si
nous
84
’
La correction ainsi apportée au moment de quantité de mouvement JTL correspond
donc à l’effet d’une rotation uniforme, autour de l’axe des z, du système de masses p, avec
une vitesse :
°
C’est l’équivalent de la rotation de Larmor, dans le langage de la mécanique ondulatoire.
Ces résultats complètent ceux trouvés par Epstein (’), suivant une méthode très différente ; Epstein montre qu’en passant d’un système d’axes fixes à un systèmes d’axes en rotation avec la vitesse wlj, on ramène l’équation des ondes, en présence du champ H, à la
forme ordinaire sans champ.
( 1)
P.
EPSTIIN,
n1t.
Acad.
Sc.,
t. 12
(1926),
p. 629.