Les leçons de géométrie

GÉOMÉTRIE
▷ GM.01 Objets et notations
▷ GM.02 Les instruments de dessin
▷ GM.03 Tracer 2 droites perpendiculaires
▷ GM.04 Tracer 2 droites parallèles
▷ GM.05 Les polygones
▷ GM.06 Les quadrilatères
▷ GM.07 Les carrés
▷ GM.08 Les rectangles
▷ GM.09 Les triangles
▷ GM.10 Le cercle
▷ GM.11 Les solides
▷ GM.12 Construire des solides
▷ GM.13 Les angles
▷ GM.14 La symétrie
▷ GM.15 Réduire / agrandir
▷ GM.16 Repérage dans le plan
▷ GM.17 Programmes de construction
GM.01
1
LE
OBJETS ET NOTATIONS
POINT
Un point est un endroit précis du plan.
➢
●
On le repère avec une croix (×).
●
On le nomme avec une lettre majuscule.
2
LA
Exemples : ×A
×
B
×
C
LIGNE ET LA DROITE
Une ligne est une suite de points qui ne s'arrête pas. On la trace sans lever le crayon.
●
une ligne peut être courbe :
●
Une ligne peut être droite. Dans ce cas, on la trace avec une règle.
●
On nomme une droite entre parenthèses, soit avec une lettre minuscule, soit avec le
nom de deux de ses points.
➢
Exemple :
A
×
3
LE
B
×
(d)
On peut appeler cette droite :
(d) ou (AB)
SEGMENT
Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés extrémités.
●
On nomme un segment à l'aide du nom de ses extrémités, entre crochets.
➢
Exemples :
A
×
B
×
C
×
Le segment [AB]
4
D
×
Le segment [CD]
INTERSECTION
On appelle intersection le point où deux objets (droite, segment, ...) se croisent (se
coupent). Le point d'intersection appartient aux deux objets à la fois.
➢
Le point M est l'intersection de la droite (d) et du segment [AB].
(d)
M
A
B
GM.02
LA
1
LES INSTRUMENTS DE DESSIN
RÈGLE
La règle permet de tracer des droites et des segments.
●
Pour tracer une droite passant par deux points, il faut placer la règle juste en-dessous des
deux points et tracer sans la faire bouger.
L'ÉQUERRE
2
Avec une équerre, on peut :
➢
vérifier qu'un angle est droit (voir GM.03 et GM.13 )
➢
construire un angle droit.
LE
3
Dans une
équerre, il y a un
seul angle droit
COMPAS
Le compas sert à :
➢
4
dessiner des cercles ou des arcs de cercle
LE
➢
reporter des longueurs.
CALQUE
Le calque sert à reproduire un dessin ou à comparer des figures.
Pour décalquer un dessin, il faut :
tracer une première fois sur le calque
●
●
retourner le calque et repasser sur l'envers au brouillon
(le dessin est retourné)
●
5
LE
1
2
3
retourner à nouveau le calque et repasser sur l'endroit.
GABARIT
Un gabarit, c'est un modèle de l'objet que l'on veut reproduire, découpé dans une feuille de
papier épais. Il permet de reproduire la même forme autant de fois que l'on veut.
GM.03
1
TRACER 2 DROITES PERPENDICULAIRES
DÉFINITION
Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle
droit (voir GM.13 ). On vérifie qu'un angle est droit avec une équerre.
(d)
(f)
(e)
(g)
Les droites (d) et (e) ne
sont pas perpendiculaires
2
MÉTHODE
(h)
(i)
Les droites (f) et (g) ne sont
pas perpendiculaires
Les droites (h) et (i) sont
perpendiculaires
DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE
Je veux tracer la droite perpendiculaire à la droite (d1) et passant par le point A.
A
A
(d1)
A
(d1
)
1) Je place la
règle sur la
droite (d1).
(d1)
2) Je place un
côté de
l'équerre sur la
règle.
(d2)
A
A
(d1)
4) Je trace la droite
perpendiculaire.
(d1)
3) Je fais glisser
l'équerre sur la
règle, jusqu'à ce que
le deuxième côté de
l'angle droit passe
par le point A.
5) Je prolonge la
droite
perpendiculaire. Je
marque l'angle droit.
La droite (d2) est
perpendiculaire à
(d1) et passe par A.
GM.04
1
TRACER 2 DROITES PARALLÈLES
DÉFINITION
Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge
au-delà de la feuille.
(f)
(i)
(d)
(h)
(g)
(e)
Les droites (d) et (e) se
coupent : elles ne sont pas
parallèles.
2
MÉTHODE
Les droites (f) et (g) ne se
coupent pas dans la feuille,
mais vont se couper si on
les prolonge : elles ne sont
pas parallèles.
Les droites (h) et (i) sont
parallèles.
DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE
Je veux tracer la droite parallèle à la droite (d1) et passant par le point A.
A
A
(d1)
(d1)
1) Je place un côté
de l'équerre sur la
droite (d1).
A
3) Je fais glisser
l'équerre sur la
règle, jusqu'à ce que
le deuxième côté de
l'angle droit passe par
le point A.
2) Je place la
règle sur l'autre
côté de l'équerre.
(d2)
A
(d1)
A
(d1)
4) Je trace la droite
parallèle.
(d1)
5) Je prolonge
la droite
parallèle.
La droite (d2) est
parallèle à (d1) et
passe par A.
GM.05
1
LES POLYGONES
DÉFINITIONS
Une ligne polygonale est une ligne brisée
fermée formée de segments.
Un polygone est une portion de plan
limitée par une ligne polygonale. Chacun
des côtés d'un polygone est un segment.
ligne
polygonale
polygone
Ces formes ne sont pas des polygones.
2
LES
NOMS DES POLYGONES
Les polygones qui
ont...
s'appellent...
Les polygones qui
ont...
s'appellent...
3 côtés
triangles
7 côtés
heptagones
4 côtés
quadrilatères
8 côtés
octogones
5 côtés
pentagones
9 côtés
ennéagones
6 côtés
hexagones
3
LES
10 côtés
décagones
POLYGONES RÉGULIERS
Un polygone régulier est un polygone dont :
●
tous les côtés ont le même longueur
●
tous les angles ont la même mesure
triangle régulier
(équilatéral)
quadrilatère
régulier (carré)
pentagone
régulier
hexagone régulier
GM.06
1
LES QUADRILATÈRES
RECONNAITRE
UN QUADRILATÈRE
Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés.
●
Il existe cinq familles de quadrilatères :
carrés
rectangles
parallélogramm
es
losanges
trapèze
rectangle
trapèze
isocèle
Trapèzes
2
VOCABULAIRE
Les quadrilatères ont 4 côtés, 4 sommets, 2 diagonales, 4 angles.
sommet
côtés
consécutifs
côtés
opposés
angle
diagonale
3
RELATIONS
ENTRE LES QUADRILATÈRES
QUADRILATÈRES
2 angles droits
Trapèzes rectangles
4 angles droits
Rectangles
Les côtés ont
tous la même
longueur
2 côtés parallèles
Trapèzes
Les côtés opposés sont
parallèles 2 par 2
Parallélogrammes
Carrés
2 côtés opposés de même longueur
Trapèzes isocèles
4 côtés de même longueur
Losanges
Les angles sont
droits
GM.07
1
PROPRIÉTÉS
LES CARRÉS
DU CARRÉ
●
Le carré est un quadrilatère : il a 4 côtés.
●
Le carré est régulier :
●
➢
tous ses côtés ont la même longueur
➢
tous ses angles sont égaux (ils sont tous droits)
Les diagonales du carré :
2
➢
ont la même longueur
➢
sont perpendiculaires
➢
se coupent en leur milieu
CONSTRUCTION D'UN
CARRÉ
●
Avec la règle et l'équerre :
●
je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,
●
je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je
mesure la même longueur,
1
●
je recommence pour les deux autres côtés du carré.
●
Avec le compas, la règle et l'équerre :
●
je trace un cercle,
●
3
3
1
je trace deux diamètres
perpendiculaires du cercle,
●
je relie les extrémités des diamètres.
●
Avec la règle, l'équerre et le compas :
2
2
● je trace un segment, je mesure sa
longueur avec la règle,
● je trace la perpendiculaire au
3
5
segment à une extrémité,
● je reporte la longueur du segment
avec le compas,
4
2
● je reporte à nouveau la longueur
en partant de chaque extrémité
déjà tracée,
● je relie les extrémités reportées.
1
GM.08
PROPRIÉTÉS
DU RECTANGLE
●
Le rectangle est un quadrilatère : il a 4 côtés.
●
Le rectangle n'est pas régulier :
●
long
ueur
●
tous ses angles sont égaux (ils sont tous droits) mais
●
tous ses côtés n'ont pas la même longueur,
●
le côté le plus long s'appelle longueur (L),
●
le côté le plus court s'appelle largeur ( l ).
large
ur
1
LES RECTANGLES
Les diagonales du rectangle :
2
●
ont la même longueur
●
se coupent en leur milieu
●
ne sont pas perpendiculaires.
CONSTRUCTION D'UN
RECTANGLE
On peut tracer un rectangle de longueur et de largeur données :
●
Avec la règle et l'équerre :
●
●
1
je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,
●
je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je
mesure la largeur,
●
je recommence pour les deux autres côtés du rectangle.
2
3
Avec le compas, la règle et l'équerre :
●
je trace un cercle,
●
je trace deux diamètres du cercle,
●
je relie les extrémités des diamètres.
3
1
2
Avec la règle, l'équerre et le compas :
●
●
●
●
●
je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,
je trace la perpendiculaire au segment à une
extrémité,
je reporte la largeur du segment avec le
compas,
je reporte la longueur en partant de chaque
extrémité déjà tracée,
je relie les extrémités reportées.
3
5
4
2
1
GM.09
1
RAPPELS
●
Le triangle est un polygone à 3 côtés.
●
Le triangle a aussi 3 sommets.
●
Quand on trace un triangle sans se
soucier de sa forme ou de la longueur de
ses côtés, on dit qu'il s'agit d'un triangle
quelconque.
2
●
LES TRIANGLES
LES
sommet
angle
côtés
TRIANGLES PARTICULIERS
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur.
●
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même longueur.
●
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (On l'appelle ainsi parce
qu'il forme la moitié d'un rectangle).
Cas particulier :
triangle rectangle isocèle
GM.10
1
●
●
LE CERCLE
DÉFINITIONS
Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point appelé
centre.
On appelle rayon un segment qui relie le centre et un point du cercle.
C
rayon
O
centre
cercle
●
Cercle C de centre O
On appelle corde un segment qui relie deux points du cercle.
On appelle diamètre une corde qui passe par le centre. La mesure du diamètre est le
double de celle du rayon.
C
● Un arc de cercle est une
B
portion de cercle délimitée
Dans le cercle C de centre O :
par deux points.
●
C
F
G
O
●
[OA] est un rayon
●
[BC] est une corde
●
D
●
A
DE est un arc
[FG] est un diamètre
E
2
TRACER
DES CERCLES
Pour tracer un cercle, on utilise un compas :
On écarte le compas de la
valeur du rayon.
On pique la pointe du compas On trace avec le crayon sans
déplacer la pointe.
sur le centre.
GM.11
1
●
●
●
LES SOLIDES
DÉFINITIONS
arête
Un solide est un objet qui délimite un volume.
Un solide présente des faces, des arêtes et des
sommets.
Les faces d'un solide peuvent être
planes
2
LES
ou courbes
face
sommet
.
DIFFÉRENTS SOLIDES
Solide
Nom
Types de faces
Sphère
1 face courbe
Cylindre
Cône
Cube
Pavé
(parallélépipède rectangle)
2 faces planes
1 face courbe
1 face plane
1 faces courbe
6 faces planes
6 faces planes
Pyramide
faces planes
Prisme
faces planes
GM.12
LES
1
●
●
CONSTRUIRE DES SOLIDES
PATRONS
Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de représenter sur
une feuille de papier.
Un patron est le dessin de ses faces, qui permet par pliage de reconstruire ce solide.
ATTENTION : Certains solides ne peuvent pas être représentés par un
patron.
LE
2
●
●
PATRON DU CUBE
Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques.
Pour construire son patron, il faut « déplier » le cube pour représenter les 6 carrés à
plat.
3
3
5
4
1
2
5
6
4
2
1
4
6
5
6
2
3
1
On numérote les
faces.
●
On ouvre le cube.
On le déplie complètement.
4
Voici le patron du cube :
5
6
2
3
1
ATTENTION : D'autres patrons sont possibles. Les patrons suivants par exemple :
GM.13
1
●
LES ANGLES
DÉFINITIONS
Un angle est une mesure de l'ouverture entre deux demi-droites de même extrémité
(les côtés de l'angle).
●
On mesure l'ouverture d'un angle en degrés (°).
●
Un angle droit mesure 90°.
●
Un angle aigu mesure moins de 90°.
●
Un angle obtus mesure plus de 90°.
●
Un angle plat mesure 180°.
angle
droit
angle
aigu
2
COMPARER
angle
plat
angle
obtus
DES ANGLES
Pour comparer deux angles :
●
●
●
angle 2
Par pliage ou découpage, on construit un
gabarit, qui a la même ouverture que l'angle
1.
angle 1
On pose le gabarit sur l'angle 2.
On voit si l'angle 2 est plus petit, plus
grand ou égal a l'angle 1.
angle 2
angle 1
Pour savoir si un angle est droit, on utilise un
gabarit particulier : l'équerre.
3
MESURER
gabarit
DES ANGLES
Pour mesurer des angles, on utilise un rapporteur.
30
50
1
50
01
14
60 17
10 0
20 0 180
5
30
40
1
100 90 80 70
110
20 70 80 90 100 110 1 60 5
1
20
0
30 60
1
40
On place le sommet
de l'angle ici
180 170 16
0
0 10 2 150
0
30 140
On lit la mesure de
l'angle ici
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
On aligne un côté de
l'angle avec le zéro
GM.14
1
FIGURES
LA SYMÉTRIE
SYMÉTRIQUES
● Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en deux parties
superposables, on dit que cette figure est symétrique par rapport à la droite.
● On appelle cette droite axe de symétrie de la figure.
● Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.
➢ Exemples :
Axe de
symétrie
Axe de
symétrie
Axe de
symétrie
2
SYMÉTRIQUE D'UNE
Axe de
symétrie
FIGURE PAR RAPPORT À UNE DROITE
Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la
droite devienne axe de symétrie de l'ensemble.
La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir).
●
Sur un quadrillage :
On peut construire l'image de chaque
point en comptant les carreaux entre
le point et l'axe de symétrie. L'image
se trouve alors au même nombre de
carreaux de l'autre côté de l'axe.
Axe de
symétrie
●
Sans quadrillage :
Pour chaque point, il faut construire l'image en
traçant la perpendiculaire à l'axe de symétrie
passant par le point.
Il faut ensuite mesurer la distance du point à
l'axe, puis la reporter de l'axe à l'image (on
peut aussi utiliser un compas).
Axe de
symétrie
GM.15
1
●
RÉDUIRE /
RÉDUIRE / AGRANDIR
AGRANDIR UNE FIGURE
Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre.
6 cm
3 cm
4 cm
●
2 cm
:2
Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre.
9 cm
3 cm
2 cm
2
UTILISER
6 cm
x3
UN QUADRILLAGE
Pour réduire (ou agrandir) plus facilement une figure, on peut utiliser un quadrillage. Il
suffit ensuite de reproduire la même figure dans un quadrillage réduit (ou agrandi).
GM.16
1
REPÉRAGE
REPÉRAGE DANS LE PLAN
PAR CASE
On peut partager un plan (ou une carte) en bandes verticales et horizontales, qui se
croisent en formant des cases. Chaque bande est numérotée (avec un chiffre ou une
lettre).
On repère une case du plan en indiquant le numéro de la bande verticale et horizontale.
A B C D E F G H
2
I
1
J
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2
3 4
5
6
7
8 9 10
Ici, le cœur se trouve en E3
Là, la lune se trouve en (3;4)
et l'étoile se trouve en G6.
et la fleur se trouve en (9;6).
REPÉRAGE
PAR POINT
On peut partager un plan par un quadrillage (le même que pour les cases), mais en
numérotant les lignes et les colonnes. Dans ce cas, les croisements définissent des
points.
On repère un point du plan en indiquant le numéro de la ligne et de la colonne.
a
1
2
3
b
c
d
e
f
g h
i
j
k
2
A
3
4
2
3 4
5
6
7
8 9 10 11
D
4
C
5
6
1
1
B
5
E
6
7
7
8
8
F
Ici, le point A se trouve en c3,
Là, le point D se trouve en (2;3),
le point B en d6
le point E en (5;5)
et le point C en i5.
et le point F en (10;7).
GM.17
1
PROGRAMMES DE CONSTRUCTION
DÉFINITION
Un programme de construction est un texte qui donne des instructions pour tracer
précisément une figure géométrique.
C
➢
Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [AB].
O
A
2
●
●
●
LIRE
B
UN PROGRAMME DE CONSTRUCTION
Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de
géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots.
Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites.
Avant de tracer précisément, on doit faire un brouillon. On essaie de suivre le
programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris
toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin.
programme
Tracer 3 points P, Q, R distincts*.
brouillon
outils
➢
crayon
* à des endroits différents
Tracer un carré ABCD de côté
4 cm.
Tracer le point M, milieu de [AB].
Tracer le point N, milieu de [CD].
Tracer le segment [MN].
➢
Tracer une droite (d).
Placer un point A sur la droite (d).
Tracer la droite (e), perpendiculaire
à (d) et passant par A.
Placer le point B sur la droite (e),
tel que AB = 5 cm.
➢
Tracer le cercle
de rayon AB.
de centre A et
crayon
➢ règle graduée
➢ équerre
crayon
➢ règle graduée
➢ équerre
➢ compas