LP31 - Présentation de l’optique géométrique à partir du principe de Fermat 4 Octobre 2013 - Présenté par Thomas Busser Correction : P. Lidon 1 , H. Scolan 2 Rapports du jury ment traité, sans erreur. Il me semble que c’est une partie incontournable de la leçon, sur laquelle vous n’avez pas une grande liberté de choix. Notons qu’il aurait été souhaitable de discuter un exemple où le trajet suivi par la lumière ne correspond pas à un chemin optique minimal, les exemples sont multiples, en particulier avec les miroirs. En revanche, la fin de la leçon concernant les applications et le lien avec l’optique ondulatoire a été peu satisfaisant. La leçon a tenu - tout juste - dans le temps imparti mais au prix d’une présentation extrêmement sommaire du stigmatisme et d’une conclusion très courte. Dans ces conditions, plutôt que d’aborder une notion importante en 3 minutes, il vaut mieux prendre le temps de conclure de façon posée et pertinente. N’oublions pas que si votre introduction est cruciale car elle donne une première idée au jury de ce que vous voulez faire et de votre façon de présenter, la conclusion ne l’est pas moins car c’est la dernière impression que vous laisserez au jury, et les ouvertures que vous pourrez y faire seront souvent à l’origine des premières questions. Nous reviendrons plus en détail sur les applications présentées par la suite, mais il est regrettable de ne pas avoir traité le stigmatisme en détail, qui est une application importante du principe de Fermat. Le manque de temps sur cette partie est lié à un rythme globalement trop lent durant l’ensemble de la leçon. Du point de vue de la forme, l’exposé était correct, mais il faut faire plus attention à la gestion du tableau. Il faut le remplir de gauche à droite, sans revenir en arrière, et il faut également écrire plus de phrases ou d’idées et pas seulement des calculs : gardez en tête (le jury, lui, ne l’oublie pas) que lors d’un vrai cours, le contenu du tableau est probablement la seule chose dont la plupart des élèves garderont une trace. Il faut le plus possible éviter les abréviations, et ne surtout pas employer de symboles du genre ∀ dans une phrase ! Et n’oubliez pas votre expérience d’élève : la craie bleue ne se voit pas bien. Attention aussi au matériel des expériences (écran puis cuve dans le cas présent) qui peut masquer la vue au jury. Enfin, même si ce n’est pas simple, il faut s’efforcer à ne pas lire ses notes et à regarder le jury pendant l’introduction et la conclusion. Cela dit, ne vous inquiétez pas, il s’agit des premières leçons et vous avez toute l’année pour vous habituer à ces exigences. Rappelons enfin que pour éviter que le plan n’occupe Titre jusqu’en 2013 : Présentation de l’optique géométrique à l’aide du principe de Fermat. Exemples. 2013 La leçon doit illustrer ce que le principe de Fermat apporte de plus que les lois de la réfraction et de la réflexion. 2010 Le caractère variationnel du principe de Fermat doit clairement ressortir. Cette leçon peut être l’occasion d’introduire le théorème de Malus. 2009 Le caractère variationnel du principe de Fermat doit clairement ressortir. 2008 L’intérêt de l’introduction de la notion de chemin optique est central dans cette leçon. 2005 La notion de rayon lumineux reste imprécise. L’expression mathématique du principe de Fermat mettant en avant l’expression de l’infiniment petit du premier ordre mis en jeu est souvent ignorée. Par ailleurs, l’interprétation du stigmatisme est une application intéressante du principe de Fermat. Titre jusqu’en 2004 : Notion de rayon lumineux. Principe de Fermat. Conséquences. 2000 Cette leçon nécessite d’avoir réfléchi au lien existant entre la notion de rayon lumineux et l’optique ondulatoire. 1999 Pour que cette leçon soit complète et afin de faire correctement le lien avec le théorème de Malus il est nécessaire de savoir relier chemin optique et phase d’une onde et de comprendre à la lumière de la théorie ondulatoire la concentration de l’énergie sur un rayon lumineux. On peut discuter sans calcul comment le principe de Fermat intervient dans la formation des images. 1996 Il est bon d’expliquer comment on est conduit à ne rechercher les courbes de chemin optique stationnaire que parmi les lignes brisées, et de souligner que le principe de Fermat ne fait que sélectionner les trajectoires possibles pour la lumière – sans préciser comment la répartition du flux s’effectue entre elles. Commentaires généraux Globalement, le début de la leçon, jusqu’à l’établissement des lois de l’optique géométrique, a été correcte1. [email protected] 2. [email protected] 1 trop de volume au tableau, il est tout à fait possible d’ef- inverse, lois de Descartes) à l’exception de l’hypothèse facer les titres des sous parties quand on change de grand d’indépendance des rayons lumineux. paragraphe. Ne pas traiter l’équation des rayons lumineux est un choix tout à fait défendable. Si on décide d’en parler, il paraît peu intéressant de la démontrer, et il est indispenRetour sur la leçon présentée sable de l’exploiter vraiment (voir suggestions). Introduction : Une introduction historique, comme proposée ici, est tout à fait convenable, mais il est possible qu’elle appelle des questions. Il est bon d’introduire le titre de la leçon et les prérequis de façon naturelle, et non de se contenter d’un « Je vais vous présenter la leçon machin, je supposerai que nous avons vu ... ». Attention à ne pas lire votre introduction : pour cela, prenez du temps à la fin de la préparation pour survoler vos notes et vous mettre en tête le fil conducteur de la leçon, les messages que vous voulez faire passer, ... 1 1.1 2.1 Bien traité ici. 2.2 2.3 Cadre de l’optique géométrique Rayon lumineux Chemin optique Principe de Fermat C’est une bonne chose de ne pas parler des formulations historiques du principe de Fermat, mais il faut prendre le temps d’insister, exemples à l’appui, sur le fait que stationnaire ne signifie pas extrêmal et encore moins minimal. 2 Lois de Descartes Bien traité ici. C’est à mon sens un moment crucial dans la présentation, car c’est l’occasion de mener un calcul un peu complexe mais pas trop long, il faut donc le faire soigneusement. Dans ces paragraphes, il faut essayer de ne pas simplement écrire les calculs au tableau, mais de laisser des messages. L’expérience de la fibre en plastique est tout à fait pertinente, mais il faut la présenter avec plus de soin : elle était assez peu visible (orienter la sortie de la fibre vers un écran, par exemple) et semblait négligée (tout fixer sur des supports). Cela a été fait convenablement pendant la leçon, mais attention à la sécurité avec un laser ! Le traitement détaillé de la fibre à saut d’indice me semble à la limite du hors sujet : on illustre ici plus l’application des lois de Descartes que du principe de Fermat. Certes, elles en découlent, mais il faut garder en tête qu’un des objectifs de la leçon est de montrer que le principe de Fermat est plus riche. Le traitement détaillé du stigmatisme est une application bien plus pertinente. Néanmoins, parler des fibres optiques est une bonne chose. Si l’on souhaite en détailler une, mieux vaut étudier la fibre à gradient d’indice, mais cela implique d’avoir traité l’équation des rayons lumineux. Il faut aussi se documenter un peu sur le sujet : contrairement à ce qui a été dit, les fibres à gradient d’indice sont préférables non pas pour des raisons de perte d’énergie, mais pour des raisons de dispersion. Une présentation intéressante des fibres optiques est proposée dans [1]. L’introduction de la notion présentée ici est satisfaisante. Il paraît bon de donner le sens physique du chemin optique, comme cela a été fait. 1.3 Principe du retour inverse Bien traité ici. L’expérience du laser passant dans un diaphragme est pertinente, mais attention à garder en tête que la structure du faisceau est gaussienne. D’autres présentations de la notion de rayon sont possibles, par exemple les lois de l’ombre et de la pénombre en dessin. Il faut préciser que la taille caractéristique qui intervient pour savoir si on est dans le cadre de l’optique géométrique est la longueur typique de variation de l’indice optique, plus générale que la taille d’une fente puisque de la diffraction peut se produire sans « fente »(penser à la diffraction par les turbulences atmosphériques). Attention à avoir un vocabulaire précis et parler de tâches de diffraction et non d’irisations. 1.2 Propagation rectiligne 2.4 Etude de milieux à gradients d’indice L’expérience est à mon avis peu convaincante. La fluorescéine n’apporte pas grand chose à la visibilité, il aurait mieux valu mettre une feuille derrière la cuve, et surtout, l’ajout de la solution d’eau salée par un entonnoir va amener beaucoup de questions et de scepticisme. Il est inévitable d’induire ainsi de la convection, et il paraît très douteux que l’on crée ainsi un milieu avec Conséquences : lois d’optique géométrique Il faut bien insister sur le fait que le principe de Fermat contient toutes les suppositions de l’optique géométrique (propagation rectiligne en milieu homogène, retour 2 stratification d’indice, comme dans le modèle explicatif présenté dans la suite. L’expérience marche très bien en remplissant le fond de la cuve avec du sel (y aller généreusement), la déflexion est beaucoup plus nette, il n’y a pas de problème de convection, et le modèle de milieu stratifié est pertinent. Si l’on tient à montrer que l’on a une propagation rectiligne avec de l’eau seule, il n’est pas interdit de prévoir une seconde cuve. Et une fois encore, attention au laser. Une fois l’expérience terminée, il faut enlever la cuve, ou du moins s’assurer qu’elle ne cache pas la vue. Pour les mirages, exemple traité un peu trop rapidement, il aurait été bien de vidéoprojeter des photos (il y en a de très jolies dans la banque de diapos) plutôt que de faire un schéma. A priori, il ne faut pas craindre que l’utilisation d’un vidéoprojecteur vous ralentisse, du moins pas notablement. Dans mon souvenir, ceux du lycée Berthellot disposaient d’une fonction pause permettant de les relancer rapidement sans devoir pour autant faire sa leçon dans une lumière bleue. A noter que d’autres exemples (aplatissement du soleil, rayon vert) peuvent aussi être évoqués. Le traitement un peu détaillé d’un milieu stratifié, si l’on n’a pas parlé de l’équation des rayons lumineux, est tout à fait pertinent : il faut faire comprendre qu’un gradient d’indice induit une déflexion dans le sens du gradient d’indice. 3 3.1 Il faut traiter ici un exemple, les cas simples abondent avec les miroirs en forme de conique. En particulier, la conjugaison exacte des deux foyers d’un miroir elliptique découle directement de la définition d’une ellipse. Cet exemple peut aussi avoir une application : dans certains lasers, la lampe flash et le milieu amplificateur sont mis aux deux foyers d’un miroir elliptique (voir [2]). Plus classiquement, on a aussi les applications des miroirs paraboliques (paraboles de télévision, miroirs avec fluide en rotation en astronomie, phares de voitures, ...). Conclusion : Il est indispensable de soigner la conclusion ! Il faut récapituler ce qui a été vu, en insistant sur les messages forts, et ouvrir sur des applications, un cours ultérieur, ... Ouvrir sur l’eïkonale en électromagnétisme est pertinent, mais il faut s’attendre à avoir des questions dessus. Questions Historique de la notion de lumière ? Quelles sont les conceptions actuelles ? (Attention à ne pas dire trop de bêtises sur la dualité onde-corpuscule, c’est un peu plus subtil que tantôt une onde, tantôt un corpuscule selon ce qui nous arrange, le couplage avec un observateur intervient.) Un faisceau laser est-il un rayon lumineux ? Quelle en est la structure ? (Faisceau gaussien) À quelle(s) propriété(s) du milieu l’indice optique estil relié ? Est-il possible de démontrer la relation de Gladstone ? (Oui, c’est la relation de Clausius-Mossotti pour un indice proche de 1, qui se montre en exprimant le champ local voir [5, 6]) En sortant du cadre de la leçon, comment définir le rayon lumineux ? (Les rayons sont les lignes du vecteur de Pointing moyen.) Comment la lumière choisit-elle le bon chemin ? Expliquer le principe de Fermat physiquement. (La lumière, en tant qu’onde, parcourt tous les chemins, mais les interférences sont destructives partout où le chemin optique, qui est lié à la phase de l’onde, n’est pas stationnaire. À noter que c’est aussi l’idée de l’intégrale de chemin en mécanique quantique : on somme sur tous les chemins possibles entre état initial et final, et les interférences constructives se font sur la trajectoire classique.) Donner un exemple où un chemin stationnaire n’est pas minimal. (Miroir, ...) Y a-t-il d’autres hypothèses en optique géométrique que celles présentées ? (Indépendance des rayons lumineux) Est-ce vraiment pour des raisons de pertes que l’on préfère les fibres à gradient d’indice ? (Non, a priori, les pertes sont les mêmes dans les deux cas. Notons que l’angle d’acceptance est également le même. En revanche, dans la fibre à gradient d’indice, la dispersion intermodale est bien compensée. Une fibre à saut d’indice est Lien avec l’optique ondulatoire Surfaces d’onde Il peut être intéressant de resituer un peu plus précisément le lien avec l’électromagnétisme, même sans nécessairement parler d’équation eïkonale : rappeler que l’on cherche une solution des équations de Maxwell sous une forme particulière, avec une phase inhomogène, que l’on se place dans l’approximation scalaire, que l’on se place dans le cas de petites longueurs d’onde... Bien sûr, la présentation dépend aussi fortement du niveau auquel se situe la leçon, et des prérequis. 3.2 Théorème de Malus La démonstration proposée ici est correcte, mais prenez garde à plusieurs livres qui le démontrent en présupposant le résultat (en particulier, dès que l’on écrit que −−→ gradφ ∼ ~u, on a déjà le théorème). 3.3 Stigmatisme Traité beaucoup trop rapidement dans la leçon, c’est à mon sens une application majeure du principe de Fermat. J’aurais plutôt situé cette partie dans le paragraphe précédent. 3 tique géométrique, k est grand, et pour que cette équation soit valable, il faut au moins que n2 = (∇S)2 . C’est l’équation eïkonale.) un guide d’ondes, pouvant transporter plusieurs modes, quantifiés, et ne se propageant pas à la même vitesse : dès lors, une impulsion s’élargit au cours de sa propagation si plusieurs modes sont excités. Avec une fibre à gradient d’indice, il est possible d’adapter le profil d’indice pour compenser la dispersion intermodale. Reste alors la dispersion intramodale, liée à l’absorption de l’onde par le milieu.) Qu’est-ce que la fluorescence ? (Lors de l’absorption d’un photon, une molécule du milieu passe dans un état excité, puis se désexcite en réémettant rapidement un nouveau photon par émission spontanée. Notons que la longueur d’onde réémise peut être différente de la longueur d’onde absorbée, dans le cas où le niveau excité n’est pas dans un fondamental de vibration : on a alors une relaxation non radiative vers le fondamental vibrationnel, expliquant une différence de longueur d’onde. Il ne faut pas confondre la fluorescence avec la phosphorescence, pour laquelle on a relaxation non radiative de l’état excité vers un état qui n’est pas le fondamental, et dont la relaxation vers le fondamental est a priori interdite par les règles de transition. En fait, à cause de couplages, la relaxation est possible, mais se fait beaucoup plus lentement que dans le cas de la fluorescence.) Est-ce qu’on peut toujours voir un mirage inférieur ? (il existe une distance minimale pour voir un mirage inférieur fixée par le prolongement du rayon qui subit une réflexion totale sur le sol). La forme d’onde écrite dans le lien avec l’optique ondulatoire est-elle générale ? À quoi correspond cette amplitude en électromagnétisme ? Y a-t-il une approximation à faire ? (L’amplitude est liée au vecteur champ électrique, pour l’écrire comme on le fait en optique ondulatoire, il faut faire l’approximation scalaire.) Le principe de Fermat est-il encore valable dans un milieu anisotrope ? (À strictement parler, non, mais il peut se généraliser : c’est le principe de FermatGrandjean.) Qu’est-ce que l’eïkonale ? Comment l’obtient-on ? (On cherche une solution des équations de Maxwell (de l’équation de d’Alembert qui en découle, en fait) dans l’approximation scalaire, sous forme d’une onde de phase variable a(~r, t) = a(~r) cos [kS(~r) − ωt]. L’équation obtenue est polynômiale d’ordre 2 en k = 2π/λ, de la forme k 2 (n2 − (∇S)2 ) + k(...) + (...) = 0 : dans la limite de l’op- Suggestions, conseils, compléments Il ne paraît pas nécessaire de parler de l’eïkonale au cours de la leçon, le garder en ouverture et être prêt à répondre à des questions dessus me semble plus pertinent. Pour une présentation concise et claire, on peut consulter [3]. Si l’on parle de l’équation des rayons lumineux, il faut impérativement l’exploiter, et il paraît assez difficile de la démontrer dans un laps de temps raisonnable. Il est tout à fait possible de l’admettre, puis de la commenter, par exemple en utilisant l’analogie mécanique proposée dans [4]. Cette analogie permet alors d’expliquer aisément la courbure des rayons dans un milieu à gradient d’indice, ou leur trajectoire dans une fibre à gradient d’indice. Prenez le temps pendant l’année de regarder, voire d’utiliser, les documents dans la banque numérisée, le CD de l’année dernière est vraisemblablement disponible sur l’ordinateur de la BU agreg (sinon, demander aux techniciens). Pour finir, nous restons à votre disposition, par mail, en TP, ou lors de futures corrections, pour toute question, suggestion ou remarque. Références [1] Optique physique : Propagation de la lumière Taillet R., de Boeck, 2006 - [2] Optique instrumentale, optique de Fourier - J. Surrel, Ellipses, 1996 [3] Qu’est-ce que l’optique géométrique - L. Dettwiller, Dunod Université, 1993 [4] La Physique par la pratique Barthes, H&K, 2005 - B. Portelli, J. [5] Milieux diélectriques - C. Garing, Ellipses, 1995 [6] Electromagnétisme 4 - milieux diélectriques et aimantés - M.Bertin, J.P Faroux, J. Renault, Dunod, 1996 4