Présentation de l`optique géométrique à partir du principe de Fermat

LP31 - Présentation de l’optique géométrique à partir du principe de
Fermat
4 Octobre 2013 - Présenté par Thomas Busser
Correction : P. Lidon 1, H. Scolan 2
Rapports du jury
Titre jusqu’en 2013 : Présentation de l’optique géomé-
trique à l’aide du principe de Fermat. Exemples.
2013 La leçon doit illustrer ce que le principe de Fermat
apporte de plus que les lois de la réfraction et de la
réflexion.
2010 Le caractère variationnel du principe de Fermat
doit clairement ressortir. Cette leçon peut être l’oc-
casion d’introduire le théorème de Malus.
2009 Le caractère variationnel du principe de Fermat
doit clairement ressortir.
2008 L’intérêt de l’introduction de la notion de chemin
optique est central dans cette leçon.
2005 La notion de rayon lumineux reste imprécise. L’ex-
pression mathématique du principe de Fermat met-
tant en avant l’expression de l’infiniment petit du
premier ordre mis en jeu est souvent ignorée. Par
ailleurs, l’interprétation du stigmatisme est une ap-
plication intéressante du principe de Fermat.
Titre jusqu’en 2004 : Notion de rayon lumineux. Prin-
cipe de Fermat. Conséquences.
2000 Cette leçon nécessite d’avoir réfléchi au lien exis-
tant entre la notion de rayon lumineux et l’optique
ondulatoire.
1999 Pour que cette leçon soit complète et afin de faire
correctement le lien avec le théorème de Malus il
est nécessaire de savoir relier chemin optique et
phase d’une onde et de comprendre à la lumière de
la théorie ondulatoire la concentration de l’énergie
sur un rayon lumineux. On peut discuter sans cal-
cul comment le principe de Fermat intervient dans
la formation des images.
1996 Il est bon d’expliquer comment on est conduit à ne
rechercher les courbes de chemin optique station-
naire que parmi les lignes brisées, et de souligner
que le principe de Fermat ne fait que sélectionner
les trajectoires possibles pour la lumière – sans pré-
ciser comment la répartition du flux s’effectue entre
elles.
Commentaires généraux
Globalement, le début de la leçon, jusqu’à l’établis-
sement des lois de l’optique géométrique, a été correcte-
ment traité, sans erreur. Il me semble que c’est une partie
incontournable de la leçon, sur laquelle vous n’avez pas
une grande liberté de choix. Notons qu’il aurait été sou-
haitable de discuter un exemple où le trajet suivi par
la lumière ne correspond pas à un chemin optique mini-
mal, les exemples sont multiples, en particulier avec les
miroirs. En revanche, la fin de la leçon concernant les ap-
plications et le lien avec l’optique ondulatoire a été peu
satisfaisant.
La leçon a tenu - tout juste - dans le temps imparti
mais au prix d’une présentation extrêmement sommaire
du stigmatisme et d’une conclusion très courte. Dans ces
conditions, plutôt que d’aborder une notion importante
en 3 minutes, il vaut mieux prendre le temps de conclure
de façon posée et pertinente. N’oublions pas que si votre
introduction est cruciale car elle donne une première idée
au jury de ce que vous voulez faire et de votre façon de
présenter, la conclusion ne l’est pas moins car c’est la der-
nière impression que vous laisserez au jury, et les ouver-
tures que vous pourrez y faire seront souvent à l’origine
des premières questions.
Nous reviendrons plus en détail sur les applications
présentées par la suite, mais il est regrettable de ne pas
avoir traité le stigmatisme en détail, qui est une appli-
cation importante du principe de Fermat. Le manque de
temps sur cette partie est lié à un rythme globalement
trop lent durant l’ensemble de la leçon.
Du point de vue de la forme, l’exposé était correct,
mais il faut faire plus attention à la gestion du tableau. Il
faut le remplir de gauche à droite, sans revenir en arrière,
et il faut également écrire plus de phrases ou d’idées et
pas seulement des calculs : gardez en tête (le jury, lui,
ne l’oublie pas) que lors d’un vrai cours, le contenu du
tableau est probablement la seule chose dont la plupart
des élèves garderont une trace. Il faut le plus possible
éviter les abréviations, et ne surtout pas employer de
symboles du genre ∀dans une phrase ! Et n’oubliez pas
votre expérience d’élève : la craie bleue ne se voit pas
bien. Attention aussi au matériel des expériences (écran
puis cuve dans le cas présent) qui peut masquer la vue
au jury. Enfin, même si ce n’est pas simple, il faut s’effor-
cer à ne pas lire ses notes et à regarder le jury pendant
l’introduction et la conclusion. Cela dit, ne vous inquié-
tez pas, il s’agit des premières leçons et vous avez toute
l’année pour vous habituer à ces exigences.
Rappelons enfin que pour éviter que le plan n’occupe
1. [email protected]
2. [email protected]
1

trop de volume au tableau, il est tout à fait possible d’ef-
facer les titres des sous parties quand on change de grand
paragraphe.
Retour sur la leçon présentée
Introduction : Une introduction historique, comme
proposée ici, est tout à fait convenable, mais il est pos-
sible qu’elle appelle des questions. Il est bon d’introduire
le titre de la leçon et les prérequis de façon naturelle, et
non de se contenter d’un « Je vais vous présenter la leçon
machin, je supposerai que nous avons vu ... ». Attention
à ne pas lire votre introduction : pour cela, prenez du
temps à la fin de la préparation pour survoler vos notes
et vous mettre en tête le fil conducteur de la leçon, les
messages que vous voulez faire passer, ...
1 Cadre de l’optique géométrique
1.1 Rayon lumineux
L’expérience du laser passant dans un diaphragme est
pertinente, mais attention à garder en tête que la struc-
ture du faisceau est gaussienne. D’autres présentations
de la notion de rayon sont possibles, par exemple les lois
de l’ombre et de la pénombre en dessin.
Il faut préciser que la taille caractéristique qui inter-
vient pour savoir si on est dans le cadre de l’optique géo-
métrique est la longueur typique de variation de l’indice
optique, plus générale que la taille d’une fente puisque
de la diffraction peut se produire sans « fente »(penser
à la diffraction par les turbulences atmosphériques). At-
tention à avoir un vocabulaire précis et parler de tâches
de diffraction et non d’irisations.
1.2 Chemin optique
L’introduction de la notion présentée ici est satisfai-
sante. Il paraît bon de donner le sens physique du chemin
optique, comme cela a été fait.
1.3 Principe de Fermat
C’est une bonne chose de ne pas parler des formu-
lations historiques du principe de Fermat, mais il faut
prendre le temps d’insister, exemples à l’appui, sur le
fait que stationnaire ne signifie pas extrêmal et encore
moins minimal.
2 Conséquences : lois d’optique
géométrique
Il faut bien insister sur le fait que le principe de Fer-
mat contient toutes les suppositions de l’optique géomé-
trique (propagation rectiligne en milieu homogène, retour
inverse, lois de Descartes) à l’exception de l’hypothèse
d’indépendance des rayons lumineux.
Ne pas traiter l’équation des rayons lumineux est un
choix tout à fait défendable. Si on décide d’en parler, il
paraît peu intéressant de la démontrer, et il est indispen-
sable de l’exploiter vraiment (voir suggestions).
2.1 Propagation rectiligne
Bien traité ici.
2.2 Principe du retour inverse
Bien traité ici.
2.3 Lois de Descartes
Bien traité ici. C’est à mon sens un moment crucial
dans la présentation, car c’est l’occasion de mener un cal-
cul un peu complexe mais pas trop long, il faut donc le
faire soigneusement.
Dans ces paragraphes, il faut essayer de ne pas sim-
plement écrire les calculs au tableau, mais de laisser des
messages.
L’expérience de la fibre en plastique est tout à fait
pertinente, mais il faut la présenter avec plus de soin :
elle était assez peu visible (orienter la sortie de la fibre
vers un écran, par exemple) et semblait négligée (tout
fixer sur des supports). Cela a été fait convenablement
pendant la leçon, mais attention à la sécurité avec un
laser !
Le traitement détaillé de la fibre à saut d’indice me
semble à la limite du hors sujet : on illustre ici plus l’ap-
plication des lois de Descartes que du principe de Fer-
mat. Certes, elles en découlent, mais il faut garder en
tête qu’un des objectifs de la leçon est de montrer que le
principe de Fermat est plus riche. Le traitement détaillé
du stigmatisme est une application bien plus pertinente.
Néanmoins, parler des fibres optiques est une bonne
chose. Si l’on souhaite en détailler une, mieux vaut
étudier la fibre à gradient d’indice, mais cela implique
d’avoir traité l’équation des rayons lumineux. Il faut aussi
se documenter un peu sur le sujet : contrairement à ce
qui a été dit, les fibres à gradient d’indice sont préférables
non pas pour des raisons de perte d’énergie, mais pour
des raisons de dispersion. Une présentation intéressante
des fibres optiques est proposée dans [1].
2.4 Etude de milieux à gradients d’indice
L’expérience est à mon avis peu convaincante. La
fluorescéine n’apporte pas grand chose à la visibilité, il
aurait mieux valu mettre une feuille derrière la cuve, et
surtout, l’ajout de la solution d’eau salée par un enton-
noir va amener beaucoup de questions et de scepticisme.
Il est inévitable d’induire ainsi de la convection, et il
paraît très douteux que l’on crée ainsi un milieu avec
2

stratification d’indice, comme dans le modèle explicatif
présenté dans la suite. L’expérience marche très bien en
remplissant le fond de la cuve avec du sel (y aller géné-
reusement), la déflexion est beaucoup plus nette, il n’y
a pas de problème de convection, et le modèle de milieu
stratifié est pertinent. Si l’on tient à montrer que l’on a
une propagation rectiligne avec de l’eau seule, il n’est pas
interdit de prévoir une seconde cuve. Et une fois encore,
attention au laser.
Une fois l’expérience terminée, il faut enlever la cuve,
ou du moins s’assurer qu’elle ne cache pas la vue.
Pour les mirages, exemple traité un peu trop rapide-
ment, il aurait été bien de vidéoprojeter des photos (il y
en a de très jolies dans la banque de diapos) plutôt que de
faire un schéma. A priori, il ne faut pas craindre que l’uti-
lisation d’un vidéoprojecteur vous ralentisse, du moins
pas notablement. Dans mon souvenir, ceux du lycée Ber-
thellot disposaient d’une fonction pause permettant de
les relancer rapidement sans devoir pour autant faire
sa leçon dans une lumière bleue. A noter que d’autres
exemples (aplatissement du soleil, rayon vert) peuvent
aussi être évoqués.
Le traitement un peu détaillé d’un milieu stratifié,
si l’on n’a pas parlé de l’équation des rayons lumineux,
est tout à fait pertinent : il faut faire comprendre qu’un
gradient d’indice induit une déflexion dans le sens du
gradient d’indice.
3 Lien avec l’optique ondulatoire
3.1 Surfaces d’onde
Il peut être intéressant de resituer un peu plus préci-
sément le lien avec l’électromagnétisme, même sans né-
cessairement parler d’équation eïkonale : rappeler que
l’on cherche une solution des équations de Maxwell sous
une forme particulière, avec une phase inhomogène, que
l’on se place dans l’approximation scalaire, que l’on se
place dans le cas de petites longueurs d’onde... Bien sûr,
la présentation dépend aussi fortement du niveau auquel
se situe la leçon, et des prérequis.
3.2 Théorème de Malus
La démonstration proposée ici est correcte, mais pre-
nez garde à plusieurs livres qui le démontrent en présup-
posant le résultat (en particulier, dès que l’on écrit que
−−→
gradφ∼~u, on a déjà le théorème).
3.3 Stigmatisme
Traité beaucoup trop rapidement dans la leçon, c’est
à mon sens une application majeure du principe de Fer-
mat. J’aurais plutôt situé cette partie dans le paragraphe
précédent.
Il faut traiter ici un exemple, les cas simples abondent
avec les miroirs en forme de conique. En particulier, la
conjugaison exacte des deux foyers d’un miroir elliptique
découle directement de la définition d’une ellipse. Cet
exemple peut aussi avoir une application : dans certains
lasers, la lampe flash et le milieu amplificateur sont mis
aux deux foyers d’un miroir elliptique (voir [2]). Plus clas-
siquement, on a aussi les applications des miroirs para-
boliques (paraboles de télévision, miroirs avec fluide en
rotation en astronomie, phares de voitures, ...).
Conclusion : Il est indispensable de soigner la conclu-
sion ! Il faut récapituler ce qui a été vu, en insistant sur
les messages forts, et ouvrir sur des applications, un cours
ultérieur, ... Ouvrir sur l’eïkonale en électromagnétisme
est pertinent, mais il faut s’attendre à avoir des questions
dessus.
Questions
Historique de la notion de lumière ? Quelles sont les
conceptions actuelles ? (Attention à ne pas dire trop de
bêtises sur la dualité onde-corpuscule, c’est un peu plus
subtil que tantôt une onde, tantôt un corpuscule selon ce
qui nous arrange, le couplage avec un observateur inter-
vient.)
Un faisceau laser est-il un rayon lumineux ? Quelle en
est la structure ? (Faisceau gaussien)
À quelle(s) propriété(s) du milieu l’indice optique est-
il relié ? Est-il possible de démontrer la relation de Glad-
stone ? (Oui, c’est la relation de Clausius-Mossotti pour
un indice proche de 1, qui se montre en exprimant le
champ local voir [5, 6])
En sortant du cadre de la leçon, comment définir le
rayon lumineux ? (Les rayons sont les lignes du vecteur
de Pointing moyen.)
Comment la lumière choisit-elle le bon chemin ? Ex-
pliquer le principe de Fermat physiquement. (La lumière,
en tant qu’onde, parcourt tous les chemins, mais les inter-
férences sont destructives partout où le chemin optique,
qui est lié à la phase de l’onde, n’est pas stationnaire.
À noter que c’est aussi l’idée de l’intégrale de chemin en
mécanique quantique : on somme sur tous les chemins
possibles entre état initial et final, et les interférences
constructives se font sur la trajectoire classique.)
Donner un exemple où un chemin stationnaire n’est
pas minimal. (Miroir, ...)
Y a-t-il d’autres hypothèses en optique géométrique
que celles présentées ? (Indépendance des rayons lumi-
neux)
Est-ce vraiment pour des raisons de pertes que l’on
préfère les fibres à gradient d’indice ? (Non, a priori, les
pertes sont les mêmes dans les deux cas. Notons que
l’angle d’acceptance est également le même. En revanche,
dans la fibre à gradient d’indice, la dispersion intermo-
dale est bien compensée. Une fibre à saut d’indice est
3

un guide d’ondes, pouvant transporter plusieurs modes,
quantifiés, et ne se propageant pas à la même vitesse : dès
lors, une impulsion s’élargit au cours de sa propagation
si plusieurs modes sont excités. Avec une fibre à gradient
d’indice, il est possible d’adapter le profil d’indice pour
compenser la dispersion intermodale. Reste alors la dis-
persion intramodale, liée à l’absorption de l’onde par le
milieu.)
Qu’est-ce que la fluorescence ? (Lors de l’absorption
d’un photon, une molécule du milieu passe dans un état
excité, puis se désexcite en réémettant rapidement un
nouveau photon par émission spontanée. Notons que la
longueur d’onde réémise peut être différente de la lon-
gueur d’onde absorbée, dans le cas où le niveau excité
n’est pas dans un fondamental de vibration : on a alors
une relaxation non radiative vers le fondamental vibra-
tionnel, expliquant une différence de longueur d’onde. Il
ne faut pas confondre la fluorescence avec la phospho-
rescence, pour laquelle on a relaxation non radiative de
l’état excité vers un état qui n’est pas le fondamental,
et dont la relaxation vers le fondamental est a priori in-
terdite par les règles de transition. En fait, à cause de
couplages, la relaxation est possible, mais se fait beau-
coup plus lentement que dans le cas de la fluorescence.)
Est-ce qu’on peut toujours voir un mirage inférieur ?
(il existe une distance minimale pour voir un mirage in-
férieur fixée par le prolongement du rayon qui subit une
réflexion totale sur le sol).
La forme d’onde écrite dans le lien avec l’optique
ondulatoire est-elle générale ? À quoi correspond cette
amplitude en électromagnétisme ? Y a-t-il une approxi-
mation à faire ? (L’amplitude est liée au vecteur champ
électrique, pour l’écrire comme on le fait en optique on-
dulatoire, il faut faire l’approximation scalaire.)
Le principe de Fermat est-il encore valable dans
un milieu anisotrope ? (À strictement parler, non, mais
il peut se généraliser : c’est le principe de Fermat-
Grandjean.)
Qu’est-ce que l’eïkonale ? Comment l’obtient-on ?
(On cherche une solution des équations de Maxwell (de
l’équation de d’Alembert qui en découle, en fait) dans
l’approximation scalaire, sous forme d’une onde de phase
variable a(~r, t) = a(~r) cos [kS(~r)−ωt]. L’équation obte-
nue est polynômiale d’ordre 2 en k= 2π/λ, de la forme
k2(n2−(∇S)2)+k(...)+(...)=0: dans la limite de l’op-
tique géométrique, kest grand, et pour que cette équa-
tion soit valable, il faut au moins que n2= (∇S)2. C’est
l’équation eïkonale.)
Suggestions, conseils, compléments
Il ne paraît pas nécessaire de parler de l’eïkonale au
cours de la leçon, le garder en ouverture et être prêt à ré-
pondre à des questions dessus me semble plus pertinent.
Pour une présentation concise et claire, on peut consulter
[3].
Si l’on parle de l’équation des rayons lumineux, il faut
impérativement l’exploiter, et il paraît assez difficile de la
démontrer dans un laps de temps raisonnable. Il est tout
à fait possible de l’admettre, puis de la commenter, par
exemple en utilisant l’analogie mécanique proposée dans
[4]. Cette analogie permet alors d’expliquer aisément la
courbure des rayons dans un milieu à gradient d’indice,
ou leur trajectoire dans une fibre à gradient d’indice.
Prenez le temps pendant l’année de regarder, voire
d’utiliser, les documents dans la banque numérisée, le
CD de l’année dernière est vraisemblablement disponible
sur l’ordinateur de la BU agreg (sinon, demander aux
techniciens).
Pour finir, nous restons à votre disposition, par mail,
en TP, ou lors de futures corrections, pour toute ques-
tion, suggestion ou remarque.
Références
[1] Optique physique : Propagation de la lumière -
Taillet R., de Boeck, 2006
[2] Optique instrumentale, optique de Fourier - J. Sur-
rel, Ellipses, 1996
[3] Qu’est-ce que l’optique géométrique - L. Dettwiller,
Dunod Université, 1993
[4] La Physique par la pratique - B. Portelli, J.
Barthes, H&K, 2005
[5] Milieux diélectriques - C. Garing, Ellipses, 1995
[6] Electromagnétisme 4 - milieux diélectriques et aimantés
- M.Bertin, J.P Faroux, J. Renault, Dunod, 1996
4