magnétique volume

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E8 HYSTERESIS ET LOI D'INDUCTION
I. INTRODUCTION
Cette expérience propose d'une part d'étudier les comportements d'éléments
ferromagnétiques soumis à des champs magnétiques, par l'analyse de leurs courbes
d'hystérésis. D'autre part, elle propose d'appliquer la loi d'induction dans le cas d'un tore.
II. THEORIES
L'aimantation
M
, dans la matière est due à l'existence de moments magnétiques atomiques
qui s'alignent dans une direction privilégiée sous l'action d'un champ magnétique. Ces
moments magnétiques sont formellement assimilables à des courants circulaires
électroniques internes.
Si n est le nombre de moments magnétiques par unité de volume et
m
le moment
magnétique moyen, l'aimantation s'exprime par
M
= n
m
.
On dit d'une substance qu'elle est paramagnétique, lorsque ses atomes ont un moment
magnétique permanent qui s'oriente partiellement en présence d'un champ
H
externe
donnant lieu ainsi à une aimantation d'orientation. Une propriété générale de la matière est
le diamagnétisme où, dans ce cas, le champ externe induit un moment magnétique dû à la
perturbation de la trajectoire électronique dans les atomes. Il en résulte aussi une
aimantation mais de sens opposé au champ
H
. De manière générale, on peut exprimer le
champ d'induction
B
à l'intérieur de la matière par :
(1) B H M H H H
r
= + = + = =µ µ χ µ µ µ
0 0 0
1( ) ( )
où µ
o
= 4π⋅10
-7
[Vs/Am] est la perméabilité du vide
χ est la susceptibilité magnétique définie par M H= χ
µ
r
= 1 + χ est la perméabilité relative de la substance par rapport au
vide
µ = µ
o
µ
r
est la perméabilité de la substance (absolue)
Unités MKSA CGS conversion MKSA → CGS
[H] A/m Oersted 1 [A/m] = 4π⋅10
-3
[Oe]
[B] Vs/m
2
= Tesla Gauss 1 [T] = 10
4
[G]
[M] A/m
M
n'a pas généralement tout à fait la même direction que
H
sauf dans le cas particulier des
corps isotropes.
Le tableau suivant donne quelques valeurs de la susceptibilité magnétique et de µ
r
pour
différent éléments :

98
χ µ
r
Diamagnétique Bi -17 10
-5
0.99983
Cu -1 10
-5
0.99999
Paramagnétique Al 2 10
-5
1.00002
Pt 26 10
-5
1.00026
Des phénomènes coopératifs d'orientation des moments, propres à certaines substances, les
rendent particulièrement magnétiques. C'est le cas, en particulier, des substances
ferromagnétiques qui se caractérisent par les propriétés suivantes :
- La susceptibilité magnétique χ = M H/ est de l'ordre de 10
3
alors que dans les
substances paramagnétiques χ ~ 10
-5
. Les matériaux ferromagnétiques s'aimantent donc
très facilement.
- La relation entre
M
et
H
n'est plus linéaire.
- La relation entre
M
et
H
n'est plus univoque, l'échantillon présente des effets
d'hystérésis (Cf. figure 1).
- L'aimantation
M
dépend, non seulement de
H
, mais encore des traitements antérieurs
qu'a subi l'échantillon ("histoire") et elle persiste plus ou moins après la suppression du
champ
H
(aimant permanent).
-HsHs
Hc
-Ms
Ms
Mr
H
M
Figure 1
On définit les grandeurs suivantes :

99
M
s
: aimantation de saturation pour H > H
s
; M
s
(H) = const.
M
r
: aimantation rémanente (ou résiduelle) lorsque le champ H est ramené à 0.
H
c
: champ coercitif = intensité du champ magnétique H inversé, nécessaire pour
annuler l'aimantation.
H
s
: champ de saturation correspondant à M
s
.
Il est évident que seules les substances composées au moins en partie d'atomes
paramagnétiques peuvent être ferromagnétiques. En outre, la caractéristique des
échantillons ferromagnétiques est l'existence de domaines (dits de Weiss) constitués par un
ensemble de moments magnétiques alignés dans la même direction :
H=0 H
Figure 2
Ce sont des moments résultants (flèches) de ces domaines qui ont tendance à s'aligner dans
la direction du champ appliqué, produisant ainsi une aimantation.
Cycle d'hystérésis
Si après avoir atteint H
s
(cf. figure 1) on diminue H, la magnétisation ne suit pas la même
courbe qu'à l'aller, car les domaines de Weiss tendent à conserver leur orientation par suite
de tensions élastiques internes de l'échantillon. On comprend que pour parcourir un cycle
d'hystérésis, il faut fournir un certain travail (renversement et orientation des moments
magnétiques) qui se transforme en chaleur et échauffe la matière. Cette énergie est
proportionnelle à la surface du cycle S
M
.
(2)
m 0 0 m M
E V M dH V S
= µ ⋅ =µ
∫
avec V
m
=
volume de matière
M
S M dH
= ⋅ =
∫
surface du cycle d'hystérésis
Si le cycle est parcouru à la fréquence ν, la puissance dissipée s'écrira :
(3)
o m M
P V S
=µ ν
Ce qui signifie que si la fréquence du champ H alternatif dans lequel est plongé le
ferromagnétique est trop élevée, ce dernier va chauffer fortement.

100
En pratique on mesure B H( ) plutôt que M H( ) et, par conséquent, la relation ci-dessus
devient :
(4)
m B
P V S
= ν
avec
B 0 0 0 M
S B dH H dH M dH S
= ⋅ =µ ⋅ +µ ⋅ =µ
∫ ∫ ∫
car
H dH 0
⋅ =
∫
( les intégrales sont évaluées sur le cycle complet)
Matériaux ferromagnétiques
Les éléments ayant un comportement ferromagnétique sont :
- le fer, le cobalt, le nickel et leurs alliages
- le gadolinium, le dysprosium (terres rares)
- certains composés tels que ferrites, magnétites, etc.
Les composés ferromagnétiques sont souvent classés en deux catégories : les matériaux
magnétiquement doux et les matériaux magnétiquement durs, dont les différentes
caractéristiques sont décrites ci-dessous :
Matériaux durs
H
M
- Cycle d’hystérésis large
- Grande aimantation rémanente.
- H
c
> 10'000 A/m
Ils sont surtout utilisés pour la fabrication
d’aimants permanents.
Exemple : Sm-Co, B
r
=0.8T, H
c
=500kA/m.
Matériaux doux
H
M
- Cycle d’hystérésis étroit
- H
c
< 1'000 A/m
Ils sont utilisés dans les moteurs et les
circuits magnétiques des transformateurs.
Exemple : FeSi, B
r
=1.4T, H
c
= 8A/m

101
Champ produit par solénoïde
La valeur du champ
H
au centre d'un solénoïde mince de dimension d << L, dans lequel
passe un courant I, est donnée par :
(6) HN I
L d
02 2 1 2
=
⋅
+( )
/
N = nombre de spires
d
H
0
L
Figure 3
Pour cette expérience, nous allons employer, comme circuit magnétique fermé, un tore.
Dans ce cas le champ magnétique H
0
généré par N spires vaut :
(7) HN I
L
0
=
⋅
avec LR r =
+
=22 πcirconférence moyenne du
tore.
S = d⋅(R - r) = section du tore.
N = nombre de spires bobinées sur le tore.
d S
r
R
Figure 4
Loi d'induction
La tension induite aux bornes d'une boucle conductrice de surface
S
dans laquelle une
variation de flux magnétique dφ a lieu pendant le temps dt vaut :
(8) Vd
dt
ind
= −
φ
avec φ = ⋅ B S [φ] = Vs = Weber
Si
B
est perpendiculaire à la surface
(i. e.
B
//
S
), on peut écrire :
V N S dB
dt
ind
= − ⋅
où N est le nombre de spires.
SB
Vind
Figure 5