magnétique volume

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E8
HYSTERESIS ET LOI D'INDUCTION
I. INTRODUCTION
Cette expérience propose d'une part d'étudier les comportements d'éléments
ferromagnétiques soumis à des champs magnétiques, par l'analyse de leurs courbes
d'hystérésis. D'autre part, elle propose d'appliquer la loi d'induction dans le cas d'un tore.
II. THEORIES
L'aimantation M , dans la matière est due à l'existence de moments magnétiques atomiques
qui s'alignent dans une direction privilégiée sous l'action d'un champ magnétique. Ces
moments magnétiques sont formellement assimilables à des courants circulaires
électroniques internes.
Si n est le nombre de moments magnétiques par unité de volume et m le moment
magnétique moyen, l'aimantation s'exprime par M = n m .
On dit d'une substance qu'elle est paramagnétique, lorsque ses atomes ont un
moment
magnétique permanent qui s'oriente partiellement en présence d'un champ H externe
donnant lieu ainsi à une aimantation d'orientation. Une propriété générale de la matière est
le diamagnétisme où, dans ce cas, le champ externe induit un moment magnétique dû à la
perturbation de la trajectoire électronique dans les atomes. Il en résulte aussi une
aimantation mais de sens opposé au champ H . De manière générale, on peut exprimer le
champ d'induction B à l'intérieur de la matière par :
(1)
B = µ 0 ( H + M ) = µ 0 (1 + χ) H = µ 0 µ r H = µH
où
µo = 4π⋅10-7 [Vs/Am] est la perméabilité du vide
χ est la susceptibilité magnétique définie par M = χH
µr = 1 + χ est la perméabilité relative de la substance par rapport au
vide
µ = µoµr est la perméabilité de la substance (absolue)
Unités
MKSA
CGS
conversion MKSA → CGS
[H]
A/m
Oersted
1 [A/m] = 4π⋅10-3 [Oe]
[B]
Vs/m2 = Tesla
Gauss
1 [T] = 104 [G]
[M]
A/m
M n'a pas généralement tout à fait la même direction que H sauf dans le cas particulier des
corps isotropes.
Le tableau suivant donne quelques valeurs de la susceptibilité magnétique et de µr pour
différent éléments :
98
Diamagnétique
Paramagnétique
χ
µr
Bi
-17 10-5
0.99983
Cu
-1 10-5
0.99999
Al
2 10-5
1.00002
Pt
26 10-5
1.00026
Des phénomènes coopératifs d'orientation des moments, propres à certaines substances, les
rendent particulièrement magnétiques. C'est le cas, en particulier, des substances
ferromagnétiques qui se caractérisent par les propriétés suivantes :
- La susceptibilité magnétique χ = M / H est de l'ordre de 103 alors que dans les
substances paramagnétiques χ ~ 10-5. Les matériaux ferromagnétiques s'aimantent donc
très facilement.
- La relation entre M et H n'est plus linéaire.
- La relation entre M et H n'est plus univoque, l'échantillon présente des effets
d'hystérésis (Cf. figure 1).
- L'aimantation M dépend, non seulement de H , mais encore des traitements antérieurs
qu'a subi l'échantillon ("histoire") et elle persiste plus ou moins après la suppression du
champ H (aimant permanent).
M
Ms
Mr
-Hs
Hs
Hc
-M s
Figure 1
On définit les grandeurs suivantes :
H
99
Ms: aimantation de saturation pour H > Hs; Ms(H) = const.
Mr : aimantation rémanente (ou résiduelle) lorsque le champ H est ramené à 0.
Hc : champ coercitif = intensité du champ magnétique H inversé, nécessaire pour
annuler l'aimantation.
Hs : champ de saturation correspondant à Ms.
Il est évident que seules les substances composées au moins en partie d'atomes
paramagnétiques peuvent être ferromagnétiques. En outre, la caractéristique des
échantillons ferromagnétiques est l'existence de domaines (dits de Weiss) constitués par un
ensemble de moments magnétiques alignés dans la même direction :
H
H=0
Figure 2
Ce sont des moments résultants (flèches) de ces domaines qui ont tendance à s'aligner dans
la direction du champ appliqué, produisant ainsi une aimantation.
Cycle d'hystérésis
Si après avoir atteint Hs (cf. figure 1) on diminue H, la magnétisation ne suit pas la même
courbe qu'à l'aller, car les domaines de Weiss tendent à conserver leur orientation par suite
de tensions élastiques internes de l'échantillon. On comprend que pour parcourir un cycle
d'hystérésis, il faut fournir un certain travail (renversement et orientation des moments
magnétiques) qui se transforme en chaleur et échauffe la matière. Cette énergie est
proportionnelle à la surface du cycle SM.
(2)
E = Vm µ0 ∫ M ⋅ dH = µ 0 VmSM
avec
Vm = volume de matière
SM = ∫ M ⋅ dH = surface du cycle d'hystérésis
Si le cycle est parcouru à la fréquence ν, la puissance dissipée s'écrira :
(3)
P = µo VmSM ν
Ce qui signifie que si la fréquence du champ H alternatif dans lequel est plongé le
ferromagnétique est trop élevée, ce dernier va chauffer fortement.
100
En pratique on mesure B( H ) plutôt que M ( H ) et, par conséquent, la relation ci-dessus
devient :
(4)
avec
car
P = VmSB ν
SB = ∫ B ⋅ dH = µ0 ∫ H ⋅ dH + µ 0 ∫ M ⋅ dH = µ0SM
H
∫ ⋅ dH = 0 ( les intégrales sont évaluées sur le cycle complet)
Matériaux ferromagnétiques
Les éléments ayant un comportement ferromagnétique sont :
- le fer, le cobalt, le nickel et leurs alliages
- le gadolinium, le dysprosium (terres rares)
- certains composés tels que ferrites, magnétites, etc.
Les composés ferromagnétiques sont souvent classés en deux catégories : les matériaux
magnétiquement doux et les matériaux magnétiquement durs, dont les différentes
caractéristiques sont décrites ci-dessous :
Matériaux durs
Matériaux doux
M
M
H
H
- Cycle d’hystérésis large
- Cycle d’hystérésis étroit
- Grande aimantation rémanente.
- Hc > 10'000 A/m
- Hc < 1'000 A/m
Ils sont surtout utilisés pour la fabrication Ils sont utilisés dans les moteurs et les
d’aimants permanents.
circuits magnétiques des transformateurs.
Exemple : Sm-Co, Br=0.8T, Hc=500kA/m.
Exemple : FeSi, Br=1.4T, Hc= 8A/m
101
Champ produit par solénoïde
La valeur du champ H au centre d'un solénoïde mince de dimension d << L, dans lequel
passe un courant I, est donnée par :
L
(6)
H0 =
N ⋅I
( L + d 2 ) 1/ 2
2
d
N = nombre de spires
H0
Figure 3
Pour cette expérience, nous allons employer, comme circuit magnétique fermé, un tore.
Dans ce cas le champ magnétique H0 généré par N spires vaut :
H0 =
(7)
avec
N ⋅I
L
R+r
L = 2π
= circonférence moyenne du
2
tore.
r
R
d
S
S = d⋅(R - r) = section du tore.
Figure 4
N = nombre de spires bobinées sur le tore.
Loi d'induction
La tension induite aux bornes d'une boucle conductrice de surface S dans laquelle une
variation de flux magnétique dφ a lieu pendant le temps dt vaut :
Vind = −
(8)
dφ
dt
avec
φ = B⋅S
[φ] = Vs = Weber
Si B est
perpendiculaire à la surface
(i. e. B // S ), on peut écrire :
Vind = − N ⋅ S
dB
dt
S
où N est le nombre de spires.
Vind
Figure 5
B
102
Forme de la tension induite dans un tore
a) courant sinusoïdal :
I(t) = Io sin(ωt)
(9)
le champ B produit par la première bobine de N1 spires vaut :
B(t) = µ0µ r H(t) = µ 0µ r
(10)
N ⋅ I(t)
L
Le flux dans la deuxième bobine (bobine comportant n spires) est φ = n⋅S⋅B d'où :
(11)
Vind = −
dφ
N ⋅ n ⋅ S dI
N ⋅ n ⋅S
= −µ0µ r
⋅ = −µ0µ r
⋅ I0 ⋅ ω⋅ cos(ωt)
dt
L
dt
L
d'où la valeur de crête de la tension Vind, notée Vmax, est donnée par :
Vmax = µ 0µ r
(12)
N ⋅ n ⋅S
⋅ I0 ⋅ ω
L
b) courant triangulaire :
I(t)
I0
t
T
Figure 6
la tension induite Vind est alors donnée par :
(13)
Vind = 2µ0µ r
N ⋅ n ⋅S
⋅ I0 ⋅ ω
πL
III. DISPOSITIF EXPERIMENTAL
a) Mesure de la tension induite dans la bobine
Le schéma de cette mesure est présenté sur la figure 7. On utilise un oscilloscope pour
mesure les deux signaux.
sur le canal 1 :
la chute de tension aux bornes d'une résistance R de 51Ω afin de
connaître le courant dans la bobine d'excitation
sur le canal 2:
la tension induite dans la bobine de détection
103
Générateur
de
signaux
I
2
N1
N2
R=50Ω
1
Figure 7
b) Mesure de la courbe d'hystérésis à l'oscilloscope.
Le montage de la figure 8 se divise en 4 parties :
Ieff max. 1A
R1
Y2
A
x10
0-220 V
N
n Uind
C1
Us
x100
Uy
x1000
Rp
20 Ω
Y1
Ux
I
H
Figure 8
I. Création du champ magnétique H(t) = Ho sin(ωt) par le bobinage primaire.
L'ampèremètre permet de surveiller le courant afin de ne pas dépasser le maximum
admissible, soit 1 A.
La résistance Rp de 20 Ω donne une tension Ux(t) proportionnelle au courant
I(t) = Io sin(ωt). On obtient le champ magnétique par :
H(t) =
N ⋅ I(t) N ⋅ U x (t)
=
L
L⋅ R
et H max =
N
⋅U x
L⋅ R
max
Donc, en multipliant la tension Ux relevée sur l'oscilloscope par le coefficient N/(LR), on
obtient la valeur du champ H dans la bobine. Vérifier les unités.
104
II. Transformateur de mesure de forme torique.
III. L'intégration de la tension induite Uind se fait par un circuit intégrateur RC :
R
Uind
C
US
Figure 9
On a U S =
1
1
I dt ≅
U dt approximation correcte si RC >> T où T est la période
∫
C
R C ∫ ind
du signal. Dans le cas de la figure 9, on obtient :
US (t) =
1
U ind (t) dt
R1 ⋅ C1 ∫
d’où B(t) = −
R1 ⋅ C1
⋅ US (t)
n ⋅S
IV. On amplifie la tension Us par un facteur A = 10, 100 ou 1000 : Uy = A Us et on obtient:
B(t) = −
R1 ⋅ C1
⋅ U y (t)
n ⋅S⋅A
Donc en multipliant l'échelle verticale de l'oscilloscope par le facteur
R1 ⋅ C1
on obtient
n ⋅S ⋅ A
l'induction B.
IV. MANIPULATIONS
1. Réaliser le montage de la figure 7.
2. Mesurer la tension induite dans la bobine de détection pour un courant primaire
sinusoïdal d’une fréquence comprise entre 40 et 100Hz. On mesure le rapport entre Vmax
et Io et, à partir de l'équation (12), on en déduit µr.
3. Même manipulation avec un courant primaire triangulaire. On déduit µr en se servant de
l’équation (13).
4. Réaliser le montage de la figure 8.
5. Mesurer les courbes d'hystérésis B(H) des différents tores et calculer Hc, Hs, Bs et Br .