Opérations logiques non classiques - Notions de base

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Opérations logiques non classiques - Notions de base
Jacques Jayez, ENS de Lyon and L2C2
Cours Logique et Épistémologie, version du 10 novembre 2014
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
Z Une logique est non classique lorsque l’ensemble de ses théorèmes n’est
pas identique à celui de la logique classique ?
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
Z Une logique est non classique lorsque l’ensemble de ses théorèmes n’est
pas identique à celui de la logique classique ?
Z Problème 1 : si les logiques ont des objets différents, les différences entre
leurs stocks de théorèmes n’ont pas nécessairement d’intérêt.
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
Z Une logique est non classique lorsque l’ensemble de ses théorèmes n’est
pas identique à celui de la logique classique ?
Z Problème 1 : si les logiques ont des objets différents, les différences entre
leurs stocks de théorèmes n’ont pas nécessairement d’intérêt.
Z Problème 2 : si les logiques n’ont pas (tout à fait) des objets différents,
sont-elles en compétition ou sont-elles complémentaires ?
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
Z Une logique est non classique lorsque l’ensemble de ses théorèmes n’est
pas identique à celui de la logique classique ?
Z Problème 1 : si les logiques ont des objets différents, les différences entre
leurs stocks de théorèmes n’ont pas nécessairement d’intérêt.
Z Problème 2 : si les logiques n’ont pas (tout à fait) des objets différents,
sont-elles en compétition ou sont-elles complémentaires ?
Z Compétition : les logiques ont au moins un objet commun (et le décrivent
différemment).
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Introduction
Introduction I
Z Existe-t-il des logiques non classiques ?
Z La réponse à cette question n’est pas si facile qu’il y paraît . . .
Z Une logique est non classique lorsque l’ensemble de ses théorèmes n’est
pas identique à celui de la logique classique ?
Z Problème 1 : si les logiques ont des objets différents, les différences entre
leurs stocks de théorèmes n’ont pas nécessairement d’intérêt.
Z Problème 2 : si les logiques n’ont pas (tout à fait) des objets différents,
sont-elles en compétition ou sont-elles complémentaires ?
Z Compétition : les logiques ont au moins un objet commun (et le décrivent
différemment).
Z Complémentarité : les logiques visent différents objets d’une même famille
(laquelle ?).
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Introduction
Introduction II
Z Il semble que ce soit la complémentarité qui domine
constitue la famille ciblée par les logiques ?
qu’est-ce qui
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Introduction
Introduction II
Z Il semble que ce soit la complémentarité qui domine
qu’est-ce qui
constitue la famille ciblée par les logiques ?
Z Le raisonnement valide
quels sont les traits communs, reconnus par
toutes les/la plupart des logiques ?
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Introduction
Introduction II
Z Il semble que ce soit la complémentarité qui domine
qu’est-ce qui
constitue la famille ciblée par les logiques ?
Z Le raisonnement valide
quels sont les traits communs, reconnus par
toutes les/la plupart des logiques ?
1. Caractère explicite (pas d’étapes cachées ou « magiques »).
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Introduction
Introduction II
Z Il semble que ce soit la complémentarité qui domine
qu’est-ce qui
constitue la famille ciblée par les logiques ?
Z Le raisonnement valide
quels sont les traits communs, reconnus par
toutes les/la plupart des logiques ?
1. Caractère explicite (pas d’étapes cachées ou « magiques »).
2. Conservation du degré de certitude ou d’engagement (le vrai ne conduit pas au
faux, le probable à l’improbable, l’accepté à l’hypothétique, etc.).
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Introduction
Introduction II
Z Il semble que ce soit la complémentarité qui domine
qu’est-ce qui
constitue la famille ciblée par les logiques ?
Z Le raisonnement valide
quels sont les traits communs, reconnus par
toutes les/la plupart des logiques ?
1. Caractère explicite (pas d’étapes cachées ou « magiques »).
2. Conservation du degré de certitude ou d’engagement (le vrai ne conduit pas au
faux, le probable à l’improbable, l’accepté à l’hypothétique, etc.).
3. Caractère déterministe ou statistiquement contrôlé (équations, algorithmes
bornés) de toutes les étapes.
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Introduction
Introduction I
Z Thème de ces notes : présenter quelques opérations non classiques
discrètes et déterministes (pas de probabilités ou d’induction).
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Introduction
Introduction I
Z Thème de ces notes : présenter quelques opérations non classiques
discrètes et déterministes (pas de probabilités ou d’induction).
Z Limites : approche uniquement sémantique (modale), pas de présentation
des logiques paraconsistantes, présentation sommaire des modalités.
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Introduction
Introduction I
Z Thème de ces notes : présenter quelques opérations non classiques
discrètes et déterministes (pas de probabilités ou d’induction).
Z Limites : approche uniquement sémantique (modale), pas de présentation
des logiques paraconsistantes, présentation sommaire des modalités.
Z Point de vue adopté : les propriétés informationnelles (Restall 2000, chap.
11).
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Introduction
Introduction I
Z Thème de ces notes : présenter quelques opérations non classiques
discrètes et déterministes (pas de probabilités ou d’induction).
Z Limites : approche uniquement sémantique (modale), pas de présentation
des logiques paraconsistantes, présentation sommaire des modalités.
Z Point de vue adopté : les propriétés informationnelles (Restall 2000, chap.
11).
Z Abréviations : LC = logique classique, LNC = logique non classique, LI =
logique intuitionniste, LP = logique pertinente, LL = logique linéaire.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
Z Un état d’information est un ensemble d’alternatives : s1 & s2 = toutes les
alternatives de s1 sont dans s2 .
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
Z Un état d’information est un ensemble d’alternatives : s1 & s2 = toutes les
alternatives de s1 sont dans s2 .
Z Degré/quantité d’information correspond à la quantité/proportion de
situations/alternatives exclues.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
Z Un état d’information est un ensemble d’alternatives : s1 & s2 = toutes les
alternatives de s1 sont dans s2 .
Z Degré/quantité d’information correspond à la quantité/proportion de
situations/alternatives exclues.
Z Un état est d’autant plus informatif qu’il exclut plus d’alternatives.
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
Z Un état d’information est un ensemble d’alternatives : s1 & s2 = toutes les
alternatives de s1 sont dans s2 .
Z Degré/quantité d’information correspond à la quantité/proportion de
situations/alternatives exclues.
Z Un état est d’autant plus informatif qu’il exclut plus d’alternatives.
Z L’ensemble de toutes les alternatives est , l’ensemble vide est . = zéro
information, = information maximale.
á
ã
áã
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La LC
LC II
Z L’espace informationnel de la logique classique.
Z L’ensemble des alternatives maximales-consistantes.
Z Alternative max-cons. = ensemble maximal de formules sans contradiction,
on n’a jamais A et A dans l’alternative.
Z Un état d’information est un ensemble d’alternatives : s1 & s2 = toutes les
alternatives de s1 sont dans s2 .
Z Degré/quantité d’information correspond à la quantité/proportion de
situations/alternatives exclues.
Z Un état est d’autant plus informatif qu’il exclut plus d’alternatives.
Z L’ensemble de toutes les alternatives est , l’ensemble vide est . = zéro
information, = information maximale.
Z On désigne par A l’ensemble des alternatives auxquelles A appartient.
á
ã
áã
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
Z Variante 1 : une alternative est un ensemble max-cons de formules
atomiques.
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
Z Variante 1 : une alternative est un ensemble max-cons de formules
atomiques.
Z A rs " S s Ax.
ì
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
Z Variante 1 : une alternative est un ensemble max-cons de formules
atomiques.
Z A rs " S s Ax.
Z Variante 2 : une alternative est un ensemble max-cons de formules, avec
saturation (s
A & B si s
A et s
B, etc.).
ì
ð
ð
ð
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
Z Variante 1 : une alternative est un ensemble max-cons de formules
atomiques.
Z A rs " S s Ax.
Z Variante 2 : une alternative est un ensemble max-cons de formules, avec
saturation (s
A & B si s
A et s
B, etc.).
Z Par définition, A " s ssi s
A.
ì
ð
ð
ð
ð
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La LC
LC III
Z Il y a deux variantes de présentation pour les alternatives.
Z Variante 1 : une alternative est un ensemble max-cons de formules
atomiques.
Z A rs " S s Ax.
Z Variante 2 : une alternative est un ensemble max-cons de formules, avec
saturation (s
A & B si s
A et s
B, etc.).
Z Par définition, A " s ssi s
A.
Z Il n’y a aucune différence fondamentale entre ces deux variantes.
ì
ð
ð
ð
ð
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La LC
LC IV
Z Statut de la négation, si S est l’ensemble des alternatives, A est
l’ensemble des alternatives où l’on n’a pas A, ou, plus précisément,
A rs " S A Š sx.
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La LC
LC IV
Z Statut de la négation, si S est l’ensemble des alternatives, A est
l’ensemble des alternatives où l’on n’a pas A, ou, plus précisément,
A rs " S A Š sx.
Z Statut de l’implication : A
B ssi A & B.
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La LC
LC IV
Z Statut de la négation, si S est l’ensemble des alternatives, A est
l’ensemble des alternatives où l’on n’a pas A, ou, plus précisément,
A rs " S A Š sx.
Z Statut de l’implication : A
B ssi A & B.
Z L’affaiblissement gauche (ou monotonie) : si Γ
B, Γ, A
B pour
n’importe quelle A. Pourquoi ?
à
à
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La LC
LC IV
Z Statut de la négation, si S est l’ensemble des alternatives, A est
l’ensemble des alternatives où l’on n’a pas A, ou, plus précisément,
A rs " S A Š sx.
Z Statut de l’implication : A
B ssi A & B.
Z L’affaiblissement gauche (ou monotonie) : si Γ
B, Γ, A
B pour
n’importe quelle A. Pourquoi ?
Z Si Γ & B, Γ = A & B.
à
à
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La LC
LC IV
Z Statut de la négation, si S est l’ensemble des alternatives, A est
l’ensemble des alternatives où l’on n’a pas A, ou, plus précisément,
A rs " S A Š sx.
Z Statut de l’implication : A
B ssi A & B.
Z L’affaiblissement gauche (ou monotonie) : si Γ
B, Γ, A
B pour
n’importe quelle A. Pourquoi ?
Z Si Γ & B, Γ = A & B.
Z Caractère statique de la LC : A & A
A, A
A & A. A A & A
A = A.
à
à
à
à
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
Z La conjonction multiplicative (logique linéaire, Girard 1987) ou fusion
(logique pertinente)
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
Z La conjonction multiplicative (logique linéaire, Girard 1987) ou fusion
(logique pertinente)
Z A i A (LL) ou A ` A signifie réellement deux fois A (et pas A). On n’a pas
A i A A ou A ` A A.
à
à
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
Z La conjonction multiplicative (logique linéaire, Girard 1987) ou fusion
(logique pertinente)
Z A i A (LL) ou A ` A signifie réellement deux fois A (et pas A). On n’a pas
A i A A ou A ` A A.
Z Si ` est interprétée comme la concaténation, on a que le type d’une chaîne
X suivie de la même chaîne (X ; X ) n’est pas (forcément) le type de la chaîne
toute seule : si X
A, X ; X
A ` A et A ` A © A.
à
à
à
à
à
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
Z La conjonction multiplicative (logique linéaire, Girard 1987) ou fusion
(logique pertinente)
Z A i A (LL) ou A ` A signifie réellement deux fois A (et pas A). On n’a pas
A i A A ou A ` A A.
Z Si ` est interprétée comme la concaténation, on a que le type d’une chaîne
X suivie de la même chaîne (X ; X ) n’est pas (forcément) le type de la chaîne
toute seule : si X
A, X ; X
A ` A et A ` A © A.
Z La négation de la logique intuitionniste LI : LI A est vraie en s ssi, pour
¬
¬
tout point d’information s plus précis que s, s © A.
à
à
à
à
à
ð
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La LC
LNC I
Z Les LNC peuvent être très différentes. En général, elles gardent les
connecteurs de la LC, mais ajoutent des connecteurs/modalités différents.
Quelques exemples.
Z La conjonction multiplicative (logique linéaire, Girard 1987) ou fusion
(logique pertinente)
Z A i A (LL) ou A ` A signifie réellement deux fois A (et pas A). On n’a pas
A i A A ou A ` A A.
Z Si ` est interprétée comme la concaténation, on a que le type d’une chaîne
X suivie de la même chaîne (X ; X ) n’est pas (forcément) le type de la chaîne
toute seule : si X
A, X ; X
A ` A et A ` A © A.
Z La négation de la logique intuitionniste LI : LI A est vraie en s ssi, pour
¬
¬
tout point d’information s plus précis que s, s © A.
¬
Z Conséquence : si s © A et s’il existe s plus précis que s tel que s
A, on
a s © A1 LI A.
à
à
à
ð
à
ð
à
ð
ð
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La LC
LNC II
Z La modalité ! en LL : sert à simuler la répétition classique ou intuitionniste.
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La LC
LNC II
Z La modalité ! en LL : sert à simuler la répétition classique ou intuitionniste.
Z Γ, !A B, on peut utiliser A 0 fois ou plus pour construire une preuve de
B à partir de Γ (et A si A est utilisée au moins une fois).
à
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La LC
LNC II
Z La modalité ! en LL : sert à simuler la répétition classique ou intuitionniste.
Z Γ, !A B, on peut utiliser A 0 fois ou plus pour construire une preuve de
B à partir de Γ (et A si A est utilisée au moins une fois).
à
à
à
Γ, A à Σ
Γ, !A à Σ
Γ Σ
Γ, !A Σ
!W
!D
à
à
Γ, !A, !A Σ
Γ, !A Σ
!Γ
!Γ
à A, ?Σ
à!A, ?Σ
!C
!S
(W = Weakening, C = Contraction, D = dereliction, S = Storage)
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La LC
LNC II
Z La modalité ! en LL : sert à simuler la répétition classique ou intuitionniste.
Z Γ, !A B, on peut utiliser A 0 fois ou plus pour construire une preuve de
B à partir de Γ (et A si A est utilisée au moins une fois).
à
à
à
Γ, A à Σ
Γ, !A à Σ
Γ Σ
Γ, !A Σ
!W
!D
à
à
Γ, !A, !A Σ
Γ, !A Σ
!Γ
!Γ
à A, ?Σ
à!A, ?Σ
!C
!S
(W = Weakening, C = Contraction, D = dereliction, S = Storage)
Z L’affaiblissement et la contraction sont restreintes aux formules pour
lesquelles la répétition est libre (pas de parcimonie).
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La LC
LNC II
Z La modalité ! en LL : sert à simuler la répétition classique ou intuitionniste.
Z Γ, !A B, on peut utiliser A 0 fois ou plus pour construire une preuve de
B à partir de Γ (et A si A est utilisée au moins une fois).
à
à
à
Γ, A à Σ
Γ, !A à Σ
Γ Σ
Γ, !A Σ
!W
!D
à
à
Γ, !A, !A Σ
Γ, !A Σ
!Γ
!Γ
à A, ?Σ
à!A, ?Σ
!C
!S
(W = Weakening, C = Contraction, D = dereliction, S = Storage)
Z L’affaiblissement et la contraction sont restreintes aux formules pour
lesquelles la répétition est libre (pas de parcimonie).
Z La règle de déréliction dit que si A est une prémisse pertinente, sa
répétition est autorisée. La règle de storage dit que, si on a obtenu A sans
se limiter sur les prémisses, on n’a pas à se limiter sur les conclusions en
A.
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La LC
LNC III
Z L’espace informationnel des LNC avec distribution
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La LC
LNC III
Z L’espace informationnel des LNC avec distribution
Z Un espace informationnel P est un couple P, F, où les éléments de P
(x, y, etc.) sont des états d’information et F une relation informationnelle
(x F y peut se lire comme y complète x.)
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La LC
LNC III
Z L’espace informationnel des LNC avec distribution
Z Un espace informationnel P est un couple P, F, où les éléments de P
(x, y, etc.) sont des états d’information et F une relation informationnelle
(x F y peut se lire comme y complète x.)
Z Les états d’information sont donc des points dans les LNC alors que ce
sont des ensembles de points en LC.
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La LC
LNC III
Z L’espace informationnel des LNC avec distribution
Z Un espace informationnel P est un couple P, F, où les éléments de P
(x, y, etc.) sont des états d’information et F une relation informationnelle
(x F y peut se lire comme y complète x.)
Z Les états d’information sont donc des points dans les LNC alors que ce
sont des ensembles de points en LC.
Z F est réflexive, transitive et antisymétrique : x F x, si x F y et y F z, x F z,
si x F y et y F x, x y.
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La LC
LNC III
Z L’espace informationnel des LNC avec distribution
Z Un espace informationnel P est un couple P, F, où les éléments de P
(x, y, etc.) sont des états d’information et F une relation informationnelle
(x F y peut se lire comme y complète x.)
Z Les états d’information sont donc des points dans les LNC alors que ce
sont des ensembles de points en LC.
Z F est réflexive, transitive et antisymétrique : x F x, si x F y et y F z, x F z,
si x F y et y F x, x y.
Z Une proposition est un sous-ensemble de P fermé pour F : si X L P est une
¬ ¬
proposition, alors si x " X et x F x , x " X .
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La LC
LNC IV
Z L’intuition derrière cette définition est : x F x ¬ signifie que x ¬ contient au
moins autant d’information que x et conserve toute l’information de x.
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La LC
LNC IV
Z L’intuition derrière cette définition est : x F x ¬ signifie que x ¬ contient au
moins autant d’information que x et conserve toute l’information de x.
Z En LC, l’information totale
est au moins aussi précise que n’importe
quelle autre information, donc x F pour tout x.
á
á
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La LC
LNC IV
Z L’intuition derrière cette définition est : x F x ¬ signifie que x ¬ contient au
moins autant d’information que x et conserve toute l’information de x.
Z En LC, l’information totale
est au moins aussi précise que n’importe
quelle autre information, donc x F pour tout x.
Z On définit ensuite sur P un certain nombre de relations entre les éléments
de P (relations d’accessibilité).
á
á
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La LC
LNC IV
Z L’intuition derrière cette définition est : x F x ¬ signifie que x ¬ contient au
moins autant d’information que x et conserve toute l’information de x.
Z En LC, l’information totale
est au moins aussi précise que n’importe
quelle autre information, donc x F pour tout x.
Z On définit ensuite sur P un certain nombre de relations entre les éléments
de P (relations d’accessibilité).
Z Enfin, on stipule que les propositions atomiques peuvent être acceptées (
vérifiées) par les points (= états d’information) de P, ce qui est noté x
p.
á
á
ð
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La LC
LNC V
Z Trois types de relations d’accessibilité sont mobilisées.
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La LC
LNC V
Z Trois types de relations d’accessibilité sont mobilisées.
1. La relation classique utilisée en logique modale : xSy signifie que y est un
état d’info. compatible avec le point de vue x.
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La LC
LNC V
Z Trois types de relations d’accessibilité sont mobilisées.
1. La relation classique utilisée en logique modale : xSy signifie que y est un
état d’info. compatible avec le point de vue x.
Z Une proposition est nécessaire du point de vue de x = elle est vraie dans
tous les états compatibles avec ce qui est nécessaire du point de vue de x.
x
uA ssi, pour tout y tel que xSy, y
A.
ð
ð
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La LC
LNC V
Z Trois types de relations d’accessibilité sont mobilisées.
1. La relation classique utilisée en logique modale : xSy signifie que y est un
état d’info. compatible avec le point de vue x.
Z Une proposition est nécessaire du point de vue de x = elle est vraie dans
tous les états compatibles avec ce qui est nécessaire du point de vue de x.
x
uA ssi, pour tout y tel que xSy, y
A.
Z Remarque : il est possible définir une accessibilité gauche pour u.
x
wA ssi, pour tout y tel que ySx, y
A.
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC VI
Z Il existe également une relation utilisée pour les modalités négatives, et
notée C (compatibilité). xCy signifie que x ne rejette rien de ce que y
accepte.
Donc, si y
A ou bien x
A ou bien x
A et x A, où est une
négation non classique.
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC VI
Z Il existe également une relation utilisée pour les modalités négatives, et
notée C (compatibilité). xCy signifie que x ne rejette rien de ce que y
accepte.
Donc, si y
A ou bien x
A ou bien x
A et x A, où est une
négation non classique.
Z Interaction entre C et F :
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC VI
Z Il existe également une relation utilisée pour les modalités négatives, et
notée C (compatibilité). xCy signifie que x ne rejette rien de ce que y
accepte.
Donc, si y
A ou bien x
A ou bien x
A et x A, où est une
négation non classique.
Z Interaction entre C et F :
¬
¬
1. si x F x et xCy, x Cy,
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC VI
Z Il existe également une relation utilisée pour les modalités négatives, et
notée C (compatibilité). xCy signifie que x ne rejette rien de ce que y
accepte.
Donc, si y
A ou bien x
A ou bien x
A et x A, où est une
négation non classique.
Z Interaction entre C et F :
¬
¬
1. si x F x et xCy, x Cy,
¬
¬
2. si y F y et xCy, xCy .
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
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La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
1. x
ð A & B ssi x ð A et x ð B.
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La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
1. x
2. x
ð A & B ssi x ð A et x ð B.
ð A 1 B ssi x ð A ou x ð B.
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La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
1. x
2. x
3. x
ð A & B ssi x ð A et x ð B.
ð A 1 B ssi x ð A ou x ð B.
ð A ssi x ð© A.
14/ 23
La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
1. x
2. x
3. x
ð A & B ssi x ð A et x ð B.
ð A 1 B ssi x ð A ou x ð B.
ð A ssi x ð© A.
Z Les conditions de vérité de ces connecteurs sont locales.
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La LC
LNC VII
Z On regarde les connecteurs classiques, qui ont les définitions suivantes.
1. x
2. x
3. x
ð A & B ssi x ð A et x ð B.
ð A 1 B ssi x ð A ou x ð B.
ð A ssi x ð© A.
Z Les conditions de vérité de ces connecteurs sont locales.
Z Il est possible de définir classiquement au moins un opérateur non local :
la nécessité, N, avec N A ¾x x
A, et son dual P
N _.
ð
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La LC
LNC VIII
Z Les états n’obéissent pas forcément aux contraintes de la logique
classique.
15/ 23
La LC
LNC VIII
Z Les états n’obéissent pas forcément aux contraintes de la logique
classique.
Z Contrainte sur : un état accepte A ssi aucun état avec lequel il est
compatible n’accepte A.
15/ 23
La LC
LNC VIII
Z Les états n’obéissent pas forcément aux contraintes de la logique
classique.
Z Contrainte sur : un état accepte A ssi aucun état avec lequel il est
compatible n’accepte A.
Z Un état n’est pas forcément compatible avec lui-même : si x
A et x A,
xC
© x
ð
ð
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La LC
LNC VIII
Z Les états n’obéissent pas forcément aux contraintes de la logique
classique.
Z Contrainte sur : un état accepte A ssi aucun état avec lequel il est
compatible n’accepte A.
Z Un état n’est pas forcément compatible avec lui-même : si x
A et x A,
xC
© x
ð
ð
Exemple : Restall (2000), p. 239
¬ ¬ ¬
b
A, rien d’autre n’accepte A. Donc a, c, b , a , c © A.
Donc : a A, b A et b
A & A.
¬ A. Par ailleurs b A et b¬ Cb, donc b¬ A.
b
¬ A1 A
Donc b
ð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
c
b
F
F
F
C
C
a
a
C
C
b
¬
¬
F
c
C
¬
16/ 23
La LC
LNC IX
Z On impose maintenant des contraintes sur les relations d’accessibilité
dont on se sert pour définir les opérations non classiques.
16/ 23
La LC
LNC IX
Z On impose maintenant des contraintes sur les relations d’accessibilité
dont on se sert pour définir les opérations non classiques.
Z S est positive = si xSy, x ¬ F x, y F y¬ et xSy, alors x ¬ Sy¬ = tous les états qui
complètent un état accessible depuis x sont accessibles depuis tout état
que x complète.
16/ 23
La LC
LNC IX
Z On impose maintenant des contraintes sur les relations d’accessibilité
dont on se sert pour définir les opérations non classiques.
Z S est positive = si xSy, x ¬ F x, y F y¬ et xSy, alors x ¬ Sy¬ = tous les états qui
complètent un état accessible depuis x sont accessibles depuis tout état
que x complète.
¬ ¬
Z Motivation : si x ¬
uA, x
uA. Si xSy, y
A et donc, si y F y , y
A.
ð
ð
ð
ð
16/ 23
La LC
LNC IX
Z On impose maintenant des contraintes sur les relations d’accessibilité
dont on se sert pour définir les opérations non classiques.
Z S est positive = si xSy, x ¬ F x, y F y¬ et xSy, alors x ¬ Sy¬ = tous les états qui
complètent un état accessible depuis x sont accessibles depuis tout état
que x complète.
¬ ¬
Z Motivation : si x ¬
uA, x
uA. Si xSy, y
A et donc, si y F y , y
A.
ð
ð
ð
y
ð
¬
y
F
x
y
F
x
S
F
F
S
¬
x
x
S
¬
¬
y
17/ 23
La LC
LNC X
Z Cela n’implique pas qu’un état accessible depuis un état x ¬ complété par x
soit accessible depuis x.
17/ 23
La LC
LNC X
Z Cela n’implique pas qu’un état accessible depuis un état x ¬ complété par x
soit accessible depuis x.
¬
¬
Z Si x ¬
uA , x
uA et y
A, mais si x
uB, il est possible que x
uB
¬
et que y
B
ð
ð
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC X
Z Cela n’implique pas qu’un état accessible depuis un état x ¬ complété par x
soit accessible depuis x.
¬
¬
Z Si x ¬
uA , x
uA et y
A, mais si x
uB, il est possible que x
uB
¬
et que y
B
ð
ð
ð
ð
x
x
©
F
x
¬
ð
ð
S
y
¬
F
S
¬
S
x
y
¬
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La LC
LNC XI
Z S est négative = si xCy, x ¬ F x et y¬ F y, alors x ¬ Cy¬ = pour tout état x, tout
état complété par x est compatible avec tout état complété par un état
compatible avec x.
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La LC
LNC XI
Z S est négative = si xCy, x ¬ F x et y¬ F y, alors x ¬ Cy¬ = pour tout état x, tout
état complété par x est compatible avec tout état complété par un état
compatible avec x.
Z Motivation : si x ne rejette rien de ce que y accepte et si x et y complètent
¬
¬ ¬
¬
¬ A,
respectivement x et y , x ne rejette rien de ce que y accepte (si x
¬
x A, donc y
A, donc y
A).
ð
ð
ð
ð
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La LC
LNC XI
Z S est négative = si xCy, x ¬ F x et y¬ F y, alors x ¬ Cy¬ = pour tout état x, tout
état complété par x est compatible avec tout état complété par un état
compatible avec x.
Z Motivation : si x ne rejette rien de ce que y accepte et si x et y complètent
¬
¬ ¬
¬
¬ A,
respectivement x et y , x ne rejette rien de ce que y accepte (si x
¬
x A, donc y
A, donc y
A).
ð
ð
ð
ð
x
C
y
F
F
¬
y
x
¬
x
C
F
x
¬
y
F
C
y
¬
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La LC
LNC XII
Z On définit enfin une relation R à trois places : si Rxyz, x ¬
¬
¬ ¬ ¬
z F z , alors Rx y z .
F x, y¬ F y et
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La LC
LNC XII
Z On définit enfin une relation R à trois places : si Rxyz, x ¬ F x, y¬
¬
¬ ¬ ¬
z F z , alors Rx y z .
¬
Z Motivation : Rxyz signifie que si x
A
B et y
A, z
B. Si x
¬
¬
¬
x
A
B, si y
A, y
A, donc z
B. Puisque z F z , z
B.
ð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
ð
F y et
ðA
B,
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La LC
LNC XII
Z On définit enfin une relation R à trois places : si Rxyz, x ¬ F x, y¬
¬
¬ ¬ ¬
z F z , alors Rx y z .
¬
Z Motivation : Rxyz signifie que si x
A
B et y
A, z
B. Si x
¬
¬
¬
x
A
B, si y
A, y
A, donc z
B. Puisque z F z , z
B.
ð
ð
ð
ð
ð
ð
x
x
R
R
R
F
y
F
R
x
¬
z
G
R
F
y
¬
z
¬
F
y
¬
z
R
x
¬
R
y
ð
G
R
R
z
¬
ð
F y et
ðA
B,
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La LC
Opérations XIII
Z x
ð
uA
ssi, si xSy, y
ð A.
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La LC
Opérations XIII
ð
ð
ð
Z x
uA ssi, si xSy, y
A.
Z x A ssi, si xCy, y
A.
un état accepte A ssi aucun état compatible avec lui n’accepte A.
ð
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La LC
Opérations XIII
ð
ð
ð
ð
Z x
uA ssi, si xSy, y
A.
Z x A ssi, si xCy, y
A.
un état accepte A ssi aucun état compatible avec lui n’accepte A.
Z x
A
B ssi, si Rxyz et y
A, z
B.
ð
ð
ð
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La LC
Opérations XIII
ð
ð
ð
ð
ð
Z x
uA ssi, si xSy, y
A.
Z x A ssi, si xCy, y
A.
un état accepte A ssi aucun état compatible avec lui n’accepte A.
Z x
A
B ssi, si Rxyz et y
A, z
B.
Z x
A ` B ssi il existe y et z tels que Ryzx, y
A et z
B.
ð
ð
ð
ð
ð
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
Z En physique, un espace de phases est la collection des états d’un système
défini par certaines variables.
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
Z En physique, un espace de phases est la collection des états d’un système
défini par certaines variables.
Z Ici, on part d’un ensemble muni d’une opération binaire associative et
commutative (un monoïde commutatif) : M, i.
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
Z En physique, un espace de phases est la collection des états d’un système
défini par certaines variables.
Z Ici, on part d’un ensemble muni d’une opération binaire associative et
commutative (un monoïde commutatif) : M, i.
Z On pose l’existence d’un sous-ensemble de M, , l’ensemble des états
absurdes.
á
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
Z En physique, un espace de phases est la collection des états d’un système
défini par certaines variables.
Z Ici, on part d’un ensemble muni d’une opération binaire associative et
commutative (un monoïde commutatif) : M, i.
Z On pose l’existence d’un sous-ensemble de M, , l’ensemble des états
absurdes.
Z X ` Y rm " M ¾n " X m i n " Y x
á
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Logique linéaire (LL)
LL I
Z La sémantique proposée par Girard (1987, 1995) pour la LL utilise la
notion d’espace de phase.
Z En physique, un espace de phases est la collection des états d’un système
défini par certaines variables.
Z Ici, on part d’un ensemble muni d’une opération binaire associative et
commutative (un monoïde commutatif) : M, i.
Z On pose l’existence d’un sous-ensemble de M, , l’ensemble des états
absurdes.
Z X ` Y rm " M ¾n " X m i n " Y x
Z Ou, dans le style des définitions précédentes :
X ` Y rm " M ¾n n
X
m in
Y x
á
ð ð
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Logique linéaire (LL)
LL II
Z Pour chaque sous-ensemble X de M, on définit l’état orthogonal X á á
par X X ` .
C’est l’ensemble des points (états) de M tels qu’ils produisent l’absurdité
lorsqu’on les applique à X .
á
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Logique linéaire (LL)
LL II
Z Pour chaque sous-ensemble X de M, on définit l’état orthogonal X á á
par X X ` .
C’est l’ensemble des points (états) de M tels qu’ils produisent l’absurdité
lorsqu’on les applique à X .
á
Z Un fait est tout état X tel que X áá X .
C’est-à-dire tout état X tel que X ` ` á
á
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Logique linéaire (LL)
Références
Girard, Jean-Yves (1987). Linear logic. Theoretical Computer Science 50, 1-102.
Girard, Jean-Yves (1987). Linear logic : Its syntax and semantics, in Girard,
Jean Yves, Lafont, Yves et Regnier, Laurent (éds) (1995), Advances in Linear
Logics, Cambridge : Cambridge University Press, 1–42.
Restall, Greg (2000). An Introduction to Substructural Logics. Londres :
Routledge.