Compositeurs et analyseurs

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M. L AZARD
Compositeurs et analyseurs
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 9 (1955-1956), exp. no 5, p. 1-7
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1955-1956__9__A3_0>
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5-01
Faculté
de Paris
des Sciences
5 décembre 1955
Séminaire P. DUBREIL et C. PISOT
(ALGÈBRE
et
THÉORIE
n~ 5
Exposé
NOMBRES)
DES
1955/1956
Année
COMPOSITEURS et ANALYSEURS.
par M. LAZARD.
t.-
Compositeurs.
Si
M
est
ments dans
tésien de
M
n
a.
~,
ge~ nous dirons
f
ensemble
quelconque, nous appellerons fonction de n arguune application
f s M 2014~. M ~ où 1’~ désigne le produit carensembles égaux à M . La valeur prise par f pour une famille
un
... ~
f M
a
.
.-.
~
e(M),
n?-L
définis par
e~
i doit vérifier
~(a~1 , i ~
M
lieu de "la fonction
sera
composée
fonction
ou
... ,
~-
généralisation
M
y
plus simplement,
a~)
=
a~
e..
n~i
pour tous
? (M) .
noté
notée
sera
a~ ,
les éL éments
.~
~
de Fn
M . L’entier
a~
o
n .
naturelle de la notion de
dans lui-même est la
demi-groupe d’applications
suivante ; on prend dans chaque y(M)
partie E~ ~ et on considère la suite
laquelle on impose deux conditions : 1°) chaque
(I ~ i ,( n) ? 2o) si ~
g~ ~ , g~.
de
au
plusieurs arguments dans M : si
une
Par
"
abus de
g~) .
Nous noterons
d’un ensemble
arguments dans
g~ ~
~"~ ?
Une
n
a ).
3
x)
... ~
composer les fonctions de
f ~
~(ël
...
°
parfois ~la fonction
" . L’ensemble des fonctions de
On
notée
sera
abstraction~ on parvient à
"abstrait"). Il faut
E
E~
e
f(g~ , .~~ g~) ~ E~ .
alors
la notion de compositeur
alors
axiome pour
un
à
(E ) .
contient les
(tout
assurer
comme
à celle
"l’associativité
de la composition".
Définition ~
Un
compositeur
E
est constitué par la
donnée
s
1°) d’une suite d’ensembles (E ) , n 1, 2....
~
n
2°) d’une famille distingués
e . (- E , pour 1
=
o
~
201420142014201420142014.2014.20142014
3°)
1~ m p
d’une famille d’applications Tm,n :
t
°
°
°
~
i
n
Em~ Fm(En), définies pour
assujettis à vérifier les deux axiomes suivants :
0153 ;
fm) = fi ,
(Tm,n em,i)(f1 ,
en,n) = f ,
(T n,n f)(e n, 1,
(02)
et
pourtous
... ,
En .
e o e 9
(Cl)
L’axiome
d’associativité }
est l’axiome
"éléments neutres" Dorénavant,
dire que nous écrirons
g)
qu’un compositeur E
~
a une famille d° application ~’
En
n
suivantes ~ 1°) à la composition dans
dans M 9 2°) aux éléments distingués
Nous dirons
de même
nom
e
alors 03C4n(f g1 , . , gm)
Nous
nous
permettrons de
(E )
=
opère sur
; fn (M)
c’est-à-
e .
si
de
E
f E
Em
...
... , gm)
.
conditions
aux
composition des fonctions
correspondent les fonctions
la
et
En 9
g1 , ... , gm ~
et
03C4ngm) ,
,
si l’on
M
ensemble
un
satisfaisant
correspond
E
(03C4mf )(03C4n g1 ,
=
est l’axiome des
de (T
lieu
au
précisément:
M Plus
dans
(C2)
l’axiome
supprimerons les signes
nous
e
fm. ~ En ,
... ,
03C4n
e.
e=
e
plus expliciter les définitions aussi naturelles.
ne
peut définir la représentation régulière d’un compositeur par un procédé
de "dédoublement" analogue à celui utilisé pour la représentation régulière des
groupes et des algèbres. Soit E = (E ) un compositeur. Nous pouvons considérer
des applications
s
pour p q , en posant
~
On
biunivoques 03C0pq:
=
f(xl ’
f(eq,1 ,
... ,
pour f E
... , eq,p)
x)
la
Eq
M
opérer E sur
représentation régulière
faisons
tibles
On
avec
la
une
M
de
et stable pour la
On
famille
définit
un
=
formons
nous
E .
e
un
homomorphisme
en
F ~"~
En p
t~~ r
s
E ~
F
de deux
qui sont compacorrespondance les éléments distingués.
d’applications 03C6n : En
et mettent
Fn
considère
applications 03C0pq
E
~
Fn
0
définit la notion de sous-compositeur
la famille des ensembles
on
et
pour les
P
d’une manière naturelle n nous obtenons ainsi
famille
composition
dit :
x1 , ... , xp, ... , xq) ;
des ensembles
On définit d’une manière naturelle
compositeurs:i c’est
( autrement
E
fonction de
comme une
alors la limite inductive
nous
Ep
F
d’un
compositeur E
supposée contenir les éléments
~ c’est
distingués,
composition.
système
de
d’ensembles An ~ En,
générateurs A
tels
que
E
d’un
compositeur E comme une
soit le seul sous-compositeur de
E
qui contienne A.
A
Soit
=
(A )
compositeur libre E engendré
suite d’ensembles. Un
une
compositeur admettant A comme système de générateurs, et tel
que pour tout compositeur F et toute application 03C6 : A ~ F (c’est-à-dire
par
A
est
pour toute
un
prolongeant
03C6
~
F)s
nissant des iimots"’ et
compositeur
un
en
il existe
homomorphisme lU :
un
E
~ F
est nécessairement unique.
L’homomorphisme
.
peut construire
On
A
famille (():
libre
demi-groupe libre
naturelle de "longueur"
comme un
introduisant la notion
peut alors être défini
en
défi-
d’un mot.
générateurset de
relations entre ces générateurs : on se donne un système de générateurs, et des
égalités entre "mots" en ces générateurs, qui engendrent une relation d’équivaTout
E
compositeur
lence compatible
générateurs
en
Exemple s
avec
la
composition
dans le
au
moyen de
compositeur libre engendré par les
questiono
on
prend
x ) 9 x3)
comme
générateur
f ~x ~ x ) ) o
=
f ~
E29
et
comme
relation
On obtient ainsi le
compositeur des
demi-groupes.
peut considérer que les ensembles sur lesquels opère
un compositeur
E donné appartiennent tous à une même espèce de structure algébrique. Les opérations (lois de compositions) de l’espèce considérée correspon-
généralement,
Plus
dent à
on
système de générateurs du compositeur E ; les restions entre ces
générateurs se traduisent par des identités génériques (c’est-à-dire valables
pour un choix quelconque des arguments) dans les structures de l’espèce en question. Par exemple, pour les demi-groupes, on prend’une opération (le produit)
et une identité (la relation d’associativité).
un
Il est aisé de
caractériser les espèces de structures algébriques que l’on
peut définir à partir d’un compositeur ? ce sont celles où les opérations sont
partout définies, et ne sont assujetties qu’à vérifier des "identités génériques".
Ces structures comprennent, par exemple, les demi-groupes, groupes, groupes abéliens, anneaux, anneaux de Lie, 03A9-modules (03A9 désignant un anneau donné ),
etc. Par contre elles ne comprennent pas les corps (l’inverse n’est pas partout
0
("pour tout x s il existe un h tel que xph = 1 "
n’est pas une identité générique, puisque
h peut varier), ni les demi-groupes
avec règles de simplification ("xy = xz
implique y z °’ n’est pas une
"identité’’)~ etc. On obtient donc une classe assez restreinte de structures
algébriques.
défini)9
ni les
p-groupes
=
(E ) , et l’espèce de structure algécompositeur E
brique qu’il définit, chaque ensemble En peut être identifié à la structure
libre de l’espèce en question, engendrée par les générateurs
pour
i ~ n . Par exemple, le compositeur des groupes est formé d’une suite de
Si l’on considère
=
un
0
groupes libres à
générateurs.
1~2~...
La définition d’une
espèce
algébrique à partir
système de générateurs et
de structure
d’un
composi-
de relations.
qu’on ait fait choix d’un
Deux systèmes différents conduisent à deux définitions distinctes de structures
teur suppose
algébriques.
équivaut
à dire
qu’un isomorphisme entre deux compositeurs
E~ et E~ permet de définir canoniquement une structure algébrique d’espèce
E. sur une structure algébrique d’espèce E? et réciproquement. Par exemple,
supposons que les structures d’espèce E. soient les groupes nilpotents de
classe
~ p , vérifiant l’identité xP =1 (p s nombre premier, h : entier) ,
et que les structures d’espèce
E~ soient les anneaux de Lie nilpotents de
classe
p vérifiant l’identité p x = 0 . Alors il est possible d’identifier
ces deux espèces de structures, c’est-à-dire d’établir un isomorphisme de
E.
Cela
0
sur
E~ .
2.- Compositeurs analytiques.
0
~- désigne un anneau unitaire, que nous supposerons dès na intenant
commutatif, il lui correspond le "compositeur des 03A9 -modules" que nous noterons
Si
[03A9] ; [03A9]n
s’identifie donc
03A9-module
définition, un 03A9 -compositeur
Par
siteur
au
E
sera
libre de base
en,1 , ... , en,n
.
constitué par la donnée d’un compo-
et d’un
homomorphisme (u ?
_~. E . Cela revient à exiger que,
sur chaque
En soit définie une structure de . -module unitaire, telle que
l’opération de composition (f ,
dans E ’
... p
g ) ~ f(g1,
soit Q-linéaire par rapport à f.
0
... , gn)
On
~ : ~
vérifie immédiatement
~)’
2014~
structure de
donnée d’un homomorphisme unitaire
d’anneaux commutatifs unitaires équivaut à la donnée d’une
03A9-algèbre
que la
unitaire
ou encore
d’un
homomorphisme
, Rappelons aussi
E~~ 2014~ E~’] que nous désignerons par la même lettre ~
si
En est un ~1-module~ le produit tensoriel ~~
En
moyen de
l’homomorphisme ~; peut être considéré
noterons
ce
Si
~’s Q
posant
produit tensoriel
nous avons un
~-~
E’ n
Q’ ~
= -~.
nous
~E~ , ~
$’1,-compositeur
pouvons
E
=
défini
~1’-module.
désignant l’homomorphisme
E ~
toujours former
comme un
et
un
au
Nous
0
f).~ ~ .
homomorphisme
la suite d’ensembles
en
,
mais il est
en
général impossible
de définir
sur
E’
(Et)
=
une
03A9’-compositeur
structure de
vérifiant certaines conditions
préciser. En postulant que cette définition est possible~ nous obtenons la notion de (¿-compositeur analytique 3 beaucoup plus
restrictive, et par conséquent plus riche~ que la notion de .-’;? -compositeur.
naturelles que
nous
allons
Définition. Un 03A9-compositeur analytique E est constitué par la donnée :
1°) d’un 03A9-compositeur E (E ) .
2°) d’une "construction canonique" (ou foncteur) qui à tout homomorfait corresphisme unitaire 03C6 de 03A9 dans un anneau commutatif unitaire
pondre un 03A9’-compositeur E’ et un diagramme commutatif d’homomorphismes de
compositeurs :
=
de telle sorte que les
Pour tout
E’n = 03A9’n
l’homomorphisme 4’
~ 03A9’ et 03C6’ : Q’
03C6 :Q
est défini par la structure
~
03A9"
unitaires
d’anneaux, posons 03C6" = 03C6’03C6 s 03A9 ~ 03A9"
commutatif d’homomorphismes de compositeurs ?1
obtenu
juxtaposant
en
morphisme ~’:
E’
deux
~’
L ’ homomorphi sme
en
tant que module à
03C8’n f
=
1
~03C6’f’
diagrammes
E"
2014~
sans
défini
par
est
f
,(il’
L’axiome
o
i’2’
homomorphismes
Alors dansle diagramme
.
(1) , on peut
introduire
nécessairement uniquei E~n =:.Q"
~fE’n
:
E’n .
Nous écrirons désormais
du type
sont des
un
homo-
dét,ruire la commutativité.
=
pour
est
na-
~
201420142014201420142014
Si
o
et
03C9’
~03C6 En ;
f6 E .
pour tout
~
(CA2).
n ,
03A9’-module de E’ ,
turelle de
~
suivants soient vérifiés.
axiomes
’
0
x’E
au
.g
En) ,
(CA2)
lieu de
est
et
un
03C8’
~,
n
s’identifie
est défini par
axiome de transitivité.
E’ .
o
compositeur
Prenons pour E le
des 0 -algebres associatives et
commutatives. Alors
s ’ id ent i fie canoniquement à l’anneau de polynômes
Exemple
:
E~
o
03A9[en,1 , ... ,
en,
n],
et il y
a une
construction naturelle de
E’ = 03A9’ ~03C6
E .
La donnée du foncteur ~
donnée 9 sur chaque E
d’ une
n-gradué vérifiantcer-
03A9 -module
de
structure
est équivalente à la
E
03A9 -com ositeur
un
pour
tain.3 conditions. Précisons les notations nécessaires ~
ble des suites de
anneau, et
Soit
f ~
En ;
o
1
nous avons
"
~ g
03B1
T03B1
notera
on
éléments d’un
T03B1 1
le "monôme"
.
o
...
T]
Or tout élément de
T03B1
sont des
T
-compositeur analytique. Pr enons pour ~~~’ 1 ’ anneau des
et pour 03C6 l’isomorphisme naturel de 03A9 dans
un
03A9[T1 , ... ,
Soit
.
03B1=(03B11 , ... , 03B1n) ~ Nn ,
E
polynomes
si
entiers 0 ;
n
désignera
N
E’
E’
.
et
n
T.i~ ’e . ~ E’ ,
n,i
donc :
n
’écrire, univoquement,
s’
comme une somme
n
peut
finie :
définissons donc des opérateurs
Nous
dans
(P03B1)03B1~N
E
en
n
posant :
On vérifie
utilisant les axiomes
en
d’homogénéité,
P203B1
c’est-à-dire que
que, pour tout
f
~
est
(ÇA)
que les
et
=
égal
à la
sont des projecteurs
P~
P P03B2
0
==
03A3
finie
somme
~
~~N~
On notera alors
E’
à-dire le 03A9 -module des
On
alors les
a
a) Chaque
b)
E~
Si
la
composante homogène
f ë-
E
propriétés
est
somme
~=
tels que
f
de
P03B1
=
x
~.
@
~~) ,
E~ ,
... ~
-.
=
d)
~~
Soit
f
~E~ ,
~) ~
>
~=I:j~
i
’"
En ,
c ’ est-
= f(x~ +
x~ ,
alors
tous
=0
alors f(g1 ,
).
~
... ,
... ,
gm) En,
G
"
posons
~~~
’
Alors P03B2
o
g
de
~~~ .
(~ , ... ,~) ,
~~n+1,1 ~ ~n+1,2 ’ ~n+1,3 ~
homogènes P03B2 g ( 03B2 = (03B21 , ...
o=
santes
~
~
~i~m,
... ,>
P.f
.
’"
... ,
"°
o
>
et
(E~)
~n~ ~ B’"~m~ ’~~~ ?
g~) pour
~1 ~ ~" ~ ~ m ~-~ (il convient de poser ~ =1
c) Si f 6E~ ,
~.
(~ ,
~). N" ,
=
,
suivantes :1
...
03B2i = (03B2i,1 ,
avec ~l (~ ,
/3
f .
directe des
(~ ,
03B1 ~
pour
xJ .
"
g
=
0
sauf si
5-07
03B21 03B22 = 03B11
+
et
03B2i = 03B1i-1
plies, (P03B2g)(en,1 ,
pour
3 ~ i ~ n+1 . Si
si toutes
ces
x E.
définir le produit tensoriel
conditions sont
propriétés
sont
supposées vérifiées9
Signalons
f2
enfin le
axiomes de
rapport
-anal seur
peut
est
un
,o. p
0)
P. CARTIER. Elle
d’existence du
des
graduations exige
des notions introduites
incomplet E
l’axiome supplémentaire ~ f(0 ,
"termes~ constants’9 sont nuls)
Un
on
L’idée de remplacer tous les axiomes de
graduations par des axiomes de produits tensoriels est due à
abrège sensiblement l’exposé, car une démonstration complète
produit tensoriel à partir des
assez longs, quoique faciles.
rem-
en,n) = 1 03B21!03B22! f.
en,1 , en,2 , ... ,
Réciproquement,
ces
avec
développements
celle
d’analyseur.
~~ -compositeur analytique vérifiant
==
0
pour tout
f ~~
E n (les
o
Un n -analyseur complet s’obtient en complétant un
-analyseur incomplet~ de façon à considérer des éléments qui ont une infinité de composantes
homogènes non nulles. Cette complétion est en tous points semblable à celle
qui fait passer des polynômes aux séries formelles.
Un
-analyseur complet est
--compositeur~
analytique (il faudrait modifier la définition
remplaçant par un "produit tensoriel complété").
teur
du
non un
:~~. -composi-
produit tensoriel
en
le