Constante diélectrique et mouvement brownien dans le cas quantique

Constante di´electrique et mouvement brownien dans le
cas quantique
Y. Soulet
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Y. Soulet. Constante di´electrique et mouvement brownien dans le cas quantique. Jour-
nal de Physique, 1970, 31 (2-3), pp.195-205. <10.1051/jphys:01970003102-3019500>.<jpa-
00206892>
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195.
CONSTANTE
DIÉLECTRIQUE
ET
MOUVEMENT
BROWNIEN
DANS
LE
CAS
QUANTIQUE
Y.
SOULET
(1)
(Reçu
le
25
juin
1969)
Résumé.
2014
Le rôle
important
joué
par
la
constante
diélectrique
et
la corrélation
spatio-tempo-
relle de
champ
local
dans la
théorie
du
mouvement brownien a
été
examiné
dans
deux
précédentes
publications
[I, II].
La
même
étude
est ici
étendue
au cas
quantique
et
les conditions nécessaires
pour
qu’il
y
ait
mouvement brownien sont discutés
qu’il y
ait
ou non
faible
couplage
entre
les
par-
ticules
incidentes et
les
particules
du
milieu.
Abstract.
2014
In
two
earlier
papers
[I, II],
the
important
roles
of
the dielectric constant and the
spatio-temporal
correltaion
of local
fied
in
the brownian
motion
theory
has been examined.
The
same
investigation
is
here
performed
in
the
quantum
case
and
conditions for brownian
motion
are discussed in
the weak
coupling approximation
beetwen
incident
particles
and medium and
in
the
general
case.
LE
JOURNAL DE
PHYSIQUE
TOME
31,
FÉVRIER-MARS
1970,
1.
Introduction.
-
Les
principaux
résultats de l’ex-
tension
du
formalisme du
problème
à N
corps
quan-
tique,
basé sur la
fonction de
Wigner
et
développé
par
R. Balescu
[1],
au
cas où le
système
est
composé
de
particules
discernables et de
particules
indiscer-
nables sont donnés dans le
paragraphe
2. Ils
sont
nécessaires
pour
étendre au cas
quantique
la défini-
tion de la constante
diélectrique
à
partir
de la
réponse
à l’introduction
de
particules-test,
le calcul
de la
corrélation
spatio-temporelle
de deux
grandeurs
et
l’étude du
rôle
joué
par
ces
quantités,
dont
l’expres-
sion est donnée
au
paragraphe
3,
dans
la
théorie
du
mouvement brownien
quantique.
L’équation
cinétique
décrivant l’évolution de la
fonction
de
distribution
de
particules
incidentes
dans
un
milieu
auquel
elles sont faiblement
couplées
est
une
équation
aux différences
finies ;
au
paragraphe
4
on étudie dans
quelles
conditions cette
équation peut
se
réduire
à
une
équation
différentielle
d’ordre
fini,
en
particulier
à une
équation
du
type
de
Fokker-
Planck.
L’expression
des coefficients
de ces
équations
est donnée et l’on constate
qu’ils s’expriment,
comme
dans le cas
classique
[I,
II]
(2),
avec la
constante
dié-
lectrique
et la corrélation
spatio-temporelle
de den-
sité
(ou
de
champ local).
On est
amené
à constater
d’une
part
que l’équation
de Fokker-Planck
classique
et
l’équation
des
anneaux
classique
ont un
sens
phy-
sique
bien
que
contenant une
divergence,
d’autre
part
qu’un
milieu de
particules
avec
statistique
ne se
com-
porte
pas
à
très
basse
température
comme
un
milieu
continu,
même à
l’approximation
la
plus
basse.
(1)
Physique
Quantique,
Faculté des
Sciences
de
Toulouse,
118,
route
de
Narbonne, 31, Toulouse,
France.
(2)
Les
numéros des formules
de ces
publications
auxquelles
il
sera fait référence
seront
précédées
de
1
ou II.
Au
paragraphe
5,
on
précise
les conditions dans
lesquelles
l’équation cinétique générale
décrivant
l’évolution
de la fonction
de
distribution des
vitesses
de
particules
incidentes
dans
un
milieu
auquel
elles
sont fortement
couplées
peut
se
ramener
à
une
équa-
tion
du
type
de
Fokker-Planck ;
on trouve
ainsi,
dans le cas où la
température
des
particules
incidentes
est du
même
ordre de
grandeur que
la
température
du
milieu,
que
le vrai
paramètre
de
développement
n’est
pas
la
racine carrée
du
rapport
de
la
masse
des
parti-
cules du
milieu à
la masse
des
particules
incidentes
mais ce
rapport multiplié par
la
racine
carrée
du
rap-
port
de la
«
température
de
localisation » à la
tempé-
rature
du
milieu.
2.
Interaction de
particules
discernables
avec
un
milieu de
particules
indiscernables.
-
Dans
la réfé-
rence
[1] ]
le formalisme
quantique
du
problème
à
N
corps
a
été
développé
grâce
à la
fonction
de
Wigner
ce
qui
a
pour avantage
de
pouvoir toujours
conserver
une
intéressante
similitude
formelle entre
les
problèmes
quantiques
et
les
problèmes correspondants classiques.
Cette fonction de
Wigner
a
été
développée
en
série
de
Fourier
comme
la
fonction de distribution
classique,
mais
il a
été montré
que
ses
composantes
de
Fourier
t)
présentent
des
singularités
dues
à
la
statis-
tique.
Il
a
été nécessaire de définir de nouvelles
quan-
tités
pks(ps,
t)
sans
singularité
et
à
partir
desquelles
on
peut
former
directement
les
composantes
de
Fourier
Pks(PS,
t).
Le
formalisme
classique
s’étend
alors
sans
difficulté
au cas
quantique,
les
quantités
Pk,(PI,
t)
rem-
plaçant
les
coefficients
de Fourier
classiques
corres-
pondants
dans
les
équations
des différents
problèmes
(équations
cinétiques,
etc...).
Pour
la
définition et le calcul
de la
constante
dié-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01970003102-3019500

196
lectrique
à
partir
de la
réponse
d’un milieu
à
l’intro-
duction
de
charges
extérieures,
ainsi
que
pour
l’étude
de l’évolution de
particules
incidentes
dans un
milieu,
il est clair
que
l’on a
besoin
d’un
formalisme
tenant
compte
de
l’interaction
d’une
particule
discernable
avec
un milieu
de
particules
indiscernables.
Un calcul
fastidieux,
calqué
sur ceux
qui
ont été
nécessaires
pour
l’établissement des
diagrammes quantiques
et de
leur
contribution
dans le cas d’un
milieu de
particules
indiscernables,
conduit aux
diagrammes
de
la figure
1.
Fis. 1.
Dans
l’expression
des contributions
de
ces
diagrammes
on
retrouve les
notations
et
conventions
de la réfé-
rence
[1] :
Diagramme
CD
et
Diagramme
DD
Diagramme
FD
Diagramme
HD
Diagramme
AA
Diagramme
BA
Diagramme
KA
Diagramme
F.
Diagramme
Bp
Diagramme
Dp
Diagramme
Ep
Diagramme
Jp

197
3. Constante
diélectrique
et
corrélation
spatio-tem-
porelle
de
densité
quantiques.
-
En ce
qui
concerne
la
constante
diélectrique
quantique
il
n’est
pas
utile
de détailler
les
calculs
qui
sont
rigoureusement paral-
lèles aux
calculs
de
la
référence
[I] ;
seuls les résultats
plus
compliqués
exigent
l’introduction
de
notations
plus
complexes ;
en
effet les
diagrammes
avec
dispa-
rition
d’une
particule
discernable sont au nombre
de
quatre
au
lieu
de
trois et
le nouveau
d’entre
eux fait
intervenir deux
particules
du
milieu.
Nous
allons
nous
borner
dans
la
suite des calculs à
l’approximation
des
temps longs
définie
en
détail dans
la
référence
[I].
Posons
où
sont les
contributions
des
diagrammes
modifiés,
défi-
nis
dans
la référence
[II],
et
représentés par
la
figure
2.
FIG.
2.
Avec ces notations la
constante
diélectrique quantique
s’écrit :
Quant
à la corrélation
spatio-temporelle
de deux
grandeurs
nous l’obtiendrons
toujours
à
partir
de
(II.2.1)
en
remplaçant
la
fonction de distribution
classique
par
la fonction de
Wigner ;
toutefois
il
est
clair
que
la
grandeur
produit
de
deux
grandeurs
ne
sera
pas
le
produit
des deux
grandeurs,
s’il
en était ainsi
l’ordre
des
deux
grandeurs
serait
toujours
sans
impor-
tance alors
que
les
opérateurs quantiques
ne
commu-
tent
toujours
pas.
On
est
obligé
de chercher d’abord
l’expression
de la
grandeur
produit
de
deux
grandeurs.
On
part
de
l’expression
de
l’opérateur
A(xs, -
ils
t)
correspondant
à une
grandeur
physique
donnée
par
la
règle
de
Weyl :
où
Il
est alors aisé
de mettre
le
produit
ordonné
sous une
forme semblable
à
(3 . 3) ;
on
obtiendra alors
la
grandeur
correspondant
au
produit
des deux
gran-
deurs
A(xs, ps,
t)
et
B(xs,
ps,
t)
en
appliquant
la
règle
de transformation
inverse
[2] :
Ainsi,
en
posant :
il
vient :
qui
se
réduit à la
simple
convolution
à la limite clas-
sique h -
0.
Un
calcul
semblable
au
calcul
de la
référence
[II]
et
exposé
en
détail dans la
référence
[T]
conduit
à :

198
qui
se réduit bien
à
(II . 2 . 6)
à
la
limite
classique h -
0.
Cette
expression
doit
être modifiée
pour
ne
faire
intervenir
que
les
quantités pls(ps,
t)
à la
place
des
coefficients
de
Fourier
pls
(ps,
t)
présentant
des sin-
gularités.
Cette
modification
sera
immédiate si
on
écrit
(3. 6)
sous la forme :
et si on constate
la
ressemblance
entre
d’une
part
et
d’autre
part
l’expression
figurant
dans
l’équation
d’évolution des coefficients
de Fourier
et
correspondant
à la
disparition
(de
droite
à
gauche)
d’une
particule
discernable des
particules
du milieu. Il suffit alors
de
faire les mêmes
contrac-
tions et
(3.7)
sera
remplacé
par
la contribution des
sommets
CD,
DD, FD
et
HD
au facteur
près, agissant
sur
t).
Comme
dans la réfé-
rence
[II]
on
pourra
transformer
l’expression
de
pour
obtenir
parallèlement
à
(II.2.8) :
La
corrélation
spatio-temporelle t)
des deux
grandeurs
prises
dans
l’ordre
inverse se
calcule
comme
C(5 aPk( W,
t)
et
son
expression
est
formellement
semblable
à
l’expression (3.8)
avec
+ ~
Ij)
changé
en
et
les
contributions
des
sommets
modifiés
X)~
et
respective-
ment
changées
en
X;j
et
Il
est
généra-
lement admis
[3,
4]
que
la
corrélation
spatio-tempo-
relle mesurable
est
en fait :
La
corrélation
spatio-temporelle
de
champ
local se
calcule avec
elle s’écrit :
quant
à
la corrélation
spatio-temporelle
de
densité
calculée avec
elle
s’écrit :
Il
en résulte la
relation :
déjà
connue
pour
un milieu
à
l’équilibre
[4,
5,
6].
Il
faut ici
noter
que
si
t)
désigne
la
conductivité
définie
pvec
le
champ
extérieur
(c’est-à-dire
avec
le
champ
créé
par
les
particules-test)
on
obtient
[T] :
qui
généralise
la
formule donnée
par
Kubo
[7]
et où
est la
corrélation
spatio-temporelle
calculée
avec
la
grandeur
vitesse
locale et la
grandeur
densité locale.
Il
est
bien
connu
que
pour
un
milieu
à
l’équilibre
[7]
il
y
a une
relation
entre
la
corrélation
spatio-tempo-
relle de deux
grandeurs prises
dans
un ordre
donné
et
la
corrélation
spatio-temporelle
des
deux
mêmes
grandeurs
prises
dans
l’ordre
inverse.
Pour
la
corré-
lation
spatio-temporelle
de
densité
cette
formule,
qui