Deux petits problèmes concernant les angles et leur mesure :

Devoir Maison de maths n°4
CORRECTION
1) Triangles iso-zigzags
Ce sont des triangles isocèles dans lesquels ont peut construire un zigzag : une ligne brisée faite de
segments de même longueur, partant du côté principal, passant alternativement par les côtés égaux et se
terminant sur le sommet principal.
L'illustration montre un triangle iso-zigzag ABS
contenant un zigzag constitué de huit segments de
même longueur. Pour réaliser un tel triangle l'angle
principal
ASB
doit mesurer 12° (180÷15). Les
autres valeurs de l'angle principal pour obtenir des
triangles iso-zigzags sont données dans le tableau ci-
dessous.
Nombre de segments dans le zigzag 2345678
Angle principal (en °) 180÷3 180÷5 180÷7 180÷9 180÷11 180÷13 180÷15
a) Construire au moins deux triangles iso-zigzag différents (par exemple avec 3 et 4 segments dans le
zigzag, mais on peut faire un autre choix). Prendre à chaque fois des segments de même longueur, par
exemple 5 cm.

La construction de ces triangles iso-n-zigzag (nous ajoutons le nombre n de segments identiques du zigzag
dans le nom pour que ce soit plus clair) est très simple dés lors que l'on connaît l'angle principal du triangle
isocèle ce qui était donné. Le premier de ces triangles, le triangle iso-2-zigzag est un triangle équilatéral
(ses trois angles sont égaux à 60°). Le second, le triangle iso-3-zigzag, est un triangle d'or (ses côtés sont
dans le rapport du nombre d'or φ≈1,618 et ses angles sont 36° et 2×36=72°). C'était celui que j'avais
demandé de tracer à la question 6 du DS..
Le principe de la construction est montré pour le triangle iso-6-zigzag : on commence par construire le
triangle isocèle connaissant son angle principal. Ensuite, on reporte au compas la longueur de la base
principale pour obtenir le 2ème segment du zigzag, et puis on continue en partant du point d'intersection qui
a été créé à l'étape précédente. Pour ce triangle iso-6-zigzag, il faut tracer 4 cercles. Pour le triangle iso-8-
zigzag de l'énoncé, il a fallu tracer 6 cercles. J'ai effectué les constructions avec GeoGebra pour une
meilleure précision mais on peut arriver à de bons résultats en utilisant des outils traditionnels. L'important
est la précision.
b) Les triangles iso-zigzags ont la particularité de pouvoir s'assembler autour du sommet principal pour
constituer une belle rosace. Par exemple avec 8 segments dans le zigzag, il faut 30 triangles (voir la
figure). Tracer une telle rosace avec un des deux triangles du a).
La figure donnée dans l'énoncé
intègre trente triangles iso-8-
zigzag en une belle rosace qui
dessine un triacontagone régulier
(triacontagone=polygone à 30
côtés). Nous pouvions, pour
répondre à la question posée,
tracer une telle rosace. Pour
changer, voici une rosace
intégrant quatorze triangles iso-4-
zigzag en une rosace dessinant un
tétradécagone régulier
(tetradécagone =
polygone à 14 côtés).
Vous pourriez dessiner le même genre de rosace avec n'importe quel type de triangle iso-n-zigzag, car les
angles de ces triangles sont toujours les angles d'un polygone régulier (à 6 côtés pour les iso-2-zigzag, à 10
côtés pour les iso-3-zigzag, à 14 côtés pour les iso-4-zigzag, à 18 côtés pour les iso-5-zigzag, etc. le
nombre de côtés augmentant de 4 à chaque fois que n augmente de 1). Pour le coloriage, on peut toujours
alterner avec deux couleurs puisqu'il y a toujours un nombre pair de triangles (6, 10, 14, 18, 22, 26 ou 30).
Nous avion colorié le triacontagone avec 3 couleurs car 30 est divisible par 5, mais nous aurions pu aussi
utiliser 5 couleurs (ou 10 ou même 15).

Je voulais donner un exemple de chacune des rosaces, mais comme ce n'est pas une tâche facile de les
tracer toutes les sept (n variant entre 2 et 8), même avec GeoGebra, j'ai programmé la construction sur
Scratch. Je vous passe sur les détails du programme qui sont un peu compliqués à justifier. Sur Scratch, on
ne peut pas faire comme avec GeoGebra : des cercles qui coupent les côtés du triangle initial. Il faut
calculer tous les angles ! Et comme je voulais que ce programme puisse fonctionner pour toutes les valeurs
de n, il fallait les calculer en fonction de n... Dans notre énoncé, on s'est arrêté aux iso-8-zigzag mais rien
n’empêche d'aller au-delà.
Pour la décoration, j'ai été inspiré par votre devoir d'arts plastiques donné par Mr About (celui où il fallait
dessiner une couronne avec un dégradé de couleurs). Voici donc, ci-dessus, les rosaces iso-n-zigzag pour
2≤n≤10 avec les contours en dégradé (sur Scratch la couleur est représentée par un nombre entre 0 et 200).
En corrigeant vos devoirs, j'ai vu qu'un élève avait retourné un triangle sur deux. Le motif obtenu est
intéressant, car on obtient une rosace avec des axes de symétrie, donc une figure plutôt agréable à regarder.
Les voici donc avec, encore ici, 2≤n≤10 et un coloriage qui souligne les anneaux concentriques de
losanges : tous les losanges ont les mêmes côtés puisqu'on les construit avec des triangles iso-zigzag, mais
les angles de ces losanges varient ; dans chaque anneau, les angles restent égaux et il y a toujours un
nombre impair de losange égal à 2×n-1 (pour n=5, il y a 2×5-1=9 losanges, et 18 triangles iso-zigzag).
2) Angles d'un pentagone régulier
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et les angles ont la même mesure.
Ses sommets appartiennent à un même cercle dont le centre est aussi le centre du polygone.
a) Le pentagone régulier peut être tracé en divisant un angle plein en cinq angles adjacents égaux.

Calculer l'angle au centre du pentagone régulier (on le notera α comme sur la figure de gauche).
Sachant que β=γ (triangle OBC isocèle en O) et que α+β+γ=180°, en déduire la
valeur des angles β, γ et δ (l'angle intérieur du pentagone).
Combien vaut la somme des cinq angles intérieurs du pentagone?
L'angle au centre α du pentagone régulier fait 72°, cela se calcule en effectuant
360÷5=72. Comme le triangle OBC est isocèle en O (par construction), les
angles β et γ sont égaux (c'était rappelé dans l'énoncé) et comme la somme des
trois angles d'un triangle vaut toujours 180° (cela aussi était dit dans l'énoncé),
on en déduit que :
α+2β=180°, d'où 2β=180°-α=180-72=108 et donc β=108 ÷2=54°
On en déduit l'angle δ, l'angle intérieur du pentagone, car il est la somme de deux angles adjacents égaux à
54°. δ mesure donc 2×54=108° et la somme des cinq angles intérieurs vaut 108×5=540°. Pour info : cela
est vrai pour tous les pentagones (180° pour les triangles, 360=2×180° pour les quatre angles d'un
quadrilatère, 540=3×180° pour les cinq angles d'un pentagone et (n-2)×180° pour les n angles d'un
polygone à n côtés, du moment que les côtés ne se croisent pas...).
Pour tracer un tel polygone avec Scratch, on souhaite indiquer la mesure de l'angle qui convient dans la
ligne « tourner de … degrés ». Quelle est la mesure de cet angle (noté A sur le programme de gauche) ?
Les angles intérieurs sont les compléments à 180° des angles indiqués à Scratch (pour une raison pratique,
les angles que l'on indique à Scratch font tourner la direction du stylo; ils ne correspondent pas exactement
aux angles intérieurs du polygone). Ici ces angles sont 180-108=72° (quand la direction du stylo change de
72°, on trace un angle de 108°),
Du fait de la symétrie du pentagone régulier, il y a plusieurs formes de triangles isocèles dans cette figure :
BOC, BOE, BAE et DBE. Donner les angles de ces triangles, puis, tracer sur votre copie ces quatre formes
de triangles isocèles, en prenant 5 cm pour chacune des bases principales.
BOC, BOE, BAE et DBE sont des triangles isocèles de sommet principal O, O, A et B, respectivement.
Pour BOC, on l'a dit, les angles sont 72°, 54° et 54°.
Pour BOE, l'angle principal vaut 2×72=144°, les deux autres, étant égaux, mesurent (180-144)÷2=18°.
Pour BAE, l'angle principal est δ=108°, les deux autres, étant égaux, mesurent (180-108)÷2=36°.
Pour DBE, l'angle principal est la somme de deux angles adjacents égaux à 18° donc il mesure 36°, les
deux autres, étant égaux, mesurent (180-36)÷2=72°. Ce triangle est un triangle d'or, le même qu'à la
question 6 du DS ou que le triangle iso-3-zigzag de la question I.
On remarque que les angles opposés au sommet principal sont
dans une progression régulière, de 18 en 18 (18, 36=2×18,
54=3×18, 72=4×18) alors que les angles principaux sont dans
une progression régulière, de 36 en 36 (36, 72=2×36,
108=3×36, 144=4×36). On comprend qu'il n'y a pas de 5ème
triangle car 5×18=90, il devrait avoir des angles égaux à 90,
90 et 0°... ou bien, comme 5×36=180, il devrait avoir des
angles égaux à 180, 0 et 0°. Par contre, en associant les
triangles deux par deux on obtient des angles droits (voir ci-
contre).

Compléter alors le programme Scratch de droite pour qu'il trace la figure ci-contre (le pentagone convexe
bleu suivi du pentagone étoilé rouge). Il y a deux autres angles à déterminer, notés B et C sur le
programme.
Les angles sont, A=72°, B=36° et C=144°.
Pour info, la valeur de 162 pixels donnée dans le texte est
calculée à l'aide de ce coefficient appelé nombre d'or qui
vaut, environ φ≈1,618. Comme le côté du pentagone
mesure 100 px, les diagonales mesurent 100×φ≈162 px.
b) L'hexagone régulier ne contient pas d'étoile régulière
mais on peut, avec six des neuf diagonales, y imbriquer
deux triangles équilatéraux qui forment comme une étoile.
Déterminer la valeur des angles intérieurs de l'hexagone
régulier convexe. Écrire un programme Scratch qui trace un
hexagone convexe régulier de 100 pixels de côtés et un des
deux triangles équilatéraux.
Si on veut tracer juste l'hexagone,
l'angle intérieur valant 120°, il
faut tourner de 60° avec Scratch.
Pour le triangle équilatéral, l'angle
intérieur valant 60°, il faut tourner
de 120° avec Scratch.
Comme pour le pentagone, il faut
tourner la direction du stylo pour
commencer le triangle (sinon il
aurait son premier côté
horizontal). L'angle intermédiaire
vaut 30° (regarder la figure pour
comprendre cela : les 120° de
l'angle intérieur se décompose en
60° pour le triangle rouge et deux
fois 30° pour cet angle).
La valeur de 172 pixels donnée
dans le texte est calculée à l'aide
du coefficient qui convient et qui
est, dans le cas de l'hexagone égal
à
√
3≈1,732
(cette longueur est calculée avec le théorème de Pythagore que vous étudierez en 4ème).
Comme le côté du pentagone mesure 100 px, les diagonales mesurent 100×
√
3
≈173 px. (NB : en mettant
172, ça convient encore... on n'est pas à 1 px près, mais la valeur la plus adaptée, à l'unité près, est 173).
Si on veut tracer le 2ème triangle, il faut déplacer le stylo, en le relevant (pour éviter un trait rouge
disgracieux) pour le mettre sur le 2ème sommet, 100 px à droite. Au lieu des instructions données (voir
figure), j'aurai pu simplement écrire « aller à x : 40 y : 100 » car cela déplace également le stylo pour le
mettre sur le point. Par contre, si je fais ceci, il faut demander « tourner vers la droite de 60 degrés » (voir
la petite variante, au centre).