L`équation de Schrödinger et l`énergétique

L’´equation de Schr¨odinger et l’´energ´etique
Al. Proca
To cite this version:
Al. Proca. L’´equation de Schr¨odinger et l’´energ´etique. J. Phys. Radium, 1929, 10 (1), pp.1-14.
<10.1051/jphysrad:019290010010100>.<jpa-00205364>
HAL Id: jpa-00205364
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205364
Submitted on 1 Jan 1929
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destin´ee au d´epˆot et `a la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publi´es ou non,
´emanant des ´etablissements d’enseignement et de
recherche fran¸cais ou ´etrangers, des laboratoires
publics ou priv´es.

LE JOURNAL DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
L’ÉQUATION
DE
SCHRÖDINGER
ET
L’ÉNERGÉTIQUE
par
M. AL.
PROCA,
Institut du
Radium,
Paris.
Sommaire. 2014
L’auteur
reprend
l’étude,
tant
de fois
entreprise,
des
principes
fonda-
mentaux
de
l’Energétique.
pour l’appliquer
au
phénomène que
constitue le mouvement
d’un
point
matériel
L’analyse
de
ces
principes
conduit,
pour
les
transformations
réversibles,
à
des énoncés
précis,
dont
l’application
fournit,
d’une
part
les
équations
de
Lagrange,
et
de
l’autre,
la
fonction
qui joue
un
rôle
analogue
à celui de
l’entropie
thermodynamique,
Pour le
phenomène
du
mouvement,
cette
«
entropie
mecanique
»
n’est
autre
que
l’action
S;
le
principe
d’Hamil on
est alors
simplement
l’expression
du
principe
de Carnot
généralisé,
appliqué à
un
cycle
infiniment
petit.
Ce
résultat
a
deux
conséquences
importantes :
1°
Il
rend
plus
facilement
acceptable
la
mystérieuse
hypothèse
de
[’atomicité
de
l’action,
clef
de
voûte
de la
théorie des
quanta.
En
effet.
l’identification
de
l’action
à une
«
entropie
»
range
celle-ci dans la
catégorie
des
facteur,
de
capacité
d’une
certaine forme
d’énergie
Or,
l’observation
nous
montre
que
chaque
fois
qu’un
élément
physique
a une structure
discontinue,
il
est,
énergétiquement
un facteur
de
capacité.
L’atomicité
de
l’action rentre ainsi
dans un
principe
général,
le
principe
de
l’atomicité des
entropies;
elle n’est
pas
plus imprévue,
ni
plus
mystérieuse
que
l’atomicité de la
matière
ou
de
électricité.
2°
Ce résultat
permet
de traiter les
problèmes
d’intensité,
c’est
à-dire en
fait,
le
pro-
blème
de
la
répartition statistique
d’un
grand
nombre
d’éléments. A cette
fin,
on
relie la
probabilité
de
présence 03C8
d’un
point
en une
région
déterminée
à
l’entropie mécanique S
par
une relation
qui
généralise l’hypothèse
de
Boltzmann S
= k
log
03C8.
Des
résultats
simples
montrent
que
la
constante universelle k
est
égale
à
h/203C0i,
en accord
avec
la
mécanique
ondulatoire. Si
on
fait
cette substitution dans
l’équation
de
Jacobi
que
vérifie S,
on
retombe sur
l’équation
de
Schrödinger,
à
condition d’admettre
une relation
supplémentaire
(par
exemple
0394 S
=
0
pour
un
cas
simple).
On
peut
ainsi obtenir
l’équation
de
Schrödinger
par
un
procédé
direct et
qui n’est pas
exclusivement formel.
Ce
procédé
montre
que
cette
équation
n’est
pas
universelle,
mais
simplement
l’équation
d’un
mouvement
particulier.
Les
développements précédents
ont le
grave
défaut
de
ne
faire
usage que
des notions
classiques ;
on
n’envisage pas,
dans cet
article. leur
relation
avec
les nouvelles
mécaniques,
ni
avec le
principe
d’indétermination
de
Heisenberg.
Incidemment,
on
introduit
dans le
cours
des raisonnements une notion
mathématique
nouvelle : la
probabilité imaginaire.
Un
paragraphe
est consacré à
l’analyse
sommaire de
cette notion et
montre
qu’on
aurait
pu
la retrouver
mathématiquement,
sans
hypothèse
physique,
par
simple
généralisation.
3jlBJB
VI.
-
TOME
X.
JANVIER 1929 N°
~.-0
~.
Introduction. -
La
synthèse
de la
Dynamique
et de
l’Optique
est
aujourd’hui
presque
achevée,
grâce
à
l’ix~troduction
des nouvelles
mécaniques.
Celles-ci
ont
ouvert
aux
chercheurs
un
champ
immense
dont on
a,
à
peine,
commencé
l’exploration.
Une
consé-
quence
immédiate de
cet
état
de choses
est le fait
qu’on
a abandonné
à
peu
près
complète-
ment les méthodes
d’investigation
classiques,
reconnues
insuffisantes,
au
moins
dans
le
domaine
qui
nous
intéresse
aujourd’hui.
Il nous
semble
que
cette
disgrâce
n’est
justifiée
qu’en partie;
ces
mêmes
procédés
clas-
siques,
employés
avec
discernement,
peuvent
encore
conduire
à des
conclusions
intéres-
LE JOURNAL
D);
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM.
-
SÉRIE
VI.
-
T.
x.
-
N°
1,
-
JANVIER
1929.
1.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019290010010100

2
santes
qu’il
faudra,
évidemment,
justifier
ou
élargir
au
moyen
des méthodes
plus
puissantes
que
l’on
possède
actuellement.
Dans cet ordre d
idées,
nous avons
pu
montrer
par
exemple
(1),
que
pour
certains
pro-
blèmes relatifs au
point
matériel
et au
photon, quelques-uns
des résultais obtenus
pouvaient
s’interpréter
facilement
par
la
dynamique
et
la théorie
des
quanta
clfiôs
ques,
sans
faire
appel
ni
aux
hypothèses,
ni aux méthodes de
calcul des nouvelles
disciplines.
L’idée fon-
damentale
de
ces recherches
est l’introduction -
logiquement
nécessaire
-
d’une nouvelle
dimension
A,
coordonnée
conjuguée
de la
masse
variable
du
point
considéré.
Mais les
problèmes
traités
dans
ces notes ne concernent
que
le
cas d’un
point
matériel
unique :
ce
sont ce
qu’on
pourrait appeler
des
~73~o~lè~nes
de
phase:
pour
pouvoir
attaquer
les
problèJnes
d’inlensité,
il faut
considérer
des
nuages
de
points
et
étudier
la
dynamique
des
systèmes.
Dans ce
qui
va
suivre,
nous
nous
proposons
d’esquisser
brièvement la
iiiéthode
par
laquelle
on
peut
y
arriver. Pour
cela,
nous
emploierons
des notions
et
des
procédés
clas-
siques.
Cet,te
exclusion
systématique
des
nouvelles
disciplines
ne
résulte
pas
d’une tendance
injustifiée
et
absurde à
les
remplacer
par
quelque
chose de
plus
élémentaire. Elle vise
seule-
ment
à
préparer
l’investigation
du
fond
»liysique
de ces
théories,
souvent
caché sous un
symbolisme
mathématique
qui
en rend l’accès difficile.
D’ailleurs,
la méthode suivie
nous
semble assez
riche en
conséquences pour présenter
un intérêt en ’l!e-mcme
indépendam-
ment
de
ses relations
avec
les
questions qui
sont
aujourd’hui
à 1 ordre du
jour.
2.
Energétique. -
Le
procédé
employé
consiste
à
appliquer
les
principes
généreux
de
l’Energétique
au
phé&#x3E;ioi7aè&#x3E;ùe
que
constitue le
n’lOUVe1nent
d’un
point.
Le
problème
des relations
entre
la
mécanique
et la
thermodynamique
n’est
pas
nou-
veau.
Il s’est
posé
dès
qu’on
eût
dégagé
la
signification générale
des
principes
de
la
théorie
mécanique
de
la chaleur. Clausius
lui
même s’en est
occupé ;
il
cherchait une
relation entre des
grandeurs
mécaniques,
présentant
une
analogie
formelle
avec
celle
qui
exprime
le
deuxième
principe
de la
Thermodynamique.
Ilelmholtz
a lenié la
même
chose
dans sa théorie
des
systèmes
mono
et
polycycliques.
Mais ces
tentatives,
ainsi
que
les
innombrables autres
qui
suivirent,
avaient
pour
but
l’explication
fnécaniste
des
phéno-
mènes
calorifiques ;
elles
étaient,
par
cela
même,
vouées à
un
échec
certain.
Cette
préoccupation,
qui
hypnotisait
les
savants
de
l’époque,
a eu aussi d’autres
résultats;
en
particulier,
elle
a
empêché
les chercheurs de
poser
d’une
façon
correcte le
problème
du
mouvement,
dans ses
rapports
avec
l’Energétique.
On
a
en
effet
reconnu
depuis
longtemps
que
les
deux
principes
fondamentaux
de la
Thermodynamique
ont une
portée qui dépasse de beaucoup
les limites de
cette
discipline.
Ajoutant
à cette constatation d’autres
remarques
extrêmement
générales
sur le
comporte-
ment des
phénomènes
naturels,
on est
arrivé
à
constituer
une
science d’une
ampleur
et
d’une
généralité inégalées,
se
rapprochant
beaucoup
de la
Physique
coijiparée,
que
souhai-
tait
Mach
(2)..
Or,
le
mouvement est
un phénoJnéne
au
même
titre
que
les autres
et, à
priori,
rien
ne
s’oppose
à ce
que
les
méthodes de
l’Energétique
lui
soient
applicables.
Lu-
premier principe
a
une
signification
tout à fait
claire en
mécanique ;
mais
il n’en est
plus
de même
pour
le
deuxième.
On
n’a
pas
encore mis en
évidence
la fonction
qui
est,
pour
le
phénomène
«
mouvement
»,
-
ce
qu’est l’entropie
pour
leg
phénomènes
calorifiques.
C’est
là un
point
dont les
conséquences
nous semblent
extrêmement
importantes.
Nous
allons donc
essayer d’appliquer
au
phénomène
mouvement
les
deux
principes
généraux
de
l’Energétique.
Quand
on
veut
donner un
énoncé tout
à fait
général
de
ces
prin-
cipes,
on
se
heurte
à
des difficultés
de
toutes sortes
(3).
Cette
application
doit donc être
faite
avec
beaucoup
de
circonspection
et souvent
un
certain choix
sera nécessaire entre
les
diverses
alternatives
possibles.
(1) Coniptes
rendus
de 1-’Académie
des
~Scie~2ces,
t. 186
(1928),
p.
739
et t.
i86
(f928), p.
1097.
(2)
La
Mécanique,
p.
!6i
[Hermann,
Paris].
(3)
Cf.
POI1~CARÉ,
Therlnodynanâque,
Préface.

3
3.
Le-phénomène
«
mouvement
)).
-
Du
point
de
vue de
1°Energélique
générale.
un
phénolllène
est
un
échange
ou une
transformation
d’énergie.
Soit
un
système
thermo-
dynamique
subissant
une transformation réversible
(les
seules
~, considérer
dans
ce
travail),
définie
par
une
courbe C
dans
l’espace
cles n
coordonnées
a,
~.
c,.,.
qui
fixent
~on élat.
(1",
dQ,
d19
étant les variations de
énergie
interne,
de
la
chaleur
et
du
travail,
on
a
Une
transformation
de l’état A à
l’état
B,
représentée par
une courbe
-~CB,
définit un
phénomène
calorifique;
énergétiquement,
celui-ci
consiste en une transformation
de
chaleur en
travail.
C’est
l’existence
du
terme
dQ
dans
l’e~pressioll
de
1 énergie
du
qui
caractérise les
phénomènes
calorifique,
’
Mais
dans
le
phénomène
que
constitue le
mouvement
d’un
système dynamique,
il y
a
aussi transformation
d’énergie.
Nous savons
en
effet,
expériJ11entalemt
nt,
qu’il y
a
échange
entre
l’énergie
cinétique
et le tra~jail. Soient
pi,
qi,
(i
-
1,
~,
..) les
coordonnées
clui
décrivent
le
mouvement,
et
h,
son
énergie
au
temps
t.
Dans
«
l’extension
en
phase
complète
»,
c’est-à-dire dans
l’espace
à
2n
+
2 dimensions
(~7i,
qi,
h,
t),
un
point représentera
tiii
cc état »
~~ec
systèrne
dynamique.
Une
conrbe
ABC
représentera
un mouveitient entre A
et
B. Le
parallélisme
avec la
Thermodynamique
est
complet,
car cette
même
courbe
pourrait
représenter
l’évolution,
entre A
et B,
d’un
système
thermod~aac~r~ziq~ce,
tlont
les
para-
mètres
a,
b.... sonl ici
~7i, qi.
Nous ne différencions
les
deux cas
qu’en
spécifiant
quelles
sont les
énergies
qui
se
transforment
l’une
dans l’autre.
En
premier
lieu,
il
nous
faut
donc
défiiii?r
le
phénomène
mouveii-ient,
en
indiquan
1
quelles
sont ces
énergies.
Pour
donner des relations
quantitatives,
cette définition doit
porter
non
seulement
sur
la nature
de
ces
énergies,
mais
aussi
sur leur
expression
analylique.
De la
même
façon,
en
Thermodynamique, quand
on veut
appliquer
les
prin-
cipes
on
doit
expliciter
les
termes
dQ
et d~.
C’est
l’expérience
qui
nous fournira ces
indi-
cations.
Bornons-nous
pour
commencer
aux
systèmes
holonomes
et
conservatiîs. Dans
ce
cas,
en est conduit à écrire
en
mécanique analytique :
l’ étant
l’énergie cinétique,
et
V,
l’énergie potentielle.
L’expression
est la force
vive
générafisée ;
lorsque
"est
hOH10gillH’
et
l’on a
simplement
Nous
envisagerons
le,
cas
général
en
écrivant eomme
plus
haut
ou
plutôt
ou encore
Comme
nous le
verrons
par
la
suite,
le
groupement
des termes est
indifférent
pour
l’application
du
premier
principe ;
mais
le deuxième nous conduit
à
adopter
la
décomposai-
tien
(1)
comme étant la
plus
probable.
Cette
décomposition
de
l’énergie
totale
(i)
définira
donc
énergéti.fIUemeut
le
«
mouve-
ment
d’un
système » .
C’est une
hypothèse.
Nous
admettons
qu’énergétiquettlent
le inouve-
ment
d’un
système
consiste en
«
la
transformation
du
potentiel
cinétique, ( L)
pn
force
viv.-
généralisée
(LPhqk)
».
Le terme dL dans
1"expression
de
l’énergie
totale caracti"rise
le
phéno-
mène
«
mouvement d’un
système
»
de
la
même
façon
que
la chaleur
dQ
caractérise les
phénomènes
calorifiques.
Avec cette
définition
du
phénomènes,
appliquons
les
principes
de
F énergétique.

4
4.
Les
deux
principes
fondamentaux de
l’énergétique.
-
Soit
un
système
ther-
modynamique
tel
que
celui défini
plus
haut,
qui
évolue entre
deux
états A
et
B,
suivant
une
transformation
récersiôle,
définie
par
la
courbe C.
Si
T est
la
température
absolue,
les
deux
principes
de la
thermodynamique
exigent
que
les
intégrales
et
prises pour
des
cycles
fermés,
soient
nulles,
donc
que
soient des différentielles totales
exactes.
Cet
énoncé
peut
être
remplacé
avec
avantage par
le
suivant :
en
sont
des
fonctions
de
ligne;
les
cités
exigent
qu’elles
soient
des
fonctions
de
point
0-
Ce
dernier
énoncé contient
ce
qui
est essentiel dans
les deux
principes,
à
savoir
que
pour
un
phénomène
calorifique,
H et S sont
des
fonctions
uniques
et
bien
déterminées
de
l’état
considéré. ll
permet plus
facilement
de
passer
à
l’énoncé
correspondant
de
l’Énergé-
tique générale,
concernant des
phénomènes
quelconques.
Nous
pouvons
faire
auparavant
une
remarque
préliminaire.
On
voit aisément
que,
dans
ce
passage
de la
thermodynamique
à
l’énergétique,
nous ne
rencontrerons aucune
difficulté
à
principe.
Car,
pour
la
plupart
les
phénomènes
nous
savons
calculer
la fonction
H
d’énergie.
Mais il
n’en
sera
plus
de
même
pour
le deuxième
principe;
en
effet,
l’expression
de
la
fonction
analogue
à
S
(l’entropie),
n’est
pas
connue
pour
tous
les
phénomènes,
car
nous ne
connaissons
pas
dans
tous les cas
quel
est
le facteur
intégrant
(1 ~’~’)
de
l’énergie
caractéristique
mise en
jeu
(dQ).
Pour
certains
phénomènes,
il
est
aisé
de
trouver
ce
facteur
intégrant:
c’est l’inverse
du
d’intensité de
l’énergie
considéré
(par
exemple,
le
potentiel électrique,
etc.).11’Iais
dans d’autres
cas,
par
exemple
le cas du
mouvement,
on
ne
peut pas
apercevoir
à
première
vue ce facteur.
L’application
du deuxième
principe
exigera
donc la
recherche
de la fonction du
point qui correspond
à
l’entropie;
c’est
ce
que
nous ferons au
paragraphe
7.
5.
Les
équations
de
Lagrange. -
Par
définition,
l’énergie
caractéristique
du
mou-
vement est
L
et
l’énergie
totale
se
décompose
suivant
Cette
décomposition
présente
bien
les
caractères
annoncés ;
chaque
terme n’est
pas
une fonction de
point
mais
dépend
de
la
transformation.
Les
termes
dépendent
des valeurs
que prennent
les
dérivées
en A,
donc de
la
tangente à
la
courbe
C
par
laquelle
on
y
arrive. Si nous n’avions
pas
considéré des
systèmes
conservatifs,
le
dernier terme aurait
été fonction de
la courbe
C
pour
une autre raison
encore :
il
contient,
en
effet,
le
travail des
forces
extérieures,
qui
dépend
dans ce
cas
de
C.
Pour
appliquer
le
premier principe,
il
faut
écrire
que
H
ne
dépend
pas
de
C.
Il
suffit
évidemment
qu’elle
ne
dépende pas
des
q~k;
donc =0.
Ceci nous donne les
n
relations
connues
Appliquons
le deuxième
principe.
En
Thermodynamique,
celui-ci
exige que
la
quantité
de
chaleur
dQ, -
énergie
caractéristique
du
phénomène, -
admette
un facteur
intégrant,
à
savoir
Si nous
le
transportons
tel
quel
en
mécanique,
il
faut
écrire
que
dL adinet
un