Sur l`interaction de Coulomb de deux atomes neutres

Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres
L. Goldstein
To cite this version:
L. Goldstein. Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres. J. Phys. Radium, 1936, 7
(11), pp.466-468. <10.1051/jphysrad:01936007011046600>. <jpa-00233454>
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Submitted on 1 Jan 1936
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SUR L’INTERACTION DE COULOMB DE DEUX ATOMES NEUTRES
Par L. GOLDSTEIN
Institut Henri Poincaré
Sommaire. 2014 Utilisant des formes analytiques approchées pour les fonctions de distribution stalistique
de potentiel et de charge atomique 2014 atome de Thomas-Fermi 2014 on évalue l’énergie d’interaction de
Coulomb de deux atomes neutres à l’approximation de ces formes analytiques, négligeant la polarisation
mutuelle des deux atomes. Si dans le cas de deux atomes différents l’énergie d’interaction se présente sous
une forme reiativement compliquée, dans le cas de deux atomes identiques, le rapport de l’énergie d’interaction à la puissance 7/3 du numéro ato nique est une fonction universelle simple de la variable
statistique habituelle, proportionnelle ici à la distance des deux noyaux atomiques.
1.
Dans un travail récent {’) nous avons utilisé
dans l’étude de divers phénomènes de diffusion atomique une fonction de potentiel analytique représentant avec une bonne approximation la fonction de
potentiel statistique rigoureuse des atomes
§
-
Zétatit le numéro atomique, h, e et m les constantes
universelles haèitue1l2s, r la distance du point considéré au centre de l’atome
la fonction universelle de Thomas-Fermi. Cette fonction dont on ignore
la forme analytique a été approchée à l’aide de la
fonction simple suivante (1) :
W
(1 ~= 1, ~, 3) désignent des constantes
Si la fonction précédente
représente
avec une bonne approximation la fonction rigoureuse
dans un intervalle étendu de la variable, par
contre elle ne vérifie pas aussi bien l’équation différenoù les ai
numériques.
Lie He
de Poisson donne pour la densité des électrons associée au potentiel sphérique (1), avec c5(x)
L’équation
rem placé par yo (1» ,
On cloit s’attenire, d’après ce qui précède, à ce que
la densité calculée n p (r) ne représente qu’une approximation mé liocce à la densité statistique rigoureuse.
Celle-ci correspond à la fonction ?(x) exacte dont la
forme analytique inconnue exclut son utilisation dans
l’équation de Poisson. L’allure de cette densité peut
être obtenue cependant, si l’on tient compte de la
relation fondamentale du modèle statistique
étant 1 impulsion maximum des électrons du gaz
décrivant l’atome au point situé à la distance r du
noyau. Comme on admet également dans la théorie du
modèle, que
P (J’)
’
on a
et en particulier pour les petites valeurs de la
variable. Il en résulte que pour les grandeurs qui
s’expriment à l’aide des dérivées de la fonction statisl’approximation obtenue à l’aide de
peut
perdre beaucoup de sa valeur. Il er~ serait ainsi dans le
cas où l’on utilise les densités de charge associées à (1)
avec 9 (.r) représenté par la forme approcllée 90 (x).
B 1).1. Physique, 1936, [ î~, 7, 25?i.
Z. PhYSlk, 19:~6, 98,
(~ S.
î42.
pour la densité
rigoureuse
--
.....-..
et l’on voit que l’allure analytique de la densité statistique exacte est tout à fait différente de celle de la densité JI p (1’) obtenue à l’aide de la forme analytique
approchée
(.r).
analytique approchée de îîs (r) s’obtient
remplaçant 9 (.x) par cpo (.1:); on trouve ainsi
jo
Une forme
eu
y
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01936007011046600
467
peut évaluer facilement l’énergie d’interaction électrostatique de deux atolnes neutres ; une expression explicite ne pouvait être donnée ne disposant pas d’une
forme analytique de la fonction 7’ (x). Il est clair que,
d’après la discussion précédente, la forme d’interaction résultante ne pourrait représenter qu’une approxi-
et cette densité
doit représenter une bien meilleure approximation de la densités exacte que ne l’est
donné par (~). Cependant la forme compliquée
de l1s"(r) rend très difficile son application. Il aurait pu
sembler qu’une forme analytique plus simple et équivalente à (8) pût être trouvée en évaluant, par
exemple, indirectement une grandeur dérivant de la
densité mais en faisant usage uniquement de la fonction 10 (a) approchée. C’est le cas du facteur de structure atomique. Sans passer par la densité (8), ce qui
n’aurait pas donné une forme fermée à cette grandeur
définie par
.
---
mation très modeste à la loi d’interaction de Coulomb
rigoureuse de deux atomes neutres.
Supposons qu’un système de coordonnées dont
l’origine coïncide
r.
K étant la longueur du vecteur impulsion perdue,
mesurée en unité h/21t, des ondes diffusées d’une
manière cohérente par l’atome numéro Z, nous avons
obtenu pour
une expression analytique fermée en
se servant uniquement de la fonction approchée
La forme trouvée (1) pour le facteur de structure est
Il résulte de
(9), d’après le théorème
(10), après un calcul
de Fourier
avec
le noyau de l’atome Z,
a son
polaire placé suivant l’axe nucléaire des deux
atomes, le second atome immobile 7,2 ayant son noyau
à la distance de l~ de l’origine. Pour obtenir l’énergie
d’interaction électrostatique des deux atomes on doit
évaluer l’énergie électrostatique de l’atome Z, placé
dans le champ de l’atome Z2 ainsi que l’énergie de ’/,2
et prendre la demi-somme de ces
dans le champ
deux quantités. Si
(R) et
(R) désignent
ces deux énergies respectives, on a, pour l’expression
cherchée,
axe
quantités Jl’ se composent chacune de deux termes
correspondant à l’énergie du noyau et à celle des électrons. Il est clair que l’énergie électrostatique du
noyau de Z, dans le champ de Z2 est, d’après ~9 ),
Les
avec
Pour calculer l’énergie électrostatique des électrons de
ZI dans le champ de Z,, rappelons que la quantité de
de cet atome placée
charge élémentaire
au point (1°,b) y possède l’énergie potentielle
élémentaire
-
j
a
retrouve, par conséquent, la densité np (r) obtenue~
directement à l’aide de l’équation de Poisson et la
fonction approchée c5o(x). Il résulterait donc de ce qui
on
précède que toutt on ayant
analytique de la fonction
une
bonne
compte tenu de ce que les distributions de potentiel et
de charge sont sphériques en vertu de (1) et (1) . Et, par
conséquent, l’énergie potentielle des électrons de Zi
sera
approximation
si elle conduit à une densité ayant une allure analytique différente de celle de la densité exacte, la valeur de l’approximation se trouve être considérablement réduite.
Nous voudrions néanmoins utiliser les fonctions de 90 (.1’) et np (r) pour évaluer l’énergie de Coulomb de deux atomes neutres, laissant de côté leur
polarisation mutuelle. Nous avons montré (1) qu’à
l’approximation du modèle d’atome statistique et
négligeant la polarisation mutuelle des deux atomes on
§
(e)
2.
r.
-
1 9 ~1 0, 191, 60G.
tenant
compte des
données par
et
expressions explicites de
et
sur
l’intégration
après
(2)
(-4)
nP(x)
l’angle équatorial. Les intégrales sont élémentaires et
l’on trouve, tous calculs faits,
/
/?
..
B
468
Il est évident maintenant que
(R) et sz,z, (R)
s’obtiennent de
(R) et
(R) en y permutant
Z, et Z2. On trouvera finalement, tenant compte de (12)
et de ce que
on
et
P
explicitant
( a.Zl/3. ô) ,
les fonctions
(2)
a
pour l’énergie d’interaction
avec
forme suivante
lomb de deux atomes de
trouve
la
de Cou-
Thomas-Fermi,
ou, encore,
posant
et c 0.
1, 2, 3) étant des constantes numériques s’exprimant à l’aide des aet fJ.j; on obtient
les bj
Rappelons que les constantes numériques ai et a
(i 1, 2, 3) sont respectivement : 0,255 ; 0,581 ; 0,~6~;
0,246 ; 0,947 et 4,356.
La formule précédente se simplifie dans le cas de
deux atomes identiques. Si l’on tient compte de ce que
=
l’on a, pour les termes carrés dans la
en (i 7),
somme
double
qui montre que le rapport Cz (R)jZ7j3 est la fonction
universelle simple y (x) de la variable statistique sans
dimension proportionnelle à
Les formules (1 ~)
et (20) pourraient être utilisées éventuellement pour
estimer l’énergie de Coulomb de deux atomes neutres.
ce
’
Manuscrit reçu le 31
juillet
1936