Sur l`interaction de Coulomb de deux atomes neutres

Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres
L. Goldstein
To cite this version:
L. Goldstein. Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres. J. Phys. Radium, 1936, 7
(11), pp.466-468. <10.1051/jphysrad:01936007011046600>.<jpa-00233454>
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SUR
L’INTERACTION
DE
COULOMB
DE
DEUX ATOMES NEUTRES
Par
L.
GOLDSTEIN
Institut Henri
Poincaré
Sommaire. 2014
Utilisant des formes
analytiques approchées pour
les
fonctions
de
distribution
stalistique
de
potentiel
et
de
charge
atomique 2014
atome
de
Thomas-Fermi 2014
on
évalue
l’énergie
d’interaction
de
Coulomb
de
deux
atomes neutres
à
l’approximation
de ces formes
analytiques,
négligeant
la
polarisation
mutuelle
des
deux atomes.
Si dans
le cas de
deux
atomes
différents
l’énergie
d’interaction
se
présente sous
une
forme
reiativement
compliquée,
dans
le
cas
de
deux atomes
identiques,
le
rapport
de
l’énergie
d’inte-
raction à la
puissance
7/3
du numéro
ato nique
est une fonction universelle
simple
de
la
variable
statistique
habituelle,
proportionnelle
ici
à la
distance
des
deux
noyaux
atomiques.
§
1.
-
Dans un
travail
récent {’)
nous avons utilisé
dans
l’étude
de
divers
phénomènes
de
diffusion
ato-
mique
une
fonction
de
potentiel
analytique
représen-
tan
t avec
une
bonne
approximation
la fonction
de
potentiel
statistique
rigoureuse
des
atomes
Zétatit
le numéro
atomique,
h,
e
et
m
les
constantes
universelles
haèitue1l2s, r
la
distance du
point
consi-
déré
au
centre de
l’atome
la fonction
univer-
selle
de Thomas-Fermi. Cette
fonction dont
on
ignore
la
forme
analytique
a été
approchée
à
l’aide de
la
fonction
simple
suivante
(1) :
W
où
les ai
(1
~=
1,
~, 3) désignent
des
constantes
numériques.
Si la fonction
précédente
représente
avec
une
bonne
approximation
la fonction
rigoureuse
dans
un
intervalle
étendu
de la
variable,
par
contre
elle
ne
vérifie
pas
aussi bien
l’équation
différen-
Lie He
’
et
en
particulier
pour
les
petites
valeurs de
la
variable. Il
en
résulte
que
pour
les
grandeurs qui
s’expriment
à
l’aide des dérivées de la
fonction
statis-
l’approximation
obtenue
à l’aide de
peut
perdre
beaucoup
de
sa
valeur.
Il er~ serait
ainsi
dans le
cas où l’on utilise les densités de
charge
associées à
(1)
avec
9 (.r)
représenté par
la
forme
approcllée
90 (x).
B 1).1.
Physique,
1936,
[ î~, 7,
25?i.
(~ S.
Z.
PhYSlk,
19:~6,
98,
î42.
L’équation
de Poisson donne
pour
la
densité des élec-
trons
associée
au
potentiel sphérique
(1),
avec
c5(x)
rem placé par
yo (1» ,
On
cloit
s’attenire,
d’après
ce
qui précède,
à
ce
que
la
densité calculée
n p (r)
ne
représente
qu’une
approxi-
mation mé liocce à
la
densité
statistique
rigoureuse.
Celle-ci
correspond
à
la
fonction ?(x)
exacte
dont
la
forme
analytique
inconnue
exclut
son utilisation
dans
l’équation
de Poisson.
L’allure
de
cette
densité
peut
être
obtenue
cependant,
si l’on tient
compte
de
la
relation
fondamentale
du
modèle
statistique
P (J’)
étant
1 impulsion
maximum
des
électrons du
gaz
décrivant l’atome au
point
situé à la
distance r
du
noyau.
Comme
on
admet
également
dans la
théorie
du
modèle,
que
on a
pour
la
densité
rigoureuse
-- .....-..
et
l’on
voit
que
l’allure
analytique
de la densité
statis-
tique
exacte est
tout
à
fait
différente
de
celle
de
la
den-
sité
JI p (1’)
obtenue à
l’aide
de
la forme
analytique
approchée
jo
(.r).
Une
forme
analytique
approchée
de îîs (r)
s’obtient
eu
y
remplaçant
9 (.x)
par
cpo (.1:);
on
trouve
ainsi
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01936007011046600

467
et
cette
densité
doit
représenter
une bien meil-
leure
approximation
de
la
densités
exacte
que
ne l’est
donné
par (~).
Cependant
la
forme
compliquée
de
l1s"(r)
rend très
difficile son
application.
Il
aurait
pu
sembler
qu’une
forme
analytique
plus simple
et
équi-
valente
à
(8)
pût
être
trouvée
en
évaluant,
par
exemple,
indirectement
une
grandeur
dérivant
de
la
densité
mais en
faisant
usage
uniquement
de la fonc-
tion
10
(a)
approchée.
C’est
le cas du
facteur de
struc-
ture
atomique.
Sans
passer par
la
densité
(8),
ce
qui
n’aurait
pas
donné une
forme
fermée
à
cette
grandeur
définie
par
--- . r.
K
étant la
longueur
du
vecteur
impulsion perdue,
mesurée en unité
h/21t,
des
ondes
diffusées
d’une
manière
cohérente
par
l’atome
numéro Z,
nous
avons
obtenu
pour
une expression analytique
fermée
en
se
servant
uniquement
de
la
fonction
approchée
La forme
trouvée
(1) pour
le facteur
de
structure
est
Il
résulte
de
(9),
d’après
le
théorème
de
Fourier
avec
(10),
après
un
calcul
élémentaire
a
on
retrouve,
par
conséquent,
la densité
np (r)
obtenue
directement
à l’aide
de
l’équation
de
Poisson et
la
fonction
approchée
c5o(x).
Il résulterait donc de ce
qui
précède que
tout t
on
ayant
une bonne
approximation
analytique
de la
fonction
si
elle
con-
duit à
une densité
ayant
une allure
analytique
diffé-
rente de
celle de la densité
exacte,
la valeur de
l’ap-
proximation
se
trouve
être considérablement
réduite.
§
2.
-
Nous
voudrions
néanmoins utiliser
les
fonc-
tions de
90
(.1’)
et
np
(r)
pour
évaluer
l’énergie
de
Cou-
lomb de deux
atomes
neutres,
laissant
de
côté leur
polarisation
mutuelle. Nous
avons montré
(1)
qu’à
l’approximation
du
modèle d’atome
statistique
et
négligeant
la
polarisation
mutuelle des
deux
atomes
on
(e)
r.
1 9 ~1 0,
191,
60G.
peut
évaluer facilement
l’énergie
d’interaction électro-
statique
de
deux
atolnes
neutres ;
une
expression
expli-
cite ne
pouvait
être
donnée ne
disposant pas
d’une
forme
analytique
de la
fonction
7’
(x).
Il est clair
que,
d’après
la discussion
précédente,
la
forme
d’interac-
tion
résultante ne
pourrait
représenter
qu’une
approxi-
mation très modeste
à
la
loi d’interaction
de Coulomb
rigoureuse
de
deux
atomes neutres.
Supposons qu’un
système
de coordonnées dont
l’origine
coïncide avec
le
noyau
de
l’atome
Z,
a
son
axe
polaire
placé
suivant
l’axe
nucléaire
des
deux
atomes,
le
second
atome
immobile 7,2
ayant
son
noyau
à la
distance de
l~
de
l’origine.
Pour obtenir
l’énergie
d’interaction
électrostatique
des
deux atomes
on doit
évaluer
l’énergie
électrostatique
de
l’atome
Z,
placé
dans le
champ
de
l’atome
Z2
ainsi
que
l’énergie
de
’/,2
dans
le
champ
et
prendre
la
demi-somme
de ces
deux
quantités.
Si
(R)
et
(R) désignent
ces deux
énergies respectives,
on
a,
pour l’expression
cherchée,
Les
quantités
Jl’ se
composent
chacune de
deux termes
correspondant
à
l’énergie
du
noyau
et
à
celle des
élec-
trons.
Il est
clair
que
l’énergie
électrostatique
du
noyau
de Z,
dans
le
champ
de
Z2
est,
d’après
~9 ),
Pour
calculer
l’énergie
électrostatique
des
électrons
de
ZI
dans
le
champ
de
Z,,
rappelons que
la
quantité
de
charge
élémentaire
-
de
cet
atome
placée
au
point
(1°,b)
y possède
l’énergie potentielle
j
compte
tenu de
ce
que
les distributions
de
potentiel
et
de
charge
sont
sphériques
en vertu de
(1)
et
(1) .
Et,
par
conséquent,
l’énergie potentielle
des électrons
de
Zi
~
sera
tenant
compte
des
expressions
explicites
de et
nP(x)
données
par
(2)
et
(-4)
après
l’intégration
sur
l’angle
équatorial.
Les
intégrales
sont
élémentaires
et
l’on
trouve,
tous
calculs
faits,
/ /? .. B

468
Il est
évident
maintenant
que
(R)
et
sz,z, (R)
s’obtiennent
de
(R)
et
(R)
en
y
permutant
Z,
et
Z2.
On
trouvera
finalement,
tenant
compte
de
(12)
et de
ce
que
et
explicitant
avec
(2)
les
fonctions
( a.Zl/3.
ô) ,
la
P
a
forme suivante
pour
l’énergie
d’interaction
de
Cou-
lomb de
deux
atomes
de
Thomas-Fermi,
Rappelons
que
les
constantes
numériques ai
et
a
(i
=
1,
2, 3)
sont
respectivement :
0,255 ;
0,581 ;
0,~6~;
0,246 ;
0,947
et
4,356.
La
formule
précédente
se
simplifie
dans le
cas
de
deux
atomes
identiques.
Si
l’on tient
compte
de ce
que
l’on
a,
pour
les termes carrés dans
la
somme
double
en (i 7),
on trouve
ou, encore,
posant
les bj
et
c
0.
1,
2,
3)
étant des
constantes
numé-
riques s’exprimant
à l’aide
des a et
fJ.j;
on
obtient
ce
qui
montre
que
le
rapport
Cz
(R)jZ7j3
est
la
fonction
universelle
simple y
(x)
de
la
variable
statistique
sans
dimension
proportionnelle
à
Les
formules
(1 ~)
et
(20)
pourraient
être utilisées
éventuellement
pour
estimer
l’énergie
de
Coulomb de deux
atomes
neutres.
’
Manuscrit
reçu
le
31
juillet
1936