7 Etude d`une bobine

7 Etude d’une bobine
Responsable : J.Roussel
Objectif
Le but de ce TP est d’estimer les valeurs de la self inductance L et
de la résistance interne r d’une bobine à l’aide d’un modèle simple
puis de confronter le modèle aux résultats expérimentaux.
Prérequis
– Lire « L’approche expérimentale ».
– Revoir le cours d’électricité (régime sinusoïdal).
7.1 Modèle théorique
7.1.1 Bobine simple
On forme une bobine simple en enroulant du fil
de cuivre sur un cylindre de diamètre D et de
longueur `. Le fil de cuivre a pour épaisseur d
et est enroulé en formant N spires jointives. On
cherche à exprimer la self-inductance L et la résistance interne r en fonction de N , D, d, ` et γ
la conductivité du cuivre.
Résistance interne
d
D
`
Figure 7.1:
Le fil de cuivre ayant une conductivité γ finie, la bobine résiste au passage du courant. Sa
résistance interne r s’obtient à l’aide de la loi d’ohm. Si la densité de courant est uniforme
dans le fil conducteur, on a
→
−
→
−
j = γE
L’intensité du courant électrique est donné par I = jS = γES et la tension aux bornes
du fil conducteur par U = E`c où `c désigne la longueur de fil de cuivre. La résistance du
bobinage vaut donc
1 `c
U
=
r=
I
γS
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7 Etude d’une bobine
Or si d est le diamètre du fil, sa section vaut S = π d2 /4. De plus, il y a N spires enroulées
qui ont pour longueur πD de sorte que `c = N πD. Finalement la bobine possède une
résistance interne qui augmente avec le nombre de spires :
r=
4N D
γd2
7.1.2 La self inductance
Étudions maintenant la self inductance. On considère la bobine suffisamment longue pour
pouvoir négliger les effets de bord de sorte que la bobine est assimilable à un solénoïde
infini. Dans ce cas, lorsqu’elle est parcourue par un courant d’intensité I, elle produit un
champ magnétique axial et uniforme dans la bobine
B∞ = µ0 nI
avec
µ0 = 4π.10−7 H.m−1
où n désigne la densité d’enroulement en nombre de spires/mètre, soit n = N/`. Par
ailleurs le flux du champ magnétique à travers une spire vaut Φ1 = B∞ πD2 /4. Donc le flux
embrassé par les N spires, vaut
Φ = N Φ1 = N 2 µ0
π D2
×I
4 `
Ce flux est proportionnel à l’intensité électrique.
Définition
L’inductance L d’un circuit électrique est définie comme le rapport
entre le flux magnétique embrassé par le circuit et l’intensité du
courant :
Φ
L=
I
On en déduit la valeur de l’auto-inductance de la bobine :
π D2
L = µ0 N 2
4 `
7.1.3 Bobine multicouche
Pour les mesures (partie II) on utilise une bobine dont l’enroulement est répété plusieurs
fois de façon à former plusieurs couches. Si l’épaisseur du fil est faible devant le diamètre
de la bobine on peut considérer que toutes les spires ont le même diamètre de sorte que
les formules précédentes restent approximativement valides. On a donc
L = µ0 N 2
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π D2
4 `
et
r=
4N D
γd2
(7.1)
7.2 Manipulation
7.1.4 L’effet de peau
L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait qu’en régime alternatif, le
courant est plus important en surface des conducteurs. Ce phénomène d’origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Plus
précisément, un courant alternatif de fréquence f se réparti essentiellement sur une couche
d’épaisseur
1
δ=√
γµ0 πf
Ainsi, le courant se répartit sur une couche pelliculaire d’autant plus fine que la fréquence
est grande. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur avec la fréquence.
On peut montrer qu’à basse fréquence, la résistance d’une bobine doit croître avec la
fréquence de façon quadratique :
r = r0 (1 + bf 2 )
7.2 Manipulation
On utilise une bobine LEYBOLD. Le constructeur donne :
d
`
D
0, 8 mm
7 cm
7 cm
N
γ
1000 5, 8.107 S.m−1
On place la bobine étudiée dans un circuit électrique avec une résistance variable R et un
condensateur de capacité variable C de façon à former un circuit RLC série. L’ensemble
est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale.
CH1
CH2
L, r
•
C
•
•
•
ue (t)
GBF∼
R
us (t)
•
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7 Etude d’une bobine
Rappel
L’impédance complexe du circuit RLC série vaut
1
Z = R + r + i Lω −
Cω
Il y a résonance de la tension aux bornes de la résistance quand
l’impédance |Z| est minimum c’est-à-dire quand
Lω =
1
Cω
=⇒
ω=√
1
LC
À la résonance, le dipôle RLC se comporte donc comme une résistance R+r. Par conséquent l’intensité et la tension d’entrée oscillent
en phase.
Mesure de L
1. Réalisez le montage. Fixez C = 1 µF et R = 100 Ω.
Demandez à l’enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien
allumer avant cette vérification !
2. Réglages sur l’oscillo : appuyez sur CH1 . Couplage . AC puis LimitBP . Activé.
Idem pour la voie CH2. Enfin, les signaux étant assez bruités, on améliore la précision
en faisant la moyenne sur N signaux ( Acquire . Acquisition . Moyenne : choisir
N = 32 ou 64 ).
3. Réglez l’amplitude de la tension d’entrée de façon à ce que la tension crête à crête
ne dépasse pas 2V (appuyez sur Measure )
4. Cherchez la fréquence de résonance pour laquelle les deux signaux sont en phase
( Measure . Temps . Phase).
5. Collectez les fréquences de résonance f0 pour différentes valeurs de C. On estimera
également l’incertitude de mesure sur f0 et C (pour la capacité, la précision constructeur vaut ∆c = 1%).
À l’aide d’une régression déduire la valeur de L puis confronter cette valeur à ce que donne
notre modèle théorique.
Mesure de r
Notre expérience nous permet également de mesurer la résistance interne de la bobine pour
différentes fréquences. Pour cela on mesure, à la résonance, les tensions crête-à-crête U1 et
U2 respectivement aux bornes de la source et aux bornes de R.
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7.2 Manipulation
1. Reprenez le montage précédent en fixant R = 20 Ω.
2. Collectez dans un tableau les valeurs de U1 et U2 pour différentes valeurs de C et
donc pour différentes fréquences.
3. Montrez que le rapport U1 /U2 est relié à r et R.
4. Calculez les valeurs de la résistance interne r. Que constatez vous ?
5. Mettez en évidence l’effet de peau. Donnez les valeur de r0 et b.
Matériel :
– Une résistance x10 Ω ;
– une bobine LEYBOLD 1000 tours ;
– une boîte de condensateurs ;
– un oscilloscope numérique ;
– un GBF Metrix GX249 ;
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