théorie des nombres - Université de Rennes 1

THÉORIE DES NOMBRES
Cours à l’Université de Rennes 1 (2007–2008)
Antoine Chambert-Loir

Antoine Chambert-Loir
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Version du 7 avril 2008
La version la plus à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://perso.univ-rennes.fr/
antoine.chambert-loir/2007-08/h4/

SOMMAIRE
1. Nombres premiers ...................................................... 1
Rappels : factorisation, théorème d’Euclide, 1 ; Critères de primalité ou
de non-primalité, 8 ; Le théorème des nombres premiers, 16 ;
Le théorème de la progression arithmétique, 25.
2. Corps finis .............................................................. 35
Extensions de corps, 35 ; Corps finis, 50 ; La loi de réciprocité quadratique, 56 ;
Polynômes irréductibles dans un corps fini, 70.
3. Géométrie des nombres .................................................. 79
Formes quadratiques binaires, 79 ; Sous-groupes discrets de Rn, groupes
abéliens de type fini, 87 ; Théorèmes de Hermite et Minkowski, 97.
4. Anneaux d’entiers algébriques ............................................105
Nombres algébriques, entiers algébriques, 105 ; L’anneau des entiers d’un
corps de nombres; ordres, 115 ; Le théorème des unités, 121 ;
Factorisation ; groupe des classes d’idéaux, 126.
Bibliographie ..............................................................139

CHAPITRE 1
NOMBRES PREMIERS
§1.1. Rappels : factorisation, théorème d’Euclide
A. Définition, crible d’Ératosthène
Le premier chapitre de ce cours de théorie des nombres concerne les nombres pre-
miers ; rappelons qu’on dit qu’un nombre entier p>1 est un nombre premier s’il n’est
divisible par aucun autre nombre entier positif que 1 et lui-même. On notera Pl’en-
semble des nombres premiers.
Il convient de remarquer que tout nombre entier strictement supérieur à 1 est mul-
tiple d’un nombre premier : c’est clair s’il est lui-même premier et dans le cas contraire,
c’est un multiple de deux nombres entiers strictement plus petits qui sont par récur-
rence multiples d’un nombre premier. On peut encore raffiner cette remarque : tout
nombre entier nstrictement supérieur à 1 qui n’est pas premier est divisible par un
nombre premier au plus égal à n.
Cette remarque faite, on peut alors commencer à énumérer les éléments de Pà
l’aide du crible d’Eratosthène qui consiste à écrire les nombres entiers 2,..., jusqu’à un
certain point, disons 20 :
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
puis à raisonner de la façon suivante. L’entier 2 est premier, donc ses multiples 4,6,...
ne le sont pas ; on les raye :
2,3, ✁ 4,5, ✁ 6,7, ✁ 8,9,✚
✚
10,11,✚
✚
12,13,✚
✚
14,15,✚
✚
16,17,✚
✚
18,19,✚
✚
20.
Après 2, le premier entier non rayé, en l’occurence 3, est forcément un nombre pre-
mier : dans le cas contraire, il aurait été multiple d’un nombre premier déjà détecté ;
on le sélectionne et on raye ses multiples 6,9,... :
2,3,✁ 4,5, ✁ 6,7, ✁ 8, ✁ 9,✚
✚
10,11,✚
✚
12,13,✚
✚
14,✚
✚
15,✚
✚
16,17,✚
✚
18,19,✚
✚
20.
De même, 5 est premier, on raye ses multiples :
2,3,✁ 4,5,✁ 6,7, ✁ 8, ✁ 9,✚
✚
10,11,✚
✚
12,✚
✚
13,✚
✚
14,✚
✚
15,✚
✚
16,17,✚
✚
18,19,✚
✚
20.