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Troisièmes
DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
15 novembre 2013
Exercice 1
(2 points)
Calculer en détaillant : A =
(
×
A = (2 +
2
):5
12
A = (2 +
1 1
)
6 5
)
Donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
12 1 1
A=( + )
6 6 5
13 1

6 5
13
A=
30
A=
Exercice 2
(1,5 points)
Pour chaque question ci-dessous, choisir et cocher la bonne réponse parmi les trois proposées.
Aucune justification n’est demandée.
Attention : + 0,5 point par bonne réponse ; – 0,5 point par réponse fausse ; 0 point si pas de réponse.
1. l’inverse de 1 est :
 –1
2+3
2.
s’écrit aussi :
47
 (2 + 3)  (4  7)
1
2
 2 + 3  (4  7)
2+347
3. Si x = – 4 alors x + 4 + (x + 4)(2x – 5) est égal à :
 –4
Exercice 3
 –1
0
(3 points)
Trois affirmations sont données ci-dessous.
Pour chacune d’elle, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.
1
Affirmation 1 : Le nombre a une écriture décimale.
8
1
Vrai, = 0,125
8
Affirmation 2 : 72 a exactement cinq diviseurs.
Faux, 72 est divisible en autre par : 1 ; 72 ; 2 ; 36 ; 8 et 9.
Affirmation 3 : Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Faux, 9 et 15 sont impairs et ils ont deux diviseurs communs : 1 et 3.
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Exercice 4
(5,5 points)
Dans l’océan Pacifique nord, des déchets plastiques qui flottent se sont accumulés pour constituer une
poubelle géante (également nommée vortex d'ordures) qui est, aujourd’hui, grande comme 6 fois la France.
1. Sachant que la superficie de la France est d’environ 550 000 km², quelle est la superficie actuelle de cette
poubelle géante ? Donner le résultat sous forme décimale, puis en notation scientifique.
S = 6  550 000 = 3 300 000 km2, soit 3,3  106 km2.
2. Sachant que la superficie de cette poubelle géante augmente chaque année de 10 %, quelle sera sa
superficie dans un an ?
10
10 % de 3 300 000 :
 3 300 000 = 330 000
100
Dans un an la superficie sera égale à : S1 = 3 300 000 + 330 000 soit 3 630 000 km2.
3. Que penser de l’affirmation « dans 4 ans, la superficie de cette poubelle aura doublé » ?
Justifier votre réponse.
Elle est fausse. En effet, dans deux ans la superficie sera égale à : S2 = 3 630 000 + 363 000 = 3 963 000
Dans trois ans :
S3 = 3 993 000 + 399 300 = 4 392 300
Et dans quatre ans : S4 = 4 392 300 + 439 230 = 4 831 530,
Or
2  3 300 000 = 6 600 000
Exercice 5
(7 points)
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne
suivante : « Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un
nombre entier de centimètres et de façon à ne pas avoir de perte. »
1. Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté ? Justifier votre réponse.
Non. 10 n’est pas un diviseur de 88, donc l’ouvrier ne peut pas découper sans avoir de perte.
2. Peut-il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté ? Justifier votre réponse.
Oui. 11 est un diviseur de 88 et de 110, donc l’ouvrier peut découper et il n’y aura pas de perte.
3. On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles.
a) Quelle sera la longueur du côté d’un carré ?
Pour ne pas avoir de perte, il faut choisir un diviseur commun à 110 et 88. Si, de plus, on veut les carrés les
plus grands possibles. Alors il faut trouver le PGCD de 110 et 88.
Utilisons l’algorithme d’Euclide. Effectuons la division euclidienne de 110 par 88, et ainsi de suite.
110 = 88  1 + 22
88 = 22  4 + 0.
Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD(110 ; 88) = 22.
La longueur du carré doit être de 22 cm.
b) Combien y aura-t-il de carrés par plaque ?
110 : 22 = 5 (nombre de carrés dans la longueur)
88 : 22 = 4 (nombre de carrés dans la largeur)
Soit 5  4 = 20. Il y aura 20 carrés par plaques.
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Exercice 6
(3 points)
Compléter par VRAI ou FAUX. La figure n’est pas en vraie grandeur.
Attention : + 0,5 point par bonne réponse ; – 0,5 point par réponse fausse ; 0 point si pas de réponse.
• KIJ est un angle inscrit dans le cercle
VRAI
• KIJ = 73°
VRAI
• KIJ intercepte l’arc IJ
FAUX
• KGJ intercepte l’arc JK
VRAI
• L’angle de 214° est un angle saillant
FAUX
• L’angle de 214° est un angle au centre
VRAI
Exercice 7
(4 points)
La figure n’est pas en vraie grandeur. AE = 36 cm ; AP = 15 cm ; EP = 39 cm.
1. Le triangle APE est-il rectangle ?
Dans le triangle PAE, le plus grand côté est [PE].
Calculons séparément PE² et PA² + AE².
PE² = 39²
et
PA² + AE² = 15² + 36²
PE² = 1 521 et
PA² + AE² = 225 + 1 296
PA² + AE² = 1 521
Finalement, PE² = PA² + AE².
Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PAE est rectangle en A.
2. Calculer l’aire du triangle APE.
AE  AP 36  15
=
=
= 270
2
2
Exercice 8
L’aire du triangle est égale à 270 cm².
(4 points)
A est le centre du cercle passant par C, E, D et F. DCE = 27°. Calculer les angles EAD et EFD.
 Je sais que DCE et EFD sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc DE.
Or, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Donc DCE = EFD = 27°
 Je sais que : DCE est un angle inscrit ;EAD est un angle au centre et ils interceptent le même arc DE.
Or, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est
égale à la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
1
Donc DCE =  EAD
2
EAD = 2  DCE
EAD = 2  27
EAD = 54°
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Exercice 9
(8 points)
Le motif de décoration ci-contre représente une fleur.
ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. CH = 3cm. I est le centre du demi-cercle passant par C, H et B.
1. a) Démontrer que le triangle BCH est rectangle en H.
Je sais que le triangle BCH est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [BC] qui est l’un de ses côtés.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors le
triangle est rectangle est le côté est l’hypoténuse.
Donc le triangle BCH est rectangle en H ([BC] est l’hypoténuse).
b) Justifier que le triangle CHB est aussi isocèle.
La droite (HI) est la médiatrice du segment [BC]. Donc H est équidistant des points B et C.
Par conséquent, le triangle BCH est isocèle en H.
2. Calculer le périmètre de l’hexagone régulier.
En donner la une valeur exacte, puis approchée au dixième de mm.
Calculons d’abord la longueur BC.
Le triangle BCH est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore on a :
BC² = BH² + HC²
BC² = 3² + 3²
BC² = 9 + 9
BC² = 18
BC = 18 (ou 3 2) (ou BC  4,24)
Le périmètre est égale à 6  BC, soit 6  18  25,46
Le périmètre de l’hexagone régulier est égal à 6 18 cm (ou 18 2), soit environ 25,46 cm (arrondi au
dixième de mm).
3. Calculer les angles HOB, puis IBO.
 ABCDEF est un hexagone régulier, donc BOC = 360 : 6 = 60°
De plus il est inscrit dans un cercle de centre O, donc le triangle BCO est isocèle en O.
Or la droite (IO) est la médiatrice du segment [BC], donc c’est aussi la bissectrice de l’angleBOC.
1
Par conséquent, HOB =  BOC
2
HOB = 30°
 Dans le triangle BIO rectangle en I, les angles IBO et IOB sont complémentaires.
Donc IBO = 90 – IOB = 90 – 30
IBO = 60°
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Question bonus (2 points)
Tracer le motif complet en vraie grandeur en utilisant le segment [CH] ci-dessous.
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