NYB XXI - Chapitre 1.8a

Chapitre 1.8a – Le champ électrique d’une tige par
intégration : sur l’axe
Le champ généré par une distribution de charges
La technique à employer pour évaluer le champ électrique généré par une distribution de
charge est la sommation continue du champ électrique. Cette technique consiste à découper
la distribution de charges en éléments
de charges infinitésimales dQ générant chacun un
v
champ électrique infinitésimal dE et d’additionner tous les champs infinitésimaux à l’aide
d’une intégrale.
Exemple :
Une plaque de dimension L × L découpée en plusieurs sphères
infinitésimales.
Avant découpage
L
Après découpage
v
dE
L
Q
P
r
v
E
L
r̂
L
P
v
E
dQ
v
L’équation associée au champ électrique infinitésimal dE généré par la charge
infinitésimale dQ dépend de la forme de la charge infinitésimale. Une charge
infinitésimale dQ en forme
de cube, de coquille ou d’arc de cercle infinitésimal génère
v
un champ électrique dE équivalent à celui d’une charge ponctuelle :
v
dQ
dE = k 2 rˆ
r
où
v
dE : Champ électrique infinitésimal (N/C)
dQ : Charge ponctuelle infinitésimale qui génère le champ électrique (C)
r : Distance entre la charge dQ et le point P(m)
k : Constante de la loi de Coulomb ( 9,00 × 10 9 N ⋅ m 2 /C 2 )
r̂ : Vecteur unitaire orientation de dQ (source) vers le point P (cible)
v
L’expression associée à dE dépend de la forme du découpage et sera exprimée dans les
coordonnées du système d’axe utilisées
pour effectuer le découpage. La sommation des
v
champs électriques infinitésimaux
d
E
devra
s’effectuer grâce à une intégrale et permettra
v
d’évaluer le champ électrique E total :
v
v
E = ∫ dE
où
v
E : Champ électrique total (N/C)
v
dE : Champ électrique infinitésimal (N/C)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Découpage d’une densité de charges
v
Pour évaluer le champ électrique E d’une distribution continue de charges, il faut découper
l’espace en plusieurs volumes infinitésimaux contenant une densité de charges et faire la
sommation du champ électrique généré par toutes ces charges.
Voici quelques formes de découpage infinitésimal fréquemment employées :
En 1D : Densité linéaire [λ ] = C/m
et
dQ = λ dL
Tige :
dQ = λ dx
Tige cylindrique :
dQ = λ R dθ
dQ
λ
dx
En 2D : Densité surfacique [σ ] = C/m 2
Carré :
dQ = σ dx dy
et
dQ = σ dA
Carré sphérique:
dQ = σ R 2 sin (φ ) dθ dφ
Carré cylindrique :
dQ = σ R dR dθ
dQ
dy
σ
dx
En 3D : Densité volumique [ρ ] = C/m 3
Cube1 :
dQ = ρ dx dy dz
dQ = ρ dV
Cube sphérique3 :
dQ = ρ R 2 sin (φ ) dR dθ dφ
Cube cylindrique2 :
dQ = ρ R dR dθ dz
dQ
dy
dz
et
ρ
dx
Remarque :
x, y, z ∈ [− ∞ .. ∞]
et
R ∈ [0 .. ∞]
θ ∈ [0 .. 2π ]
θ : Longitude
θ : Axe parallèle à x
φ : Colatitude
« Rotation plan xy »
φ ∈ [0 ..π ]
φ : Axe parallèle à z
« Rotation +z à –z »
1
Ce découpage s’effectue dans le système d’axe xyz qui porte le nom de coordonnée cartésienne.
Ce découpage s’effectue dans le système d’axe Rθz qui porte le nom de coordonnée cylindrique.
3
Ce découpage s’effectue dans le système d’axe RθΦ qui porte le nom de coordonnée sphérique.
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Champ électrique sur l’axe d’une tige rectiligne uniformément
chargée (TRUC sur l’axe)
Le module du champ électrique E généré par une
tige finie uniformément chargée de longueur L le
long de son axe dépend de la distance D entre la
tige et l’endroit P où l’on désire évaluer le champ
électrique, la longueur L de la tige et de la charge
Q qu’elle porte :
E=
où
Q>0
P
L
D
v
E
kQ
D (D + L )
E : Module du champ électrique (N/C)
Q : Charge électrique totale sur la tige en coulomb (C)
D : Distance le point P et la tige en mètre (m)
L : Longueur de la tige en mètre (m)
k : Constante de la loi de Coulomb, k = 9,00 × 10 9 N ⋅ m 2 /C 2
Preuve :
Considérons une tige de charge positive Q et de longueur L dont la densité de charge λ est
homogène. Évaluons le module du champ électrique sur l’axe de la tige à une distance D de
celle-ci. Pour simplifier le calcul sans perdre toute généralité, alignons la tige le long de
l’axe x et évaluons le champ à l’origine (coordonnée du point P) :
Charge sur la tige :
y (m )
L
P
Q=λL
λ >0
x(m )
D
Découpons notre tige en morceau de tige infinitésimale de largeur dx et représentons le
v
champ électrique infinitésimal dE produit par cette charge infinitésimale dQ à l’aide de
notre système d’axe :
Champ électrique infinitésimal :
et
v
dQ
dE = k 2 rˆ
r
dQ = λ dx
y(m )
L
v
dE P
r=x
v
rˆ = −i
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
r̂ dQ
D
r
dx
x(m )
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Posons notre intégrale afin d’additionner toute la contribution au champ électrique de tous
les dQ situés sur la tige entre la coordonnée x = D et x = D + L :
v
v
E = ∫ dE
v
dQ
E = ∫ k 2 rˆ
r
v
(λ dx ) (− iv )
E = ∫k
( x )2
⇒
⇒
v
(Remplacer dE )
(Remplacer r , r̂ et dQ )
⇒
v
dx v
E = −kλ ∫ 2 i
x
(Factoriser les constantes)
⇒
D+L
v
dx v
E = −kλ ∫ 2 i
x=D x
(Borne : x = D → D + L )
D+L
v
 1 v
E = − kλ −  i
 xD
v

1   1  v
 −  −
 i
E = − kλ  −
(
)
(
)
D
+
L
D





v
1 v
1
E = −kλ  −
i
D D+ L
v

v
L
i
E = −kλ 
 D(D + L ) 
v
v
Q
E = −k
i
D (D + L )
kQ
E=
■
D (D + L )
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
(Résoudre l’intégrale)
(Évaluer l’intégrale)
(Réécriture)
(Dénominateur commun et simplifier D)
(Remplacer Q = λ L )
(Module du champ électrique)
Situation A : Attirer avec une tige chargée. Une tige uniformément chargée de 15 cm de
longueur possède une charge de − 5 µC et est utilisée pour soulever verticalement une
bille de 5 g possédant une charge de 8 nC déposée sur une table. On désire évaluer
l’accélération de la bille lorsqu’elle quitte la table sachant que la tige est alignée
verticalement et qu’elle est située à 5 cm de la bille.
Voici la représentation graphique de la situation si la bille quitte la table :
y
L = 15 cm
v
E
v
Fe
Représentation graphique de la 2ième loi de
Newton :
D = 5 cm
v
a
v
Fe
v
mg
v
ma
v
mg
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Évaluons le module du champ électrique à l’endroit où la bille est située :
E=
⇒
(9 × 10 ) − 5 × 10
E=
(5 × 10 )(( 5 × 10 ) + (15 × 10 ))
⇒
E = 4,5 × 10 6 N/C
9
kQ
D (D + L )
−2
−6
−2
−2
Évaluons la 2ième loi de Newton afin d’évaluer l’accélération selon l’axe y :
∑F
y
= ma y
⇒
Fe − mg = ma y
⇒
( q E ) − mg = ma
⇒
(8 × 10 )(4,5 × 10 ) − (0,005)(9,8) = (0,005)a
⇒
0,036 − 0,049 = 0,005a y
(Calcul)
⇒
a y = −2,6 m/s 2
(Isoler a y )
(Remplacer
−9
L = 15 cm
v
E
v
Fe
v
n
y
)
(Remplacer Fe = q E )
y
6
y
(Remplacer val. num.)
En conclusion, puisque les calculs mènent à une accélération négative qui est contradictoire
avec notre hypothèse initiale (accélération positive), la bille sera alors supportée par une
force normale et elle ne quittera pas la table. Son accélération est donc nulle.
y
∑F
Représentation graphique de la 2ième loi de
Newton :
v
n
D = 5 cm
v
a =0
v
Fe
v
mg
v
mg
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Exercice
Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 20
Une très petite sphère de masse m et de charge q lévite à une
distance d au-dessus d’une tige isolante verticale de longueur
L chargée uniformément. Montrez que la densité de charge de
la tige, λ est donnée par :
λ=
mgd (d + L )
kqL
Solution
Note Science Santé – Chapitre 1 – Question 20 – Solution
v
Évaluer le champ E à y = 0 selonvun système
d’axe y positif vers le bas : ( rˆ = − j )
v
dQ
E = ∫ k 2 rˆ
r
dQ v
= ∫ k 2 (− j )
r
Avec :
dQ = λ dy
et
r=y
v d +L
λ dy v
E = ∫ −k 2 j
y
y =d
⇒
d +L
v
dy v
E = − kλ ∫ 2 j
y =d y
d +L
⇒
⇒
⇒
v
 1 v
E = − kλ − 
j
 y d
v
1
1 v

E = − kλ  −
−− j
d
 d+L
v
1 v
1
E = −kλ  −
j
d d + L
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Ainsi :
v
v
Fe = qE
⇒
v
1 v
1
Fe = − kλq −
j
d d + L
Selon notre référentiel :
v
v
Fg = mg j
On veut que la masse lévite, alors :
v
v
∑F = F
g
v
+ Fe = 0
⇒
v
1 v
1
mg j − kλq −
j =0
d d + L
⇒
v
1  v
1
mg j = kλq −
 j
d d + L
⇒
1 
1
mg = kλq −

d d + L
⇒
mg  1
1 
λ=
 −

kq  d d + L 
−1
On remarque :
1
1
d +L−d
L
−
=
=
d d + L d (d + L ) d (d + L )
⇒
1 
1
 −

d d + L
−1
=
d (d + L )
L
On remplace dans notre expression de λ pour obtenir la solution finale :
λ=
mgd (d + L )
kqL
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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