Démonstration d`une formule d`Euler, sur les diviseurs d`un nombre

NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
LEBESGUE
Démonstration d’une formule d’Euler,
sur les diviseurs d’un nombre
Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 12
(1853), p. 232-235
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DÉMONSTRATION DUNE FORMULE D'EULER, SUR LES DIVISEURS
D'UN NOMBRE;
PAR M. LEBESGUE.
\. Posons
[(' - *) (i - *2) (i - *3) • • • (i - *r') • • •]'"
= Ao + A,.r+A2.r2-4- . ..;
on reconnaît de suite que pour m entier positif, A, est
toujours entier, et comme
il en sera de même pour le cas de m entier négatif.
2. Prenons les logarithmes des deux membres, puis les
dérivées, ensuite multiplions par x, divisons par m et
changeons les signes-, il viendra
3.r3 nrxn
I X 1 X2 I X1 I X"
- ' (A
I + 2A r>+3A x» )
~~ A0-h A,a:-}-A2^2 + . . .
3. A cause de
n xa , .

en réduisant le premier membre de l'équation de l'ar-
ticle 2 à la forme entière, on a
171
en représentant paï» Jn la somme des diviseurs du nom-
bre entier n,
4. Chassant le dénominateur et passant tous les termes
dans le premier membre
?
on trouve
3 A
4- . . . = o.
Il faut donc poser généralement
Ao ƒ n -h A, ƒ ( n — i ) -+- A2 ƒ ( « — i )
posant m= i, on a ia formule d'Euler, et il l'obtient
précisément de même.
5. Euler a trouvé, par induction, les coefficients du
développement de
; (l-*)(l-*»)(l--*0...,
par une règle qui revient à ceci :
J°. Le coefficient est nul quand l'exposant n'est pas de
la forme
et chaque terme est de la forme (— i )" x
2 -,
2°. Il faut prendre successivement les deux signes -, on

n'a jamais
2 2
d'où résulterait
3(«-») = i;
*
ce qui est impossible , n et v étant entiers.
Ce qui rend sa formule d'une application facile, c'est
que les coefficients ont pour valeurs o, i, — i>
6. Comme
ƒ, = ,, /2 = 3, /3 = 4, /4=7, ƒ5 = 6, etc.,
on trouve sans difficulté, au moyen des équations sui-
vantes (Ao = i) :
A,
r
h A ~ o,
m
J
2 A
h A,/l +/2==O,
m ^ J
^1 4- A3 ƒ i -4- A2 ƒ 2 + A, ƒ3 + ƒ 4 = o,
^h.
+
A4/i + A3 ƒ2 H- A, ƒ 3 + A, ƒ< + ƒ5 = o ,
m
etc.
A
/;/
i
m.h
i
* — 3
.2
— m ( /?? -
i
— i
. ?.
i('»-8).
.3
m (m — i) (m — 3) (m — 14)
A4 — ——' ' ^ » \
1.2.3.4
A,t,
Il serait curieux de trouver la loi ; il est probable que la
recherche est épineuse.

7. Il est à croire que différentes formules des Funda-
inenta de Jacobi conduisent à des relations analogues
entre les quantités ƒ i, ƒ 2, ƒ 3 , . . . . (Voyez tome IX,
pages 73 et 4io-)