1 Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés

Nombres et ensembles de nombres – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
 Exercice 1 : simplifications d’écritures, ensembles de nombres (entiers naturels, entiers relatifs,
nombres décimaux, nombres rationnels, nombres réels)
 Exercice 2 : résolutions d’équations, ensembles de solutions
 Exercice 3 : nombres rationnels, nombres irrationnels
 Exercice 4 : nombre premier, différence de carrés d’entiers
Simplifier les écritures des nombres suivants et préciser à quel(s) ensemble(s) ces nombres appartiennent.
Remarque :  et  désignent des réels non nuls.
Rappel : Les ensembles de nombres
  est l’ensemble des entiers naturels
  est l’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire des nombres entiers naturels et de leurs opposés
  désigne l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire des nombres s’écrivant  où  et 
sont des entiers relatifs
Nombres et ensembles de nombres
Exercices corrigés
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
car 

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  désigne l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire des nombres qui sont quotients d’un entier
relatif par un entier relatif non nul
  désigne l’ensemble des réels, c’est-à-dire l’ensemble des abscisses des points d’une droite
Rappel : Inclusions
 Soient  et  deux ensembles.  signifie «  inclus dans  », c’est-à-dire que « si un élément
appartient à l’ensemble , alors il appartient à l’ensemble  »
  donc tout entier naturel est aussi un entier relatif, lui-même également un
nombre décimal, lui-même aussi un rationnel et donc aussi un réel
Remarque : Attention ! Alors qu’un nombre rationnel est aussi un réel, un réel n’est pas nécessairement un
nombre rationnel ; de même, alors qu’un nombre décimal est aussi un nombre rationnel, un nombre rationnel
n’est pas nécessairement un nombre décimal ; etc.
  et on a donc aussi 
Rappel : Identités remarquables
Pour tous réels  et  non nuls,
   ;  ;  ; 
  ; 

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Rappel : 
 ;  ; 
 ;  ;  ;  ; 
Résoudre dans  les équations suivantes et préciser à quel(s) ensemble(s) de nombres appartiennent leur(s)
solution(s).
  où  et 
1) Soit l’équation 
Pour tout  réel,
Or,
Exercice 2 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 2
Un produit de facteurs est
nul si et seulement si l’un des
facteurs au moins est nul.

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Donc : 
2) Soit l’équation 
Pour tout  réel,
Or, 
Donc : 
Remarque : Il faut absolument éviter de développer chacun des produits  et  de
l’équation  car, en 2nde, on ne dispose pas des outils permettant de résoudre
facilement une équation du second degré à une inconnue.
En effet, pour tout réel , 
 (cette équation peut être résolue en 2nde à l’aide
de la forme canonique d’un trinôme mais ce travail reste assez long et fastidieux)
3) Soit l’équation  où  et 
Pour tout  réel, et pour tous  et  tels que  et ,
 est le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul donc  est un nombre rationnel. Autrement dit,
On factorise
 par 
On factorise par

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Remarque : Selon les valeurs de  et ,  peut être :
 un nombre décimal avec, par exemple,  et 
 un entier relatif avec, par exemple,  et 
 un entier naturel avec, par exemple,  et 
4) Soit l’équation 
Pour tout  réel,
Donc, 
1- Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
2- La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours un nombre irrationnel ?
3- Pour tout entier naturel  non nul, que dire du nombre  en terme d’ensemble ?
1- Soient deux nombres rationnels  et .
Alors  et  s’écrivent respectivement sous la forme 
 et   où  et  désignent des entiers relatifs et  et 
des entiers relatifs non nuls.
  est le produit de deux entiers relatifs, donc  est un entier relatif
  est le produit de deux entiers relatifs, donc  est un entier relatif
  est ainsi la somme de deux entiers relatifs, donc  est un entier relatif
  est le produit de deux entiers relatifs non nuls, donc  est un entier relatif non nul
  est par conséquent le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul
En conclusion, la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
2- La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours un nombre irrationnel ?
Exercice 3 (3 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3
On reconnaît ici l’identité remarquable
avec  et 