Algèbres stellaires et algèbres de von Neumann

Algèbres stellaires et algèbres de von Neumann
Henrik Densing Petersen
Notes rédigées par Maxime Gheysens
Automne 2013
Chapitre 1
Introduction
1.1
Rappels
Espaces de Hilbert Rappelons qu’un espace de Hilbert est un espace vectoriel (complexe) H
muni d’un produit scalaire, c’est-à-dire une application h·, ·i : H × H → C vérifiant
(i) hξ + tξ0 , ηi = hξ, ηi + thξ0 , ηi pour tous ξ, ξ0 , η ∈ H et t ∈ C ;
(ii) hξ, ηi = hη, ξi pour tous ξ, η ∈ H ;
(iii) hξ, ξi > 0 pour tout ξ ∈ H, avec égalité si et seulement si ξ = 0 ;
p
et qui est complet pour la norme k · k définie par ce produit scalaire (k ξ k = hξ, ξi).
Notation 1.1. — Nous noterons E1 ou (E)1 la boule unité fermé d’un espace normé (E, k · k).
Rappelons que B(H), l’ensemble des opérateurs linéaires T : H → H bornés, est une algèbre de
Banach, c’est-à-dire un espace de Banach muni d’une structure d’algèbre telle que k xy k 6 k x k·k y k.
Remarque 1.2. — Tout produit scalaire vérifie l’inégalité de Cauchy–Schwarz :
pour tous ξ, η ∈ H.
|hξ, ηi| 6 k ξ k · k η k
En outre, cette inégalité devient une égalité si et seulement si ξ et η sont colinéaires.
Remarque 1.3. — Tout espace de Hilbert est dual à lui-même grâce au théorème de représentation
de Riesz, qui affirme que toute fonctionnelle 1 bornée ϕ : H → C est de la forme
ϕ(ξ) = hξ, ηi
pour tous ξ ∈ H,
pour un certain η ∈ H (indépendant de ξ), et en outre k ϕ k = k η kH . En particulier, H est réflexif 2 .
1. Nous écrivons souvent « fonctionelle » pour « fonctionelle linéaire ».
2. Pour être tout à fait rigoureux, notons que l’application η 7→ h·, ηi est antilinéaire, de sorte qu’elle fournit un
isomorphisme entre H∗ et H, l’espace conjugué de H.
3
4
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Remarque 1.4. — Tout ensemble fermé, convexe et non vide C ⊆ H a un unique élément de
norme minimale. En particulier, cela permet de définir une projection sur le point le plus proche,
c’est-à-dire une application PC : H → H à valeurs dans C, idempotente et telle que le minimum
de k ξ − η k pour η ∈ C est atteint en η = PC (ξ). Si C est en outre un sous-espace vectoriel, cette
projection est même une application linéaire bornée.
Adjoints L’autodualité d’un espace de Hilbert H implique que pour toute application linéaire
bornée T : H → H, il existe une unique application linéaire bornée T∗ : H → H (appelée adjoint
de T) telle que
hξ, T∗ ηi = hTξ, ηi
pour tous ξ, η ∈ H.
Un opérateur T ∈ B(H) égal à son adjoint est appelé hermitien (en anglais, self-adjoint).
Exercice 1.5. — (i) Montrer que la projection PK sur un sous-espace fermé K est hermitienne,
que k PK k = 1 (sauf si K = {0}) et que Id −PK = PK⊥ , oû K⊥ = {η ∈ H | ∀ξ ∈ K, hξ, ηi = 0}
est le complément orthogonal de K.
(ii) Montrer qu’il existe une unique projection hermitienne H → H dont l’image est K.
Bases Rappelons que toute partie orthonormale {ξi }i∈I0 ⊂ H (c’est-à-dire vérifiant hξi , ξj i = δij
pour tous i, j ∈ I0 ) se prolonge en une base orthonormale {ξi }i∈I (c’est-à-dire qu’en outre tout ξ ∈ H
P
s’écrit comme ξ = i∈I hξ, ξi iξi ).
Sommes directes Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert. Leur somme directe H1 ⊕ H2 est
muni d’une structure d’espace de Hilbert via le produit scalaire défini par
hξ1 ⊕ ξ2 , η1 ⊕ η2 i = hξ1 , η1 i1 + hξ2 , η2 i2 .
Il est alors aisé de voir que la norme qui s’en déduit vérifie k ξ1 ⊕ ξ2 k2 = k ξ1 k21 + k ξ2 k22 .
Nous noterons H⊕n la somme directe de n copies de H. Remarquons alors que nous pouvons
identifier B(H⊕n ) à Mn ⊗ B(H), l’ensemble des matrices n × n à coefficients dans B(H).
1.2
Algèbres d’opérateurs
Considérons les trois topologies suivantes dont peut être muni B(H), l’ensemble des opérateurs
linéaires bornés de H.
1. La topologie de la norme ou topologie uniforme est la topologie usuelle de la norme opérateur
définie par
k T k = sup {k Tξ k | ξ ∈ H, k ξ k 6 1} = sup {|hTξ, ηi| | ξ, η ∈ H, k ξ k, k η k 6 1} ,
cette dernière égalité étant due à l’autodualité de H.
2. La topologie forte (strong operator topology en anglais) ou topologie de la convergence simple
forte est la topologie induite par la famille de semi-normes k ·ξ k (ξ ∈ H) : autrement dit,
5
1.2. ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
une suite généralisée {Tα }α∈A ⊆ B(H) converge vers T ∈ B(H) pour la topologie forte si et
seulement si k (Tα − T)ξ k converge vers zéro pour tout ξ ∈ H.
3. La topologie faible 3 (weak operator topology en anglais) ou topologie de la convergence simple
faible est la topologie induite par l’ensemble des fonctionnelles h·ξ, ηi (ξ, η ∈ H) : autrement
dit, une suite généralisée {Tα }α∈A ⊆ B(H) converge vers T ∈ B(H) pour la topologie faible
si et seulement si hTα ξ, ηi converge vers hTξ, ηi pour tous ξ, η ∈ H.
Remarque 1.6. — Chacune de ces topologies munit B(H) d’une structure d’espace vectoriel topologique séparé et localement convexe. La topologie de la norme est même compatible avec la
structure d’algèbre et avec l’adjonction. La situation est plus subtile avec les topologies forte et
faible, comme le montrent les trois exercices suivants.
Exercice 1.7. — Observer que l’application T 7→ T∗ est continue pour la topologie faible (et
pour la topologie de la norme). Montrer en revanche qu’elle ne l’est pas pour la topologie forte.
Indication. Considérer l’opérateur de décalage à droite S : `2 (N) → `2 (N) défini par S ((xi )i∈N ) =
(0, x0 , x1 , x2 , . . . ).
Exercice 1.8. — (i) Soit W un voisinage fort de zéro. Montrer que pour tous ξ, η ∈ H non nuls,
il existe T, S ∈ W tels que |hTSξ, ηi| > 1. Indication. Montrer qu’il existe z ∈ H tel que
sup k Tz k = ∞.
T∈W
(ii) En conclure que la multiplication n’est pas continue lorsque B(H)×B(H) est muni du produit
des topologies fortes et B(H) est muni de la topologie faible. A fortiori, ni la topologie faible
ni la topologie forte ne sont compatibles avec la structure d’algèbre de B(H).
L’exercice suivant montre que l’obstruction à la continuité de la multiplication pour les topologies
faible et forte réside bien dans le fait que les voisinages de ces topologies ne sont pas bornés.
Exercice 1.9. — Notons B(H)1 la boule unité (pour la norme opérateur) de B(H).
(i) Montrer que la multiplication B(H)1 × B(H) → B(H) : (T, S) 7→ TS est continue lorsque la
source B(H)1 × B(H) est munie de la topologie produit des topologies faible sur B(H)1 et
forte sur B(H) et que le but B(H) est muni de la topologie faible.
(ii) Montrer de même que B(H)1 × B(H) → B(H) : (T, S) 7→ TS est continue pour la topologie
forte.
Définition 1.10. — Une algèbre stellaire (concrète) est une sous-algèbre de B(H) qui est stable
pour l’adjonction et fermée pour la topologie de la norme.
Remarque 1.11. — Sous l’influence de l’anglais, il est fréquent d’entendre parler de C∗ -algèbre
au lieu d’algèbre stellaire (cf. infra pour des explications sur la terminologie).
Proposition 1.12. — Pour tout T ∈ B(H), nous avons k T∗ T k = k T k2 .
3. On prendra garde à ne pas confondre cette topologie avec la topologie faible obtenue lorsque B(H) est considéré
comme un espace de Banach. La terminologie est quelque peu malheureuse mais il ne devrait pas en résulter de grande
confusion ; la topologie faible sera de toute façon peu utilisée.
6
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Démonstration. — Nous avons d’abord
k T∗ k = sup |hT∗ ξ, ηi| = sup |hξ, Tηi| = k T k.
ξ,η∈H1
ξ,η∈H1
Comme B(H) est une algèbre de Banach, nous en déduisons
k T∗ T k 6 k T∗ k · k T k = k T k2 .
D’un autre côté, nous avons
2
kTk =
sup hTξ, Tξi
ξ∈H1
1
2
!2
= sup hTξ, Tξi
ξ∈H1
∗
∗
= sup hT Tξ, ξi 6 sup k T Tξ k · k ξ k
ξ∈H1
∗
ξ∈H1
6 k T T k.
Définition 1.13. — Une algèbre stellaire (abstraite) est une algèbre de Banach involutive 4 A
telle que k T∗ T k = k T k2 pour tout T ∈ A .
Remarque 1.14. — Nos algèbres stellaires ne sont pas nécessairement unifères (c’est-à-dire qu’elles
n’ont pas nécessairement d’élément unité), pas plus que nos algèbres de Banach.
Théorème 1.15 (Gelfand–Naimark–Segal). — Toute algèbre stellaire abstraite est isomorphe, en tant qu’algèbre de Banach involutive, à une algèbre stellaire concrète.
Ce théorème sera démontré plus tard dans ce cours.
Définition 1.16. — Une algèbre de von Neumann (concrète) est une sous-algèbre involutive unifère de B(H) qui est fermée pour la topologie faible.
Remarque 1.17. — En particulier, toute algèbre de von Neumann est une algèbre stellaire (concrète)
unifère.
Morphismes Clarifions la notion de morphisme, qui n’était qu’implicite jusqu’à présent. Soit
une application ϕ : A → B entre deux algèbres. Nous dirons que ϕ est :
(i) un morphisme (d’algèbres) si ϕ est linéaire et ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) pour tous x, y ∈ A ;
(ii) un morphisme (d’algèbres) unifère si A et B sont unifères et si ϕ est un morphisme d’algèbres
tel que ϕ(1A ) = 1B ;
(iii) un morphisme d’algèbres involutives si A et B sont des algèbres involutives et si ϕ est un
morphisme d’algèbres tel que ϕ(x∗ ) = ϕ(x)∗ pour tout x ∈ A ;
4. C’est-à-dire munie d’une involution isométrique x 7→ x∗ telle que (x + λy)∗ = x∗ + λy ∗ et (xy)∗ = y ∗ x∗ pour
tous x, y ∈ A et λ ∈ C.
1.2. ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
7
(iv) un morphisme d’algèbres stellaires si A et B sont des algèbres stellaires et si ϕ est un morphisme d’algèbres involutives.
Nous n’exigeons a priori pas de continuité.
Terminologie Les algèbres de von Neumann ont été étudiées pour la première fois par Murray
et von Neumann dans les années trente. Elles étaient alors appelées « anneaux d’opérateurs». Elles
sont parfois également appelées W∗ -algèbres. C’est J. Dixmier qui a ensuite renommer ces objets «
algèbres de von Neumann », sous la suggestion de Dieudonné.
Voici quelques explicatons possibles pour le nom de « C∗ -algèbres» pour les algèbres stellaires.
1. Une raison naïve serait qu’elles sont fermées, closed en anglais, ce qui serait cohérent avec le
nom de W∗ -algèbres pour les algèbres de von Neumann (weak).
2. Ryszard Nest 5 estime que c’est dû à la raison suivante :
• A∗ -algèbres = algèbres de Banach involutives, objets fondamentaux ;
• B∗ -algèbres = algèbres involutives d’opérateurs bornés (nos algèbres stellaires concrètes) ;
• Tadaa ! C∗ -algèbres.
3. Toutefois, Gert Pedersen 6 estime que c’est dû au fait qu’elles généralisent les algèbres C (X)
des fonctions continues (et il reproche à Segal de les avoir ainsi appelées).
N. Bourbaki et, parfois, Alain Connes utilisent quant à eux la terminologie beaucoup plus élégante d’algèbres stellaires.
Théorème du bicommutant Le théorème de ce paragraphe donne une caractérisation algébrique des algèbres de von Neumann.
Définition 1.18. — Soit X une partie de B(H). Nous définissons le commutant de X comme
étant X0 = {T ∈ B(H) | ∀S ∈ X, TS = ST}. Le bicommutant X00 est défini comme étant (X0 )0 .
Remarque 1.19. — Dans le cas oû X serait contenue dans une autre partie Y de B(H), nous
considérons par défaut le commutant au sein de l’ensemble de tous les opérateurs bornés B(H),
sauf mention du contraire.
Théorème 1.20 (von Neumann, 1929). — Soit A ⊆ B(H) une sous-algèbre involutive
(unifère). Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A = A 00 ;
(ii) A est fermée pour la topologie faible ;
(iii) A est fermée pour la topologie forte.
5. Le directeur de thèse de l’auteur.
6. Le directeur de thèse de Ryszard Nest.
8
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Démonstration. — Les implications (i) ⇒ (ii) et (ii) ⇒ (iii) sont claires. Supposons donc que A
est fermée pour la topologie forte et soit T ∈ A 00 . Il nous suffit de trouver une suite généralisée Ti
d’opérateurs dans A qui converge vers T pour la topologie forte. De façon équivalente, nous devons
trouver, pour tout ε > 0 et tout ensemble fini {ξ1 , . . . , ξn } ⊆ H, un opérateur S ∈ A tel que
k (T − S)ξk k < ε
pour tout k = 1, . . . , n.
Notons K = H⊕n = H ⊕ · · · ⊕ H et ξ = (ξk ) ∈ K. Considérons la représentation diagonale
π : A → B(K) : T 7→ 1n ⊗ T, c’est-à-dire
π(T).(ηk ) = (Tηk )
pour tout (ηk ) ∈ K.
Soit maintenant K0 = π(A ).ξ. C’est un sous-espace fermé de K tel que π(A ).K0 = K0 . Il s’en
suit que la projection PK0 de K sur K0 appartient au commutant de A (dans B(K)), c’est-à-dire
PK0 ∈ (1n ⊗ A )0 ⊆ B(K).
En effet, puisque A est une algèbre involutive, le complément K0⊥ est réduit pour A dans le sens
oû A .K0⊥ ⊆ K0⊥ .
Exercice 1.21. — Montrer que (1n ⊗ A )0 ⊆ B(K) est égal à l’ensemble des matrices n × n à
coefficients dans A 0 ⊆ B(H).
En vertu de cet exercice, π(T) = 1n ⊗ T ∈ (1n ⊗ A )00 , de sorte que
PK0 (π(T).ξ) = π(T)(PK0 .ξ) = π(T).ξ.
Mais cela signifie justement que π(T).ξ ∈ K0 = π(A ).ξ, ce qui achève la démonstration.
Remarque 1.22. — Il est déjà instructif de reprendre la démonstration en supposant que n = 1.
Porisme 1.23. — Plus précisément, nous avons montré que toute sous-algèbre involutive A ⊆
B(H) est dense dans son bicommutant A 00 .
Exercice 1.24. — Soit K ⊆ B(H) un ensemble convexe. Montrer que ses adhérences pour les
topolgies forte et faible coïncident. Indication. On peut appliquer la même « finesse matricielle »
que dans la démonstration du théorème du bicommutant.
Sous-algèbre involutive abélienne maximale
Définition 1.25. — Soit A une algèbre involutive. Nous désignerons par l’acronyme IAM toute
sous-algèbre involutive abélienne maximale ( MASA en anglais, pour maximal abelian self-adjoint).
Corollaire 1.26 (du théorème 1.20). — Soit A une algèbre de von Neumann. Toute sousalgèbre IAM B de A est fermée pour la topologie faible (autrement dit, est une (sous-)algèbre
de von Neumann).
1.2. ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
9
Observation 1.27. — Soit X ⊆ B(H) un sous-ensemble auto-adjoint (c’est-à-dire que X = X∗ ).
Alors X0 est une algèbre involutive égale à son bicommutant, donc est en fait une algèbre de von
Neumann.
Démonstration (du corollaire). — Grâce à l’observation, B 00 ⊆ B(H) est une algèbre de von
Neumann, donc est fermée pour la topologie faible. Comme B est abélienne, nous avons B ⊆ B 0 .
Par définition, B ⊆ B 00 ∩ A ; si cette inclusion était stricte, il existerait un T ∈ B 00 ∩ A qui ne
soit pas dans B, mais qui devrait commuter avec tout opérateur de B puisque B ⊆ B 0 . Ceci
contredirait alors la maximalité de B. Donc B = B 00 ∩ A est fermée pour la topologie faible, en
tant qu’intersection de deux tels fermés.
Remarque 1.28. — Les sous-algèbres IAM sont vraiment importantes !
10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Le théorème de Gelfand–Naimark
2.1
Spectre
Exercice 2.1. — Soit A une algèbre de Banach non unifère. Considérons A˜ = A ⊕ C · 1 avec
l’addition composante par composante et la multiplication définie par
(x ⊕ t · 1) · (y ⊕ s · 1) = (xy + ty + sx) ⊕ ts · 1.
Vérifier que, munie de la norme définie par
kx ⊕ t · 1k =
sup
y∈A ,k y k=1
k xy + ty k,
A˜ devient une algèbre de Banach unifère. Montrer en outre que si A était une algèbre stellaire, il
en est de même de A .
Indication. En fait, il faut voir A˜ comme étant l’algèbre de Banach engendrée par A et 1 dans
B(A ) (oû A est vue comme une sous-algèbre de B(A ) via l’action par multiplication).
Notation 2.2. — Si A est déjà une algèbre unifère, nous poserons A˜ = A .
Définition 2.3. — Soit A une algèbre de Banach. Le spectre d’un élément x ∈ A est l’ensemble
spA (x) = λ ∈ C x − λ1 n’est pas inversible dans A˜ .
n
o
Nous noterons sp(x) s’il n’en résulte pas de confusion. Remarquons que, par « inversible », nous
entendons « qui admet un inverse à gauche et à droite ».
Proposition 2.4. — Le spectre sp(x) est un ensemble compact non vide.
Démonstration. — Pour tout λ tel que |λ| > k x k, l’inverse est donné par
(x − λ1)−1 = −λ−1
∞ n
X
x
n=0
λ
.
(2.1)
Par conséquent, le spectre est contenu dans la boule fermée de rayon k x k. En outre, l’ensemble
des éléments inversibles dans A est ouvert : en effet, si w est inversible, alors pour tout y nous
11
12
CHAPITRE 2. LE THÉORÈME DE GELFAND–NAIMARK
pouvons écrire yw−1 = 1 − (w − y)w−1 , cette dernière expression étant inversible pour k w − y k
suffisamment petit, par le même argument qu’au début de cette démonstration. Ainsi, sp(x) est un
ensemble compact.
Enfin, pour toute fonctionnelle continue non nulle ϕ sur A , la fonction
ϕ∗ : λ 7→ ϕ (x − λ1)−1
est holomorphe sur C \ sp(x). Grâce à l’égalité (2.1), cette fonction est bornée en dehors de la boule
fermée de rayon k x k ; si le spectre était vide, elle serait donc identiquement nulle, par le théorème
de Liouville. Mais alors, par le théorème de Hahn–Banach, l’argument x − λ1 serait nul pour tout
lambda, ce qui est absurde.
Exercice 2.5. — (i) Observer que λ ∈ sp(x) si et seulement si A˜ · (x − λ1) ou (x − λ1)A˜ sont
des idéaux propres de A˜.
(ii) Soit p ∈ C[X] un polynôme à une variable, p(X) = tn Xn + · · · + t0 . Pour x ∈ A , notons
p(x) = tn xn + · · · + t0 1 ∈ A˜. Montrer que si λ ∈ sp(x), alors p(λ) ∈ sp(p(x)).
Définition 2.6. — Le rayon spectral d’un élément x ∈ A est
|sp|(x) = sup |λ|.
λ∈sp(x)
Théorème
2.7
(formule du rayon spectral). — Soit A une algèbre de Banach et x ∈ A .
1
n
Alors k x k n
est une suite convergente et
n
1
|sp|(x) = lim k xn k n .
n→∞
En particulier, |sp|(x) 6 k x k.
Nous omettons la démonstration de cette formule, qu’on peut trouver par exemple dans le livre
de Rudin ou celui de Kadison et Ringrose.
Définition 2.8. — Soit A une algèbre stellaire. Un élément x ∈ A est dit
(i) hermitien (en anglais, selft-adjoint) si x = x∗ ,
(ii) normal si x∗ x = xx∗ ,
(iii) et unitaire si x∗ x = xx∗ = 1.
Lemme 2.9. — Si x ∈ A est normal, alors k x k = |sp|(x).
Démonstration. — Supposons d’abord que x est hermitien. Alors nous avons k x2 k = k x∗ x k =
k x k2 et donc, par récurrence,
n
|sp|(x) = lim k x2 k
n→∞
2−n
= k x k.
2.2. UN CAS PARTICULIER DU THÉORÈME DE GELFAND–NAIMARK
13
Si x est normal, alors nous avons
1
(|sp|(x))2 6 k x k2 = k x∗ x k = lim k (x∗ x)n k n
n→∞
∗ n
= lim k (x ) x k
n
n→∞
1
1
n
(car x est normal)
1
6 lim k (x∗ )n k n · k xn k n
n→∞
= (|sp|(x))2
2.2
Un cas particulier du théorème de Gelfand–Naimark
Cette partie est consacrée à la démonstration du théorème suivant.
Théorème 2.10 (Gelfand–Naimark, cas particulier). — Soit x ∈ A un élément normal
dans une algèbre stellaire A . Alors l’application
C[X] → A : p 7→ p(x)
induit une isométrie d’algèbre involutive de C0 (sp(x)\{0}) sur la sous-algèbre stellaire engendrée
par x.
Exercice 2.11. — Montrer que si A est unifère, cette isométrie se prolonge en une isométrie de
C (sp(x)) sur la sous-algèbre stellaire engendrée par x et 1.
Définition 2.12. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Le spectre Aˆ de A est l’ensemble des fonctionnelles linéaires bornées non nulles ϕ : A → C telles que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)
pour tous x, y ∈ A . Autrement dit, Aˆ est l’ensemble des homomorphismes complexes non nuls. En
particulier, si A est unifère, alors ϕ(1) = 1 (et, si A n’est pas unifère, nous pouvons prolonger ϕ
à A˜ en posant ϕ(1) = 1).
Remarque 2.13. — Nous n’exigeons pas a priori que ces morphismes respectent l’adjonction.
Observation 2.14. — Soit x ∈ A1 , non nul. Alors k xn k 6 k x kn 6 1 pour tous n ∈ N, d’oû nous
déduisons |ϕ(x)| 6 1. Ainsi, Aˆ ∪ {0} est un espace compact pour la topologie faible-∗, donc Aˆ est
lui-même localement compact.
L’idée derrière le théorème de Gelfand–Naimark est d’identifier sp(x) \ {0} avec B̂, oû B est la
sous-algèbre stellaire engendrée par x.
Lemme 2.15. — Tout idéal (bilatère) maximal dans une algèbre de Banach unifère A est fermé,
et tout idéal (bilatère) propre est contenu dans un idéal maximal.
14
CHAPITRE 2. LE THÉORÈME DE GELFAND–NAIMARK
Bien entendu, « idéal maximal » signifie « idéal propre maximal ».
Démonstration. — Puisque l’ensemble des éléments inversibles dans A est ouvert, l’adhérence
d’un idéal propre est encore un idéal propre.
Théorème 2.16 (Gelfand–Mazur). — Soit A une algèbre de Banach unifère telle que tout
élément non nul est inversible. Alors A ' C.
Démonstration. — Soient x un élément de A et λ un élément du spectre de x (dont on sait qu’il
est non vide grâce à la proposition 2.4). L’élément x − λ1 étant non inversible, il doit être nul par
hypothèse. Donc x = λ1, ce qui montre que A = C1.
Soit B = hxi la sous-algèbre stellaire engendrée par x ∈ A . Observons que B est commutative,
puisque x est normal. Pour tout ϕ ∈ B̂, nous avons ϕ(x − ϕ(x)1) = 0, donc x − ϕ(x)1 n’est pas
inversible (puisque ϕ est unifère). Nous pouvons en conclure que l’application Λ : ϕ 7→ ϕ(x) envoie
B̂ dans sp(x) \ {0}.
Lemme 2.17. — Soient A une algèbre de Banach commutative et x ∈ A . Si le spectre de x
possède un élément λ non nul, alors il existe ϕ ∈ Aˆ tel que ϕ(x) = λ.
Démonstration. — Grâce au lemme 2.15, l’élément x − λ1 est contenu dans un certain idéal
maximal M ⊂ A˜. Grâce au théorème de Gelfand–Mazur, A˜/M ' C, la projection sur ce quotient
fournit donc la fonctionnelle désirée.
Nous avons ainsi montré que l’application Λ : B̂ → sp(x) \ {0} : ϕ 7→ ϕ(x) est surjective.
Définition 2.18. — Soit A une algèbre de Banach commutative. La tranformation de Gelfand
est l’application
A → C0 (Aˆ) : x 7→ x̂
définie par x̂(ϕ) = ϕ(x).
Exercice 2.19. — Montrer que la transformation de Gelfand est un homomorphisme d’algèbres
de norme au plus 1.
Nous avons maintenant les outils nécessaires pour démontrer un cas particulir du théorème de
Gelfand–Naimark.
Démonstration (du théorème 2.10). — En tirant en arrière l’application Λ, nous obtenons
15
2.3. CALCUL FONCTIONNEL CONTINU
une injection Λ∗ : C0 (sp(x) \ {0}) → C0 (B̂). Considérons dès lors le diagramme commutatif
⊆
A
5 BO
p 7→ p(x)
y 7→ ŷ
'
Pol0 (sp(x) \ {0})
v
ι
*
)
C (B̂)
7 0
Λ∗
C0 (sp(x) \ {0}),
oû Pol0 (sp(x) \ {0}) est le sous-espace vectoriel de C0 (sp(x) \ {0}) formé des restrictions des polynômes et de leur conjugué. Par le théorème de Stone–Weierstrass, il s’agit d’un sous-espace dense.
Il est aisé de voir que l’application p 7→ p(x) est un morphisme d’algèbres involutives qui accroît
la norme : en effet, grâce à la formule du rayon spectral et à l’exercice 2.5,
k p(x) k =
sup
|λ| >
λ∈sp(p(x))
sup
λ∈p(sp(x))
|λ| = k p kC .
0
D’un autre côté, tout élément y ∈ B est normal (puisque x l’est) ; par conséquent, d’après les
lemmes 2.9 et 2.17,
k ŷ k = sup |ŷ(ϕ)| = sup |ϕ(y)| = sup |λ| = k y k,
ϕ∈B̂
ϕ∈B̂
λ∈sp(y)
donc la transformation de Gelfand est isométrique.
Par densité et grâce à la commutativité du diagramme ci-dessus, l’application p 7→ p(x) se
prolonge comme désirée.
2.3
Calcul fonctionnel continu
Grâce au cas particulier que nous venons de montrer, nous pouvons définir la notion suivante.
Définition 2.20. — Soit x ∈ A un élément normal d’une algèbre stellaire A . Pour tout f ∈ sp(x),
nous notons par f (x) ∈ A˜ l’unique élément de B = hx, 1i tel que fd
(x) = f . Remarquons que si
0 ∈ sp(x) et que f (0) = 0, alors f (x) ∈ hxi.
Exercice 2.21. — Soient A une algèbre stellaire et B ⊆ A une sous-algèbre stellaire. Si x ∈ B
est un élément normal, alors spB (x) = spA (x).
Exercice 2.22 (théorème de l’application spectrale). — Soient A une algèbre stellaire, x ∈
A un élément normal et f ∈ C (sp(x)). Alors nous avons l’égalité sp(f (x)) = f (sp(x)).
Proposition 2.23. — Soient A une algèbre stellaire et u ∈ A un élément unitaire. Alors le
spectre de u est contenu dans le cercle unité.
16
CHAPITRE 2. LE THÉORÈME DE GELFAND–NAIMARK
Démonstration. — Comme k u k = 1, le spectre de u est contenu dans le disque unité. Par
ailleurs, si λ ∈ sp(u), alors il est aisé de voir que λ−1 ∈ sp(u−1 ) = sp(u∗ ) = sp(u), donc le spectre
doit être contenu dans le cercle unité.
Théorème 2.24 (Gelfand–Naimark, cas général). — Soit A une algèbre stellaire abélienne. Alors la transformation de Gelfand x 7→ x̂ est un isomorphisme d’algèbres involutives
entre A et C0 (Aˆ).
Exercice 2.25. — Nous avons déjà montré dans la démonstration du cas particulier que x 7→
x̂ est isométrique, donc injective. Montrer que tout morphisme injectif d’algèbres stellaires est
isométrique.
Exercice 2.26. — Observer que, pour tout élément x d’une algèbre involutive A ,
1
1
x = (x + x∗ ) + i (x − x∗ ),
2
2i
et en conclure que si ϕ : A → B est une application linéaire entre algèbres stellaires telle que ϕ(x)
est hermitien dès que x l’est, alors ϕ(x∗ ) = ϕ(x)∗ pour tout x ∈ A .
Démonstration (du théorème 2.24). — Grâce aux derniers paragraphes, il ne reste qu’à montrer que x 7→ x̂ préserve l’adjonction. Soit x ∈ A un élément hermitien. Alors
exp(ix) =
∞
X
(ix)n
n=0
n!
∈ A˜
est unitaire, donc sp(exp(ix)) est contenu dans le cercle unité. Grâce au théorème de l’application
spectrale, nous pouvons en conclure (par l’absurde), que le spectre de x est réel.
Ainsi, grâce au cas particulier du théorème de Gelfand–Naimark, nous avons, pour tout ϕ ∈ Aˆ,
ϕ(x) = ϕB (x) ∈ sp(x) ⊂ R,
oû B est à nouveau l’algèbre stellaire engendrée par x. Donc ϕ(x) est réel (c’est-à-dire est un «
nombre complexe hermitien »), et l’exercice précédent conclut.
Chapitre 3
Positivité et théorème de Stinespring
3.1
Positivité et états
Soient A une algèbre stellaire et x ∈ A . On voit par le calcul fonctionel que les deux conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) x est normal et sp(x) ⊆ [0, ∞) ;
(ii) il existe un élément hermitien y ∈ A tel que x = y 2 .
Définition 3.1. — Tout x ∈ A satisfaisant les deux conditions ci-dessus est appelé positif. Dans
ce cas, on note x > 0. Nous désignons par A+ l’ensemble des éléments positifs de A .
Notons que A+ est un cône, i.e. est stable par addition et multiplication par des scalaires positifs.
Pour tous x, y ∈ Ah , l’ensemble des éléments hermitiens, nous définissons x 6 y par y − x > 0 .
Cela définit un ordre sur Ah .
Exercice 3.2. — (i) Soient x, y ∈ A . Montrer que sp(xy)\{0} = sp(yx)\{0} (on peut supposer
que A est juste une algèbre complexe).
(ii) Soient A une algèbre stellaire et x = x∗ ∈ A . Montrer qu’il existe uniquement deux éléments
x+ , x− ∈ A+ satisfaisant x = x+ − x− et x+ x− = x− x+ = 0 (il faut préciser exactement le
terme « uniquement » — c’est une certaine condition de minimalité sur x+ et x− ).
(iii) Soit x ∈ A et supposons qu’il existe y ∈ A tel que x = y ∗ y. Notons que x est hermitien. Soit
√
z = y x− . Montrer, en considérant les produits z ∗ z et zz ∗ , que x2− ∈ A+ ∩ (−A+ ) = {0} et
en infèrer que x est positif.
Ce dernier exercice est un théorème dû à I. Segal.
Exercice 3.3. — Montrer qu’un élément x ∈ B(H) est positif au sens de la définition ci-dessus si
et seulement si hxξ, ξi > 0 pour tout ξ ∈ H.
Définition 3.4. — Soit ϕ : A → B une application (linéaire) entre deux algèbres stellaires A et
B. On dit que ϕ est une application positive si ϕ(x) > 0 pour tout x > 0. Pour n ∈ N, on dit que
17
18
CHAPITRE 3. POSITIVITÉ ET THÉORÈME DE STINESPRING
ϕ une application n-positive si l’application induite
ϕ(n) = 1n ⊗ ϕ : Mn ⊗ A → Mn ⊗ B
(3.1)
est positive. Finalement, on dit que ϕ est complètement positive si elle est n-positive pour tout n.
Exercice 3.5. — (i) Observer qu’une application positive est en particulier hermitienne : ϕ(x∗ ) =
ϕ(x)∗ pour tout x ∈ A .
(ii) Montrer que pour x ∈ Ah , nous avons x 6 kxk · 1.
Définition 3.6. — Une fonctionelle positive ϕ : A → C est appelée un état si k ϕ k = 1.
Théorème 3.7. — Soit A une algèbre stellaire unifère et ϕ : A → C une fonctionelle linéaire
bornée. Alors ϕ est un état si et seulement si
kϕk = ϕ(1) = 1.
(3.2)
Démonstration. — Il est clair qu’un état est hermitien et, comme x 6 kxk1 pour tout x ∈ Ah ,
nous avons la condition nécessaire du théorème.
Par ailleurs, notons que, puisqu’un élément positif est en particulier normal, nous pouvons
supposer sans perte de généralité que A est abélienne et donc, grâce au théorème de Gelfand–
Naimark, que A ' C0 (X) pour un certain espace localement compact X.
Par le théorème de Riesz sur le dual de C0 (X), il existe une mesure µ sur X telle que
ϕ(x) =
Z
x̂dµ
X
pour tout x ∈ A ,
(3.3)
avec kϕk = |µ|(X), où |µ| désigne la variation totale de µ, et dµ = h · d|µ| pour une fonction
mesurable h : X → T.
Alors les hypothèses du théorème deviennent |µ|(X) = 1 et X h(x)d|µ|(x) = 1 ; ce qui permet
de conclure que h = 1 (presque partout), c’est-à-dire que µ = |µ| est une mesure positive.
R
Remarque 3.8. — (i) On peut aussi utiliser une approximation de µ par des mesures à support
fini, au lieu de la fonction h.
(ii) Il existe également une démonstration directe et plus élémentaire, en particulier qui ne repose
pas sur le théorème de Gelfand–Naimark. Voir par exemple Kadinson–Ringrose, chapitre 4.
Corollaire 3.9 (prolongation des états). — Soient A ⊆ B des algèbres stellaires et ϕ un état
de A . Alors ϕ se prolonge en un état de B.
Démonstration. — Dans un premier temps, nous pouvons si nécessaire prolonger ϕ à A˜. En
effet, si A n’est pas unifére, il existe un espace localement compact mais non compact X tel que
˙
A ' C0 (X). En considérant son compactifié d’Alexandroff X1 = X∪{∗},
nous avons alors à '
19
3.1. POSITIVITÉ ET ÉTATS
C (X1 ). La mesure positive µ sur X correspondant à ϕ se prolonge à X1 de manière évidente. Donc
on obtient une prolongation ϕ̃ de ϕ à A˜, donnée par
ϕ̃((x, λ1)) = ϕ(x) + λ.
(3.4)
Ensuite, le théorème précédent assure que toute prolongation de ϕ̃ à B̃ de norme 1 (dont
l’existence est assurée par le théorème de Hahn–Banach) est un état.
Exercice 3.10. — Nous verrons ci-dessous (sans utiliser ce corollaire) que pour toute fonctionelle
hermitienne, la norme est donnée par sa restriction à Ah . En utilisant ce fait comme « boîte noire »,
montrer qu’on peut prendre (3.4) comme définition de ϕ̃, sans référence au théorème de Gelfand–
Naimark.
Corollaire 3.11 (identification de spectres). — Soient A une algèbre stellaire abélienne et
ϕ ∈ Aˆ. Alors ϕ est positif, en particulier hermitien.
De plus, si A = hxi est engendrée par un seul élément normal x, alors Aˆ = sp(x) \ {0}.
Démonstration. — La première partie est claire puisque (la prolongation de) ϕ (à A˜) est de
norme kϕk = 1 = ϕ(1).
Pour montrer la deuxième partie, observons que tout homomorphisme ϕ ∈ Aˆ est déterminé
entièrement par sa valeur en x, par conséquent l’application evx : Aˆ → sp(x) est injective et est
donc un isomorphisme par ce qui précède.
Corollaire 3.12 (séparation des points). — Soient A une algèbre stellaire et x un élément
non nul de A . Alors il existe un état ϕ sur A tel que ϕ(x) 6= 0.
Démonstration. — On peut sans perte de généralité supposer que x = x∗ , alors le corollaire est
trivial par ce qui précède.
L’étude du dual d’une algèbre stellaire offre une théorie très belle avec des résultats détaillés.
Voir par exemple Kadison–Ringrose, chapitre 4. Nous en donnons seulement un aperçu :
Exercice 3.13. — Soit A une algèbre stellaire et notons par S (A ) le cône des états sur A .
Observer que c’est vraiment un cône et montrer que toute fonctionelle hermitienne ϕ de norme au
plus 1 se trouve dans conv{S (A ), −S (A )}.
Indication 1. En utilisant la même « boîte noire » qu’à l’exercice 3.10, l’exercice se déduit par
le théorème de séparation des ensembles convexes de Hahn–Banach. Il faut faire attention au cas
où A n’est pas unifère.
Indication 2. Comme autre possibilité de démonstration, remarquer d’abord que l’exercice est
très facile pour toute sous-algèbre abélienne B de A . Puis nous pouvons recoller les solutions sur
des sous-algèbres différentes à l’aide des applications linéaires
B1 ⊕ B2 → A : (x, y) 7→ x + y
(3.5)
20
CHAPITRE 3. POSITIVITÉ ET THÉORÈME DE STINESPRING
et du théorème de l’application spectrale. Observons que, pour conclure, il faut utiliser une certaine
propriété d’unicité de la décomposition de ϕ en une différence de fonctionelles positives. (Dans
la première stratégie indiquée, on peut établir la même propriété d’unicité par une démonstration
directe et élementaire.)
Corollaire 3.14. — Soit A une algèbre stellaire séparable. Alors il existe un état fidèle sur A
(c’est-à-dire qui ne s’annule qu’en zéro).
Démonstration. — Facile.
3.2
Le théorème de dilatation de Stinespring
Commençons par un exercice facile.
Exercice 3.15. — Soit A une algèbre stellaire.
(i) Soient x, y ∈ A . Montrer que, si x est positif, alors 0 6 y ∗ xy 6 k x ky ∗ y et que, si 0 6 x 6 y
avec x et y inversibles, alors y −1 6 x−1 .
(ii) Soient x1 , . . . , xn ∈ A . Montrer que la matrice (x∗i xj )ni,j=1 ∈ Matn (A ) est positive, en tant
qu’élément de Matn (A ).
Exercice 3.16. — Montrer qu’une application positive entre algèbres stellaires est bornée.
Lemme 3.17. — Soient A et B deux algèbres stellaires et ϕ : A → B une application complètement positive. Alors pour tout état ψ sur B, la formule
*m
X
ai ⊗ bi ,
i=1
n
X
j=1
(m,n)
+
=
x j ⊗ yj
ϕ
ψ(yj∗ ϕ(x∗j ai )bi )
X
(i,j)=(1,1)
définit une forme sesquilinéaire semi-définie positive sur A ⊗ B.
Démonstration. — La sesquilinéarité est claire. Observons ensuite que
*m
X
i=1
ai ⊗ bi ,
n
X
j=1
+
x j ⊗ yj
ϕ
 ∗
y1

= (ψ ◦ Sn ) 
0
..
0
.
yn∗

b1
0



∗
 (ϕ(xi aj ))(i,j) 
..
0
.


 ,
bm
où Sn : Matn (B) → B est l’application linéaire additionnant les coefficients des matrices. Cette
dernière étant positive, le lemme est démontré.
Exercice 3.18. — (i) Trouver une caractérisation de la positivité d’une matrice
dépendant uniquement des éléments a, b, c ∈ B.
a b
c 1
∈ Mat2 (B)
(ii) Montrer que Sn est positive pour tout n ∈ N. Indication. On peut remarquer qu’il suffit de
considérer le cas n = 2 d’où le critère ci-dessus s’applique. Par ailleurs, on peut considérer la
3.2. LE THÉORÈME DE DILATATION DE STINESPRING
21
produit des matrices suivant :




1 ··· 1
1 0 ··· 0


0
·
·
·
0


. .
.. 
.
.. 
.
 (xij )  .. ..
.
.
.
1 0 ··· 0
0 ··· 0
(3.6)
(iii) Montrer que tout état sur une algèbre stellaire est en fait complètement positif.
Théorème 3.19 (Stinespring). — Soient A et B deux algèbres unifères et ϕ : A → B
une application complètement positive (unifère). Alors il existe des espaces de Hilbert H et K
munis de représentations fidèles d’algèbres stellaires π : A → B(H) et ρ : B → B(K) et une
application isométrique V : K → H tels que
ρ(ϕ(x)) = V∗ π(x)V
pour tout x ∈ A .
Démonstration. — Supposons pour simplifier que B est séparable et fixons un état fidèle ψ
sur B. Soit h·, ·iϕ la forme sesquilinéaire semi-définie positive sur A ⊗ B définie dans le lemme
précédent et appelons H l’espace de Hilbert associé (c’est-à-dire la complétion du quotient de A ⊗B
par {x | hx, xiϕ = 0}). Soit ensuite K l’espace de Hilbert obtenu de façon analogue en complétant
B = C ⊗ B par rapport à h·, ·i1 . Les représentations π et ρ sont alors induites par multiplication
à gauche :
π(a).
" n
X
i=1
#
=
xi ⊗ yi
H
" n
X
#
pour a, xi ∈ A et yi ∈ B,
axi ⊗ yi
i=1
ρ(b).[y]K = [by]K
H
pour b, y ∈ B.
Exercice 3.20. — Vérifier que π(a) et ρ(b) ainsi définis induisent une application linéaire bornée
sur H et K respectivement et que π et ρ sont bien en effet des morphismes unifères d’algèbres
stellaires.
Finalement, définissons un plongement V : K → H par V[y]K = [1 ⊗ y]K pour y ∈ B. Nous
22
CHAPITRE 3. POSITIVITÉ ET THÉORÈME DE STINESPRING
pouvons alors calculer l’adjoint de V comme suit :
*
*
!+
y, V∗
X
=
ai ⊗ bi
i
+
V.y,
X
ai ⊗ bi
i
K
H
*
=
+
1 ⊗ y,
X
ai ⊗ bi
i
=
X
ϕ
ψ(b∗i ϕ(a∗i )y)
i
!∗ !
=ψ
X
ϕ(ai )bi
y
i
*
=
+
y,
X
ϕ(ai )bi
i
L’adjoint est donc donné par
K
!
V∗
X
i
ce qui achève la démonstration.
.
ai ⊗ bi
=
X
ϕ(ai )bi ,
i
Exercice 3.21. — Montrer que le théorème est encore vrai sans la simplification. Indication. Il
existe une famille {ϕi } (pas nécessairement dénombrable) d’états sur B telle que pour tout x ∈
B \ {0}, on a ϕi (x) 6= 0 pour un certain i.
Corollaire 3.22 (Théorème 1.15). — Toute algèbre stellaire (abstraite) admet une réprésentation fidèle comme algèbre stellaire concrète.
Démonstration. — Soit B0 une algèbre stellaire. On prend A = C et B = B̃0 dans le théorème
précédent.
Dans ce contexte, la construction de K est appelée « construction GNS ». Il est déjà instructif
de reprendre la démonstration de la théorème de Stinespring dans ce cas.
Chapitre 4
La boule unité
Théorème 4.1. — La boule unité d’une algèbre de von Neumann A ⊆ B(H) est compacte
pour la topologie faible.
Démonstration. — Similaire à la démonstration du théorème de Banach–Alaoglu–Bourbaki. Exercice 4.2. — (i) Montrer que (B(H))1 n’est pas compacte pour la topologie forte si H
est de dimension infinie. En fait, il en est de même pour toute algèbre de von Neumann
A avec dimC A = ∞. Indication. On peut montrer et appliquer le fait que la multiplication
Bs × Bw → Bs n’est pas continue, où Bs est la boule unité munie de la topologie forte et Bw est
la boule unité munie de la topologie faible. Alternativement, on peut utiliser la décomposition
polaire du paragraphe suivant.
(ii) Montrer que les topologies forte et faible coïncident sur U(H). En particulier, le groupe unitaire
sur un espace de Hilbert est un groupe topologique pour la topologie forte. Montrer qu’il admet
une métrique complète.
(iii) Donner un exemple d’une suite (un )n d’unitaires un convergeant faiblement mais non fortement
vers zéro.
4.1
Outils divers
Décomposition polaire
Exercice 4.3. — (i) Soit T ∈ B(H) un opérateur borné inversible. Montrer que l’opérateur
1
U = T|T|−1 est unitaire, où |T| est la « valeur absolue » de T : |T| = (T∗ T) 2 .
(ii) Montrer que, plus généralement, pour un opérateur borné quelconque T, l’application V : H →
H définie par V(|T|ξ) = Tξ pour ξ ∈ H et Vη = 0 pour η ∈ (|T|(H))⊥ se prolonge en un
opérateur borné tel que
T = V|T|.
(4.1)
23
24
CHAPITRE 4. LA BOULE UNITÉ
Cette décomposition est appelée décomposition polaire de T. Indication. Calculer la norme de
V(|T|ξ).
Définition 4.4. — Un élément x d’une algèbre stellaire A est appelé isométrie partielle si x∗ x
est une projection.
Proposition 4.5. — Un élément x ∈ B(H) est une isométrie
partielle si et seulement s’il existe
un sous-espace fermé K ⊆ H tel que x K est isométrique et xK⊥ est nulle.
Démonstration. — Pour la condition nécessaire, posons K = pH, où p = x∗ x. Il est alors aisé de
calculer :
D
E
k xpξ k2 = hxpξ, xpξi = pξ, p2 ξ = k pξ k2 ,
2
D
E
D
E
k xp⊥ ξ k = xp⊥ ξ, xp⊥ ξ = pp⊥ ξ, p⊥ ξ = 0
(rappelons que p⊥ = 1 − p, donc pp⊥ = 0), ce qui montre bien que xK est isométrique et que xK⊥
est nulle.
Pour
d’abord que K0 =
la condition suffisante, observons
x(K) est un sous-espace fermé de H
(car x K est isométrique), donc x K est unitaire. Or x∗ = (xK )−1 ⊕ 0, ce qui montre que x∗ x est la
projection sur K.
Nous en déduisons le corollaire immédiat suivant.
Corollaire 4.6. — Soit x un élément d’une algèbre stellaire A .
(i) x est une isométrie partielle si et seulement si x∗ l’est aussi.
(ii) Si x est une isométrie partielle, alors x = xx∗ x et x∗ = x∗ xx∗ .
(iii) Si x est une isométrie partielle, alors xx∗ x(H) est unitaire.
Exercice 4.7. — (i) Soient p, q ∈ B(H) deux projections. Montrer que p 6 q (en tant qu’opérateurs hermitiens) si et seulement si p(H) ⊆ q(H).
(ii) Observer que l’opérateur V de l’exercice 4.3 est une isométrie partielle et montrer que c’est
l’unique isométrie partielle minimale vérifiant l’égalité (4.1) (minimale pour la relation d’ordre
sur les isométries partielles définie par « x 6 y » si x∗ x 6 y ∗ y). On dit aussi que x∗ x est la
plus petite projection initiale.
(iii) Soit x un élément d’une algèbre de von Neumann A . Montrer que l’isométrie partielle (canonique) x apparaissant dans la décomposition polaire de x appartient encore à A . Observer
que si A est juste une algèbre stellaire mais que x soit inversible, alors ce résultat est encore
vrai.
Suprema hermitiens
utile.
Le lemme suivant, d’apparence inoffensive, est en fait redoutablement
Lemme 4.8. — Soit (xi )i∈I ⊆ B(H)h une suite généralisée croissante d’éléments hermitiens. Si
cette suite est bornée supérieurement, alors il existe un opérateur hermitien x qui soit non seulement
le supremum des xi mais aussi la limite de la suite (xi ) pour la topologie forte.
4.1. OUTILS DIVERS
25
Remarque 4.9. — Les mêmes résultats sont bien entendu valides pour les suites généralisées
décroissantes, mutatis mutandis.
Démonstration. — Tout d’abord, nous pouvons supposer que la suite généralisée des xi est bornée, quittes à tronquer à partir d’un certain indice. Soit ξ ∈ H. Observons que la suite généralisée
(hxi ξ, ξi)i∈I est croissante, donc converge vers un nombre complexe, que nous appellerons α(ξ, ξ).
Remarquons ensuite que, pour tous ξ, η ∈ H, la suite généralisée (k xi ξ + η k)i converge. En effet,
elle est de Cauchy :
k (xi ξ + η) − (xj ξ + η) k2 = h(xi − xj )ξ, (xi − xj )ξi 6 k xi − xj kh(xi − xj )ξ, ξi,
or k xi − xj k est borné et nous venons de montrer que h(xi − xj )ξ, ξi est de Cauchy.
Rappelons ensuite que tout produit scalaire (hermitien) vérifie l’identité de polarisation
4hξ, ηi = k ξ + η k2 − k ξ − η k2 + ik ξ + iη k2 − ik ξ − iη k2 ,
ce qui nous permet de définir α(ξ, η) = limi hxi ξ, ηi pour tous ξ, η ∈ H.
Clairement α(·, ·) est une forme sesquilinéaire bornée sur H, donc il existe, grâce au théorème
de Riesz, un opérateur borné x ∈ B(H) tel que α(ξ, η) = hxξ, ηi pour tous ξ, η ∈ H. En particulier,
xi converge vers x pour la topologie faible.
Par construction, x est hermitien et x > xi pour tout i. Par conséquent, pour tout ξ ∈ H,
2
k x − xi ξ k = h(x − xi )ξ, ξi : nous pouvons donc déduire, de la convergence simple faible de xi
√
vers x, la convergence simple forte de x − xi vers zéro. Grâce à la continuité pour la topologie
forte de la multiplication sur les ensembles bornés (cf. exercice 1.9), nous en déduisons que x − xi
converge vers zéro pour la topologie forte. Il est alors clair par construction que x = supi xi .
√
Existence de projections Soit x ∈ B(H) un élément normal et U ⊆ C un ouvert non vide.
Définissons
o
n
SU = f : C → [0, 1] f continue et f Uc = 0 ;
en vertu du lemme d’Urysohn, il existe de nombreuses fonctions dans SU . Grâce au lemme précédent,
la suite généralisée d’opérateurs (f (x))f ∈SU admet un supremum, que nous noterons 1U (x) et qui
appartient à A , l’algèbre de von Neumann engendrée par x et 1H .
Grâce au lemme d’Urysohn, à la continuité forte de la multiplication sur les ensembles bornés
et à la continuité faible de l’adjonction, il est aisé de voir que 1U (x) est une projection dans A , qui
est non nulle dès que U ∩ (sp(x) \ {0}) est non vide et qu’en outre 1U (x) % 1 quand U croît vers
C (ou, de façon équivalente, que U ∩ sp(x) croît vers sp(x)).
Définition 4.10. — L’élément 1U (x) défini ci-dessus est appelé la projection spectrale de x correspondant à U.
Similairement, nous pouvons construire
1F (x) en considérant l’infinum des f (x) pour f une
fonction continue C → [0, 1] telle que f F = 1, où F est fermé. Clairement, 1U (x) + 1Uc (x) = 1 et
1U (x)1Uc (x) = 0. Grâce aux partitions de l’unité, nous obtenons alors immédiatement le résultat
suivant.
26
CHAPITRE 4. LA BOULE UNITÉ
Proposition 4.11. — Soient ε > 0, x ∈ B(H) un élément normal et A l’algèbre de von Neumann
engendrée par x (et 1). Alors il existe y ∈ A de spectre fini et tel que k x − y k < ε.
Corollaire 4.12. — Soient A une algèbre de von Neumann et P(A ) l’ensemble de ses projections.
Alors l’espace vectoriel engendré par P(A ) est dense dans A , pour la topologie de la norme.
Constatons avec ravissement que nous obtenons un résultat de densité pour la topologie de la
norme alors que nous n’avons utilisé que la topologie forte pour définir les projections spectrales !
Fonctions fortement continues Soit f : R → C une fonction continue. On dit que f est
fortement continue si pour toute suite généralisée d’éléments hermitiens (xi ) convergeant vers x
pour la topologie forte, la suite f (xi ) converge aussi vers f (x) pour la topologie forte.
Lemme 4.13. — Toute fonction de C0 (R) est fortement continue.
Démonstration. — Il est clair que si {fi }i∈N est une suite convergeant uniformément vers f ,
alors si toutes les fi sont fortement continues, f l’est aussi.
αt
Exercice 4.14. — Montrer que pour tout α > 0, la fonction fα : t 7→ 1+(αt)
2 est fortement continue. En déduire que toute les fonctions de la sous-algèbre de C0 (R) engendrée par les fα sont aussi
fortement continues.
Selon l’exercice, le lemme se déduit du théorème de Stone–Weierstraß. (Notons qu’on peut
identifier les fonctions C0 (R) comme l’ensemble des fonctions continues sur T et nulles en le point
infini.)
Exercice 4.15. — Montrer plus généralement que tout fonction O(t) est fortement continue. Indication. Soit h : R → C une fonction O(t), alors h · f1 est bornée.
En particulier, cet exercice implique que t 7→ exp(it) est fortement continue (ce que nous aurions
aussi pu voir directement en considérant des ensembles bornés dans B(H)h ).
4.2
Théorème de densité de Kaplansky
Théorème 4.16 (Kaplansky). — Soit M ⊆ B(H) une algèbre de von Neumann et A ⊆ M
une sous-algèbre hermitienne, dense pour la topologie faible. Alors, (A )1 est fortement dense
dans (M )1 . De plus, le même résultat de densité est vrai en considérant les ensembles des
éléments hermitiens ou positifs, et si A est une algèbre stellaire unifère, les ensembles des
éléments unitaires.
4.2. THÉORÈME DE DENSITÉ DE KAPLANSKY
27
Démonstration. — En remplaçant A par sa fermeture en norme, on peut supposer tout de suite
que A est une algèbre stellaire (non nécessairement unifère).
Soit x ∈ (Mh )1 ; par l’exercice 1.24 il existe une suite généralisée (xi )i∈I ⊆ Ah convergeant
fortement vers x. Soit f : R → [−1, 1] une fonction fortement continue telle que f |[−1,1] = id. Alors
f (xi ) converge aussi pour la topologie forte vers f (x), mais f (x) = x. Par ailleurs, notons que, par
le théorème de Gelfand–Naimark, k f (xi ) k ≤ k f k∞ , d’où f (xi ) ∈ (Ah )1 pour tout i ∈ I. La densité
de (A+ )1 dans (M+ )1 se démontre avec le même argument.
En particulier, 1 ∈ (A+ )1
unifère.
forte
, et on voit facilement qu’on peut supposer de ce point que A est
Ensuite, nous montrons la densité forte de U(A ) dans U(M ). Grâce à la proposition 4.11, il
suffit de noter que pour tout u ∈ U(A ) de spectre fini, il existe des uj ∈ U(A ) convergeant fortement
vers u. Mais maintenant, puisque ] sp(u) < ∞, il existe une détermination continue du logarithme
sur un domaine ouvert contenant sp(u), appelons-la log. Soit x = i log(u) ∈ (Mh )1 .
Selon la première partie de la démonstration, on peut prendre une suite généralisée (xj )j ⊆ (Ah )1
convergeant vers x et choisir uj := exp(−ixj ).
Finalement, nous sommes prêts à montrer la densité forte de (A )1 dans (M )1 . Soit x ∈ (M )1
et écrivons x = v|x|, la décomposition polaire de x. Grâce à la continuité forte de la multiplication
sur les ensembles bornés et ce qui précède, il suffit de montrer que l’isométrie partielle v appartient
à l’adhérence forte de (A )1 .
Posons p = v ∗ v et q = vv ∗ . Alors l’élement
u=
v q⊥
p⊥ v ∗
!
∈ M2 ⊗ M = M2 (M )
(4.2)
est clairement unitaire. Par ce qui précède il existe une suite généralisée (ui )i ⊆ M2 (A ) convergeant fortement vers u dans!M2 (M ). On vérifie facilement ensuite qu’après avoir identifié M '
1 0
, la suite généralisée Pui P converge vers v. (Notons que clairement
P.M2 (M ).P où P =
0 0
kPui Pk ≤ 1.)
28
CHAPITRE 4. LA BOULE UNITÉ
Table des matières
1 Introduction
3
1.1
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Algèbres d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Le théorème de Gelfand–Naimark
11
2.1
Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Un cas particulier du théorème de Gelfand–Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Calcul fonctionnel continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3 Positivité et théorème de Stinespring
17
3.1
Positivité et états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Le théorème de dilatation de Stinespring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4 La boule unité
23
4.1
Outils divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Théorème de densité de Kaplansky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
29