Méthodes d’analyse des circuits Méthodes de noeuds et des mailles Adapté de notes de cours sur Internet de l`Université du Tennessee Méthodes de nœuds Principe : 1. Choisir un nœud de référence parmi les N nœuds d`un circuit et attribuer une tension vi (par rapport au nœud de référence) à chacun de N-1 nœuds restants 2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les courants à chacun des N-1 nœuds et exprimer les courants en termes des tensions des nœuds 3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions vi On peut alors déterminer tout courant dans le circuit à partir des tensions vi Illustration sur circuit partiel v1 v2 v3 R4 R2 R1 I R3 reference node On a pour v1: • V1 V2 V1 V1 V1 V3 I R2 R1 R3 R4 1 1 1 1 1 1 V1 V2 V3 I ou R2 R4 R1 R2 R3 R4 Des équations similaires existent pour les autres nœuds Note : on suppose que les courants quittent les nœuds, sauf indication contraire Exemple d’application 1 R2 v1 R3 v2 R5 + R1 I1 R4 v6 _ R6 On a : V1 V1 V2 I1 R1 R2 R3 V2 V1 V2 V2 0 R3 R4 R5 R6 ou 1 1 1 V1 V2 I1 R1 R2 R3 R3 1 1 1 1 V2 0 V1 R3 R3 R4 R5 R6 Exemple d’application 1 R2 v1 R3 v2 R5 + R1 I1 R4 v6 _ R6 On peut écrire les équations précedentes sous forme matricielle et les résoudre : 1 1 R R R 2 3 1 1 R3 V1 I1 1 1 1 V2 0 R3 R4 R5 R6 1 R3 Exemple numérique 2A v1 v2 5 10 20 Donc : V1 + 2V1 – 2V2 = 20 v1: V1 V1 V2 2 10 5 v2: V2 V1 V2 6 5 20 4A ou 3V1 – 2V2 = 20 4V2 – 4V1 + V2 = -120 ou -4V1 + 5V2 = -120 Solution: V1 = -20 V, V2 = -40 V » % A MATLAB Solution » R = [3 -2;--4 5]; » V = [20;-120]; » I = inv(R)*V Circuits avec sources de tension I R1 v1 v2 R3 E + _ v1 : v2 : R2 V1 E V1 V1 V2 I R1 R2 R3 V2 V2 V1 I R R 4 3 R4 Soit : • Réduisent le nombre des tensions inconnues • Si une borne est la tension de référence, on a un nœud en moins à déterminer 1 1 1 1 E V V2 I R R R 1 R R1 2 3 1 3 1 1 1 V1 V2 I R2 R3 R4 Exemple numérique 4 v2 10 V v1 _ + 6 10 v1 : V1 V1 10 V2 5 10 4 v2 : V2 V2 10 V1 0 6 4 5A D’où : 4V1 + 10V1 + 100 – 10V2 = -200 4V2 + 6V2 – 60 – 6V1 = 0 ou 14V1 – 10V2 = -300 -6V1 + 10V2 = 60 V1 = -30 V, V2 = -12 V, I1 = -2 A • Dans le cas d’une source prise entre deux nœuds, on peut aussi former un super nœud Super nœud • Un super nœud englobe deux nœuds adjacents (excluant le nœud de référence) reliés par une source de tension • Le couplage entre les tensions des deux nœuds permet de dériver facilement l’une de l’autre super noeud 2 v1 5 6A x x v2 _ v3 + 10 V x x 4 10 Exemple Contrainte sur le v1 v2 2 super noeud : Au super Noeud : Ce qui donne : V1 – V2 = -2 -2V1 – V2 = 20 v1 v2 27 0 2 4 Et la solution est : V1 = -7.33 V V2 = -5.33 V Exemple 2 v2 v1 _ 5 6A + v3 10 V 4 10 Contrainte sur le V2 – V3 = -10 super noeud : À v1 : V1 V2 V1 V3 6 5 2 Au super Noeud : V2 V1 V2 V3 V3 V1 0 5 Ce qui donne : 7V1 – 2V2 – 5V3 = 60 -14V1 + 9V2 + 12V3 = 0 V2 – V3 = -10 4 Et la solution est : V1 = 30 V, V2 = 14.29 V, V3 = 24.29 V 10 2 Circuits avec sources dépendantes 2 _ v1 10 10 V + _ • Il faut exprimer les tensions des sources en termes de vi Vx + 2A v2 4 5 Ce qui donne : 5Vx Vx V2 V1 À v1 : V1 10 V1 V1 V2 2 10 5 2 À v2 : V2 V1 V2 5V x 2 2 4 8V1 5V2 30 La solution est : 7V1 8V2 8 V1 6.9V , V2 5.03V Méthode des mailles Méthodes de mailles Principe : 1. Ignorer la maille qui a le plus de branches communes avec les autres et attribuer un courant à chacune des N-1 mailles restantes 2. Appliquer la loi de Kirchhoff sur les tensions à chacune des mailles et exprimer les tensions en fonction des courants dans les mailles 3. Résoudre le système de N-1 équations obtenu pour trouver les tensions Ii On peut alors déterminer toute tension dans le circuit à partir des tensions Ii Illustration R1 + VA V1 _ + V2 _ + + _ R2 I1 VL1 _ Rx + I2 _ VB On a pour la maille 1 : V1+VL1=VA, avec V1=R1I1 et VL1=Rx(I1-I2) On en déduit : (R1+Rx)I1-RxI2=VA Pour la maille 2, on aurait obtenu : –RxI1+(R2+Rx)I2 = -VB Note : on suppose que les courants vont dans le sens horaire, sauf indication contraire Illustration R1 + VA V1 _ + V2 _ + + _ R2 I1 VL1 _ Rx + I2 _ VB • On peut écrire les équation précédente sous forme matricielle et les résoudre : • ou R X I1 V A ( R1 RX ) R ( R R I V X X 2 2 B 1 RX VA I1 ( R1 RX ) I R V ( R R X X 2 B 2 Exemple 4 10V + _ 2 7 6 I1 2V +_ I2 _ + 20V Maille 1 : 4I1 + 6(I1 – I2) = 10 - 2 Maille 2 : 6(I2 – I1) + 2I2 + 7I2 = 2 + 20 Par conséquent : 10I1 – 6I2 = 8 -6I1 + 15I2 = 22 » % A MATLAB Solution » R = [10 -6;-6 15]; » V = [8;22]; » I = inv(R)*V I= 2.2105 2.3509 Exemple 9 12V _ _ + Maille 1: + 10 I3 6 20V 6I1 + 10(I1 – I3) + 4(I1 – I2) = 20 + 10 8V + _ 11 Maille 2: 4(I2 – I1) + 11(I2 – I3) + 3I2 = - 10 - 8 4 + __ I1 _ + 10V Forme standard 20I1 – 4I2 – 10I3 = 30 -4I1 + 18I2 – 11I3 = -18 -10I1 – 11I2 + 30I3 = 20 I2 3 Maille 3: 9I3 + 11(I3 – I2) + 10(I3 – I1) = 12 + 8 Forme matricielle 20 4 10 I1 30 4 18 11 I 18 2 10 11 30 I 3 20 Noter la régularité du processus de détermination des coefficients! Exemple 20 30 I1 I2 + _ 8 _ 10 20V +_ 12 + 10V 15V 10 On a par inspection : 0 I1 10 30 10 10 50 10 I 25 2 0 10 30 I 3 15 I3 _ + 30V Circuits avec sources de courant 20V _ + 2 I3 10 10V +_ I1 5 20 I2 4A 15 • Réduisent le nombre des courants inconnus • La source est directement reliée à un ou plusieurs courants de maille • Dans l’exemple, on a I2 = -4 A et seuls I1 et I3 sont à déterminer I = -0.667 A 1 Maille 1 : 10I1 + (I1-I2)5 = 10 Maille 2 : 2I3 + (I3-I2)20 = 20 I2 = - 4 A I3 = - 2.73 A