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Ce qui se passe, en changeant le cinquième postulat, c’est que cela donne un espace courbé.
L’espace de la géométrie euclidienne, celui qu’on voit avec nos yeux, c’est un espace qui
n’est pas courbé, les lignes sont droites. Là, on a un espace qui se courbe.
Attention, ce n’est pas un objet qui se courbe dans l’espace, c’est l’espace lui-même qui est
déformé, courbé.
Il s’agit d’un espace à courbure négative, une géométrie hyperbolique. L’espace est incurvé,
courbé vers lui-même. Cf. la figure. Ce que représente cette figure, ce n’est pas un objet dans
l’espace, mais l’espace lui-même, un espace incurvé.
Si vous regardez cet espace, vous verrez que pour la droite D, et un point M extérieur à cette
droite, il y a une infinité de parallèle qu’on peut tracer, par exemples les droites d1, d2, d3.
Elles sont parallèles, car comme l’espace est courbé, incurvé, eh bien elles ne vont jamais
couper la droite D. Or, une droite qui ne coupe jamais une autre, c’est ce qu’on appelle une
droite parallèle.
Dans cette géométrie, comme on part d’axiomes différents, donc de principes différents, les
théorèmes que l’on va démontrer seront différents.
Par exemples, dans cette géométrie, la somme des angles du triangle ne sera pas égale à deux
angles droits, elle sera inférieure à deux angles droits. Du fait que l’espace s’incurve, les
angles se réduisent. Essayer de le faire avec une peau d’orange pour le voir.
Même chose pour Riemann. Cf. l’autre fiche.
Lui, il part d’un autre postulat : « par un point extérieur à une droite, ne peut passer aucune
parallèle ».
Cela donne un espace à courbure positive. L’espace est déformé, mais au lieu d’être incruvé,
il est bombé, si l’on peut dire. Cela donne en fait un espace qui devient sphérique. Le shéma
que vous voyez n’est pas une sphère dans l’espace, c’est l’espace lui-même.
En fait, cet espace est l’exact inverse de celui de Lobatchevski, et vous voyez qu’on peut
justaposer la figure de l’espace hyperbolique et celle de l’espace de Riemann, cela se
correspond, l’espace sphérique peut rentrer dans l’incurvation de l’autre.
C’est une géométrie essentielle pour penser la courbure de l’espace-temps en relativité
générale, c’est-à-dire en physique einsteinienne, et pour penser une courbure extrême comme
celle des trous noirs en astrophysique. Cela permet de modéliser l’explication de la gravité
dans la théorie de la relativité générale, à savoir que la masse de la planète courbe l’espace-
temps. Cela permet aussi de calculer les trajectoires des avions autour de la terre.
Cette géométrie par d’un axiome différent, donc les théorèmes que l’on va démonstrer à partir
de ces principes seront différents. Dans cette géométrie, la sommes des angles d’un triangle
n’est pas égale à deux angles droits : la sommes des angles d’un triangle est supérieure à deux
angles droits. Pour le voir, tracez un triangle sur une orange, vous verrez. Comme l’espace se
bombe, les angles augmentent.
On peut même, dans cette géométrie, avoir un triangle dont la somme des angles est égale à
trois angles droits, c’est-à-dire un triangle dont tous les angles sont droits.
Mettez un point au d’une orange. Puis, tracez la circonférence sur l’orange. En tracant deux
traits du sommet à la circonférence, vous formerez un triange à trois angles droits.