Conjecture de Greenberg généralisée et capitulation dans les Zp

Conjecture de Greenberg g´en´eralis´ee et
capitulation dans les Zp-extensions d’un corps
de nombres
David Vauclair
D´ecembre 2005

R´esum´e : Le cadre g´en´eral de cette th`ese est celui de la th´eorie d’Iwa-
sawa. Nous nous int´eressons plus particuli`erement `a la conjecture de Green-
berg g´en´eralis´ee (multiple) (GG). Apr`es avoir reli´e celle-ci `a diff´erents probl`e-
mes de capitulation pour certains groupes de cohomologie p-adiques en degr´e
2 (F Cap(i),T Cap(i),fCap(i)), nous proposons une version faible (GGf) de
(GG) dont nous montrons la validit´e, pour tout corps de nombres Fconte-
nant µpet un corps quadratique imaginaire dans lequel (p) se d´ecompose, du
moment que Fv´erifie la conjecture de Leopoldt. Les outils d´evelopp´es per-
mettent de retrouver et de g´en´eraliser (notamment dans des Zp-extensions
autre que la Zp-extension cyclotomique) un certain nombre de r´esultats clas-
siques en th´eorie d’Iwasawa.
Mots-cl´es : Th´eorie d’Iwasawa, cohomologie galoisienne, capitulation, cup-
produit, conjecture de Greenberg g´en´eralis´ee.

Table des mati`eres
1 Th´eorie d’Iwasawa des groupes de cohomologie p-adique 11
1.1 D´efinitions et propri´et´es fondamentales . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Th´eorie d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Les modules X(i)..................... 16
1.2.2 Adjoints.......................... 24
1.2.3 Lien entre X(−i)et X(i).................. 29
2 La conjecture de Greenberg g´en´eralis´ee 35
2.1 Th´eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Sur les Λ-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Lien entre X(−i)et A(i).................. 41
2.2 Diff´erentes formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Lecascyclique .......................... 54
3 Cup produit dans une Zp-extension 60
3.1 Etude du cup-produit par mont´ee et descente . . . . . . . . . 61
3.1.1 L’application ∪a:H1
S(F, Zp(i)) → H2 S(F, Zp(i)) . . . . 61
3.1.2 Symbole de S-unit´es ................... 65
3.2 Th´eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Cup produit et normes universelles . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 A propos des normes universelles . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 Sur la structure de certains modules . . . . . . . . . . 83
4 Capitulation 94
4.1 Th´eorie d’Iwasawa : suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.1 Cup produit et capitulation . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.2 Les noyaux de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 La conjecture faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1

4.2.1 R´ecapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.2 R´esultats n´egatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.3 R´esultats positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2

Introduction
L’objet initial de la th´eorie d’Iwasawa classique est l’´etude du compor-
tement asymptotique de groupes de nature arithm´etique (essentiellement
le groupe de classes) dans une Zp-extension (souvent cyclotomique) F∞/F
de groupe Γ. Par limite projective dans la tour F∞/F , on d´efinit des mo-
dules X0(F∞) = lim
←− Cl0(Fn)⊗Zpsur l’alg`ebre d’Iwasawa Λ = Zp[[Γ]] =
lim
←− Zp[G(Fn/F )]. L’´etude asymptotique en question se r´esume alors `a d´etermi-
ner la structure de ces modules. Comme Λ est un anneau noeth´erien factoriel
de dimension de Krull ´egale `a 2, on dispose d’un th´eor`eme de classification des
Λ-modules de type fini `a pseudo-isomorphisme pr`es. En 1973 R. Greenberg
a propos´e la conjecture suivante :
Conjecture 0.0.1 (GC)([G1]) Le module d’Iwasawa X0(Fc)associ´e aux
p-groupes de classes dans la tour cyclotomique Fc/F d’un corps de nombres
totalement r´eel est pseudo-nul.
Cette conjecture ´equivaut `a la trivialit´e de Cl0(F∞)⊗Zp. Il est bien connu
que pour F=Q(µp)+, cette conjecture est un affaiblissement de la conjec-
ture de Vandiver, si bien que (GC) constitue une g´en´eralisation raisonnable
(d’une version faible) de la conjecture de Vandiver `a tous les corps r´eels.
La conjecture (GC) a fait l’objet de nombreuses ´etudes, dont beaucoup ont
fourni des exemples num´eriques corroborant sa validit´e. Plus tard, se fondant
sur une heuristique dans le cas o`u Fest un corps quadratique imaginaire
(p)-d´ecompos´e, attach´e `a une courbe elliptique `a multiplication complexe,
R. Greenberg proposa une g´en´eralisation (GG) de (GC). On note ˜ F /F le
compositum de toutes les Zp-extensions de F,˜ Γ son groupe de Galois, et
˜
Λ = Zp[[˜ Γ]]. ˜ Λ est un anneau noeth´erien factoriel dont la dimension de Krull
est ´egale `a rgZp˜ Γ + 1, si bien qu’on dispose encore d’un th´eor`eme de classi-
fication des ˜ Λ-modules de torsion. On se propose dans cette th`ese d’´etudier
diff´erents aspects de la conjecture (GG) :
Conjecture 0.0.2 (GG)([G3] conj. 3.5, voir aussi [G2]) Le ˜ Λ-module X0(˜ F)
est pseudo-nul.
Si Fest un corps totalement r´eel, la conjecture de Leopoldt pr´edit que la
Zp-extension cyclotomique est l’unique Zp-extension de F; si c’est vrai, (GG)
co¨ıncide alors avec (GC). On poss`ede quelques exemples de corps (non r´eels)
3