Interférences lumineuses - MP*1

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MP*1- 2016/2017
Interférences lumineuses
1) Fentes d’Young:
𝐹1 et 𝐹2 sont deux fentes d’Young très fines, distantes de 𝑎, éclairées sous incidence 
normale de longueur d’onde La lentille 𝐿
é𝑐𝑟𝑎𝑛
de distance focale 𝑓’ est pratiquement
𝑆
confondue avec le plan contenant les fentes.
1
Déterminer l’interfrange 𝑖 sur le plan
d’observation ( Π ) distant de 𝐿 de 𝐷:
1) Pour 𝐷 = 𝑓’
𝑆2
2) Pour 𝐷 = 2𝑓’.
𝐷

2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double :
Une lentille mince convergente précédée de deux trous d’Young 𝑇1 et 𝑇2 distants de 𝑑,
vise les deux composantes de même
luminosité d’une étoile double 𝐸1 et 𝐸2 dans
écran
𝑇1
les directions 𝛼 et 𝛼 + Δ𝛼. On observe la
figure d’interférences dans le plan focale
𝐸1
𝛼
image de la lentille convergente.
1) Monter qu’en faisant varier 𝑑, on
𝑇2
peut mesurer Δ𝛼de façon précise.
𝐸
2
2) Si la valeur maximale de 𝑑 est
𝑓′
30 𝑐𝑚 et la radiation utilisée d'une longueur
d’onde𝜆 = 500 𝑛𝑚, calculer en seconde

d’arc la valeur minimale de Δ𝛼 mesurable.
3) Interférences avec deux miroirs parallèles :
On considère le montage représenté ci-contre. 𝑀1 et 𝑀2 sont des miroirs plans distants
de 2𝐿. 𝑆 et 𝑆’ sont des sources ponctuelles
𝐷
𝑥
monochromatiques, distantes de 2𝑎, de même
écran
miroir1
longueur d’onde et de même intensité.
𝑆
L’écran opaque E supprime la lumière
directe, les rayons lumineux issus des sources 2𝐿 2𝑎
se réfléchissent forcément sur un des deux
𝑆′
miroirs
miroir 2
Déterminer l’intensité lumineuse 𝐼(𝑥)
sur l’écran, ainsi que le contraste des franges.

4) Lever d’une étoile :
Un détecteur d’ondes radio muni d’un filtre sélectionnant la longueur d’onde 
= 21 𝑐𝑚 est placé près d’un lac à 𝐻 = 0,5 𝑚 au-dessus de la surface de l’eau. Une étoile se
lève lentement à l’horizon.
Le détecteur indique des maxima et des minima successifs d’intensité lumineuse. À
2
quel angle 𝜃 au-dessus de l’horizon l’étoile est-elle située lorsque le premier maximum est
détecté ?
La réflexion sur l’eau d’un rayon issu de l’air entraîne un déphasage de 𝜋.
5) Biprisme de Fresnel :
Une source ponctuelle 𝑆𝑜 est placée au foyer objet de la lentille convergente . Il s'agit d'une
source supposée monochromatique (longueur
écran
d'onde dans le vide ). Le biprisme présente un
𝛼
𝑆𝑜 = 𝐹
𝑂
angle 𝛼 égal à 10’ d'arc.
𝑛
Qu'observe-t-on sur l'écran 𝐸 placé à une
𝑓
𝐷
distance 𝐷 de 𝑂.
Commenter les résultats.
6) Demi-lentilles de Billet :
On coupe en deux par un plan diamétral une lentille convergente de distance focale
𝑓 = 0.5 𝑚 et de rayon d’ouverture 𝑅 = 2 𝑐𝑚. On écarte les deux demi-lentilles obtenues
symétriquement de 𝑒 = 1.2 𝑚𝑚 perpendiculairement à l’axe de révolution initial de la
lentille unique.
Sur cet axe, à une
𝐷
𝑑
distance 𝑑 = 1 𝑚 en avant
de la position initiale du
centre optique de la lentille
𝑂1
unique, on place une fente
𝑆
source infiniment fine 𝑆
émettant une lumière de
𝑂2
longueur
d’onde
𝜆=
550 𝑛𝑚.
1) Déterminer les positions des images 𝑆1 et 𝑆2 de 𝑆 à travers les demi-lentilles.
2) Expliquer l’existence de franges d’interférences sur un écran (𝐸) perpendiculaire à
l’axe de révolution.
3) Déterminer la distance minimale 𝐷 des demi-lentilles à l’écran pour laquelle il y a
interférences.
4) L’écran est placé à 𝐷 = 2 𝑚 des demi-lentilles. Calculer l’interfrange, la largeur du
champ d’interférences et le nombre de franges brillantes.
7) Une expérience de TP :
1) Un élève travaille sur un
interféromètre de Michelson éclairer par une
source étendue monochromatique de
longueur d’onde 𝜆 = 546 𝑛𝑚; en manipulant
une des vis de l’appareil il observe la
succession d’images ci-contre suivantes sur
un écran :
Déterminer le réglage de l’interféromètre ;
comment l’élève a-t-il pu obtenir ces
figures ? Quelle vis a-t-il manipulée et dans
quel sens. Argumenter les réponses.
3
2) On se place dans la situation du deuxième écran : l’écran a une largeur de 10 𝑐𝑚 et
se situe à 1 𝑚 d’une lentille convergente. Quelle est l’épaisseur 𝑒 entre les deux miroirs ?
Donner un encadrement.
3) On suppose que la valeur de e correspond à la plus grande valeur de l’encadrement
précédent. On diminue la valeur de 𝑒. Calculer la valeur 𝑒’ de 𝑒 pour laquelle le premier
anneau disparaît. En déduire le rayon 𝑟1’ du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de
l’anneau qui a disparu.
8) Mesure de l’épaisseur d’une lame :
Un interféromètre de Michelson, réglé en lame à faces parallèles d’épaisseur e, est
éclairé en lumière monochromatique par une source étendue. Les angles d’incidences sur la
lame et sur les miroirs sont supposés petits.
Le contact optique étant réalisé (𝑒 = 0), on place sur le bras 1, juste avant le miroir
𝑀1 , une lame de mica d’indice 𝑛 = 1,596, d’épaisseur 𝑙, perpendiculaire à l’axe du bras. Pour
rétablir un éclairement uniforme de l’écran, il faut déplacer 𝑀1 de 𝑒 = 20 𝜇𝑚. En déduire la
valeur de 𝑙.
9) Défaut sur un miroir de Michelson :
On considère un interféromètre de Michelson réglé en coin d’air. On dispose d’une
lampe monochromatique de longueur d’onde  = 630 𝑛𝑚, d’un diaphragme, d’une lentille
convergente de focale 𝑓’ = 20 𝑐𝑚 et d’un écran.
1) Décrire le dispositif sachant que l’interféromètre est éclairé par une source étendue.
Où place-t-on la lentille et l’écran pour observer la figure d’interférences sur l’écran ?
2) Décrire l’écran sachant que la distance miroir écran est de 𝑑 = 90 𝑐𝑚 et que la
lentille est placée de telle sorte que le grandissement soit en valeur absolue le plus grand
possible.
3) Que se passe-t-il si on éclaire le Michelson en lumière blanche ? Par la suite on ne
tient pas compte des irisations.
𝐷
4) En fait l’un des miroirs présente un défaut : une couche
d’épaisseur 𝑒 située à 𝐷 = 1 𝑐𝑚 de l’origine du coin d’air.
𝑒
𝛼
On effectue la manipulation suivante,  étant l’angle du coin
d’air :
* en lumière blanche on constate que si 𝛼 > 𝛼𝑜 on observe une
seule frange.
* si 𝛼 = 𝛼𝑜 , on observe deux franges brillantes.
* pour 𝛼 = 𝛼𝑜 , en lumière monochromatique, on observe sur l’écran une interfrange
𝑖 = 0.9 𝑚𝑚.
Calculer 𝛼𝑜 , puis 𝑒.
Indications
1) Interférences et lames à faces parallèles :
1) La première question a été vu en cours ; 2) Il faut commencer par faire une figure d’optique
géométrique sans les fentes d’Young et trouver l’objet 𝑀 dont un point 𝑀’ de l’écran est
l’image ; quelle est sa position et sa distance à l’axe optique ? Puis faire une construction avec
les fentes d’Young. Les rayons qui convergent en 𝑀’ semblent être issus de 𝑀. En utilisant la
condition de stigmatisme entre 𝑀 et 𝑀’ en déduire la différence de marche.
2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double :
4
Les deux étoiles sont incohérentes ; il faut sommer les éclairements ; pour une certaine valeur
de 𝑑 on aura brouillage de la figure ce qui permet une mesure de l’écart angulaire.
3) Interférences avec deux miroirs parallèles :
Il faut tout de suite remarquer que les sources 𝑆 et 𝑆’ sont incohérentes ; trouver les images 𝑆1
et 𝑆2 de S à travers les deux miroirs et reprendre le calcul des trous d’Young pour 𝑆1 et 𝑆2 ;
attention à la position de l’axe optique ; faire de même pour 𝑆’.
4) Lever d’une étoile :
Le détecteur reçoit de l’étoile une onde arrivant directement d’intensité 𝐼1 et une onde arrivant
après réflexion sur le lac d’intensité 𝐼2 inférieure à 𝐼1 ; (le coefficient de réflexion de l’eau est
inférieur à 1. Ces ondes vont interférer. Pour déterminer la différence de marche en tre les
deux rayons, il faut faire un dessin clair, un des rayon subissant une réflexion sur l’eau et
l’autre pas.
5) Biprisme de Fresnel :
Faire une figure pour mettre en évidences un champ d’interférences ; il ne faut surtout pas
chercher à calculer les chemins optiques en évaluant les distances ; il s’agit d’interférences
d’ondes planes et le point 𝑂 est un point commun aux deux ondes planes qui sortent des
⃗ 1 et 𝑘
⃗ 2 des deux ondes planes et sommer les
prismes ; exprimer les vecteurs d’ondes 𝑘
⃗ 1 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ 2 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
amplitudes complexes de ces deux OPPH : 𝑠(𝑀) = 𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝑘
𝑂𝑀 + 𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝑘
𝑂𝑀.
6) Demi-lentilles de Billet :
1) Pour chaque demi lentille, l’axe optique a été décalé de 𝑒/2 ; faire un dessin avec deux
nouveaux axes optiques, passant par les centres optiques de chacune de demi-lentilles ; 2)
Faire un dessin pour représenter le champ d’interférence ; les rayons issus de 𝑆 doivent passer
par 𝑆1 et 𝑆2 ; 3) Il faut placer l’écran dans le champ d’interférences ; 4) Les dispositifs est
équivalent à un dispositif de fentes d’Young placées en 𝑆1 et en 𝑆2 ; le champ d’interférences
est limité par les rayons issus de 𝑆 qui passent par les bords des demi-lentilles ; comme
𝑑 = 2𝑓’ ces rayons recoupent l’axe optique en 𝑓’ ; pour compter le nombre de franges
brillantes, travailler sur un demi écran, la frange centrale étant brillante.
7) Une expérience de TP :
2) La largeur de l’écran donne le rayon du quatrième anneau brillant; 3) L’ordre du premier
anneau brillant de la première expérience devient l’ordre au centre de la deuxième ; en
déduire 𝑒’, puis trouver l’ordre du premier anneau brillant pour trouver son rayon
8) Mesure de l’épaisseur d’une lame :
1) Pour le calcul de la différence de marche introduite par la lame (question difficile) il faut
faire le schéma suivant :
S
lame
Miroir 2
e
Miroir 1
On trouve 𝛿 = 2𝑒𝑐𝑜𝑠𝑖 + 2𝑙(𝑛𝑐𝑜𝑠𝑟 − 𝑐𝑜𝑠𝑖) soit pour des angles petits 𝛿 = 2𝑒 + 2𝑙(𝑛 − 1) −
𝑖2
2𝑙
(2𝑒 + 𝑛 − 2𝑙) ; la teinte plate est obtenue lorsque 𝛿 est indépendant de 𝑖.
2
9) Défaut sur un miroir de Michelson :
5
2) Il faut poser 𝑥 = 𝑂𝐴’ et appliquer la formule de conjugaison de Descartes ; on trouve alors
une équation du second degré en 𝑥 qui a deux solutions ; il faut choisir la solution qui donne
le plus grand grandissement ; 4) en lumière blanche, on ne voit que la frange 𝑝 = 0 ; il faut
trouver où se trouve la frange 𝑝 = 0 en absence de défaut et la frange 𝑝 = 0 en présence de
défaut ; on ne peut voir la frange 𝑝 = 0 due au défaut que si elle se situe sur le défaut ; la
dernière expérience donne la valeur de 𝛼𝑜 ; les deux autres donnent l’épaisseur du défaut.
Solutions
1) Interférences et lames à faces parallèles :
𝜆𝑓′
2𝜆𝑓′
1) 𝑖 = 𝑎 ; 2) 𝑖′ = 𝑎
2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double :


 2d (   )  
 2d (     )  
I1 ( x  f ' )  I1o 1  cos
  ; I 2 ( x  f ' )  I 2o 1  cos
  ;









 2d     
 2d  
 d 
I  2 Io1  cos
. cos
  ; le contraste est C  cos
 ; le premier



 2  
  

brouillage aura lieu pour  

.
2d
3) Interférences avec deux miroirs parallèles :

 8lx 
 8la  
I total ( x)  I S ( x)  I S ' ( x)  4 I o 1  cos
. cos
 
 D 
 D  

4) Lever d’une étoile :
4𝜋ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 − 2√𝐼1 𝐼2 𝑐𝑜𝑠 ( λ ) , avec 𝜃 la direction de l’étoile par rapport à l’horizon ;
𝜆
premier maximum 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 4ℎ soit 𝜃 = 6°.
5) Biprisme de Fresnel :






k1   sin(n(  1))u x  cox(n(  1))u y ; k 2  sin(n(  1))u x  cox(n(  1))u y ;
i

.
2 (n  1)
6) Demi-lentilles de Billet :
1) 𝑆1 et 𝑆2 se situent de part et d’autre de l’axe optique, à une hauteur ±𝑒 de cet axe et à une
distance 𝑑 = 2𝑓’ en aval des demi lentilles ; 3) 𝐷 > 𝑑 ; 4) 𝑖 =
du champ d’interférences est 𝐻 = 𝑅
𝐷−𝑓′
𝑓′
𝜆(𝐷−𝑑)
𝐻
𝑒
= 0,23 𝑚𝑚 ; la largeur
= 60 𝑚𝑚 ; 𝑁 = 2𝐸 (2𝑖) + 1 = 261 franges
brillantes.
7) Une expérience de TP :
1) l’élève est en train d’augmenter la distance e entre les miroirs ; 2) si l’ordre au centre de
2𝑒
l’écran est  = 𝑝𝑜 + 𝜀, pour le quatrième anneau brillant de rayon 5 𝑐𝑚 = 𝑟4 , on a 𝑒 =
3−𝜀
 𝑟 2 /𝑓′2 soit 0,4368 µ𝑚 < 𝑒 < 0,6552 µ𝑚 ; 3) Avant ordre au centre 𝑝𝑜 = 2400, rayon du
premier anneau brillant 𝑟1 = 2,88 𝑐𝑚: Après diminution de 𝑒 : l’ordre au centre est
maintenant de 2399 ; 𝑒 ′ = 0,654 𝜇𝑚 ; rayon du premier anneau brillant 𝑟1 = 4,08 𝑐𝑚
8) Mesure de l’épaisseur d’une lame :
𝑛𝑒
𝑙 = 𝑛−1 = 53,6 𝜇𝑚
9) Défaut sur un miroir de Michelson :
6
𝑑
𝑑2
1) L’écran est placé dans le plan conjugué des miroirs ; 2) 𝑂𝐴′ = 2 + √ 4 − 𝑑𝑓′ = 60 𝑐𝑚 ;
𝑑
𝑑2
𝑂𝐴 = − 2 + √ 4 − 𝑑𝑓 ′ = −30 𝑐𝑚 ; 𝛾 = −2 ; 3) l’ordre 𝑝 = 0 correspond à une frange
brillante ; autour on a des franges colorées ; 4) 𝛼𝑜 =
.𝛾
2𝑖
= 7.10−4 𝑟𝑑 ; 𝑒 = 𝛼𝑜 𝐷 = 7 𝜇𝑚.