1 MP*1- 2016/2017 Interférences lumineuses 1) Fentes d’Young: 𝐹1 et 𝐹2 sont deux fentes d’Young très fines, distantes de 𝑎, éclairées sous incidence normale de longueur d’onde La lentille 𝐿 é𝑐𝑟𝑎𝑛 de distance focale 𝑓’ est pratiquement 𝑆 confondue avec le plan contenant les fentes. 1 Déterminer l’interfrange 𝑖 sur le plan d’observation ( Π ) distant de 𝐿 de 𝐷: 1) Pour 𝐷 = 𝑓’ 𝑆2 2) Pour 𝐷 = 2𝑓’. 𝐷 2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double : Une lentille mince convergente précédée de deux trous d’Young 𝑇1 et 𝑇2 distants de 𝑑, vise les deux composantes de même luminosité d’une étoile double 𝐸1 et 𝐸2 dans écran 𝑇1 les directions 𝛼 et 𝛼 + Δ𝛼. On observe la figure d’interférences dans le plan focale 𝐸1 𝛼 image de la lentille convergente. 1) Monter qu’en faisant varier 𝑑, on 𝑇2 peut mesurer Δ𝛼de façon précise. 𝐸 2 2) Si la valeur maximale de 𝑑 est 𝑓′ 30 𝑐𝑚 et la radiation utilisée d'une longueur d’onde𝜆 = 500 𝑛𝑚, calculer en seconde d’arc la valeur minimale de Δ𝛼 mesurable. 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : On considère le montage représenté ci-contre. 𝑀1 et 𝑀2 sont des miroirs plans distants de 2𝐿. 𝑆 et 𝑆’ sont des sources ponctuelles 𝐷 𝑥 monochromatiques, distantes de 2𝑎, de même écran miroir1 longueur d’onde et de même intensité. 𝑆 L’écran opaque E supprime la lumière directe, les rayons lumineux issus des sources 2𝐿 2𝑎 se réfléchissent forcément sur un des deux 𝑆′ miroirs miroir 2 Déterminer l’intensité lumineuse 𝐼(𝑥) sur l’écran, ainsi que le contraste des franges. 4) Lever d’une étoile : Un détecteur d’ondes radio muni d’un filtre sélectionnant la longueur d’onde = 21 𝑐𝑚 est placé près d’un lac à 𝐻 = 0,5 𝑚 au-dessus de la surface de l’eau. Une étoile se lève lentement à l’horizon. Le détecteur indique des maxima et des minima successifs d’intensité lumineuse. À 2 quel angle 𝜃 au-dessus de l’horizon l’étoile est-elle située lorsque le premier maximum est détecté ? La réflexion sur l’eau d’un rayon issu de l’air entraîne un déphasage de 𝜋. 5) Biprisme de Fresnel : Une source ponctuelle 𝑆𝑜 est placée au foyer objet de la lentille convergente . Il s'agit d'une source supposée monochromatique (longueur écran d'onde dans le vide ). Le biprisme présente un 𝛼 𝑆𝑜 = 𝐹 𝑂 angle 𝛼 égal à 10’ d'arc. 𝑛 Qu'observe-t-on sur l'écran 𝐸 placé à une 𝑓 𝐷 distance 𝐷 de 𝑂. Commenter les résultats. 6) Demi-lentilles de Billet : On coupe en deux par un plan diamétral une lentille convergente de distance focale 𝑓 = 0.5 𝑚 et de rayon d’ouverture 𝑅 = 2 𝑐𝑚. On écarte les deux demi-lentilles obtenues symétriquement de 𝑒 = 1.2 𝑚𝑚 perpendiculairement à l’axe de révolution initial de la lentille unique. Sur cet axe, à une 𝐷 𝑑 distance 𝑑 = 1 𝑚 en avant de la position initiale du centre optique de la lentille 𝑂1 unique, on place une fente 𝑆 source infiniment fine 𝑆 émettant une lumière de 𝑂2 longueur d’onde 𝜆= 550 𝑛𝑚. 1) Déterminer les positions des images 𝑆1 et 𝑆2 de 𝑆 à travers les demi-lentilles. 2) Expliquer l’existence de franges d’interférences sur un écran (𝐸) perpendiculaire à l’axe de révolution. 3) Déterminer la distance minimale 𝐷 des demi-lentilles à l’écran pour laquelle il y a interférences. 4) L’écran est placé à 𝐷 = 2 𝑚 des demi-lentilles. Calculer l’interfrange, la largeur du champ d’interférences et le nombre de franges brillantes. 7) Une expérience de TP : 1) Un élève travaille sur un interféromètre de Michelson éclairer par une source étendue monochromatique de longueur d’onde 𝜆 = 546 𝑛𝑚; en manipulant une des vis de l’appareil il observe la succession d’images ci-contre suivantes sur un écran : Déterminer le réglage de l’interféromètre ; comment l’élève a-t-il pu obtenir ces figures ? Quelle vis a-t-il manipulée et dans quel sens. Argumenter les réponses. 3 2) On se place dans la situation du deuxième écran : l’écran a une largeur de 10 𝑐𝑚 et se situe à 1 𝑚 d’une lentille convergente. Quelle est l’épaisseur 𝑒 entre les deux miroirs ? Donner un encadrement. 3) On suppose que la valeur de e correspond à la plus grande valeur de l’encadrement précédent. On diminue la valeur de 𝑒. Calculer la valeur 𝑒’ de 𝑒 pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon 𝑟1’ du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de l’anneau qui a disparu. 8) Mesure de l’épaisseur d’une lame : Un interféromètre de Michelson, réglé en lame à faces parallèles d’épaisseur e, est éclairé en lumière monochromatique par une source étendue. Les angles d’incidences sur la lame et sur les miroirs sont supposés petits. Le contact optique étant réalisé (𝑒 = 0), on place sur le bras 1, juste avant le miroir 𝑀1 , une lame de mica d’indice 𝑛 = 1,596, d’épaisseur 𝑙, perpendiculaire à l’axe du bras. Pour rétablir un éclairement uniforme de l’écran, il faut déplacer 𝑀1 de 𝑒 = 20 𝜇𝑚. En déduire la valeur de 𝑙. 9) Défaut sur un miroir de Michelson : On considère un interféromètre de Michelson réglé en coin d’air. On dispose d’une lampe monochromatique de longueur d’onde = 630 𝑛𝑚, d’un diaphragme, d’une lentille convergente de focale 𝑓’ = 20 𝑐𝑚 et d’un écran. 1) Décrire le dispositif sachant que l’interféromètre est éclairé par une source étendue. Où place-t-on la lentille et l’écran pour observer la figure d’interférences sur l’écran ? 2) Décrire l’écran sachant que la distance miroir écran est de 𝑑 = 90 𝑐𝑚 et que la lentille est placée de telle sorte que le grandissement soit en valeur absolue le plus grand possible. 3) Que se passe-t-il si on éclaire le Michelson en lumière blanche ? Par la suite on ne tient pas compte des irisations. 𝐷 4) En fait l’un des miroirs présente un défaut : une couche d’épaisseur 𝑒 située à 𝐷 = 1 𝑐𝑚 de l’origine du coin d’air. 𝑒 𝛼 On effectue la manipulation suivante, étant l’angle du coin d’air : * en lumière blanche on constate que si 𝛼 > 𝛼𝑜 on observe une seule frange. * si 𝛼 = 𝛼𝑜 , on observe deux franges brillantes. * pour 𝛼 = 𝛼𝑜 , en lumière monochromatique, on observe sur l’écran une interfrange 𝑖 = 0.9 𝑚𝑚. Calculer 𝛼𝑜 , puis 𝑒. Indications 1) Interférences et lames à faces parallèles : 1) La première question a été vu en cours ; 2) Il faut commencer par faire une figure d’optique géométrique sans les fentes d’Young et trouver l’objet 𝑀 dont un point 𝑀’ de l’écran est l’image ; quelle est sa position et sa distance à l’axe optique ? Puis faire une construction avec les fentes d’Young. Les rayons qui convergent en 𝑀’ semblent être issus de 𝑀. En utilisant la condition de stigmatisme entre 𝑀 et 𝑀’ en déduire la différence de marche. 2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double : 4 Les deux étoiles sont incohérentes ; il faut sommer les éclairements ; pour une certaine valeur de 𝑑 on aura brouillage de la figure ce qui permet une mesure de l’écart angulaire. 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : Il faut tout de suite remarquer que les sources 𝑆 et 𝑆’ sont incohérentes ; trouver les images 𝑆1 et 𝑆2 de S à travers les deux miroirs et reprendre le calcul des trous d’Young pour 𝑆1 et 𝑆2 ; attention à la position de l’axe optique ; faire de même pour 𝑆’. 4) Lever d’une étoile : Le détecteur reçoit de l’étoile une onde arrivant directement d’intensité 𝐼1 et une onde arrivant après réflexion sur le lac d’intensité 𝐼2 inférieure à 𝐼1 ; (le coefficient de réflexion de l’eau est inférieur à 1. Ces ondes vont interférer. Pour déterminer la différence de marche en tre les deux rayons, il faut faire un dessin clair, un des rayon subissant une réflexion sur l’eau et l’autre pas. 5) Biprisme de Fresnel : Faire une figure pour mettre en évidences un champ d’interférences ; il ne faut surtout pas chercher à calculer les chemins optiques en évaluant les distances ; il s’agit d’interférences d’ondes planes et le point 𝑂 est un point commun aux deux ondes planes qui sortent des ⃗ 1 et 𝑘 ⃗ 2 des deux ondes planes et sommer les prismes ; exprimer les vecteurs d’ondes 𝑘 ⃗ 1 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 2 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ amplitudes complexes de ces deux OPPH : 𝑠(𝑀) = 𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝑘 𝑂𝑀 + 𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝑘 𝑂𝑀. 6) Demi-lentilles de Billet : 1) Pour chaque demi lentille, l’axe optique a été décalé de 𝑒/2 ; faire un dessin avec deux nouveaux axes optiques, passant par les centres optiques de chacune de demi-lentilles ; 2) Faire un dessin pour représenter le champ d’interférence ; les rayons issus de 𝑆 doivent passer par 𝑆1 et 𝑆2 ; 3) Il faut placer l’écran dans le champ d’interférences ; 4) Les dispositifs est équivalent à un dispositif de fentes d’Young placées en 𝑆1 et en 𝑆2 ; le champ d’interférences est limité par les rayons issus de 𝑆 qui passent par les bords des demi-lentilles ; comme 𝑑 = 2𝑓’ ces rayons recoupent l’axe optique en 𝑓’ ; pour compter le nombre de franges brillantes, travailler sur un demi écran, la frange centrale étant brillante. 7) Une expérience de TP : 2) La largeur de l’écran donne le rayon du quatrième anneau brillant; 3) L’ordre du premier anneau brillant de la première expérience devient l’ordre au centre de la deuxième ; en déduire 𝑒’, puis trouver l’ordre du premier anneau brillant pour trouver son rayon 8) Mesure de l’épaisseur d’une lame : 1) Pour le calcul de la différence de marche introduite par la lame (question difficile) il faut faire le schéma suivant : S lame Miroir 2 e Miroir 1 On trouve 𝛿 = 2𝑒𝑐𝑜𝑠𝑖 + 2𝑙(𝑛𝑐𝑜𝑠𝑟 − 𝑐𝑜𝑠𝑖) soit pour des angles petits 𝛿 = 2𝑒 + 2𝑙(𝑛 − 1) − 𝑖2 2𝑙 (2𝑒 + 𝑛 − 2𝑙) ; la teinte plate est obtenue lorsque 𝛿 est indépendant de 𝑖. 2 9) Défaut sur un miroir de Michelson : 5 2) Il faut poser 𝑥 = 𝑂𝐴’ et appliquer la formule de conjugaison de Descartes ; on trouve alors une équation du second degré en 𝑥 qui a deux solutions ; il faut choisir la solution qui donne le plus grand grandissement ; 4) en lumière blanche, on ne voit que la frange 𝑝 = 0 ; il faut trouver où se trouve la frange 𝑝 = 0 en absence de défaut et la frange 𝑝 = 0 en présence de défaut ; on ne peut voir la frange 𝑝 = 0 due au défaut que si elle se situe sur le défaut ; la dernière expérience donne la valeur de 𝛼𝑜 ; les deux autres donnent l’épaisseur du défaut. Solutions 1) Interférences et lames à faces parallèles : 𝜆𝑓′ 2𝜆𝑓′ 1) 𝑖 = 𝑎 ; 2) 𝑖′ = 𝑎 2) Mesure de l’écart angulaire d’une étoile double : 2d ( ) 2d ( ) I1 ( x f ' ) I1o 1 cos ; I 2 ( x f ' ) I 2o 1 cos ; 2d 2d d I 2 Io1 cos . cos ; le contraste est C cos ; le premier 2 brouillage aura lieu pour . 2d 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : 8lx 8la I total ( x) I S ( x) I S ' ( x) 4 I o 1 cos . cos D D 4) Lever d’une étoile : 4𝜋ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 − 2√𝐼1 𝐼2 𝑐𝑜𝑠 ( λ ) , avec 𝜃 la direction de l’étoile par rapport à l’horizon ; 𝜆 premier maximum 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 4ℎ soit 𝜃 = 6°. 5) Biprisme de Fresnel : k1 sin(n( 1))u x cox(n( 1))u y ; k 2 sin(n( 1))u x cox(n( 1))u y ; i . 2 (n 1) 6) Demi-lentilles de Billet : 1) 𝑆1 et 𝑆2 se situent de part et d’autre de l’axe optique, à une hauteur ±𝑒 de cet axe et à une distance 𝑑 = 2𝑓’ en aval des demi lentilles ; 3) 𝐷 > 𝑑 ; 4) 𝑖 = du champ d’interférences est 𝐻 = 𝑅 𝐷−𝑓′ 𝑓′ 𝜆(𝐷−𝑑) 𝐻 𝑒 = 0,23 𝑚𝑚 ; la largeur = 60 𝑚𝑚 ; 𝑁 = 2𝐸 (2𝑖) + 1 = 261 franges brillantes. 7) Une expérience de TP : 1) l’élève est en train d’augmenter la distance e entre les miroirs ; 2) si l’ordre au centre de 2𝑒 l’écran est = 𝑝𝑜 + 𝜀, pour le quatrième anneau brillant de rayon 5 𝑐𝑚 = 𝑟4 , on a 𝑒 = 3−𝜀 𝑟 2 /𝑓′2 soit 0,4368 µ𝑚 < 𝑒 < 0,6552 µ𝑚 ; 3) Avant ordre au centre 𝑝𝑜 = 2400, rayon du premier anneau brillant 𝑟1 = 2,88 𝑐𝑚: Après diminution de 𝑒 : l’ordre au centre est maintenant de 2399 ; 𝑒 ′ = 0,654 𝜇𝑚 ; rayon du premier anneau brillant 𝑟1 = 4,08 𝑐𝑚 8) Mesure de l’épaisseur d’une lame : 𝑛𝑒 𝑙 = 𝑛−1 = 53,6 𝜇𝑚 9) Défaut sur un miroir de Michelson : 6 𝑑 𝑑2 1) L’écran est placé dans le plan conjugué des miroirs ; 2) 𝑂𝐴′ = 2 + √ 4 − 𝑑𝑓′ = 60 𝑐𝑚 ; 𝑑 𝑑2 𝑂𝐴 = − 2 + √ 4 − 𝑑𝑓 ′ = −30 𝑐𝑚 ; 𝛾 = −2 ; 3) l’ordre 𝑝 = 0 correspond à une frange brillante ; autour on a des franges colorées ; 4) 𝛼𝑜 = .𝛾 2𝑖 = 7.10−4 𝑟𝑑 ; 𝑒 = 𝛼𝑜 𝐷 = 7 𝜇𝑚.