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l'exemple de la géométrie Thierry DIAS, HEP Vaud, Lausanne [email protected] Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1. Raisonner… Raisonner en mathématiques Raisonnement et cognition Raisonner en géométrie Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2.1 - Raisonner… en mathématiques Déduction ? Induction ? Expérimentation ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Trois jeunes gens prennent un déjeuner sur une terrasse. Ils doivent payer 30€ et donnent chacun un billet de 10€. La patronne leur fait une réduction de 5€. Le serveur prend 5 pièces de 1€, mais, ne pouvant les partager en trois il décide de glisser deux euros dans sa poche et donne donc une pièce de 1€ à chacun des trois jeunes gens. Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9€. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 €. MAIS nous avions 30 €. Où est donc passé le dernier euro? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 La force du symbolisme mathématique, sa valeur de vérité immuable nous empêche parfois de raisonner… (9 x 3) + 2 = 27 est valide mathématiquement mais n'est pas "vraie" dans la situation : cette écriture ne traduit rien de la réalité. écritures valides et vraies : 30 – (2+3) = 25 3 x 9 = 25 + 2 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Le raisonnement est un processus qui intervient dans de nombreuses tâches mathématiques : compréhension et catégorisation planification, tri choix, prise de décision explication argumentation, preuve Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 résolution de problèmes le raisonnement : un processus Questionnement Observation Stratégies Validation - Les deux cercles sont bleus. - Le triangle est vert. - Il y a une forme rouge à gauche d'une forme bleue. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Différents types de raisonnement : processus de chaînage : • avant : stratégie descendante déduction • arrière : stratégie remontante induction par essais successifs : • organisés • désorganisés recherche de l'inventaire des possibles : • systématique • aléatoire Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Le hibou n'est pas derrière le cygne. L'autruche est suivie par 4 oiseaux. L'oie est juste devant le coq. Le canard n'a personne devant lui. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Questionnement • • • • Stratégies Clarification de la tâche Recherche de sens Formulation d'hypothèses Mise en place d'investigations • • • Raisonnement expérimental Observation • • • • Validation • Faits et évènements Recueil d'informations Prélèvement des données Sélection, focalisation, inhibition Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 D'une étape de l'investigation à l'autre chainage : déduction, induction (descendant, remontant) Inventaire des possibles Essais : organisés, orientés; inorganisés • • • Confrontation entre les résultats et les attendus Vérification des hypothèses Argumentation et preuve Contrôle des résultats 2.2 - Raisonnement et cognition fonctions cognitives Ce sont les capacités de notre cerveau qui nous permettent notamment de communiquer, de percevoir notre environnement, de se concentrer, de se souvenir d’un événement ou d’accumuler des connaissances. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 fonctions cognitives fonctions instrumentales mémoire attention langage la gnosie : vision et imagerie mentale la praxie : gestes volontaires Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 fonctions exécutives (fonctions dites "de haut niveau") le raisonnement fonctions cognitives Deux apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement. 1. Le développement cognitif s’appui sur des intuitions et construit progressivement l’exactitude. 2. Il existe des modulateurs très forts de l’apprentissage : • l’action • le plaisir • l’attention • la curiosité Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 deux* principaux types de raisonnement cognitifs : Le raisonnement inférentiel : utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état. Le raisonnement analogique : réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 fonctions cognitives Autres apports du modèle des fonctions cognitives à l'enseignement. Apprendre en résolvant des problèmes est une démarche adaptée au développement des capacités de raisonnement. Le raisonnement dépend de plusieurs fonctions cognitives : elles sont très difficiles à évaluer (car non spécifiques). Les problèmes proposés aux élèves doivent être en mesure de développer les deux types de raisonnement (inférence et analogie) : ils doivent donc être diversifiés. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2.3 - Raisonner… en géométrie Avec des nombres ? Pour comprendre les nombres ? Pour apprendre à raisonner ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 La géométrie au service du raisonnement sur les nombres Le raisonnement pour articuler les connaissances mathématiques, pour faire des liens entre géométrie, nombres et mesure par exemple. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1/2 3/4 2/3 7/12 1/4 + 1/3 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1/4 1/8 3/8 1/2 – 1/8 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1/4 Le raisonnement pour utiliser ses connaissances géométriques Nos connaissances sont nombreuses, raisonner avec elles permet de dénouer des situations problématiques… (ou pas) Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 à propos de raisonnement : Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2. Apprendre à raisonner… une expérience de développement cognitif Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 raisonner : observer, comprendre, utiliser ses connaissances Comment reproduire exactement cette figure selon ses propriétés ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Programmation d'un dispositif en classe 1. développer l'attention 2. renforcer la mémorisation 3. utiliser le langage (en référence aux fonctions cognitives) Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Favoriser l'attention : ritualiser les dispositifs différer l'entrée en activité Développer la mémoire : mémoriser des objets et des relations mémoriser un programme de construction Organiser des jeux de langage utiliser un vocabulaire, une syntaxe en situation étayer la mise en mots des raisonnements Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 un programme en 3 temps pour renforcer les fonctions cognitives 1. favoriser l'attention 2. développer la mémoire 3. jeux de langage Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1. ATTENTION au service de sélection focalisation inhibition gnosie faculté de reconnaître par l'un de ses sens (toucher, vue) la forme d'un objet, de se le représenter et d'en saisir la signification praxie capacité d'effectuer un geste ou une activité décidée et précise Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1. attention 1 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 observer attentivement reproduire précisément 2 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 3 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 4 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 5 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 1. attention Mon tableau de bord J'indique pour chaque figure le nombre de fois où j'ai levé la tête. 1 2 3 4 5 …. …. …. …. …. Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2. MEMORISATION observer, prendre des informations faire des liens : comprendre les relations entre les objets = appui sur les propriétés Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2. mémoire observer attentivement reproduire précisément 20 secondes 20 secondes Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 20 secondes 20 secondes Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 20 secondes Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 2. jeux de mémoire Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 • observer les étapes d'un programme • re-construire la figure Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 3. LANGAGE décrire, nommer mettre en mots des connaissances utiliser des figures pour raisonner Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 comment décrire cette figure ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 comment décrire cette figure ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 3. jeux de langage décrire objets relations transformations Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 3. jeux de langage comment décrire cette figure ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 3. jeux de langage comment décrire cette figure ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 une solution de la fleur Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d’apprendre. merci de votre attention Thierry DIAS, HEP Lausanne [email protected] Thierry Dias – Versailles– octobre 2015 Un chef d'entreprise disait à ses ouvriers : "Les années bissextiles ont 366 jours. Vous ne travaillez que 8 heures par jour, c'est à dire le tiers du temps. Cela fait 122 jours. Mais il y a 52 dimanches; restent 70 jours. Le samedi, vous disposez de la demi-journée, ce qui fait 26 jours en moins; restent 44 jours. Enlevez 5 semaines de congés payés, il reste 9 jours. Avec le jour de l'an, le 1er mai, le 14 juillet, la Toussaint et Noël, le lundi de Pâques, le lundi de Pentecôte, et le jeudi de l'Ascension il ne reste qu'un jour. Un jour de travail ! Et encore les années bissextiles ! Donc trois années sur quatre vous ne faites rien !" Que pensez-vous de ces raisonnements ? On bosse pourtant et plus que cela tout de même ! Où est la faille ? Thierry Dias – Versailles– octobre 2015
