Thème N°2 : FIGURES PLANES (1)

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Thème N°2 : FIGURES PLANES (1)
INITIATION A LA DEMONSTRATION – TRIANGLE ET
DROITES PARALLELES (1) : DROITE DES MILIEUX
A la fin du thème, tu dois savoir :
c Notion de Démonstration :
Connaître les Règles du débat mathématiques
Savoir donner un contre-exemple
Reconnaître et savoir utiliser une propriété de la forme : Si … alors …..
Ecrire la réciproque d’une propriété
Savoir rédiger une démonstration (chaînons déductifs)
d Connaître et utiliser les propriétés sur la « droite des milieux »
A - Notion de DEMONSTRATION
Règlesdudébatmathématiques
Règle c : Un énoncé mathématiques est soit vrai soit faux.
Règle d : Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour montrer qu’un énoncé est vrai
.
Règle e : Pour qu’un énoncé soit vrai il faut qu’il soit démontré en utilisant des propriétés,
ou vérifié pour tous les cas possibles.
Règle f : Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver qu’un énoncé est faux,
on dit que l’on a trouvé un contre-exemple.
Règle g : Une constatation ou des mesures sur une figure ne suffisent par pour prouver
qu’un énoncé de géométrie est vrai.
Démonstration
Une démonstration en géométrie est une succession de chaînons déductifs.
Un chaînon déductif peut se présenter sous la forme :
On sait que ………………….. ( Donnée ou conclusion précédente )
Si ……….. alors ………… ( Propriété )
Donc ……………. ( Conclusion du chaînon )
Enoncé et réciproque
 En mathématiques, on utilise très souvent des énoncés de la forme : « Si … alors … »
Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes
Condition conclusion
 On trouve la réciproque d’un énoncé en inversant la condition et la conclusion de cet énoncé.
Attention : La réciproque d’un énoncé vrai n’est pas toujours vraie.
Exemple : Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires. ( énoncé faux ).

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Contre-exemple
Pour qu’un énoncé de la forme : « si … alors … », un contre-exemple est un cas qui vérifie la
condition et qui ne vérifie pas la conclusion .
Exemple : « Si un nombre est divisible par 5 alors il se termine par 5 ».
10 est un contre exemple : - il vérifie la condition : 10 est divisible par 5 ;
- mais il ne vérifie pas la conclusion : 10 ne se termine par 5.
L’énoncé est donc faux.
B – PROPRIETES DES MILEUX ET DROITES PARALLELES DANS UN TRIANGLE
1°) Milieux
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle
au troisième côté du triangle
2°) Longueurs
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur
est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle
A
C
JB
I
Données : I milieu de [AB] et J milieu
de [AC].
Conclusion : La droite (IJ) est parallèle à
(BC).
A
B
C
I
J
Données : I milieu de [AB] et J
milieu de [AC].
Conclusion : IJ = ½ BC

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3°) Milieux et parallèles
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à
un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Méthode 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles et qu’un segment est le double d’un
autre en utilisant les propriétés des milieux et droites parallèles dans un triangle.
Trace un cercle de centre I. Soit A un point sur ce cercle et B est un point extérieur à ce cercle. Soit C le
symétrique de B par rapport à I et soit D le symétrique de B par rapport à A.
a. Faire une figure et tracer les droites (DC) et (AI).
b. Démontre que les droites (DC) et (AI) sont parallèles.
c. Démontre que DC = 2 × AI.
Rédaction :
a. Figure
C
I
D
A B
b – Démontrons que les droites (DC) et (AI) sont parallèles
On sait que : - CBD est un triangle.
- I milieu de [CB] (car C est le symétrique de B par rapport à I.)
- A milieu de [BD] ( car D est le symétrique de B par rapport à A.)
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle
alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (AI) est parallèle à (CD).
A
B
I
JC
( d )
Données :
I milieu de [AB]
( d ) parallèle à la droite (BC).
Conclusion : ( d ) passe par le milieu
du segment [AC].

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c – Démontrons que DC = 2 × AI
On sait que : - CBD est un triangle.
- I milieu de [CB] car C est le symétrique de B par rapport à I.
- A milieu de [BD] car D est le symétrique de B par rapport à A.
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle
alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle
Donc AI = ½ × DC ou encore DC = 2 × AI
Méthode 2 : Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment en utilisant une propriété des
milieux et droites parallèles dans un triangle.
- Soit deux droites (D1) et (D2) sécantes au point I.
- Soit M un point appartenant à (D1) et soit N le symétrique de I par rapport à M.
- Soit (D3) une droite passant par M qui coupe (D2) en P.
- Soit (D4) la parallèle à (D3) passant par N qui coupe (D2) en R.
a. Faire une figure et trace la droite (NP) puis la parallèle à la droite (NP) passant par R : cette parallèle
coupe (D1) en T.
b. En considérant le triangle INR, démontre que P est le milieu de [IR].
c. Déduire, à partir de la question précédente, et en considérant le triangle ITR, que N est le milieu de
[IT].
Rédaction
a - Figure
b - Démontrons que P milieu de [RI]
On sait que : - INR est un triangle
- M est le milieu de [NI] car N est le symétrique de I par rapport à M
- (D4) est parallèle à (D3) ou encore (NR) parallèle à (MP ).
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un second côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu
Donc P est le milieu de [RI]
D1
D2 I
MN
D3
P
D4
R
T

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c - Démontrons que N milieu de [IT].
On sait que : - ITR est un triangle
- P est milieu de [RI] d’après la question b.
- (NP) parallèle à (TR)
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un second côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu
Donc N est le milieu de [IT].
C - PROPRIETES DE GEOMETRIE
Droites
D1 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
D2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre-elles.
D3 : Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
Médiatrice
M1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce
segment.
M2 : Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son
milieu.
M3 : Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
M4 : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
M5 : Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice
de ce segment.
M6 : Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d’un segment et est perpendiculaire à ce
segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
Triangle
T1 : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore.).
T2 : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux
autres a côtés alors ce triangle est rectangle.
T3 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de
la longueur de l’hypoténuse.
T4 : Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle.
T5 : Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du
côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet.
T6 : Si une droite passe les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèles au troisième côté du
triangle.
T7 : Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur égale à la moitié de la
longueur du troisième côté.
T8 : Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite passe
par le milieu du troisième côté.
T9 : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] et si les droites (MN)
et (BC) sont parallèles alors : BC
MN
AC
AN
AB
AM == .