Thème N°2 : FIGURES PLANES (1)

Thème N°2 : FIGURES PLANES (1)
INITIATION A LA DEMONSTRATION – TRIANGLE ET
DROITES PARALLELES (1) : DROITE DES MILIEUX
A la fin du thème, tu dois savoir :
c Notion de Démonstration :
Connaître les Règles du débat mathématiques
Savoir donner un contre-exemple
Reconnaître et savoir utiliser une propriété de la forme : Si … alors …..
Ecrire la réciproque d’une propriété
Savoir rédiger une démonstration (chaînons déductifs)
d Connaître et utiliser les propriétés sur la « droite des milieux »
A - Notion de DEMONSTRATION
Règles du débat mathématiques Règle c : Un énoncé mathématiques est soit vrai soit faux.
Règle d : Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour montrer qu’un énoncé est vrai
.
Règle e : Pour qu’un énoncé soit vrai il faut qu’il soit démontré en utilisant des propriétés,
ou vérifié pour tous les cas possibles.
Règle f : Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver qu’un énoncé est faux,
on dit que l’on a trouvé un contre-exemple.
Règle g : Une constatation ou des mesures sur une figure ne suffisent par pour prouver
qu’un énoncé de géométrie est vrai.
Démonstration
Une démonstration en géométrie est une succession de chaînons déductifs.
Un chaînon déductif peut se présenter sous la forme :
On sait que ………………….. ( Donnée ou conclusion précédente )
Si ……….. alors …………
( Propriété )
Donc …………….
( Conclusion du chaînon )
Enoncé et réciproque
— En mathématiques, on utilise très souvent des énoncés de la forme : « Si … alors … »
Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes
Condition
conclusion
— On trouve la réciproque d’un énoncé en inversant la condition et la conclusion de cet énoncé.
Attention : La réciproque d’un énoncé vrai n’est pas toujours vraie.
Exemple : Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires. ( énoncé faux ).
page 1 Contre-exemple
Pour qu’un énoncé de la forme : « si … alors … », un contre-exemple est un cas qui vérifie la
condition et qui ne vérifie pas la conclusion .
Exemple : « Si un nombre est divisible par 5 alors il se termine par 5 ».
10 est un contre exemple : - il vérifie la condition : 10 est divisible par 5 ;
- mais il ne vérifie pas la conclusion : 10 ne se termine par 5.
L’énoncé est donc faux.
B – PROPRIETES DES MILEUX ET DROITES PARALLELES DANS UN TRIANGLE
1°) Milieux
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle
au troisième côté du triangle
A
I
Données : I milieu de [AB] et J milieu
de [AC].
J
B
Conclusion : La droite (IJ) est parallèle à
(BC).
C
2°) Longueurs
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur
est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle
B
Données : I milieu de [AB] et J
milieu de [AC].
I
Conclusion : IJ = ½ BC
A
J
page 2 C
3°) Milieux et parallèles
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à
un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
B
Données :
I milieu de [AB]
( d ) parallèle à la droite (BC).
I
Conclusion : ( d ) passe par le milieu
du segment [AC].
A
J
C
(d )
Méthode 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles et qu’un segment est le double d’un
autre en utilisant les propriétés des milieux et droites parallèles dans un triangle.
Trace un cercle de centre I. Soit A un point sur ce cercle et B est un point extérieur à ce cercle. Soit C le
symétrique de B par rapport à I et soit D le symétrique de B par rapport à A.
a. Faire une figure et tracer les droites (DC) et (AI).
b. Démontre que les droites (DC) et (AI) sont parallèles.
c. Démontre que DC = 2 × AI.
Rédaction :
a. Figure
C
I
D
A
B
b – Démontrons que les droites (DC) et (AI) sont parallèles
On sait que : - CBD est un triangle.
- I milieu de [CB] (car C est le symétrique de B par rapport à I.)
- A milieu de [BD] ( car D est le symétrique de B par rapport à A.)
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle
alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (AI) est parallèle à (CD).
page 3 c – Démontrons que DC = 2 × AI
On sait que : - CBD est un triangle.
- I milieu de [CB] car C est le symétrique de B par rapport à I.
- A milieu de [BD] car D est le symétrique de B par rapport à A.
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle
alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle
Donc AI = ½ × DC ou encore DC = 2 × AI
Méthode 2 : Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment en utilisant une propriété des
milieux et droites parallèles dans un triangle.
a.
Soit deux droites (D1) et (D2) sécantes au point I.
Soit M un point appartenant à (D1) et soit N le symétrique de I par rapport à M.
Soit (D3) une droite passant par M qui coupe (D2) en P.
Soit (D4) la parallèle à (D3) passant par N qui coupe (D2) en R.
Faire une figure et trace la droite (NP) puis la parallèle à la droite (NP) passant par R : cette parallèle
coupe (D1) en T.
b. En considérant le triangle INR, démontre que P est le milieu de [IR].
c. Déduire, à partir de la question précédente, et en considérant le triangle ITR, que N est le milieu de
[IT].
Rédaction
a - Figure
D1
D4
D3
R
P
D2
I
T
N
M
b - Démontrons que P milieu de [RI]
On sait que : - INR est un triangle
- M est le milieu de [NI] car N est le symétrique de I par rapport à M
- (D4) est parallèle à (D3) ou encore (NR) parallèle à (MP ).
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un second côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu
Donc P est le milieu de [RI]
page 4 c - Démontrons que N milieu de [IT].
On sait que : - ITR est un triangle
- P est milieu de [RI] d’après la question b.
- (NP) parallèle à (TR)
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un second côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu
Donc N est le milieu de [IT].
C - PROPRIETES DE GEOMETRIE
Droites
D1 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
D2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre-elles.
D3 : Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
Médiatrice
M1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce
segment.
M2 : Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son
milieu.
M3 : Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
M4 : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
M5 : Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice
de ce segment.
M6 : Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d’un segment et est perpendiculaire à ce
segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
Triangle
T1 : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore.).
T2 : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux
autres a côtés alors ce triangle est rectangle.
T3 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de
la longueur de l’hypoténuse.
T4 : Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle.
T5 : Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du
côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet.
T6 : Si une droite passe les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèles au troisième côté du
triangle.
T7 : Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur égale à la moitié de la
longueur du troisième côté.
T8 : Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite passe
par le milieu du troisième côté.
T9 : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] et si les droites (MN)
AM AN MN
=
=
et (BC) sont parallèles alors :
.
AB
AC BC
page 5 Parallélogramme
P1 : Si un quadrilatère à ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme.
P2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
P3 : Si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu alors c’est un parallélogramme.
P4 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu.
P5 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
P6 : Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un
parallélogramme.
Losange
L1 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c’est un losange.
L2 : Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés
sont de même longueur.
L3 : Si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires alors ses un losange.
L4 : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
L5 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors ses un losange.
L6 : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.
Rectangle
R1 : Si un quadrilatère a tris angles droits alors c’est un rectangle.
R2 : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de même
longueur et ses quatre angles sont droits.
R3 : Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur alors c’est un rectangle.
R4 : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont le même milieu et sont de même longueur.
R5 : Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.
R6 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle.
Carré :
C1 : Si un quadrilatère a quatre côté de même longueur et un angle droit alors c’est un carré.
C2 : Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés
opposés sont parallèles deux à deux.
C3 : Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et sont perpendiculaires alors
c’est un carré.
C4 : Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de
même longueur.
C5 : Si un losange a un angle droit alors c’est un carré.
C6 : Si un losange a deux diagonales de même longueur alors c’est un carré.
C7 : Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.
Cercle
C’1 : Si deux points sont sur un cercle alors le centre de ce cercle est équidistant de ces deux points.
C’2 : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est
rectangle et côté est l’hypoténuse du triangle.
Angles
A1 : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°
A2 : Si deux angles sont alternes internes alors ils ont la même mesure.
A3 : Si deux angles sont correspondants alors ils ont la même mesure.
A4 : Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
page 6 SYMETRIE CENTRALE
A - SYMETRIE AXIALE D’AXE ( Δ )
N
N'
A'
A
I'
I
B
C'
C
B'
M'
M
( Δ ) est la médiatrice des segments [MM’] et [NN’].
Propriétés : La symétrie axiale conserve :
• l’alignement des points :
A, I, B alignés donc A’, I’, B’ alignés.
• Le milieu des segments :
AB = 2 × AI donc A’B’ = 2 × A’I’.
• La longueur des segments : AB = A’B’.
•
•
∧
ABC =
La mesure des angles :
L’aire des polygones et des disques.
∧
A' B ' C ' .
Symétrique d’une droite :
A
d
d'
d
d'
(d) et (d’) se coupent en A sur (Δ).
(d’) est parallèle à (Δ).
Symétrique d’une figure : On obtient une figure symétrique en retournant le calque.
B - SYMETRIE CENTRALE DE CENTRE O
page 7 N
M'
B'
A
I'
O
I
A'
B
M
N'
O est le milieu du segment [MM’] et [NN’]
Propriétés :
Sauf pour le symétrique d’une droite, on retrouve les mêmes propriétés que la symétrie axiale
Symétrique d’une droite :
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont
parallèles.
( d ‘ ) est parallèle à ( d )
O
d
d'
Symétrique d’une figure :
On obtient la figure symétrique en tournant le calque
autour du point O d’un demi-tour.
page 8 C - POINTS SYMETRIQUES
Définition : On dit que deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O
quand O est le milieu du segment [AA’].
A'
O
A
•
•
•
•
A’ est le symétrique de A par rapport à O.
A est le symétrique de A’ par rapport à O.
AO = OA’ et les points A, O, A’ sont alignés.
O milieu de [AA’].
Construction du symétrique d’un point.
Exemple : Construction du point B symétrique du point A par rapport au point O.
Programme de construction :
1. On trace la demi-droite [AO)
A
2. On place le point B sur la
demi-droite tel que OA = OB
avec le compas.
O
B
D - CENTRE DE SYMETRIE D’UNE FIGURE
Certaines figures possèdent un centre de symétrie :
le dessin ne change pas lorsqu’on construit le symétrique de la figure par rapport à ce point.
O
1 centre
O
1 centre
pas de centre de symétrie
page 9 AUTOUR DU PARALLELOGRAMME
A - DEFINITION DU PARALLELOGRAMME
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles
A
B
(AB) parallèle à (DC)
(AD) parallèle à (BC)
C
D
Propriété :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles.
Construire un parallélogramme
Étant donnés trois points A, B et C non alignés, termine le parallélogramme ABCD.
D
A
A
A
C
C
B
B
C
B
1°) On trace les segments [AB] et
2°) On prend avec le compas
3°) On prend l'écartement BC, on
[BC] et on se rappelle qu'un
l'écartement AB, on pique sur C
pique sur A et on trace un autre
Etape 1 :
Etape 2 :etOn
trace un arc de
Etape 3 : On trace
un arc de
parallélogramme doit avoir ses
on trace un arc de cercle.
arc de cercle. Les deux arcs se
On
trace
[AB]
et
[BC]
.
cercle
de
centre
C
et
de
rayon
cercle
de
centre
A
et
de rayon
BC.point D.
côtés opposés de même longueur.
coupent
en un
On localise le point D
AB.
On place ensuiteOn
le point
D. tracer ABCD.
finit de
mentalement.
B - SYMETRIE CENTRALE ET PARALLELOGRAMME
Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d’intersection des diagonales.
A
B
IA = IC et IB = ID ,
I
D
I est le centre de
parallélogramme ABCD.
symétrie
du
C
page 10 C - PROPRIETES DU PARALLELOGRAMME
PROPRIETE 1 : Par ses diagonales
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu.
A
B
OA = OC et OB = OD , alors O est le milieu
des diagonales du parallélogramme ABCD.
O
C
D
PROPRIETE 2 : Par ses côtés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur
A
B
Si ABCD est un parallélogramme
Alors AB = DC et AD = BC
D
C
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
A
B
Si ABCD est un parallélogramme
Alors
D
(AB) // (DC) et (AD) // (BC)
C
PROPRIETE 3 :
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux côtés opposés sont parallèles et
de même longueur.
B
A
Si ABCD est un parallélogramme
Alors :
D
C
(AB) // (DC)
AB = DC
page 11 PROPRIETE 4 : Par ses angles
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure
A
B
Si ABCD est un parallélogramme
Alors DAB = BCD
ABC = ADC
D
C
D - RECONNAITRE UN PARALLELOGRAMME
) Par ses diagonales
Si un quadrilatère à un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme.
Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Hypothèse: I milieu de [AC] et [DB]
A
B
I
Conclusion: ABCD est un parallélogramme
C
D
)
Par ses côtés
Si un quadrilatère a les côtés opposés de même longueur , alors c'est un parallélogramme.
Hypothèse: AB = DC et AD = BC
A
B
Conclusion: ABCD est un parallélogramme
C
D
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même
longueur, alors c'est un parallélogramme.
A
B
Hypothèse: AB = DC et (AB) // ( DC)
Conclusion: ABCD est un parallélogramme
D
)
C
Par ses angles
page 12 Si un quadrilatère a les angles opposés de même mesure, alors c'est un parallélogramme.
A
∧
B
∧
Hypothèse: ADC = ABC
∧
et
∧
DAB = BCD
Conclusion: ABCD est un parallélogramme
C
D
E - RECONNAITRE UN RECTANGLE
)
Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.
A
B
∧
∧
∧
Hypothèse: les angles ABC , BCD et DAB
sont droits.
Conclusion: ABCD est un rectangle
C
D
)
Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
∧
Hypothèse: ABCD est un parallélogramme et l'angle DAB est droit
A
B
Conclusion: ABCD est un rectangle
C
D
)
Si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur et
se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle.
A
B
I
D
Hypothèse: Le point I est le milieu des segments [AC] et [BD] et
AC = BD
Conclusion: ABCD est un rectangle
C
F - RECONNAITRE UN LOSANGE
page 13 )
Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange.
B
A
Hypothèse: AB = BC = CD = DA.
C
Conclusion: ABCD est un losange
D
)
Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
B
Hypothèse: ABCD est un parallélogramme et BC = CD.
Conclusion: ABCD est un losange
A
C
D
)
Si les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu alors ce
quadrilatère est un losange.
B
Hypothèse: Le point I est le milieu des segments [AC] et
[BD] et de plus (AC) ⊥ (BD)
A
C
Conclusion: ABCD est un losange
D
G - RECONNAITRE UN CARRE
page 14 )
Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.
A
B Hypothèse: AB = BC = CD = DA et ( AB) ⊥ (BC)
Conclusion: ABCD est un carré.
C
D
)
Si les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires, ont la même longueur et se coupent en
leur milieu, alors ce quadrilatère est un carré.
A
B Hypothèse: le point I est le milieu des segments [AC] et [BD] ,
AC =
BD et (AC) ⊥ (BD)
Conclusion: ABCD est un carré.
I
D
C
H - ANGLES ET SYMETRIE
page 15 1°) VOCABULAIRE
z
a. Angles adjacents
y
Deux angles sont adjacents lorsque :
- ils ont le même sommet,
- ils sont situés de part et d’autre d’un côté qu’ils ont en commun.
O
Exemple : Les angles xOy et yOz sont adjacents
x
x
v
b. Angles complémentaires
z
30°
60°
y
O
Deux angles sont complémentaires
lorsque la somme de leurs mesures
est égale à 90°.
∧
∧
Exemple : xOy et vUz sont
complémentaires car
60° + 30° = 90°
U
x
v
c. Angles supplémentaires
z
O
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme
de leurs mesures est égale à 180°.
60°
120°
∧
∧
Exemple : xOy et vUz sont supplémentaires car
120° + 60° = 180°
U
y
d.
x
y
Angles opposés par le sommet
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :
- ils ont le même sommet,
- leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
Deux angles opposés par le sommet ont même mesure.
∧
O
∧
Exemple : Les angles xOx' et yOy' sont opposés par le sommet.
y'
x'
page 16 e. Angles alternes-internes
Les deux angles sont situés de part et d’autre d’une
droite sécante à deux autres droites et entre ces deux
droites
f. Angles correspondants
a
b
a
Les deux angles sont situés d’un même côté par
rapport à une droite sécante à deux autres droites,
l’un entre les deux droites, l’autre ne l’est pas.
b
2°) PARALLELES ET ANGLES : PROPRIETES
•
Si deux droites, coupées par une sécantes, sont
parallèles alors les angles alternes internes
qu’elles forment sont égaux.
•
Si deux droites, coupées par une sécante,
forment deux angles alternes internes égaux,
alors les deux droites sont parallèles.
•
Si deux droites, coupées par une sécantes, sont
parallèles alors les angles correspondants
qu’elles forment sont égaux.
•
Si deux droites, coupées par une sécante,
forment deux angles correspondants égaux,
alors les deux droites sont parallèles.
page 17