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IV Echantillonnage
On choisit comme critère de décision ( de rejet
ou d’acceptation d’un échantillon ) le …
IV Echantillonnage
On choisit comme critère de décision ( de rejet
ou d’acceptation d’un échantillon ) le critère
de confiance au seuil de 95%.
On choisit comme critère de décision ( de rejet ou
d’acceptation d’un échantillon ) le critère de confiance au
seuil de 95%.
f
1
p
n
0
On choisit comme critère de décision ( de rejet ou
d’acceptation d’un échantillon ) le critère de confiance au
seuil de 95%.
l’échantillon est fiable si sa fréquence
f est dans [ p - 1/√n ; p + 1/√n ].
f
1
2,5% peu probables et trop bons
p
95% probables
2,5% peu probables et trop mauvais
0
n
On choisit comme critère de décision ( de rejet ou
d’acceptation d’un échantillon ) le critère de confiance au
seuil de 95%.
l’échantillon est fiable si sa fréquence
f est dans [ p - 1/√n ; p + 1/√n ].
On rejette les échantillons dont les fréquences
1
f
sont ailleurs.
2,5% peu probables et trop bons
p
95% probables
2,5% peu probables et trop mauvais
0
n
La définition précise des bornes est :
L’intervalle de fluctuation à 95%
est l’intervalle [ a/n ; b/n ]
avec a le plus petit entier
tel que P( X ≤ a ) > 0,025
et b le plus petit entier
tel que P( X ≤ b ) ≥ 0,975
La définition précise des bornes est :
L’intervalle de fluctuation à 95%
est l’intervalle [ a/n ; b/n ]
avec a le plus petit entier
tel que P( X ≤ a ) > 0,025
et b le plus petit entier
tel que P( X ≤ b ) ≥ 0,975
a et b sont « les plus petits entiers » donc à partir des frontières
2,5% et 97,5% on prendra les entiers « juste après ».
Les 2,5% représentent plusieurs échantillons de
probabilité pi, donc il faudra additionner ces pi
jusqu’à atteindre 0,025 et 0,975 de l’effectif.
pi 2,5% de l’effectif
2,5% de l’effectif
0 1
n
xi = k
Dès que n est grand, on est obligé de faire effectuer
tous les calculs par la calculatrice dans un
tableau.
Utilisation de la calculatrice :
Prenons comme exemple n = 10 et p = 1/3.
Pour écrire tous les k de 0 à n sans les taper un à un :
Menu → Run → OPTN → LIST → Seq ( ou Suites pour
certaines calculettes )
On tape : Seq ( X , X , 0 , 10 , 1 ) stock List 1 EXE
“Stock” est la flèche à droite au milieu du clavier,
les « , » se trouvent à côté de la flèche sur le clavier,
« List » se trouve dans Menu → Run → OPTN → LIST →
List
0 correspond au 1er k possible, 10 au dernier k possible,
et l’on avance de 0 à 10 de 1 en 1.
Pour déterminer tous les ( n ; k ) :
Menu → Run → OPTN → PROB → nCr
On tape 10 nCr List 1 stock List 2 EXE
Pour déterminer tous les ( n ; k ) :
Menu → Run → OPTN → PROB → nCr
On tape 10 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Pour déterminer toutes les probabilités P( X = k )
pour tous les k de 0 à n sans faire tous les calculs
à la main :
On tape dans le Menu Run :
List 2 × ( (1/3) ^ List 1 ) × ( (2/3) ^ (10 - List 1) )
stock List 3
Puis on va dans le Menu Stat lire en Liste 2
les probabilités P( X = k ) = (n;k) pk (1 –p)n-k
Pour déterminer toutes les probabilités P( X = k ) pour tous
les k de 0 à n sans faire tous les calculs à la main :
On tape dans le Menu Run :
List 2 × ( (1/3) ^ List 1 ) × ( (2/3) ^ (10 - List 1) ) stock List 3
Puis on va dans le Menu Stat lire en Liste 2 les probabilités P( X = k ).
Pour déterminer toutes les probabilités P( X ≤ k ) pour tous
les k de 0 à n sans faire tous les calculs à la main :
Menu → Run → LIST → Cuml qui signifie “Cumulées”.
On tape : Cuml List 3 stock List 4
Puis on va dans le Menu Stat lire en Liste 3 les probabilités
P( X ≤ k ) qui passent par 0,025 et 0,975 pour en déduire
les bornes de l’intervalle de fluctuation ( et en déduire
quelles colonnes de la loi de probabilité de la variable aléatoire
X on recopiera sur la copie si n est trop grand ).
Exercice 2
Une usine produit des pièces avec une
proportion fixe de 10% défectueuses.
Le service qualité teste des lots de 40 pièces.
Quel est l’intervalle de confiance
qui permettra de séparer les lots acceptables
des lots refusés ?
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre k de
pièces sans défaut.
La variable aléatoire suit une loi binomiale car :
1) on répète plusieurs fois la même expérience.
2) cette expérience n’a que 2 issues ( Réussite ou
Echec ).
3) la variable aléatoire donne le nombre de
Réussites.
X suit ß( 40 ; 0,9 ) p = 0,9 car p = probabilité d’1 réussite.
On a alors P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
On utilise sa calculatrice :
k
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
0
1
2
3
etc
…
39
40
(n;k)
p(X=k)
p(X≤k)
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
k
(n;k)
0
1
1
40
2
780
3
9880
etc
…
39
40
40
1
p(X=k)
p(X≤k)
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Liste 2 × ( 0,9 ^ List 1 ) ×
( 0,1 ^ ( 40 - List 1) ) stock List 3
k
(n;k)
p(X=k)
0
1
1×10-40
1
40
3×10-38
31
3×108 0,0104
32
8×107 0,0264
38
780
0,1423
39
40
0,0656
40
1
0,0147
p(X≤k)
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Liste 2 × ( 0,9 ^ List 1 ) ×
( 0,1 ^ ( 40 - List 1) ) stock List 3
Cuml List 3 stock List 4
k
(n;k)
p(X=k)
p(X≤k)
0
1
1×10-40
1×10-40
1
40
3×10-38
3×10-38
31
3×108 0,0104
0,0154
32
8×107 0,0264
0,0419
38
780
0,1423
0,9195
39
40
0,0656
0,9852
40
1
0,0147
1
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Liste 2 × ( 0,9 ^ List 1 ) ×
( 0,1 ^ ( 40 - List 1) ) stock List 3
Cuml List 3 stock List 4
On cherche quels groupes d’échantillons
représentent 2,5% de l’effectif.
0,025
0,975
k
(n;k)
p(X=k)
p(X≤k)
0
1
1×10-40
1×10-40
1
40
3×10-38
3×10-38
31
3×108 0,0104
0,0154
32
8×107 0,0264
0,0419
38
780
0,1423
0,9195
39
40
0,0656
0,9852
40
1
0,0147
1
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Liste 2 × ( 0,9 ^ List 1 ) ×
( 0,1 ^ ( 40 - List 1) ) stock List 3
Cuml List 3 stock List 4
On cherche quels groupes d’échantillons
représentent 2,5% de l’effectif.
On prend les valeurs supérieures
0,025
0,975
k
(n;k)
p(X=k)
p(X≤k)
0
1
1×10-40
1×10-40
1
40
3×10-38
3×10-38
31
3×108 0,0104
0,0154
32
8×107 0,0264
0,0419
38
780
0,1423
0,9195
39
40
0,0656
0,9852
40
1
0,0147
1
On utilise sa calculatrice :
Seq ( X , X , 0 , 40 , 1 ) stock Liste 1 EXE
40 nCr List 1 stock Liste 2 EXE
Liste 2 × ( 0,9 ^ List 1 ) ×
( 0,1 ^ ( 40 - List 1) ) stock List 3
Cuml List 3 stock List 4
On cherche quels groupes d’échantillons
représentent 2,5% de l’effectif.
On prend les valeurs supérieures
0,025
L’intervalle de confiance
est [ 32 ; 39 ].
0,975
k
(n;k)
p(X=k)
p(X≤k)
0
1
1×10-40
1×10-40
1
40
3×10-38
3×10-38
31
3×108 0,0104
0,0154
32
8×107 0,0264
0,0419
38
780
0,1423
0,9195
39
40
0,0656
0,9852
40
1
0,0147
1