Powerpoint - Institut de Planétologie et d`Astrophysique de Grenoble

Gravitation – Mécanique céleste
Hervé Beust
Institut de Planétologie et d’Astrophysique de Grenoble
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
1
Gravitation – Mécanique céleste
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
L’interaction de gravitation
Mécanique Hamiltonienne
Le problème des deux corps et les lois de Kepler
Le problème restreint des 3 corps
Le problème Képlérien perturbé
La résonance de Kozai et les théories planétaires
Les résonances
Le chaos
Les effets de marée
Les planètes extrasolaires
Les systèmes binaires ou multiples
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
2
Gravitation – Mécanique céleste
1. L’interaction de gravitation
•
•
•
•
avril 2012
La gravitation universelle
Le potentiel gravitationnel
Le théorème de Gauss
Le potentiel d’un corps étendu
Licence 3 - Gravitation
3
L’interaction de gravitation
• La force de gravitation est la plus faible des forces
fondamentales.
• Mais c’est la seule qui est toujours attractive et qui agit à
grande distance ( r-2)  C’est elle qui régit les
interactions à grande distance dans l’Univers
– Les forces électromagnétiques sont écrantées à grand distance par
la neutralité;
– Les forces nucléaires n’agissent qu’à très courte distance ( e-r)
• Elle vérifie le principe d’équivalence : Elle est
proportionnelle à la masse  masse grave = masse inerte
– Vérifié expérimentalement à mieux que 10-17 près
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
4
La gravitation universelle (Newton 1687)
• Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 s’attirent en
raison inverse de leur distance r :
m1 l
l m2
F12
F 21
r
F21  F12
G  m1  m2

r2
• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1
• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte
– Théorie plus exacte : Relativité Générale (Einstein 1916)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
5
Le potentiel gravitationnel
• La force de gravitation dérive d’une énergie potentielle
G  m1  m2
E p ,1 2  
r
• On place l’origine du repère à la masse 1, on raisonne en
coordonnées sphériques (r,θ,φ). La force F1→2 s’écrit :

Gm1m2
  Gm1m2 
F






 r
2
r

r
r




  Gm1m2 
1   Gm1m2 


  F   

 F  0  
r


r
r





1
  Gm1m2 

F

0




 
r sin   
r 

• Le potentiel gravitationnel créé par m1,
c’est Ep/m2
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
Gm1
U (r )  
r
6
Théorème de Gauss
• Une distribution continue de matière de mass volumique  crée le

potentiel


G r  3 
U r       d r 
r r
• Cette équation peut s’inverser pour donner l’équation de Poisson
  


U r     g r   4G r 
• Théorème de Gauss : Le flux du champ gravitationnel à travers une
surface fermée est égal à 4G  la masse à l’intérieur
• Se démontre avec Ostrogradsky :
   3
  
 3
 g r  dS     g r d r  4G   r d r  4GM
S
avril 2012
V
V
Licence 3 - Gravitation
7
Potentiel d’un corps étendu
• Pour un corps étendu de symétrie
sphérique, le champ g(r) est nécessairement
radial dirigé vers le centre.
  
2


g
r

d
S

4

r
g r   4GM

S
GM
GM
 g r    2  U r   
r
r
• C’est la même expression que pour un corps
ponctuel !
• Si le corps n’a pas la symétrie sphérique, on
développe le potentiel en harmoniques
sphériques
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
8
Potentiel d’un corps étendu
• Développement en harmoniques sphériques :
U r ,  ,   
n

n

 
GM 
 Re  
 p

1      J n Pn cos     Pn cos   cn , p cos p  sn , p sin p  
r  n  2  r  
p 1
 


• Les Pn sont les Polynômes et fonctions de Legendre.
2 p/2
n
n
1 dn 2
1

s
d n p 2
( p)




Pn s  n
s 1
Pn s 
s 1
n
n
n p
2 n! ds
2 n! ds
• Les Jn, cn,p et sn,p sont des coefficients numériques. Pour la Terre :

avril 2012





J2 = 1,082625103
(aplatissement polaire)
J3 = 2,534106
c2,2 = 1,571106
s2,2 = 0,903106
J4 = 1,623106
c3,1 = 2,190106
s3,1 = 0,272106
Licence 3 - Gravitation
9
Gravitation – Mécanique céleste
2. Eléments de mécanique Hamiltonienne
•
•
•
avril 2012
Mécanique Lagrangienne
Mécanique Hamiltonienne
Transformations canoniques
Licence 3 - Gravitation
10
Mécanique Lagrangienne
• On suppose un système décrit par n coordonnées généralisées
(qi) 1 i n .
• On montre que le principe fondamental de la dynamique est équivalent
aux n équations scalaires suivantes (j = indice de particule)


rj
d  T  T

 
 Qi   F j 
dt  qi  qi
q j
j
• T est l’énergie cinétique et les Qi sont les accélérations généralisées
• Si les forces dérivent d’un potentiel U, on a alors Qi=U/qi. Les
équations se réécrivent
d  L  L

 
 0 avec L  T  V
dt  qi  qi
• L est le Lagrangien. Intérêt : On a troqué des équations vectorielles
contre des équations scalaires. La seule difficulté est d’exprimer
l’énergie cinétique et le potentiel en fonction des coordonnées
généralisées.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
11
Mécanique Hamiltonienne
• On peut encore transformer les équations de Lagrange. On associe à
chaque coordonnée qi un moment conjugué pi, défini par
L
pi 
qi

dpi L

dt qi
• Si qi est une longueur, pi a la dimension d’une quantité de mouvement.
Si qi est un angle, pi a la dimension d’un moment cinétique (variables
conjuguées angle-action)
• On introduit maintenant le Hamiltonien
n
H q1 ,  , qn , p1 ,  , pn    pi qi  L
i 1
• Les équations de Lagrange équivalent alors aux 2n équations
canoniques
dqi H
dpi L
H

et


dt pi
dt qi
qi
• On a aussi dH/dt=L/t. Si le système est conservatif, H est une
constante du mouvement et représente l’énergie totale H=T+U
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
12
Mécanique Hamiltonienne
• Exemple 1 : Coordonées cartésiennes potentiel (q1=x,q2=y,q3=z),
potentiel U(q1,q2,q3). On a
1 3 2
pi  mqi ; H  T  U 
pi  U q1 , q2 , q3 

2m i 1
dqi pi H
dpi
U
H


 mqi  

dt
m pi
dt
qi
pi
• Exemple 2 : Mouvement à force centrale, potentiel U(r), coordonnées
polaires (r,)
2


p
2
2
2
2
2

T  12 mr  r  , pr  mr, p  mr , H  12 m pr  2   U (r )
r 

p2
dr H pr
dpr
H




 U (r )
3
dt pr m
dt
r mr
p
dp
d H
H

 2

0
dt p mr
dt

avril 2012
Licence 3 - Gravitation
13
Transformations canoniques
• Une transformation canonique = Passage d’un premier jeu de variables
conjuguées (qi, pi) 1 i n à un autre (q’i, p’i) 1 i n tel que les équations
du même système dynamique aient encore la forme canonique
Hamiltonienne dans le nouveau jeu de variables.
dqi H 

dt pi
dpi
H 

dt
qi
• Le Hamiltonien peut changer…
• Le caractère canonique de la transformation ne dépend pas du
Hamiltonien, seulement de la forme de la transformation.
• Intérêt : Trouver une transformation canonique telle que dans les
nouvelles variables, le Hamiltonien dépend d’un minimum de
variables. Par exemple H(-,-,-,p1,p2,p3) . Dans ce cas
dpi
dqi H
H

 0  pi  cte ;

 cte  qi  cte  t  K i
dt
qi
dt pi
• Ca c’est l’idéal. Dans ce cas le problème est résolu. Ce n’est pas
toujours possible….
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
14
Transformations canoniques
• Théorème : Un transformation (qi, pi) 1 i n  (q’i, p’i) 1 i n est
canonique si et seulement si il existe une fonction F tel que la forme
n
différentielle
 p dq  p dq   F dt

i 1
•
•
•
•
i
i
i
i
soit une différentielle exacte. Dans ce cas le nouvel Hamiltonien
vérifie H’=H+F.
qi  2qi cos pi et pi  2qi sin pi
Exemple:
Ici, F=0, donc H=H’
Autre exemple: transformation linéaire Q’=AQ et P’=tA-1P
Méthode : On utilise une fonction génératrice. Par exemple
n
  p dq  p dq   H   H dt  dG G q , q 
i 1
pi 
avril 2012
i
G1
qi
i
i
i
pi  
1
1
i
i
G1
qi
Licence 3 - Gravitation
15
Transformations canoniques
• On peut aussi avoir
n
  p dq  q dp  H   H dt  dG q , p 
i 1
i
i
i
i
2
i
i
n
  q dp  p dq  H   H dt  dG  p , q 
i
i 1
i
i
i
3
i
i
n
  q dp  q dp  H   H dt  dG  p , p 
i
i 1
i
i
i
4
i
i
• Exemple: transformation linéaire Q’=AQ . On prend
n
n
G3 P, Q  PA Q   ai,1k pi qk
t
1
i 1 k 1
n
G3
qi  
  ai,1k qk  A1Q i
pi k 1


n
G3
pk  
  ai,1k pi  t A1 P
qk i 1


k
• On a bien P’=tA-1P
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
16
Gravitation – Mécanique céleste
3. Le problème des 2 corps et les lois de Képler
•
•
•
•
•
avril 2012
Le problème des N corps
Le problème des 2 corps
Les lois de Képler : énoncé, résolution
Les éléments d’orbite
Formulation Hamiltonienne
Licence 3 - Gravitation
17
Le problème des N corps
= Trouver le mouvement de N points matériels d’attirant mutuellement
selon la loi de Newton
•
N petit (≲100): Mécanique Céleste : On décrit le mouvement de chaque point.
•
N grand: Dynamique stellaire : On ne s’intéresse qu’aux propriétés statistiques
 
du système.
N

(mi , ri ) i 1.. N
• Equation de base:
Gmi m j rj  ri 


mi ri  
 3
j 1
rj  ri
j i
– Tout est là : Système différentiel d’ordre 6N
– On ne connaît de solution exacte que pour N=2 ⟹ lois de Képler
– Pour N>2, on a quelques intégrales premières globales : 10 constantes

 
mi ri  At  B

N i 1
  
 mi ri  ri  L
r  0 
m
 ii
N
• Centre de gravité :
i 1
• Moment cinétique
N
i 1
• Energie
N

i 1
avril 2012
1
2
Gmi m j
 2
mi ri     E
i  j r j  ri
Licence 3 - Gravitation
18
Le problème des 2 corps
 C’est le seul pour lequel on connaît une solution exacte
• Equations pour les deux corps
 Gm1m2 
r   Gm1m2 u
m1r1 
u
,
m
2 2
r2
r2
 

r

r

r
,
u
 vecteur unitaire dans la direction 1  2
1
2
•
  
G (m1  m2 ) 
G (m1  m2 ) 

u
r
• On fait la différence r  r2  r1  
2
3
r
r
• C’est le problème Képlérien :
r    r
r3
• La résolution du problème relatif est équivalente à celle d’un point
matériel attiré par un centre massif de masse m1+m2. La résolution de
ce problème conduit aux Lois de Képler.
• Il y a plusieurs méthodes de résolution : Formules de Binet, intégrales
premières, etc…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
19
Les lois de Képler
• Elles découlent de la loi de la gravitation
universelle, et régissent le mouvement relatif de
deux corps qui s’attirent selon la loi de Newton
• Elles ont été découvertes expérimentalement par
Képler avant la formulation de la gravitation
universelle par Newton.
• Elles décrivent le mouvement des planètes avec
une assez bonne approximation.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
20
Les lois de Képler : loi 1
• Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil
occupe un des foyers.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
21
Les lois de Képler : loi 2 (loi des aires)
• Le rayon vecteur qui joint le Soleil à la planète
balaie des aires égales en des temps égaux
Cette loi est
équivalente à la
conservation du
moment cinétique
d
Lmr
dt
 constante
2
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
22
Les lois de Képler : loi 3
• Les carrés périodes orbitales des planètes sont
proportionnels aux cubes des demi-grands axes
T2
 constante
3
a
Planète
 4 2
4 2
4 2 
 



G M   m  GM  
 
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Jupiter Saturne
Uranus
Neptune
Pluton
0.387
0.723
1.000
1.523
5.203
9.539
19.191
30.061
39.529
T (ans)
0.241
0.615
1.000
1.881
11.86
29.46
84.01
164.79
247.7
T2 / a3
1.0001
1.0001 1.0000 1.0001 0.9991 0.9998
0.9985
0.9997
0.9933
a (UA)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
23
Résolution résumée du problème des 2 corps
Par les intégrales premières

• Energie : r    r       h  1 r 2    Cte
2
r3
r
r


   
  d  
r  r  0  C  r  r  Cte
• Moment cinétique : r  r 

dt
 
• Conséquence r , r  C  Le mouvement est plan  C
• Dans le plan C = r2(dθ/dt)  Loi des aires (Loi de Kepler n°2)
• Une autre intégrale première (Laplace) :
  
 





d r C r
r C 
 r 

0 E 


u

C
te
u  


dt  
r

r

C2 / 
• On tire :
 
r
1 E u

 
C2
p
e

E
,


u
,
E
,
p


r

• Ensuite on appelle

1  e cos 
• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de
ses foyers, d’excentricité e. (Loi de Kepler n°1)
 


 
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
24
Résolution résumée du problème des 2 corps
• On montre aussi que
•

   
pr  C  u  E

 e2  1 
2hp

On a donc trois cas :
– h<0  e<1 : La trajectoire est une ellipse. Les deux objets sont liés
gravitationnellement. Le mouvement est périodique.
– h=0  e=1 : La trajectoire est une parabole, parcourue une fois. La vitesse relative
est nulle à l’infini
– h>0  e>1 : La trajectoire est une hyperbole, parcourue une fois. La vitesse
relative est non nulle à l’infini.
• Dans le cas elliptique, on introduit a = p/(1-e2)=-/2h, le demi-grand
axe.
2h  2h
n


 n2a3  
• On introduit le moyen mouvement

• On montre que la période du mouvement est T = 2/n, ce qui se traduit
par la troisième loi de Kepler
T 2 4 2
4 2


3
a

G m1  m2 
avril 2012
• On tire :
Licence 3 - Gravitation
25
Formulaire Képlerien (elliptique)
• On se place dans le repère propre
• On introduit
– L’anomalie vraie  = angle polaire
– L’anomalie excentrique u
– L’anomalie moyenne M = n(t-tp)
• Lien M  u   :
M  nt  t p   u  e sin u
Equation de Képler 
cos u  e
1  e 2 sin u
1 e
2 
cos 
sin 
tan 2 
tan 2 u2
1  e cos u
1  e cos u
1 e
a 1  e2
dM
r
 a1  e cos u   a
X  r cos  acos u  e 
1  e cos
du
2
2
na
na
X  
sin u
Y 
1  e 2 cos u Y  r sin  a 1  e 2 sin u
r
r

avril 2012

Licence 3 - Gravitation
26
Excentricité des orbites
• Les orbites planétaires ne sont pas des cercles,
mais des ellipses…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
27
Les éléments d’orbite
Le demi-grand axe et l’excentricité ne suffisent pas pour décrire entièrement l’orbite
d’un astre. Il faut des angles pour préciser la position de l’ellipse dans l’espace
a = demi-grand axe
e = excentricité
i = inclinaison
  Longitude du nœud
ascendant
  Argument du
périastre
tp = Temps de passage au
périastre
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
28
Excentricités et inclinaisons
• Dans le Système Solaire, les excentricités et les
inclinaisons des planètes sont petites : Le système
est ~ plan et tourne rond !
Planète
e
i (degrés)
avril 2012
Mercure
Vénus
Terre
0.2056
0.0068 0.0167 0.0933 0.048
7.00
3.39
0
Mars
1.85
Jupiter Saturne
1.31
Licence 3 - Gravitation
Uranus
Neptune
Pluton
0.056
0.046
0.010
0.2488
2.49
0.77
1.77
17.15
29
Formulation Hamiltonienne du problème Képlérien
• Problématique : Peut-on trouver un jeu de variables canoniquement
conjuguées où la formulation du problème Képlérien est
particulièrement simple ? Oui, par un jeu de transformations
canoniques à partir des variables conjuguées positions – impulsions.
• Idée : les éléments orbitaux peuvent être considérés comme des
« coordonnées » dans l’espace des phases au même titre que les
variables positions – impulsions.
 
• A chaque jeu r , v  correspond un jeu d’éléments (a,e,i,,,tp),
constants dans le cas Képlérien, variables dans les autres cas. On parle
d’orbite osculatrice.
• Difficulté : Les éléments orbitaux ne sont pas conjugués. Mais ceux-ci
le sont. Ce sont les
 q1  M 
p1  L  a 
éléments de Delaunay


2
 q2    p2  G  L 1  e 


 q3   
p3    G cos i 


avril 2012
Licence 3 - Gravitation
30
Formulation Hamiltonienne du problème Képlérien
• On écrit le Hamiltonien dans les élements de Delaunay
H 


2
2
 H ,,, L,, 
2a
2L
• H ne dépend que d’un seul moment, L ! Donc les trois moments L,G,
sont constants, ainsi que les coordonnées  et . Il ne reste qu’une
équation :
dM H  2

 3
dt
L L
• Avec dM/dt = n et L = (a)1/2, on retrouve la troisième loi de Képler
n2a3 = .
• Lorsque l’inclinaison et/ou l’excentricité sont petites, les éléments de
Delaunay sont mal définis. On peut passer aux éléments de Poincaré
q1        M



 q2   2L  G  sin     
 q   2G    sin 

3

avril 2012
p1  L


p2  2L  G  cos   
p3  2G    cos  
Licence 3 - Gravitation
31
Gravitation – Mécanique céleste
4. Le problème restreint des 3 corps
•
•
•
avril 2012
Formulation dans le repère tournant
La constante de Jacobi
Les points de Lagrange
Licence 3 - Gravitation
32
Le problème restreint des 3 corps
Les points de Lagrange
• On appelle problème restreint des 3 corps la situation où
un des 3 corps est de masse négligeable (c’est une
particule test)
• Dans ce cas, les deux autres corps suivent une orbite
Képlerienne non perturbée.
• On s’intéresse au mouvement du troisième corps.
• On appelle problème restreint circulaire le cas où les deux
premiers corps suivent une orbite circulaire
• On se place dans ce cas : Une étoile, une planète et un
astéroïde de masse négligeable.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
33
Formulation dans le repère tournant
•
•
•
•
•
On raisonne dans le repère tournant où
l’étoile et la planète occupent des
positions fixes. Le repère tourne à la
vitesse angulaire n.
On appelle M la masse de l’ensemble,
 la masse de la planète rapportée à M,
et a le demi-grand axe (rayon) de
l’orbite. Par Képler, on a n2a3 = GM

L’astéroïde est en r   x, y, z 
Equation de base du mouvement :
m*  M 1    m p  M


r*   a ,0,0  rp  a1   ,0,0 
     
r1  r  r* r2  r  rp
r   GM 1    r  GM r
1
2
r13
r23
On tient compte de la force

 centrifuge


et de Coriolis,
r  xi  y j  z k




ou on écrit





r  x i  y j  z k  x  y  z  x i  y j  z k  nx j  ny i
avril 2012

di
dt

dj
dt
Licence 3 - Gravitation

dk
dt
34
Formulation dans le repère tournant
•
•
•

GM 1   
GM
2





x  a  a 
x

2
n
y

n
x


x

a



3
3
r1
r2

GM 1   
GM

2



y

2
n
x

n
y


y

y

3
3
r
r
1
2

GM 1   
GM



z


z

z
3
3

r1
r2

 1
1  
1 


On définit 1 = r1/a , 2 = r2/a et  



,



1



3
3
3
3 

1
2
  2 1 
On utilise n2a3 = GM :
On arrive à

U
2
2





x

2
n
y

n
x
1



an




x

U

2





y

2
n
x

n
y
1





y

U

z  n 2 z  

z
avril 2012
1    1 2 2
U  n 2 a 2 
   2 n x  y 2
2 
 1
avec
GM 1    GM 1 2 2


 2 n x  y2
r1
r2
Licence 3 - Gravitation




35
Constante de Jacobi

U



x

2
n
y



U
U
U

x












x
x

y
y

z
z

x

y

z
0

U

x
y
z

 y  2nx  
d 1 2
y
2
2




x

y

z
 U ( x, y , z )  0
2

U
 z  
dt

z
• Donc C  12 v 2  U  cte . C’est la constante de Jacobi , une intégrale

•


première du mouvement  Energie dans le système d’axes tournants
On doit avoir v2  0. Comme C = cte, on doit toujours avoir U  C. Ceci
permet de définir des régions de mouvement
C
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
36
Les points de Lagrange L1, L2, L3, L4, L5
•
On cherche des points d’équilibre dans le repère tournant
 x  2ny  n 2 x1     an 2   0

2
 y  2nx  n y 1     0
2



z


n
 z0

•
avec  
1 
13

 3
2
 1
1 

   1    3  3 
  2 1 
  0, donc z = 0
 Les points d’équilibre sont dans
le plan z = 0;
• y = 0 ou  = 1 pour annuler la
deuxième équation.
1. y = 0  x(1-)+=0.
Trois solutions en x : L1, L2, L3 ;
2.  = 1   = 0  1 = 2 = 1
 r1 = r2 = a : L4, L5 : Triangle
équilatéral avec les primaires
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
37
Les points de Lagrange
•
•
•
•
•
•
On montre que L1, L2, L3 sont toujours instables (points selles) et que L4 et
L5 sont stables si
(La planète ne doit pas être
1
69
 
 0.03852 trop massive )
2 18
Dans ce cas, un corps placé au voisinage de L4 ou L5 y reste et effectue des
librations au tour de ces points : orbite « tadpole » (têtard)
L4 ou L5 sont pourtant des maxima du potentiel U, mais la stabilisation est
assurée par la force de Coriolis
Il existe des astéroïdes (troyens) dans cette situation vis-à-vis de Jupiter et
quelques autres dans le système solaire.
Si la libration est
plus importante, on a
affaire à une orbite
« horseshoe »
(fer à cheval)
Des satellites ont été
placés aux points L1
et L2 de la Terre. Il
sont entretenus.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
38
Gravitation – Mécanique céleste
5. Le problème Képlérien perturbé
•
•
•
avril 2012
Equations de Gauss et de Lagrange
Formulation Hamiltonienne
Variations séculaires : moyennes, développements
Licence 3 - Gravitation
39
Le mouvement Képlérien perturbé
• Dans de nombreuses situations, les corps célestes ont un mouvement
proche d’un mouvement Képlérien.
• Par exemple, les planètes du système solaire suivraient des orbites
Képlériennes pures si elles ne subissaient que l’attraction du Soleil.
• En réalité, elles subissent en outre l’attraction de toutes les autres
planètes. L’attraction solaire est dominante a on peut encore décrire
les mouvements à l’aide d’orbites Képlériennes qui vont lentement se
modifier
• Dans le cas général, un mouvement Képlerien perturbé obéira à une
équation du type


r    r  P avec P  
r3
r2
• On appelle mouvement Képlérien osculateur l’orbite Képlérienne que
suivrait le corps si la perturbation disparaissait.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
40
Equations de Gauss et de Lagrange
• On peut transformer les équations du mouvement pour en déduire
des

équations de variation des éléments orbitaux en fonction de P . Ce sont
les équations de Gauss.
 
 
da

2
 2a P  v  e P  v0
C

dt

 
 
de
2

 r e  cos  P  v  a 1  e P  v0
C
dt

 
di

C  r cos   P  k

dt

 
d

 r sin    P  k
C sin i
dt

 
 
  d
d 
2
 cos i
  r sin v P  v  a 1  e P  u0
Ce
dt 
  dt





 
avril 2012

 




Licence 3 - Gravitation


41
Formulation Hamiltonienne
• Quand la perturbation dérive d’un potentiel (c’est souvent le cas), on
préfère une approche
 Hamiltonienne
• On écrit P  U
 q1  M 
p1  L  a 


• On se place en éléments de Delaunay  q    p  G  L 1  e 2 
2
2


 q3   
p3    G cos i 


• On écrit le Hamiltonien
H  H Kep  U  
2
2L
• On en déduit les équations
canoniques du mouvement
avril 2012
2
 U M ,  , , L, G,  
dM  2 U
 3 
dt
L
L
d U

dt G
d U

dt 
Licence 3 - Gravitation
dL
U

dt
M
dG
U

dt

d
U

dt

42
Equations de Lagrange
• On peut transformer ces équations canoniques en Equations de
Lagrange
da
U
a
 2a
dt
de
ae
dt
di
C sin i
dt
d
C sin i
dt
d
Ce sin i
dt
dM
dt
M

 MU 
  cos i
U U

 
  1  e2

1  e2
U

U
i
U
U
 e cos i
e
i

1  U 1  e 2 U 
 2a




3
a
e e 
a  a


  1  e 2 sin i
• Ces équations sont équivalentes aux équations de Gauss, pour le cas où
la perturbation dérive d’un potentiel…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
43
Variations séculaires : moyennes,
développements
• Souvent, les équations de perturbation ne sont pas solubles telles
quelles. On est amené à faire des approximations : moyennes et
développements.
• Généralement, on s’ intéresse à l’effet à long terme de la perturbation.
C’est justifié par la caractère perturbé du mouvement Képlérien. Le
temps caractéristique de la perturbation est ≫ période orbitale.
• Or, la perturbation varie sur l’échelle de temps de l’orbite  on va la
remplacer par sa moyenne sur l’orbite. On écrit une série de Fourier
U M ,  , , L, G,    U 0  , , L, G,  

  U k ,c  , , L, G,   cos kM  U k , s  , , L, G,  sin kM 
k 1
P
2
1
1
U 0  U   U t  dt 
U M  dM

P0
2 0
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
44
Variations séculaires : moyennes,
développements
• La solution se développe en série aussi. Les termes variant rapidement
ont une moyenne nulle et ne donnent lieu qu’à des fluctuations rapides.
 Sur le long terme, seul le terme U0 compte. On remplace U par sa
moyenne temporelle. On ne retient que le terme séculaire.
• Conceptuellement, cela revient à faire une transformation canonique
(méthode de Von Zeipel)
• De manière générale, s’il y a plusieurs variables rapides
indépendantes, on moyenne sur ces variables. Par exemple, U dépend
de la position de l’objet et de celle d’une planète perturbatrice.
U
 U 
2
1
p
0
avril 2012
2
  U M ,  , M dM  dM

2 
1
p
1
p
0
Licence 3 - Gravitation
45
Pourquoi moyenner une perturbation ?
• La perturbation entre
deux planètes est la plus
forte lors de la
conjonction (flèche
rouge)
• Les conjonctions se
répartissent
uniformément sur
l’orbite a la
perturbation se
moyenne.
• Mais les mouvements
ne doivent pas être
commensurables
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
46
Variations séculaires : développements
• L’étude analytique nécessite aussi souvent de faire des
développements limités de la perturbation en plus de moyenner. Il y a
deux types de développements :
1. Développement en polynômes de Legendre, lorsque on a affaire à des
orbites de tailles très différentes: r, r’, avec r≪r’ (on écrit x=r/r’≪1)
 
1
1
1
U r , r     

 
2
2
r  r

r  r  2r  r 
r 2  r 2  2rr  cos 
1
1
1 

  Pn cos   x n
r  1  x 2  2 x cos  r  n 0
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
47
Variations séculaires : développements
2.
Développement en coefficients de Laplace , lorsque on a affaire à des
orbites de tailles comparables, mais d’excentricités et d’inclinaisons
petites (on développe en série de Fourier, puis en puissances des
excentricités et inclinaisons)
1
1
1
1 0 
1  n 

b1/ 2  x    b1/ 2  x  cos n
  
2
r  r  r  1  x  2 x cos  2r 
r  n 1
1
1 0 
1   n 
  p  2r  b p / 2  x   r   b p / 2  x  cos n
r  r
n 1
bsn   x  
2

cos n
  1  2 x cos   x 
2 s
d
0
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
48
Gravitation – Mécanique céleste
6. La résonance de Kozai et les théories
planétaires
•
•
•
•
avril 2012
Le problème restreint et la résonance de Kozai
Les théories planétaires
La théorie de Laplace-Lagrange
Application : l’excentricité de l’orbite Terrestre
Licence 3 - Gravitation
49
Application 1 : Problème restreint des 3 corps
Résonance de Kozai
• On considère un astéroïde (orbite interne) perturbé par une planète
extérieure (r) sur orbite circulaire (r’=a’), de masse m. L’orbite du
perturbateur est dans le plan XOY.
• On écrit la perturbation (termes directs et indirects), et non développe
en polynômes de Legendre, en s’arrêtant à l’ordre 2.
  
n
 

 1

r

r
Gm
r





U  Gm    3   
1   Pn cos    
a  n  2
 a  
 r  r  r 
Gm   r 

1  

a   a 
2
2

r
avec u2   
a

3
2
2



Gm
a


2
3
1 

1    u2 
2 cos   2   
a   a  


cos 2   12

• On moyenne ensuite le u2 sur les deux orbites
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
50
Problème restreint – Résonance de Kozai
1  e 
1
u  , 



u 
u
M
,
M
d
M
d
M
'

d d '




4
4
1  e cos 
2 2
2 3 / 2 2 2
2
2
2
2
0 0

•
•
•
•
0 0
2 2
1
4
2
2
2
  u u, u1  e cos u du du '
2
0 0
Hamiltonien de Kozai
1 9
3
15
3
15
   e 2  cos 2 i  e 2 cos 2 i cos 2   e 2 cos 2 i  e 2 cos 2 
8 8
8
8
2
8
 q1  M  p1  L  GM *a 

On considère les éléments de Delaunay 
2
 q2    p2  K  L 1  e 
Le Hamiltonien a été moyenné, il ne



p3    K cos i 
dépend plus de M  L = cte  a = cte  q3   

Il ne dépend pas de    = cte ! Donc h  1  e 2 cos i  cte
_
_
_
On a aussi H = cte, donc u2 =cte. Or pour une valeur de h donnée, u2
n’est plus fonction que de e et . On peut tracer des lignes de niveau
dans un plan (,e) (Hamiltonien à un degré de liberté)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
51
Problème restreint – Résonance de Kozai
• On considère trois situations:
1. i=0 initialement. Par les équations de Lagrange, on trouve di/dt=0.
Donc i=0 tout le temps. Le mouvement est dans le plan (logique).
Comme h = cte, on a e = cte. On trouve aussi


d d d 3 ma 3 / 2 G 1  e 2
3 a m
2




n
1

e
 n


3

dt
dt
dt 4
4 a  M
a M *
2.
L’orbite précesse lentement à vitesse
constante dans son plan.
h ≃1 
e petit et i petit. On trace des
_
lignes u2=cte dans un plan (,e)
L’excentricité reste faible tout le temps
et l’orbite précesse comme dans le cas
i=0.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
3
_
52
Problème restreint – Résonance de Kozai
_
3.
h≪1 . Donc i est grand au départ. On
trace des lignes de niveau u2=cte dans
un plan (,e). La situation est très
différente. L’excentricité peut monter
jusqu’à 1 périodiquement. Comme
h = cte, dans le même temps i décroît.
C’est la résonance de Kozai. Confirmé
par l’étude numérique.
_
C ’est un phénomène important pour
l’évolution de certaines comètes
(génération de sun-grazers) et dans
l’évolution dynamique de certains
systèmes stellaires multiples
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
53
Théories planétaires
• Une théorie planétaire est un modèle du mouvement des planètes dans
un système planétaire (solaire ou non) autour d’une étoile.
• C’est un cas particulier du problème à N corps où un des corps (le
« Soleil », numéroté 0, a une masse nettement plus grande que tous les
autres. Les autres seront les « planètes ».
• On va supposer que toutes les planètes suivent des orbites
Képlériennes perturbées autour du Soleil. On raisonne en variables
héliocentriques r
k = rayon vecteur Soleil – Planète k
• Equations du mouvement des planètes

n 
d 2 rk
G m0  mk  

rk   U k ,i
2
3
dt
rk
i 1
, U k ,i
ik
 
 1
r
k  ri 

 Gmi     3 
ri 
 rk  ri
• Point de départ : On développe les Uk,i en coefficients de Laplce
• Il n’y a pas a de théorie exacte, mais plusieurs typesde théories (à
variations séculaires, générales…) de précision et complexité
variables.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
54
Théorie de Laplace-Lagrange
• C’est la théorie linéaire la plus simple.
• Principe : On développe les Uk,i en puissances des excentricités et
inclinaisons en s’arrêtant à l’ordre 2, et on moyenne le résultat sur tous
les mouvements orbitaux  Les demi-grands axes ak sont constants.
• On raisonne en éléments de Poincaré, pour chaque planète k

q1,k  k  k   k  M k


 q   2 L 1  1  e 2 sin    
k
k
k
k
 2,k
 q   2 L 1  e 2 1  cos i  sin  
k
k
k
k
 3, k


n
U k   U k ,i
i 1
ik
avril 2012
p1,k  Lk  G M *  mk ak
p2 , k
p3,k
U k

dt
p j ,k
dq j ,k
Licence 3 - Gravitation


 2 Lk 1  1  ek2 cos k  k 

 2 Lk 1  ek2 1  cos ik  cos  k 


U k

dt
q j ,k
dp j ,k
55
Théorie de Laplace-Lagrange
• Résultat :
1. Pour i<k :
U k ,i
Gmi 0   ai  1
Gmi ai

b1/ 2   
2
2ak
 ak  4 ak G M *  mk ak
 2   ai
 b3 / 2 
 ak


  q2,k q2,i  p2,k p2,i 

a 
1
2
2 
 b31/ 2  i   q22,k  p22,k  q22,i  p22,i  q3,k  q3,i    p3,k  p3,i  
2
 ak 


2.
Pour i>k :
U k ,i

Gmi 0   ak  1
Gmi ak

b1/ 2   
2
2ai
 ai  4 ai G M *  mk ak
a
1
 b31/ 2  k
2
 ai
  2   ak
 b3 / 2 
 ai


  q2,k q2,i  p2,k p2,i 


2
2 
2
2
2
2
  q2,k  p2,k  q2,i  p2,i  q3,k  q3,i    p3,k  p3,i  




 q2,1 
 q3,1 
 p2,1 
 p3,1 








Q2     Q3     P2     P3    
q 
q 
p 
p 
 2,n 
 3, n 
 2,n 
 3, n 
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
56
Théorie de Laplace-Lagrange
• Equations du mouvement :
dQ2
dP2
  EP2
 EQ2
dt
dt
dQ3
dP3
  JP3
 JQ3
dt
dt
où E et J sont des matrices nn.
dQ2
• Résolution :
dt
  E 2Q2
dQ3
  J 2Q3
dt
On diagonalise E2 et J2. Chaque composante a une solution
sinusoïdale. En repassant dans la base initiale, la solution est une
combinaison linéaire de solutions sinusoïdales
n
q2,k t    k ,i Ai sin  g i t   i 
i 1
n
q3,k t     k ,i Bi sin si t   i 
i 1
avril 2012
n
p2,k t    k ,i Ai cos g i t   i 
i 1
n
p3,k t     k ,i Bi cossi t   i 
Licence 3 - Gravitation
i 1
57
Théorie de Laplace-Lagrange
•
•
•
•
A et B sont les vecteurs propres, les ,,, sont des constantes d’intégration.
Les gi’s et les si’s sont les valeurs propres des matrices E et J. Elles ont la
dimension d’une fréquence. Ce sont les fréquences fondamentales de
précession des orbites du systèmes planétaire.
Les gi’s sont tous posifis, et les si’s sont tous négatifs, sauf un qui est nul
(invariance par rotation).
Dans le système solaire :
avril 2012
Indice i
gi (/an)
Période (ans)
si (/an)
Période(ans)
1
5.85909
221195
5.200748
249195
2
7.459556
173737
6.570095
197257
3
17.398552
74489
18.74556
69136
4
18.052003
71793
17.63585
73487
5
3.711292
349205
0
--
6
22.284414
58157
25.73827
50353
7
2.701372
479756
2.903761
446318
8
0.633134
2046960
0.823444
1913226
Licence 3 - Gravitation
58
Théories planétaires : résultats
• Sauf cas particuliers (résonances), les demi-grands axes
sont constants, les excentricités et les inclinaisons fluctuent
légèrement et les orbites précessent lentement dans leur
plan.
• Ces résultats restent vrais si on va chercher des théories
planétaires plus sophistiquées (les valeurs des fréquences
fondamentales sont légèrement modifiées).
• Mais dans ce cas, la solution n’est plus une simple
combinaison linéaire de sinusoïdes  non linéarités, chaos
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
59
Exemple : évolution de l’excentricité de
l’orbite terrestre
• L’excentricité de
la Terre fluctue
entre 0 et 0.06
• Ceci a un impact
sur le climat
terrestre
• Imprévisible sur
une échelle de ~1
milliard d’années
a Chaos !
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
60
Gravitation – Mécanique céleste
7. Les résonances
•
•
•
•
avril 2012
Les différents types de résonances
Les résonances de moyen mouvement
Diagrammes de phase
Situations plus complexes
Licence 3 - Gravitation
61
Résonances
• De manière générale, on parle de résonance dans un
système dynamique lorsqu’un angle caractéristique cesse
de précesser et se met à osciller autour d’une position
d’équilibre.
• En mécanique céleste, on distingue 4 types de résonances
1.
2.
3.
4.
avril 2012
La résonance de Kozai : arrêt de la précession de l’argument
du périastre .
Les résonances de moyen mouvement : important et fréquent
Les résonances séculaires : plus compliqué
Les résonances spin-orbite : liées aux effets de marée
Licence 3 - Gravitation
62
Les résonances de moyen mouvement
• Une résonance de moyen mouvement correspond à une
commensurabilité (=un rapport rationnel simple) entre les moyens
mouvements (=les périodes orbitales) de deux corps dans une système
planétaire
• C’est assez fréquent dans le Système Solaire:
– Planètes
• 5 périodes de Jupiter = 2.013 périodes de Saturne
• 3 périodes de Neptune = 1.99 périodes de Pluton
– Satellites de Jupiter
• 2 périodes de Io = 1 période d’Europe
• 2 périodes d’Europe = 1 période de Ganymède
– Satellites de Saturne
• 2 périodes de Mimas = 1 période de Téthys
• 2 périodes d’Encelade = 1 période de Dioné
• 4 périodes de Titan = 3 périodes d’Hypérion
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
63
Résonances de moyen mouvement (II)
• Ces coïncidences ne doivent rien au hasard. Il s’agit de
résonances autoentretenues.
• Certaines résonances
concentrent des
objets. Exemple:
résonance 2:3 avec
Neptune
(Plutinos)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
64
Résonances de moyen mouvement (III)
Résonances
avec Jupiter
Une coupe de la ceinture d’astéroïdes : Lacunes de Kirkwood
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
65
Que se passe-t-il dans une résonance ?
Deux planètes en
résonance 2:1.
• Les conjonctions ont
toujours lieu au même
endroit a la
perturbation
s’additionne toujours
dans le même sens.
• On s’attend à des
effets plus
importants…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
66
Résonances de moyen mouvement : théorie
• On considère une petit corps en orbite autour d’une étoile, en
résonance (p+q) : p avec une planète, coplanaire.
  
 1
• On écrit le Hamiltonien
GM *
r
r 


H 
 Gm     3 
2a
r 
 r  r
• On part des éléments de Delaunay plans
( = longitude moyenne,   longitude du périastre)
 q1        M 
p1  L  aGM * 


2
 q     
 p2  P  L 1  e  1 
 2
• |q| est l’ordre de le résonance
• Idée fondamentale : On ne peut pas moyenner le Hamiltonien
séparément sur les deux orbites car M et M’ ( et ’) ne sont pas
indépendants à cause de la résonance
• Il faut procéder différemment : on va faire une transformation
canonique avant de moyenner.

avril 2012
Licence 3 - Gravitation

67
Résonances de moyen mouvement : théorie
pq
p

'    
• On introduit l’angle caractéristique
q
q
de la résonance  :
d p  q d 
•  est une variable lente du fait même de la résonance :

dt
p dt
•  représente approximativement la longitude de la
conjonction par rapport à la direction du périastre du petit corps
• |q| représente le nombre de positions de conjonction.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
68
Résonances de moyen mouvement : théorie
pq
p
 
 '    
q
q
• De manière symétrique, on introduit
l’équivalent pour la planète.
• On considère une transformation canonique linéaire
   L   

  
t
-1
• On applique les règles (P’= A P)
  P    
pour trouver S et N. Le nouveau jeu de variables conjugées est
pq
p
 
    
 q1   
q
q


pq
p

q






   
 2
q
q


S

N


p1  S  L 1  e 2  1  P 


p  q 
2


 
p 2  N  L 1  e 
p 

• La transformation dépend du temps (par ’). Le Hamiltonien est
changé
pq
H  H 
avril 2012
p
nL
Licence 3 - Gravitation
69
Résonances de moyen mouvement : théorie
• Ensuite on moyenne le Hamiltonien sur la dernière variable rapide qui
reste, ’ (position de la planète):
1
H  H 
2
2
 H  d 
0
• Ceci rend le Hamiltonien conservatif, donc constant.
• Cas particulier : planète circulaire (e’=0)
_’ n’est pas défini
 H’ est indépendant de 
 N = constante !
• Le Hamiltonien n’a plus qu’un degré de liberté (,S): Pour une valeur
_
de N donnée,
on peut_ tracer un diagramme de phase dans un plan
(X=2S cos, Y=2S sin ), ou encore (X = e cos, Y = e sin )
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
70
Exemple 1 de diagramme de phase
• Résonance 3:4 , d’ordre 1
(Titan-Hypérion) ; diagramme
de phase pour une valeur de N
donnée.
• Deux types d’orbites :
– Orbites avec circulation de  :
orbites non-résonantes !
– Orbites avec libration de  autour
d’une position d’équilibre : orbites
résonantes !
• La position d’équilibre
représente la position de
conjonction la plus stable. La
conjonction oscille autour de
cette position  La résonance
s’autoentretient !
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
71
Exemple 2 de diagramme de phase
• Résonance 3:1 (ordre 2)
• Deux positions
d’équilibre,
correspondant à
 =  90°
• La libration
s’accompagne
d’oscillation en a et e.
• Pour chaque N, il exite
une orbite de libration
maximale  forme en V
dans le diagramme (a,e)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
72
Résonances de moyen mouvement : situations plus
compliquées
• Si le problème n’est
pas plan :
– Inclinaison faible : ça ne
change pas grand-chose
– Inclinaison forte :
interférence avec Kozai
: Chaos !
• Si la planète est
excentrique avec e’ pas
trop grand, on a le
même mouvement de
libration.
• Mais N peut changer,
parfois beaucoup sur
un temps plus long !
• L’excentricité peut
devenir grande 
déstabilisation
(Lacunes de Kirkwood)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
73
Gravitation – Mécanique céleste
8. Le chaos
•
•
•
•
avril 2012
Le chaos dans les théories planétaires
Les exposants de Lyapunov
Les sections de Poincaré
L’analyse en fréquences
Licence 3 - Gravitation
74
Le chaos
• Chaos dans un système dynamique = imprédictibilité =
hypersensibilité aux conditions initiales
• Dans les théories planétaires, l’introduction de termes nonlinéaires conduit à de l’imprédictibilité
• Conséquence : sur le long terme (plusieurs milliards
d’années, la description (même sur ordinateur) de l’évolution
dynamique est essentiellement statistique.
• Certaines situations locales sont plus chaotiques :
– Rencontres proches
– Recouvrement de résonances
• Attention : Chaos  Instabilité ! Un système dynamique peut
être stable tout en étant chaotique
• Outil de mesure du chaos : exposants de Lyapunov
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
75
Chaos dans les théories planétaires
• Même en ne négligeant aucun terme, les positions exactes
des planètes restent imprédictibles au-delà de l’ordre du
milliard d’années (chaos, « effet papillon »)
• Un certain nombre de résultats restent :
–
–
–
–
Globalement, les planètes ne changent pas de place
Les grosses planètes sont les plus stables
Les plus instables sont les petites (Mercure, Mars)
Conclusion : Le système solaire interne est plein !
• Le chaos existe, mais il est confiné.
• Le système solaire est-il stable ? Vraisemblablement, mais
on ne peut pas l’affirmer définitivement.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
76
Zoom sur la ceinture de Kuiper
La superposition des résonances déstabilise certaines orbites
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
77
Estimer le chaos : l’exposant de Lyapunov
• Lorsqu’une orbite est chaotique, deux situations très proches
verront leurs évolutions diverger exponentiellement
q1 t   q2 t   e
•
•
t
 = exposant de Lyapunov, 1/ = tl = temps de Lyapunov
tl est le temps au bout duquel deux orbites infiniment
proches finiront par diverger.(effet papillon)
• Plus  est grand (tl est petit), plus le chaos est important.
• Une orbite non chaotique vérifiera  = 0 (ou 0
• En météo terrestre, tl est de l’ordre de ~2 semaines. Dans le
système solaire, il vaut des dizaines de millions d’années.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
78
Exposants de Lyapunov
Jupiter 1:7
Neptune
2:1
Résonances
à trois corps
• Exemple : l’orbite d’Uranus. Les résonances rendent les
orbites très chaotiques (mais pas forcément instables)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
79
Calcul pratique des exposants de Lyapunov
• Dans une intégration numérique sur ordinateur, on intègre une
situation p0 , et une situation voisine p0+δp0.
• Au bout d’un temps tnorm, on regarde la différence δp (tnorm). On
calcule
s1 
δp(tnorm )
δp0
et
δp1 
δp(tnorm )
s1
• On appelle p1=p (tnorm). On recommence à intégrer en partant de p1
et de p1+δp1
• On a le résultat suivant (Benettin 1978)
1
L  lim
n  n t
norm
avril 2012
n
s
i 1
Licence 3 - Gravitation
i
80
Conclusions sur les exposants de Lyapunov
• Globalement, le système solaire est chaotique (>0), mais
les exposants varient énormément à l’intérieur du système.
• Le système des planètes principales est chaotique avec un
temps de Lyapunov de plusieurs centaines de millions
d’années.
• Localement, les résonances rendent certaines orbites très
chaotiques (ex: Pluton tl ≈ 20 millions d’années)
• Le comportement chaotique est révélé par l’intégration
numérique, mais le système solaire semble stable depuis
4,5 milliards d’années… Contradiction ?
• NON, car chaos ≠ instabilité !
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
81
Voir le chaos : La section de Poincaré
• Pour un système décrit par plusieurs coordonnées (degrés
de liberté), on trace les points de passage par un plan
particulier (par exemple x=0)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
82
Voir le chaos : La section de Poincaré
• Les orbites nonchaotiques se
traduisent par des
courbes régulières.
On parle d’orbites
quasi-périodiques
• Les orbites
chaotiques donnent
des nuages de points
sans ordre particulier.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
83
Détecter le chaos : l’analyse en fréquences
• Idée : les orbites quasi-périodiques (aussi appelées tores de
KAM) sont caractérisées par un nombre fini de fréquences
caractéristiques d’évolution. Les orbites chaotiques n’ont
pas de fréquence bien définie.
• S’il est possible de déterminer numériquement les
fréquences caractéristiques, leur stabilité temporelle doit
indiquer des orbites régulières (Laskar et al. 1990 – 2002)
• En général, pour identifier le chaos on utilise le calcul des
exposants de Lyapunov et l’analyse en fréquences.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
84
Calcul des fréquences caractéristiques
• Idée : Un système quasi-périodique est en général décrit
par l’évolution d’un certain nombre d’angles (qi, i=1…n)
• Il y a n fréquences caractéristiques (i, i=1…n). En
général, chaque i est la fréquence principale d’évolution
d’un des qj . Pour un temps T suffisamment grand, on
calcule la quantité
1
 j   
T
avril 2012
t0  T
 expi q t exp it  dt
j
t0
Licence 3 - Gravitation
85
Gravitation – Mécanique céleste
9. Les effets de marée
•
•
•
avril 2012
L’effet Terre-Lune
La limite de Roche
Les effets plus fins
Licence 3 - Gravitation
86
Les effets de marée
• Les effets de marée sont des effets différentiels de la
gravitation dus à la taille non ponctuelle des corps célestes
• Leur portée est générale dans l’Univers.
• Exemple : Effet de la Lune sur la Terre . Tous les points de
la Terre ne sont pas attirés de la même façon.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
87
Les effets de marée
• Pour avoir l’effet local, il faut retrancher l’attraction au centre C
(compensé par le mouvement orbital)
• Conséquence : la Terre s’allonge comme un ballon de rugby dans la
direction de la Lune  deux marées par jour.
• Dans le cas de la Terre, l’allongement théorique est de l’ordre de ~1m.
Les masses océaniques sont plus affectées  marées océaniques
• La forme des côtes influe beaucoup sur l’amplitude.
• Il y a aussi les marées dues au Soleil (5/11 fois plus faibles). La
combinaison des deux crée les marées de vive eau ou de morte eau.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
88
Limite de Roche
• Un satellite distordu peut se retrouver brisé si l’effet de marée est trop
fort = s’il est trop près de la planète  Limite de Roche
• Considérons un satellite consitué de deux masses m accollées de rayon
r situées à une distance D d’une planète de masse M
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
89
Limite de Roche
• On écrit la différence d’attraction de la part de M entre les deux masses
 dFg
Fg  
 dD

4GMmr
  2r 
D3

Gm 2
Fc 
4r 2
• La force de cohésion entre les deux masses vaut
• Les deux masses seront séparées si Fg>Fc. On écrit ensuite
m  43 r 3  sat
et M  43 R 3  pl
 pl
  pl 
 R
D  3 16
 R  2.52
 sat
  sat 
1/ 3
• La condition Fg>Fc se traduit par
• C’est la limite de Roche (coef réel ~2.45)
• Application : Anneaux de Saturne
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
90
Effets de marée : suite
• On revient à l’effet Terre-Lune :
• La Terre tourne plus vite sur elle-même que la Lune ne tourne autour
d’elle  Le bourrelet créé par la Lune prend de l’avance
• La Terre est visqueuse, le bourrelet ne se réaligne pas instantanément
 décalage permanent
• Conséquence 1 : existence d’un couplage entre la rotation de la Terre
et le mouvement orbital de la Lune (couplage spin-orbite)
• Traduction : Dissipation d’énergie (friction, exemple : Jupiter - Io) et
échange de moment cinétique orbital – rotation.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
91
Effets de marée : suite
• Le couple Lune  Terre tend à réaligner le bourrelet 
Ralentissement de la rotation de la Terre ! (2ms / siècle)
• Dans le même temps, conservation du moment cinétique 
Eloignement de la Lune ! (3cm / an)
• L’effet Terre  Lune est beaucoup plus fort. Conséquence :
Aujourd’hui, la Lune nous présente toujours la même face = rotation
synchrone
• Etat final = Les deux corps se présentent toujours la même face =
synchronisation . Exemple : Pluton-Charon
• On peut se retrouver dans des situations intermédiaires. Exemple :
Soleil – Mercure = résonance 3:2 entre la période de rotation et la
période orbitale (résonance spin – orbite)
• Autre effet à plus long terme : circularisation de l’orbite. Exemple : les
exoplanètes très proches de leurs étoiles (Jupiters chauds)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
92
Gravitation – Mécanique céleste
10. Les planètes extrasolaires
•
•
•
•
•
•
•
•
avril 2012
Présentation
Détection directe
Transits
Le mouvement réflexe
Astrométrie et vitesses radiales
Les Jupiters chauds
La migration
Les planètes excentriques
Licence 3 - Gravitation
93
Il n’y a pas que le système solaire…
•
•
•
On connaît aujourd’hui
plus de 500 planètes
extrasolaires
(exoplanètes) = systèmes
planétaires autour d’autres
étoiles.
Ces systèmes présentent
des caractéristiques
communes et des
différences avec le
système solaire : planètes
géantes proches de leur
étoile (Jupiters chauds) et
orbites excentriques
 Témoin d’évolution
dynamiques différentes
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
94
Méthode de détection 1 : imagerie directe
• C’est très difficile, car
Luminosité planète (Lp) « Luminosité étoile (L*)
2
A priori,
 Rp 
L p  L*   
 a 
• Dans le cas de Jupiter et du Soleil, on a Lp 10-9 L* !
• Pour y arriver, il faut
– Réduire la tache lumineuse de l’étoile (a optique adaptative ou
espace)
– Eliminer le maximum de lumière stellaire (a coronographie)
– Diminuer le contraste entre les deux objets (a observer dans
l’infrarouge)
– Observer des systèmes jeunes (a planètes plus brillantes)
• Quelques détections. Exemple :  Pictoris B
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
95
Méthode de détection 2 : transit
•
Si la planète s’interpose entre l’étoile
et la Terre, la luminosité de l’étoile
doit baisser temporairement.
2
 Rp 
Lmin  L*   
 R* 
• Si la planète est trop petite, la baisse
est indétectable.
• Il faut que l’orbite de la planète soit
peu inclinée par rapport à la ligne de
visée.
• Le transit ne doit pas avoir lieu trop
rarement (faible période orbitale)
• Cette méthode donne accès au rayon
des planètes.
• Les satellites CoRoT) et Kepler ont
été lancés pour chercher des transits
A Cette méthode favorise la détection de
grosses planètes proches de leur
étoile
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
~115 planètes ont été
détectées par cette
méthode à ce jour…
96
Le mouvement réflexe
• Une étoile et sa planète
tournent tous deux autour
de leur centre de gravité
commun.
• En conséquence, l’étoile
décrit une petite orbite,
copie miniature de celle de
la planète. C’est le
mouvement réflexe.
• On peut détecter la planète
en détectant le mouvement
réflexe.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
97
Méthode de détection 3 : astrométrie
• Idée : détecter le mouvement réflexe de
l’étoile sur le fond du ciel.


a 1  e2
  
1  sin 2   v sin 2 i
m p  M * d 1  e cos v
mp
mp a
~
M* d
• Il faut détecter des mouvements de
l’ordre de la milliseconde d’arc.
• Sensible aux grosses planètes, grandes
orbites et proches étoiles.
• Un satellite futur : PRIMA
(inteférométrie différentielle)
• Plus tard : GAIA
avril 2012
Mouvement du Soleil vu depuis 10 pc
Licence 3 - Gravitation
98
Méthode de détection 4 : vitesses radiales
• Idée : détecter le
mouvement réflexe de
l’étoile par la variation
de vitesse de l’étoile
par rapport à nous. On
utilise le décalage
Doppler des raies
spectrales de l’étoile
/v/c
• Plus de 480 planètes
découvertes à ce jour
par cette méthode…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
99
Méthode : vitesses radiales (II)
•
2 a sin i
cos   v   e cos  
2
m  M* P 1  e
Théorie :
p

K
(P = période)
(i = inclinaison)
2G m p sin i
1
(K=amplitude)
3
K
P m p  M * 2 / 3 1  e 2
Vr 
mp
 P 

 28.4 m s 1  
 1 an 
•
•
•
•
1 / 3
 m p sin i  M * 



 M
 M 
Jup 
Θ 

Il faut mesurer la vitesse radiale avec une précision de l’ordre de quelques mètres
par seconde. La méthode est sensible aux grosses planètes et aux courtes périodes.
P se voit sur la courbe, la forme donne  et e, l’amplitude donne mpsin i sans plus
de distinction.
Tout dépend de la précision du spectrographe. Aujourd’hui, on atteint des précisions
de l’ordre de ~1 m.s-1 (HARPS, Chili)
La plus petite planète découverte a une masse de ~2 masses terrestres
(Gliese 581, 2009)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
100
2 / 3
Méthode : vitesses radiales (III)
• 51 Pegasi :
Orbite ~circulaire
Période 4 jours
Mayor & Queloz (1995)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
101
Méthode : vitesses radiales (IV)
• 14 Her :
Orbite excentrique
Période
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
102
Méthodes : comparaison
• Les différentes méthodes
sont complémentaires
(zones de sensibilités
différentes)
• Pour des planètes à
grande période, il faut une
grande base de temps
(astrométrie, vitesses
radiales) ou beaucoup de
chance (transits).
• Aujourd’hui, on sait
détecter des planètes
géantes, les Terres restent
indétectables, jusqu’à
quand ?
Jupiter
Saturne
Uranus
Transits
Terre
Licence 3 - Gravitation
Période
avril 2012
Triangles =
planètes détectées
103
Les Jupiters chauds
• Ce sont des géantes gazeuses proches de leur étoile
• Il semble très difficile de former ces planètes in situ :
problème d’accrétion du gaz et de quantité de
matériau disponible.
• Modèle actuel : Ces planètes ont migré vers
l’intérieur par interaction visqueuse avec le disque de
gaz
– Question 1 : Qu’est-ce qui arrête la migration ?
– Question 2 : Pourquoi ça a eu lieu dans certains systèmes
et pas ailleurs (p.ex dans le Système Solaire)
• En fait, les planètes du Système Solaire ont migré,
mais moins…
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
104
Jupiters chauds et migration
• Les Jupiters chauds ne peuvent pas d’être formés là où ils
sont aujourd’hui (pas assez de matière, problème
d’accrétion du gaz).
• L’idée est qu’ils se sont formés dans le disque
(~ 10 – 20 AU) et qu’ils ont assez tôt subi une migration
orbitale vers l’intérieur.
• Questions :
– Quelle est la cause de la migration ?
– Quelle est sa vitesse ?
– Qu’est-ce qui l’arrête ?
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
105
La migration visqueuse
• On distingue Type I et Type II
• Un protoplanète a tendance à créer un sillon dans son
disque.
• Avant la création du sillon : Type I, rapide
• Après la création du sillon : Type II, plus lente
• Dans tous les cas : Une planète excite des ondes de densité
spirales dans son disque, en avant et en arrière, à partir de
ses résonances de Lindblad.
• C’est l’excitation de ces résonances qui crée le sillon.
• Elle s’accompagne d’un échange de moment cinétique
entre l’étoile et le disque (couple) a migration
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
106
La migration visqueuse
• Le bord interne du disque cède du
moment cinétique à la planète;
• La planète cède du moment cinétique
au bord externe.
• Il n’y a pas équilibre. La planète cède
plus de moment cinétique qu’elle en
gagne a L’orbite de la planète
rapetisse a migration vers l’intérieur !
• Type I : le disque va jusqu’à la planète
1
•
2
 M Terre    
 M Terre 
h


10
5
  

 orbites
 I  10  


10


 
-2 



R
 M p   g.cm 
 Mp 
C’est rapide, éventuellement inférieur au temps de formation de la
planète (surtout des planètes géantes) !
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
107
La migration visqueuse
• Lorsque le sillon est creusé,
on(1997)
passe en Type II
Ward
2
1
30
h
 II 
   orbites  orbites
2  r 

   paramètre de mesure de la viscosité du disque
• Pour un disque jeune :   0.01 ou 0.001
a II ~ 104 ou 105 ans. Très court !
• Mais pour un disque plus évolué  < 10-4 a migration
lente !
• Dans un disque très massif avec une planète peu massive,
le sillon devient dissymétrique a emballement de la
migration (Type III; Masset & Papaloizou 2003)
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
108
Simulations numériques
• On voit les ondes
spirales et la
formation du sillon.
• Même lorsque le
sillon est présent
(Type II), il y a des
bras de matière vers la
planète.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
109
Evolution des disques
•
•
•
•
•
Une protoplanète géante se forme dans un disque dense. On commence par
une migration de Type I.
Le sillon se creuse, on passe à une migration de Type II.
Si la viscosité est grande, la planète migre vite et devient un Jupiter chaud ou
disparaît dans l’étoile.
Si la viscosité est plus faible, le disque se vide avant la fin de la migration a
Jupiter « normal ».
Qu’est-ce qui arrête la migration au stade Jupiter chaud ?
– Effets de marée avec l’étoile
– Arrêt de la migration à cause d’une cavité magnétosphérique autour de l’étoile
(sans gaz)
•
PourquoiPapaloizou
dans le Système
& NelsonSolaire n’y a-t-il pas eu de phénomène de ce type ?
– A cause d’un  petit ? Oui mais aussi…
– Des sauts en densité dans le disque peuvent stopper la migration (Morbidelli 2007)
– Une résonance 2:3 entre Jupiter et Saturne dans les premiers millions d’années a
probablement stabilisé les deux planètes (Crida et al. 2007)
– Un disque turbulent peut faire varier le sens de migration
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
110
Origine possible des planètes excentriques
• Perturbations par une étoile de passage ?
– Possible mais statistiquement rare, et difficile à admettre pour des
planètes proches.
• Perturbations entre planètes ?
– Le problème est d’éviter l’instabilité a éjection des planètes
et/ou collisions
– Le processus de formation doivent normalement circulariser les
orbites, mais si les excentricités croissent par perturbations, on peut
se retrouver éventuellement avec une seule planète, géante,
excentrique.
– Problème : Logiquement il reste la plus grosse planète, mais ce
n’est pas celle-là qui doit être excentrique…
• Perturbations dans les systèmes multiples : Résonance de
Kozai
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
111
Gravitation – Mécanique céleste
11. Les systèmes binaires et multiples
•
•
•
avril 2012
Introduction : particularités
Les planètes et les disques dans les systèmes
multiples
La dynamique des systèmes multiples
Licence 3 - Gravitation
112
Systèmes binaires et multiples
• Système binaire : Deux étoiles en orbite (Képlérienne)
l’une autour de l’autre (60% des étoiles connues)
• Système multiple : plus de deux étoiles
• Système multiple  système planétaire, car tous les corps
ont des masses comparables
– La stabilité d’un système planétaire est assurée par la masse
dominante de l’étoile centrale
– La stabilité d’un système stellaire multiple est assurée par sa
structure hiérarchique en orbites emboîtées de tailles très
différentes.
• Conséquence : Les systèmes multiples ne sont pas plans et
les excentricités peuvent être très diverses.
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
113
Systèmes binaires et multiples : planètes ?
• Question : Y-a-t-il des planètes dans les systèmes multiples ?
• Réponse : OUI, on en a trouvé certaines (16 Cyg B…) !
• Ce sont des planètes de type S = en orbite autour d’une des
étoiles
• On ne connaît pas de planète de type P = en orbite autour
d’un système binaire
• Mais on connaît des exemples de disques circumbinaires :
GG Tauri
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
114
Dynamique dans les systèmes multiples
• Les systèmes multiples ne sont pas plans : ils sont très
sujets à la résonance de Kozai.
– Exemple : excentricité élevée de certaines planètes
• Un disque (ou un système planétaire) autour d’une étoile
dans une système binaire est tronqué par interaction avec le
compagnon.
• Ces disques sont aussi déformés par les compagnons
stellaires  effets de marée
avril 2012
Licence 3 - Gravitation
115